Brevet de maths 2020 aux centres étrangers (septembre) : sujet et corrigé

Tous les sujets pour préparer le brevet 2027 de mathématiques sont regroupés, avec leurs corrigés, sur notre page de révision.

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2020
Centres étrangers — 15 septembre 2020
Mathématiques — Durée : 2 heures

Exercice 1 (22 points)

Dans cet exercice, toutes les questions sont indépendantes

1. Calculer \(\dfrac{7}{8} – \dfrac{5}{8} \times \dfrac{1}{3}\) en détaillant les étapes.

Exprimer le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

2. On sait que \(342 = 2 \times 3^2 \times 19\) et que \(380 = 22 \times 5 \times 19\).

Déterminer le plus grand nombre entier qui divise à la fois 342 et 380.

3. Comparer ces deux longueurs : \(11 \times 10^{-8}\) m et \(0{,}9 \times 10^{-5}\) m.

4. Une boule a pour diamètre 6 cm. Déterminer une valeur approchée de son volume au cm³ près.

Formule du volume d’une boule : \(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3\) dans laquelle \(r\) est le rayon de la boule.

5. Les longueurs des côtés d’un triangle sont 3,9 cm ; 6,4 cm et 5,2 cm.

Ce triangle est-il un triangle rectangle ?

6. Une urne contient 20 boules colorées indiscernables au toucher.

On tire au hasard une boule dans l’urne.

Sachant que la probabilité de tirer une boule jaune est égale à 15, déterminer le nombre de boules jaunes dans cette urne.

7. On fait tourner la roue ci-dessous et on attend qu’elle s’arrête. Une flèche verticale fixe permet alors de pointer un secteur angulaire. Chaque secteur angulaire a la même probabilité d’être pointé par la flèche. Quelle est la probabilité que la flèche indique un secteur angulaire de couleur grise qui contient un nombre premier ?

Exercice 2 (13 points)

La pétanque est un jeu qui oppose deux équipes adverses. L’objectif est de lancer des boules en métal pour les placer le plus près possible d’un « but », appelé aussi « cochonnet », qui est une petite boule en bois.

Lors d’une rencontre amicale hors compétition, 10 joueurs se présentent avec chacun 3 boules en acier. Toutes les boules sont pesées et mesurées et les résultats sont reportés dans le tableau ci-dessous :

1. L’étendue de la série des diamètres vaut 12 mm. Sachant que toutes les boules de pétanque de cette rencontre amicale ont un diamètre inférieur ou égal à \(8{,}2\) cm, montrer que le diamètre de la boule de pétanque qui pèse 620 grammes est 7 cm.

2. a. Montrer que la masse moyenne des boules utilisées pour cette rencontre amicale est supérieure ou égale à 626 grammes.

b. Déterminer la masse médiane des boules utilisées pour cette rencontre amicale.

3. En utilisant le document ci-dessous, peut-on affirmer qu’au moins un tiers des boules utilisées lors de cette rencontre amicale ne seraient pas acceptées en compétition officielle ?

Exercice 3 (25 points)

Voici un programme de calcul :

1. a. Vérifier que, si l’on choisit 3 comme nombre de départ, alors ce programme donne 16 comme résultat.

b. Si l’on choisit \(-6\) comme nombre de départ, quel résultat donne ce programme ?

Dans toute la suite de cet exercice, on appelle \(x\) le nombre choisi au départ.

2. Exprimer le résultat de ce programme en fonction de \(x\).

3. a. Montrer que le résultat de ce programme peut s’écrire sous forme factorisée \((x+5)(x-1)\).

b. Quel(s) nombre(s) doit-on choisir au départ pour trouver 0 comme résultat ?

c. Donner une valeur de \(x\) telle que le résultat du programme soit un nombre négatif.

4. Montrer que le résultat du programme s’écrit sous forme développée \(x^2 + 4x – 5\).

5. On appelle \(f\) la fonction définie par \(f(x) = x^2 + 4x – 5\).

a. La fonction \(f\) est-elle une fonction affine ?

b. Déterminer les antécédents de \(-5\) par \(f\).

Exercice 4 (20 points)

Le téléphérique de la ville de Grenoble relie le centre-ville au Fort Bastille construit sur une colline surplombant la ville. Sa longueur est de 673 mètres. La situation est schématisée par la figure ci-dessous.

1. Montrer que la longueur AH que l’on appelle dénivelé entre les points de départ et d’arrivée est égale à 262 m.

2. Déterminer, au dixième de degré près, la mesure de l’angle \(\widehat{\text{ADH}}\).

3. La pente du téléphérique s’obtient en calculant le quotient :

\[\text{pente} = \dfrac{\text{AH}}{\text{DH}} = \dfrac{\text{dénivelé}}{\text{distance horizontale correspondante}}\]

La pente de ce téléphérique est-elle supérieure à 50 % ?

4. Un trajet entre D et A dure 4 minutes. Pour simplifier, on considère que la vitesse du téléphérique est constante pendant tout le trajet.

a. Montrer que la vitesse du téléphérique pour ce trajet est d’environ \(2{,}8\) m/s.

b. Au départ, le point d’attache de la première cabine est au point D. À quelle altitude se situe ce point d’attache 3 minutes après son départ ?

5. Voici les tarifs du téléphérique du fort Bastille :

Madame Dupond, Monsieur Dupond et leurs cinq enfants, âgés de moins de 18 ans, ont acheté sept allers simples pour monter ensemble au fort Bastille par le téléphérique. Madame Dupond a réglé au total 30,20 €.

Dans la famille Dupond, combien d’enfants ont moins de 15 ans ?

Exercice 5 (20 points)

Pour réaliser la figure 1 constituée de triangles équilatéraux, Solène a écrit le programme ci-dessous, dans lequel deux valeurs ont été effacées. Les longueurs sont données en nombre de pixels.

On rappelle que l’instruction « s’orienter à 90 » consiste à s’orienter horizontalement vers la droite.

1. a. Donner le nombre associé à l’instruction « répéter » (ligne 8) qui a été effacé dans le script principal.

b. Donner le nombre associé à l’instruction « tourner » (ligne 4) qui a été effacé dans le bloc « Triangle équilatéral ».

2. Montrer que la longueur du côté du deuxième triangle tracé est 100 pixels.

3. Les deux affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

Affirmation 1 : « D’un triangle au triangle suivant dans l’exécution du programme, la longueur du côté du triangle diminue de 20 %. »

Affirmation 2 : « D’un triangle au triangle suivant dans l’exécution du programme, l’aire du triangle est multipliée par 0,64. »

4. a. Quel est le nom de la transformation du plan qui permet de passer d’un triangle au triangle suivant dans l’exécution du programme ?

b. Solène souhaite modifier son programme pour que chaque triangle tracé soit un agrandissement du triangle précédent dans l’exécution du programme. Donner une valeur possible pour k.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. La multiplication est prioritaire sur la soustraction, on commence donc par elle :

\[\dfrac{5}{8} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{5 \times 1}{8 \times 3} = \dfrac{5}{24}\]

On met ensuite les deux fractions au même dénominateur 24 :

\[\dfrac{7}{8} – \dfrac{5}{24} = \dfrac{21}{24} – \dfrac{5}{24} = \dfrac{16}{24}\]

On simplifie par 8, le plus grand diviseur commun de 16 et 24 : \(\dfrac{16}{24} = \dfrac{2 \times 8}{3 \times 8} = \dfrac{2}{3}\). Comme 2 et 3 n’ont pas d’autre diviseur commun que 1, la fraction est irréductible : le résultat est \(\dfrac{2}{3}\).

2. Remarque : dans l’énoncé, « 22 » doit se lire \(2^2\) (en effet \(2^2 \times 5 \times 19 = 4 \times 95 = 380\), alors que \(22 \times 5 \times 19 = 2\,090\)). On a donc \(342 = 2 \times 3^2 \times 19\) et \(380 = 2^2 \times 5 \times 19\).

Le plus grand diviseur commun s’obtient en gardant les facteurs premiers présents dans les deux décompositions, chacun avec le plus petit exposant : le facteur 2 (exposant 1 dans 342) et le facteur 19. Les facteurs 3 et 5 n’apparaissent que dans une seule des deux décompositions.

\[2 \times 19 = 38\]

Vérification : \(342 = 38 \times 9\) et \(380 = 38 \times 10\), et 9 et 10 n’ont aucun diviseur commun autre que 1. Le plus grand entier qui divise 342 et 380 est 38.

3. On écrit les deux longueurs avec la même puissance de 10 :

\[0{,}9 \times 10^{-5} = 0{,}9 \times 10^{3} \times 10^{-8} = 900 \times 10^{-8}\]

Comme \(11 \lt 900\), on a \(11 \times 10^{-8} \lt 900 \times 10^{-8}\). La longueur \(11 \times 10^{-8}\) m est plus petite que \(0{,}9 \times 10^{-5}\) m (en écriture décimale : 0,000 000 11 m contre 0,000 009 m).

4. Le rayon est la moitié du diamètre : \(r = 6 : 2 = 3\) cm. On applique la formule :

\[V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = \dfrac{4}{3} \times 27 \times \pi = 36\pi\]

\[36\pi \approx 113{,}097\]

Le volume de la boule vaut environ 113 cm³ (au cm³ près).

5. Si le triangle était rectangle, l’hypoténuse serait le plus grand côté, celui de 6,4 cm. On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres :

\[6{,}4^2 = 40{,}96\]

\[3{,}9^2 + 5{,}2^2 = 15{,}21 + 27{,}04 = 42{,}25\]

Comme \(40{,}96 \neq 42{,}25\), l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée. D’après la contraposée du théorème de Pythagore, ce triangle n’est pas rectangle.

6. Remarque : « 15 » est une coquille de l’énoncé pour \(\dfrac{1}{5}\) (une probabilité ne peut pas dépasser 1).

Les 20 boules ont la même chance d’être tirées : la probabilité de tirer une boule jaune est donc \(\dfrac{\text{nombre de boules jaunes}}{20}\). Si on note \(j\) ce nombre, on doit avoir :

\[\dfrac{j}{20} = \dfrac{1}{5}\]

d’où \(j = \dfrac{20}{5} = 4\). Il y a 4 boules jaunes dans l’urne.

7. La roue compte 12 secteurs équiprobables. Les secteurs gris portent les nombres 2, 5, 8, 13, 15 et 23.

Parmi eux, on garde les nombres premiers (qui ont exactement deux diviseurs, 1 et eux-mêmes) : 2, 5, 13 et 23. En revanche \(8 = 2 \times 4\) et \(15 = 3 \times 5\) ne sont pas premiers.

Il y a donc 4 issues favorables sur 12 issues possibles :

\[p = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\]

La probabilité cherchée est \(\dfrac{1}{3}\).

Exercice 2 :

1. L’étendue est la différence entre le plus grand et le plus petit diamètre. Elle vaut 12 mm, soit 1,2 cm. Le plus grand diamètre est 8,2 cm (aucune boule ne dépasse 8,2 cm et deux valeurs du tableau valent 8,2 cm).

Le diamètre manquant est celui de la boule de 620 g ; comme tous les autres diamètres du tableau sont supérieurs ou égaux à 7,05 cm, c’est lui le plus petit diamètre \(d\), et :

\[8{,}2 – d = 1{,}2 \quad \text{donc} \quad d = 8{,}2 – 1{,}2 = 7\]

La boule de 620 g a bien un diamètre de 7 cm.

2. a. Il y a \(10 \times 3 = 30\) boules (on retrouve bien 30 en additionnant les effectifs). On calcule la masse totale en multipliant chaque masse par son effectif :

\[620 \times 1 + 626 \times 2 + 633 \times 4 + 655 \times 5 + 678 \times 2 + 725 \times 3 + 758 \times 4\]

\[+\ 767 \times 1 + 775 \times 1 + 790 \times 2 + 800 \times 2 + 805 \times 2 + 813 \times 1 = 21\,387\]

La masse moyenne vaut donc \(\dfrac{21\,387}{30} = 712{,}9\) g. Comme \(712{,}9 \geq\, 626\), la masse moyenne est bien supérieure ou égale à 626 g.

b. Les 30 masses sont rangées dans l’ordre croissant dans le tableau. Avec un effectif pair, la médiane est la moyenne des 15^e et 16^e valeurs. Les effectifs cumulés sont : 1 ; 3 ; 7 ; 12 ; 14 ; 17 ; … La masse 725 g occupe donc les rangs 15, 16 et 17 : les 15^e et 16^e valeurs valent toutes deux 725 g. La masse médiane est 725 g.

3. Toutes les boules sont en acier : le critère du métal est respecté. On repère les boules qui ne respectent pas le diamètre ou la masse, sans compter deux fois la même.

• Diamètre inférieur à 7,05 cm : la boule de 7 cm, soit 1 boule.
• Diamètre supérieur à 8 cm : les boules de 8,1 cm et de 8,2 cm, soit \(2 + 2 + 1 = 5\) boules.
• Masse inférieure à 650 g : les boules de 620 g, 626 g et 633 g, soit \(1 + 2 + 4 = 7\) boules, mais celle de 620 g est déjà comptée (c’est celle de 7 cm) : 6 boules de plus.
• Masse supérieure à 800 g : les boules de 805 g et 813 g, déjà comptées pour leur diamètre.

Au total, \(1 + 5 + 6 = 12\) boules seraient refusées sur 30. Or un tiers de 30 boules, c’est \(30 : 3 = 10\) boules, et \(12 \geq\, 10\) : la proportion de boules refusées est \(\dfrac{12}{30} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\), qui dépasse \(\dfrac{1}{3} \approx 0{,}33\).

Oui, on peut affirmer qu’au moins un tiers des boules (ici 12 sur 30) ne seraient pas acceptées en compétition officielle.

Exercice 3 :

1. a. On suit le programme avec 3 : \(3 + 2 = 5\), puis \(5^2 = 25\), puis \(25 – 9 = 16\). On obtient bien 16.

b. Avec \(-6\) : \(-6 + 2 = -4\), puis \((-4)^2 = 16\) (le carré d’un nombre négatif est positif), puis \(16 – 9 = 7\). Le programme donne 7.

2. Avec \(x\) : on ajoute 2 et on obtient \(x + 2\), on élève au carré, ce qui donne \((x+2)^2\), et on enlève 9. Le résultat est \((x+2)^2 – 9\).

3. a. Comme \(9 = 3^2\), le résultat est une différence de deux carrés. On utilise l’identité remarquable \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\) avec \(a = x + 2\) et \(b = 3\) :

\[(x+2)^2 – 3^2 = \big((x+2) + 3\big)\big((x+2) – 3\big) = (x+5)(x-1)\]

Le résultat s’écrit bien \((x+5)(x-1)\).

b. On résout \((x+5)(x-1) = 0\). Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

\[x + 5 = 0 \quad \text{ou} \quad x – 1 = 0\]

\[x = -5 \quad \text{ou} \quad x = 1\]

Il faut choisir \(-5\) ou 1 pour obtenir 0.

c. Il suffit que les deux facteurs soient de signes contraires. Avec \(x = 0\) : \((0+5)(0-1) = 5 \times (-1) = -5\), qui est négatif. Par exemple \(x = 0\) convient (toute valeur strictement comprise entre \(-5\) et 1 convient aussi).

4. On développe \((x+2)^2\) avec l’identité \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) :

\[(x+2)^2 – 9 = x^2 + 2 \times x \times 2 + 2^2 – 9 = x^2 + 4x + 4 – 9 = x^2 + 4x – 5\]

Le résultat s’écrit bien \(x^2 + 4x – 5\). (On peut aussi développer \((x+5)(x-1) = x^2 – x + 5x – 5 = x^2 + 4x – 5\).)

5. a. Une fonction affine s’écrit \(x \mapsto ax + b\). Ici l’expression contient le terme \(x^2\), qui ne disparaît pas. La fonction \(f\) n’est pas une fonction affine. On le vérifie avec des valeurs : \(f(0) = -5\), \(f(1) = 0\), \(f(2) = 7\) ; les accroissements \(0 – (-5) = 5\) et \(7 – 0 = 7\) ne sont pas égaux, ce qui serait le cas pour une fonction affine.

b. On cherche les nombres \(x\) tels que \(f(x) = -5\) :

\[x^2 + 4x – 5 = -5\]

\[x^2 + 4x = 0\]

\[x(x + 4) = 0\]

Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul : \(x = 0\) ou \(x + 4 = 0\), c’est-à-dire \(x = -4\). Vérification : \(f(-4) = 16 – 16 – 5 = -5\). Les antécédents de \(-5\) par \(f\) sont 0 et \(-4\).

Exercice 4 :

1. Le dénivelé est la différence des altitudes de l’arrivée et du départ :

\[\text{AH} = 475 – 213 = 262\ \text{m}\]

Le dénivelé AH vaut bien 262 m.

2. Le triangle ADH est rectangle en H. Par rapport à l’angle \(\widehat{\text{ADH}}\), on connaît le côté opposé AH = 262 m et l’hypoténuse AD = 673 m. On utilise donc le sinus :

\[\sin \widehat{\text{ADH}} = \dfrac{\text{AH}}{\text{AD}} = \dfrac{262}{673}\]

À la calculatrice, \(\widehat{\text{ADH}} = \arcsin(\dfrac{262}{673}) \approx 22{,}911^\circ\). L’angle \(\widehat{\text{ADH}}\) mesure environ \(22{,}9^\circ\).

3. Il faut d’abord la distance horizontale DH. Dans le triangle ADH rectangle en H, le théorème de Pythagore donne :

\[\text{DH}^2 = \text{AD}^2 – \text{AH}^2 = 673^2 – 262^2 = 452\,929 – 68\,644 = 384\,285\]

\[\text{DH} = \sqrt{384\,285} \approx 619{,}9\ \text{m}\]

La pente vaut alors :

\[\text{pente} = \dfrac{262}{619{,}9} \approx 0{,}423 \text{, soit environ } 42{,}3\ \%\]

Autre raisonnement rapide : une pente de 50 % signifierait \(\text{AH} = 0{,}5 \times \text{DH} \approx 310\) m, or le dénivelé n’est que de 262 m. Non, la pente de ce téléphérique (environ 42 %) n’est pas supérieure à 50 %.

4. a. Le trajet de 673 m dure 4 min, soit \(4 \times 60 = 240\) s. La vitesse est le quotient de la distance par la durée :

\[v = \dfrac{673}{240} \approx 2{,}804\ \text{m/s}\]

La vitesse est bien d’environ 2,8 m/s.

b. La vitesse étant constante, en 3 minutes le point d’attache a parcouru les \(\dfrac{3}{4}\) du câble. Sur la droite (DA), l’altitude gagnée est proportionnelle à la distance parcourue (c’est la propriété de Thalès dans le triangle ADH, ou le fait que le sinus de l’angle est constant) : le point d’attache s’est donc élevé des \(\dfrac{3}{4}\) du dénivelé.

\[\dfrac{3}{4} \times 262 = 196{,}5\ \text{m}\]

\[213 + 196{,}5 = 409{,}5\ \text{m}\]

Trois minutes après le départ, le point d’attache se trouve à 409,5 m d’altitude (environ 409 m si l’on part de la vitesse arrondie à 2,8 m/s : \(2{,}8 \times 180 = 504\) m parcourus et \(504 \times \dfrac{262}{673} \approx 196{,}2\) m de montée).

5. Les deux parents paient chacun le plein tarif : \(2 \times 5{,}60 = 11{,}20\) €. Notons \(n\) le nombre d’enfants de moins de 15 ans ; les \(5 – n\) autres enfants ont entre 15 et 18 ans. Le total payé donne l’équation :

\[11{,}20 + 3{,}20n + 4{,}20(5 – n) = 30{,}20\]

\[11{,}20 + 3{,}20n + 21 – 4{,}20n = 30{,}20\]

\[32{,}20 – n = 30{,}20\]

\[n = 2\]

Vérification : \(11{,}20 + 2 \times 3{,}20 + 3 \times 4{,}20 = 11{,}20 + 6{,}40 + 12{,}60 = 30{,}20\) €. Dans la famille Dupond, 2 enfants ont moins de 15 ans (et 3 ont entre 15 et 18 ans).

Exercice 5 :

1. a. La figure 1 est formée du grand triangle et de 5 triangles plus petits emboîtés : on y compte 6 triangles. Chaque passage dans la boucle trace un triangle, donc le nombre effacé est 6 (« répéter 6 fois »).

b. Pour tracer un triangle équilatéral, le lutin doit, à chaque sommet, tourner de l’angle extérieur du triangle. Les angles d’un triangle équilatéral mesurent 60°, l’angle dont il faut tourner vaut donc \(180^\circ – 60^\circ = 120^\circ\) (et après 3 rotations, \(3 \times 120^\circ = 360^\circ\), le lutin a fait un tour complet). Le nombre effacé est 120 (« tourner de 120 degrés »).

2. Le premier triangle est tracé avec côté = 125. Juste après, la variable côté est multipliée par k = 0,8 :

\[125 \times 0{,}8 = 100\]

Le deuxième triangle a donc un côté de 100 pixels.

3. Affirmation 1 : d’un triangle au suivant, le côté est multiplié par 0,8. Or diminuer une quantité de 20 %, c’est la multiplier par \(1 – \dfrac{20}{100} = 0{,}8\). Par exemple, on passe de 125 à 100 pixels : la baisse est de 25 pixels, et \(\dfrac{25}{125} = 0{,}2 = 20\ \%\). L’affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2 : chaque triangle est une réduction du précédent de rapport \(k = 0{,}8\). Dans une réduction de rapport \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\) :

\[0{,}8^2 = 0{,}64\]

L’affirmation 2 est vraie.

4. a. Tous les triangles partent du même point, l’origine (0 ; 0), qui est leur sommet inférieur gauche, et leurs côtés sont parallèles ; les longueurs sont multipliées par 0,8. On passe d’un triangle au suivant par une homothétie de centre le point de coordonnées (0 ; 0) (le sommet commun en bas à gauche) et de rapport 0,8.

b. Pour obtenir un agrandissement, il faut que le côté augmente à chaque tour, donc que le coefficient k soit strictement supérieur à 1. Par exemple \(k = 1{,}2\) (toute valeur supérieure à 1 convient ; il faudra alors peut-être réduire le côté de départ pour que les dessins restent dans la scène).

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