Brevet maths 2022 France sept. : sujet et corrigé

Voici le sujet de mathématiques du brevet 2022 de France métropolitaine (session de septembre), posé le 12 septembre 2022 en métropole et aux Antilles-Guyane, avec son corrigé détaillé juste en dessous. Un QCM de cinq questions ouvre l’épreuve : puissances de 5, fraction irréductible, développement, équation produit et probabilité avec une urne. Yanis compare ensuite trois tarifs de location de voiture en Guadeloupe à l’aide de fonctions et de leurs courbes. Un pavage de cerfs-volants fait travailler les angles du triangle équilatéral, les symétries et trois scripts Scratch à départager. On étudie aussi, dans un tableur, la fréquentation du pont de l’île de Ré en 2020, puis une tyrolienne au-dessus d’une piscine avec trigonométrie, Pythagore, Thalès et un volume.

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DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2022
France métropolitaine, Antilles-Guyane — 12 septembre 2022
Mathématiques — Durée : 2 heures

L’usage de calculatrice avec mode examen activé est autorisé. L’usage de calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé. L’utilisation du dictionnaire est interdite.

Indications portant sur l’ensemble du sujet.

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1 (20 points)

Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples).

Chaque question n’a qu’une seule bonne réponse.

Pour chaque question, précisez sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée pour cet exercice.

Aucun point ne sera retiré en cas de mauvaise réponse.

	Réponse A	Réponse B	Réponse C
1. \(\dfrac{5^7 \times 5^3}{5^2}\)	\(5^{13}\)	\(5^5\)	\(5^8\)
2. La fraction irréductible égale à \(\dfrac{630}{882}\) est :	\(\dfrac{5}{7}\)	\(\dfrac{35}{49}\)	\(\dfrac{315}{441}\)
3. Une expression développée de \(A = (x – 2)(3x + 7)\) est :	\(3x^2 + 13x + 14\)	\(3x^2 + x + 5\)	\(3x^2 + x – 14\)
4. Les solutions de l’équation \((2x + 1)(-x + 3) = 0\) sont :	2 et \(-3\)	\(-\dfrac{1}{2}\) et 3	\(-1\) et \(-3\)
5. Une urne contient 9 boules indiscernables au toucher : • 3 boules noires, • 4 boules blanches, • 2 boules rouges. Quelle est la probabilité de ne pas tirer de boule noire ?	\(\dfrac{2}{9}\)	\(\dfrac{1}{3}\)	\(\dfrac{6}{9}\)

Exercice 2 (20 points)

Yanis vit en France métropolitaine. Il part cet été en Guadeloupe en vacances.

Il se renseigne quant aux locations de véhicules.

Une société de location de voitures à Pointe-à-Pitre propose les tarifs suivants pour un véhicule 5 places de taille moyenne, assurances non comprises :

Tarif « Affaire » : 0,50 € par kilomètre parcouru.
Tarif « Voyage court » : un forfait de 120 € puis 20 centimes par kilomètre parcouru
Tarif « Voyage long » : un forfait de 230 €, quel que soit le nombre de kilomètres effectués.

1. Yanis a préparé son plan de route et il fera 280 km. Il choisit le tarif « Affaire ».

Combien va-t-il payer ?

2. S’il parcourt 450 km, quelle offre est la plus avantageuse financièrement ?

3. Dans la suite, \(x\) désigne le nombre de kilomètres parcourus en voiture.

On considère les trois fonctions \(l\), \(m\), \(n\) suivantes :

\[l(x) = 230 \qquad m(x) = 0{,}5x \qquad n(x) = 0{,}2x + 120\]

a. Associer, sans justifier, chacune de ces fonctions au tarif correspondant.

b. Déterminer le nombre de kilomètres à parcourir pour que le tarif « Voyage court » soit égal au tarif « Affaire ».

4. a. Sur l’annexe jointe, tracer les courbes représentatives des fonctions \(l\), \(m\) et \(n\) sur la feuille « Annexes ».

(annexe à rendre avec la copie)

b. Déterminez graphiquement le nombre de kilomètres que devra atteindre Yanis pour que le tarif « Voyage long » soit le plus avantageux.

On laissera les traits de constructions apparents sur le graphique.

Exercice 3 (20 points)

La figure ci-dessous est un pavage constitué de cerfs-volants.

Les triangles SLP et PLA ainsi formés sont des triangles équilatéraux.

PARTIE A :

1. Déterminer la mesure de l’angle \(\widehat{\text{PSL}}\).

2. Quelle est l’image du cerf-volant 2 par la symétrie d’axe (PL) ? On ne demande pas de justification.

3. Déterminer par quelle transformation du plan le cerf-volant 1 devient le cerf-volant 6 ?

On ne demande pas de justification.

PARTIE B :

Dans cette partie, on se propose de construire le cerf-volant ci-dessous.

Essya, Nicolas et Tiago souhaitent construire cette figure à l’aide d’un logiciel de programmation.

Ils écrivent tous un programme « Cerf-volant » différent.

1. Tracer le programme « Cerf-Volant » de Nicolas, en prenant 1 cm pour 100 pas.

2. Un élève a écrit le script correct. Donner le nom de cet élève en justifiant la réponse.

Exercice 4 (20 points)

Voici le nombre de passages de véhicules au péage du pont de l’île de Ré au cours de l’année 2020, reporté dans une feuille de calcul :

	A	B
1	Mois	Nombre de passages
2	Janvier	210 320
3	Février	218 464
4	Mars	138 395
5	Avril	62 930
6	Mai	179 699
7	Juin	295 333
8	Juillet	389 250
9	Août	376 551
10	Septembre	313 552
11	Octobre	267 864
12	Novembre	142 152
13	Décembre	206 662
14	Total	2 801 172

1. Quelle formule a-t-on saisi dans la cellule B14 pour obtenir le nombre total de passages en 2020 ?

2. Calculer le nombre moyen de passages par mois.

3. Donner l’étendue de la série.

4. Afin d’étudier les effets du confinement de 2020, on souhaite comparer le nombre de passages de véhicules sur le pont de l’île de Ré du mois de mai 2020 avec celui du mois de mai 2021.

En mai 2021, 305 214 véhicules ont passé le péage du pont.

Calculer le pourcentage d’augmentation du nombre de passages de véhicules entre mai 2020 et mai 2021. Arrondir à l’unité.

5. Sachant que le pont a une longueur de 3 000 mètres, quelle est la vitesse moyenne, exprimée en km/h, d’un cycliste qui le traverse en 10 minutes ?

Exercice 5 (20 points)

Lya passe la journée dans un parc aquatique.

Elle y trouve une cabane dans un chêne d’où part une tyrolienne qui mène au-dessus d’une piscine.

Le câble de la tyrolienne relie la cabane et le pied du peuplier situé juste derrière la piscine.

Document 1 : schéma de la situation

Document 2 : La réglementation exige que l’angle formé par le câble de la tyrolienne et l’horizontale ait une mesure inférieure à 30°.

Document 3 : La piscine a la forme d’un parallélépipède rectangle de longueur 6 m, largeur 6 m et profondeur 1,60 m.

Document 4 : Lorsque Lya est suspendue à la tyrolienne, corps et bras tendus, elle mesure exactement 1,50 m.

1. Vérifier par un calcul que BC = 20 m.

2. Le positionnement de la tyrolienne est-il conforme à la réglementation en vigueur ?

3. Déterminer la longueur AC, en mètres, de câble nécessaire. Arrondir à l’unité.

4. Lya est suspendue à la tyrolienne verticalement. À quelle distance DC du peuplier, en mètres, les pieds de Lya toucheront-ils l’eau de la piscine ? Arrondir au centième.

5. Calculer le volume de la piscine, en m³ ?

Rappel : Le volume d’un parallélépipède rectangle est \(V = \text{Longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur}\).

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Réponse C

Pour multiplier deux puissances d’un même nombre, on additionne les exposants ; pour les diviser, on soustrait les exposants :

\[\dfrac{5^7 \times 5^3}{5^2} = \dfrac{5^{7+3}}{5^2} = \dfrac{5^{10}}{5^2} = 5^{10-2} = 5^8\]

La bonne réponse est C : \(5^8\).

2. Réponse A

On décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers : \(630 = 2 \times 3^2 \times 5 \times 7\) et \(882 = 2 \times 3^2 \times 7^2\).

Le plus grand diviseur commun est \(2 \times 3^2 \times 7 = 126\), et on simplifie par 126 :

\[\dfrac{630}{882} = \dfrac{126 \times 5}{126 \times 7} = \dfrac{5}{7}\]

Comme 5 et 7 n’ont aucun diviseur commun autre que 1, la fraction est irréductible. Les fractions \(\dfrac{35}{49}\) et \(\dfrac{315}{441}\) sont bien égales à \(\dfrac{630}{882}\), mais elles se simplifient encore (par 7 et par 63). La bonne réponse est A : \(\dfrac{5}{7}\).

3. Réponse C

On utilise la double distributivité :

\[A = x \times 3x + x \times 7 – 2 \times 3x – 2 \times 7 = 3x^2 + 7x – 6x – 14 = 3x^2 + x – 14\]

La bonne réponse est C : \(3x^2 + x – 14\).

4. Réponse B

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

\[2x + 1 = 0 \iff x = -\dfrac{1}{2} \qquad \text{ou} \qquad -x + 3 = 0 \iff x = 3\]

La bonne réponse est B : \(-\dfrac{1}{2}\) et 3.

5. Réponse C

Les boules sont indiscernables au toucher : chacune des 9 boules a la même chance d’être tirée. Ne pas tirer de boule noire, c’est tirer une boule blanche ou rouge, et il y en a \(4 + 2 = 6\). La probabilité cherchée est donc \(\dfrac{6}{9}\) (qui vaut aussi \(\dfrac{2}{3}\)).

La bonne réponse est C : \(\dfrac{6}{9}\).

Exercice 2 :

Avec le tarif « Affaire », chaque kilomètre coûte 0,50 €. Pour 280 km :

\[280 \times 0{,}50 = 140\]

Yanis va payer 140 €.

On calcule le prix des trois offres pour 450 km :

tarif « Affaire » : \(450 \times 0{,}50 = 225\) € ;
tarif « Voyage court » : 20 centimes font 0,20 €, donc \(120 + 450 \times 0{,}20 = 120 + 90 = 210\) € ;
tarif « Voyage long » : 230 €, quelle que soit la distance.

Le prix le plus bas est 210 € : pour 450 km, l’offre « Voyage court » est la plus avantageuse.

3. a.

\(l(x) = 230\) ne dépend pas de \(x\) : c’est le forfait fixe, tarif « Voyage long » ;
\(m(x) = 0{,}5x\) : 0,50 € par kilomètre sans forfait, tarif « Affaire » ;
\(n(x) = 0{,}2x + 120\) : forfait de 120 € plus 0,20 € par kilomètre, tarif « Voyage court ».

3. b.

Les deux tarifs sont égaux lorsque \(n(x) = m(x)\). On résout cette équation :

\[0{,}2x + 120 = 0{,}5x\]

\[120 = 0{,}5x – 0{,}2x\]

\[120 = 0{,}3x\]

\[x = \dfrac{120}{0{,}3} = 400\]

Vérification : \(m(400) = 0{,}5 \times 400 = 200\) et \(n(400) = 0{,}2 \times 400 + 120 = 80 + 120 = 200\).

Les tarifs « Voyage court » et « Affaire » sont égaux pour 400 km (on paie alors 200 € dans les deux cas).

4. a.

Les trois fonctions sont affines (ou constante), leurs représentations sont donc des droites ; deux points suffisent pour tracer chacune d’elles.

\(l\) : droite horizontale d’ordonnée 230 (elle passe par \((0\,;\,230)\) et \((600\,;\,230)\)) ;
\(m\) : fonction linéaire, droite passant par l’origine \((0\,;\,0)\) et par \((400\,;\,200)\) ;
\(n\) : droite passant par \((0\,;\,120)\) et par \((400\,;\,200)\), puis \((600\,;\,240)\).

On retrouve sur le graphique que les droites de \(m\) et de \(n\) se coupent au point \((400\,;\,200)\), comme trouvé à la question 3. b.

4. b.

Le tarif « Voyage long » est le plus avantageux lorsque la droite de \(l\) est en dessous des deux autres droites.

La droite de \(m\) passe au-dessus de 230 à partir de 460 km (point d’intersection avec la droite de \(l\)).
La droite de \(n\) coupe la droite de \(l\) au point d’abscisse 550 : on trace depuis ce point un trait vertical en pointillés jusqu’à l’axe des abscisses et on lit 550.

Au-delà de 550 km, la droite de \(l\) est sous les deux autres. Par le calcul, on le confirme : \(0{,}2x + 120 = 230\) donne \(0{,}2x = 110\), soit \(x = 550\).

Le tarif « Voyage long » devient le plus avantageux dès que Yanis parcourt plus de 550 km (à 550 km exactement, « Voyage court » et « Voyage long » coûtent tous les deux 230 €).

Exercice 3 :

Partie A

Le triangle SLP est équilatéral. Dans un triangle équilatéral, les trois angles ont la même mesure, et leur somme vaut 180°. Chaque angle mesure donc \(180 : 3 = 60\)°.

Ainsi \(\widehat{\text{PSL}} = 60\)°.

La droite (PL) est un axe de symétrie du losange SLAP, dont les quatre côtés sont égaux (elle échange S et A, et laisse P et L fixes). Le cerf-volant 2, situé dans le coin S, a pour image celui situé dans le coin A.

L’image du cerf-volant 2 par la symétrie d’axe (PL) est le cerf-volant 5.

Le cerf-volant 1 a son sommet principal en P, le cerf-volant 6 a le sien en L, et J est le milieu de [PL] : le cerf-volant 6 est le « retournement » du cerf-volant 1 autour du point J.

Le cerf-volant 1 devient le cerf-volant 6 par la symétrie centrale de centre J (autrement dit la rotation de centre J et d’angle 180°).

Partie B

Le programme de Nicolas fait avancer le lutin de 300 pas, tourner de 120°, avancer de 300 pas, tourner de 120°, puis avancer de 300 pas. Tourner de 120° à chaque sommet correspond à un angle intérieur de \(180 – 120 = 60\)° : on obtient trois côtés égaux et trois angles de 60°, c’est-à-dire un triangle équilatéral de côté 300 pas.

Avec l’échelle 1 cm pour 100 pas, on trace donc un triangle équilatéral de 3 cm de côté : on trace un segment de 3 cm, puis à chacune de ses extrémités un angle de 60° au rapporteur (ou des arcs de cercle de rayon 3 cm au compas) pour obtenir le troisième sommet.

Le cerf-volant à construire a deux grands côtés égaux, deux petits côtés égaux, deux angles droits et, d’après le pavage de la partie A, un angle de 60° entre les deux grands côtés et donc un angle de \(360 – 90 – 90 – 60 = 120\)° entre les deux petits côtés.

Le programme de Nicolas trace un triangle, pas un quadrilatère : il ne convient pas.
Le programme de Tyago trace un petit côté (173 pas), tourne de 60°, puis trace un côté de 300 pas. Or, dans le cerf-volant, l’angle de 120° se trouve entre les deux petits côtés : après avoir tourné de 60°, il faudrait avancer à nouveau de 173 pas. Sa figure ne se referme pas : il ne convient pas.
Le programme d’Essya trace le grand côté du bas (300 pas), tourne de 90° (angle droit), trace un petit côté (173 pas), tourne de 60° (angle intérieur de \(180 – 60 = 120\)°), trace le deuxième petit côté (173 pas), tourne de 90° (deuxième angle droit) et trace le deuxième grand côté (300 pas). Le lutin a tourné en tout de \(90 + 60 + 90 = 240\)° ; il reste un angle extérieur de \(360 – 240 = 120\)°, soit un angle intérieur de 60° pour refermer la figure au point de départ.

Le script correct est donc celui d’Essya.

Remarque : les longueurs 300 et 173 sont cohérentes, car dans le cerf-volant, le triangle formé par un grand côté, un petit côté et la diagonale issue du sommet de 60° a un angle de 30°, et \(300 \times \tan 30° \approx 173\).

Exercice 4 :

Le total est la somme des cellules B2 à B13. On a pu saisir en B14 la formule =SOMME(B2:B13) (ou, plus longuement, =B2+B3+…+B13).

La moyenne mensuelle s’obtient en divisant le total annuel par le nombre de mois :

\[\dfrac{2\,801\,172}{12} = 233\,431\]

Il y a eu en moyenne 233 431 passages par mois en 2020.

L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série. Le maximum est 389 250 (juillet) et le minimum 62 930 (avril) :

\[389\,250 – 62\,930 = 326\,320\]

L’étendue de la série est 326 320 passages.

Le pourcentage d’augmentation se calcule en divisant l’augmentation par la valeur de départ (mai 2020) :

\[\dfrac{305\,214 – 179\,699}{179\,699} \times 100 = \dfrac{125\,515}{179\,699} \times 100 \approx 69{,}85\]

Le nombre de passages a augmenté d’environ 70 % entre mai 2020 et mai 2021.

Le cycliste parcourt 3 000 m, soit 3 km, en 10 minutes. Une heure compte 60 minutes, soit 6 fois 10 minutes : à la même allure, il parcourrait en une heure \(6 \times 3 = 18\) km.

On peut aussi écrire \(v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{3\ \text{km}}{\frac{10}{60}\ \text{h}} = 3 \times 6 = 18\ \text{km/h}\).

La vitesse moyenne du cycliste est de 18 km/h.

Exercice 5 :

Le segment [BC] se compose de trois morceaux : 12,20 m entre B et le bord de la piscine, la longueur de la piscine, qui vaut 6 m d’après le document 3, et 1,80 m entre l’autre bord et C :

\[\text{BC} = 12{,}20 + 6 + 1{,}80 = 20\]

On a bien BC = 20 m.

L’angle entre le câble et l’horizontale est l’angle \(\widehat{\text{ACB}}\). Dans le triangle ABC rectangle en B, on connaît le côté opposé à cet angle (AB = 5,50 m) et le côté adjacent (BC = 20 m) ; on utilise donc la tangente :

\[\tan \widehat{\text{ACB}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}} = \dfrac{5{,}5}{20} = 0{,}275\]

La calculatrice donne \(\widehat{\text{ACB}} \approx 15{,}4\)°.

Comme \(15{,}4 \lt 30\), la tyrolienne est conforme à la réglementation.

Dans le triangle ABC rectangle en B, d’après le théorème de Pythagore :

\[\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 5{,}5^2 + 20^2 = 30{,}25 + 400 = 430{,}25\]

\[\text{AC} = \sqrt{430{,}25} \approx 20{,}74\]

Il faut environ 21 m de câble (arrondi à l’unité).

Les pieds de Lya touchent l’eau lorsqu’elle est suspendue en E, à 1,50 m au-dessus du point D (DE = 1,50 m, document 4).

Les droites (AB) et (ED) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (BC) ; or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles, donc (AB) et (ED) sont parallèles.

Les points C, D, B d’une part et C, E, A d’autre part sont alignés. D’après le théorème de Thalès dans les triangles CDE et CBA :

\[\dfrac{\text{CD}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{CE}}{\text{CA}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{BA}}\]

On utilise la première et la dernière égalité : \(\dfrac{\text{CD}}{20} = \dfrac{1{,}5}{5{,}5}\).

\[\text{CD} = \dfrac{20 \times 1{,}5}{5{,}5} = \dfrac{30}{5{,}5} = \dfrac{60}{11} \approx 5{,}4545\]

Les pieds de Lya toucheront l’eau à environ 5,45 m du peuplier.

On peut contrôler que ce point est bien au-dessus de la piscine : celle-ci s’étend de 1,80 m à 7,80 m du point C, et \(1{,}80 \lt 5{,}45 \lt 7{,}80\).

La piscine est un parallélépipède rectangle de 6 m de longueur, 6 m de largeur et 1,60 m de profondeur (la hauteur) :

\[V = 6 \times 6 \times 1{,}6 = 36 \times 1{,}6 = 57{,}6\]

Le volume de la piscine est de 57,6 m³.

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