Sommaire de cette fiche
I. La division euclidienne
1.Division euclidienne
On considère et b deux nombres entiers positifs avec b non nul.
Effectuer la division euclidienne de par
, c’est trouver le couple unique d’entiers positifs q et r
vérifiant :
avec
.
Exemple:
Prenons a=187 et b=13.
On pose la division euclidienne pour obtenir q et r.
donc avec 5<13.
2. Multiples et diviseurs
Si r=0 alors l’égalité précédente devient
On dit alors que
ou encore que
Exemple:
Prenons a=135 et b=15.
On a .
Donc 135 est un multiple de 15 et 15 est un diviseur de 135.
De même 135 est un multiple de 9 et 9 est un diviseur de 135.
Remarques :
- Un nombre entier a un nombre fini de diviseurs mais un nombre infini de multiples;
- Un nombre entier supérieur à 1 admet toujours au moins deux diviseurs qui sont 1 et lui-même.
3. Critères de divisibilité
- Un nombre entier est divisible par 2 si le chiffre de ses unités est 0,2,4,6 ou 8.Dans ce cas, on dit qu’il est pair;
- Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3;
- Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre constitué de ses deux derniers chiffres (dizaine et unité) est divisible par 4;
- Un nombre entier est divisible par 5 si le chiffre de ses unités est 0 ou 5;
- Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
Exemple :
- 915 n’est pas divisible par 2 car il ne se termine pas par 0,2,4,6 ou 8.
- 915 est divisible par 3 car 9+1+5=15 et 15 est un multiple de 3. 915 n’est pas divisible par 4 car 15 n’est pas divisible par 4.D’ailleurs comme il n’est pas divisible par 2, il ne peut pas être divisible par 4.
- 915 est divisible par 5 car il se termine par 5.
- 915 n’est pas divisible par 9 car 9+1+5=15 et 15 n’est pas un multiple de 9.
II. Les nombres premiers
1.Définition
Un nombre est dit premier, s’il admet exactement 2 diviseurs distincts (lui-même et l’unité). 1 n’est donc pas premier.
2. Le crible d’Eratosthène
n désigne sous le nom de crible d’Eratosthène (vers 276 av.J.-C – vers 194 av.J.-C), une méthode de recherche des nombres premiers plus petits qu’un entier naturel n donné.
Pour ceci, on écrit la liste de tous les nombres jusqu’à n.
- On élimine 1.
- Puis on fait de même avec 3.
- On choisit alors le plus petit nombre non souligné et non éliminé ici 5, et on élimine tous ses multiples.
- On réitère le procédé jusqu’à la partie entière de la racine de n.
Les nombres non éliminés sont les nombres premiers jusqu’à n.
Exemple :
Les nombres premiers inférieurs à 100 sont donc 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
3. Décomposition en facteurs premiers
Tout nombre entier supérieur à 1 peut s’écrire sous la forme d’un produit de nombres premiers.Quand on écrit la décomposition sous la forme
avec des nombres premiers.
Cette écriture est unique et est appelée décomposition en facteurs premiers de l’entier .
Exemple :
On veut décomposer l’entier 3 626 en produit de facteurs premiers.
2 est un diviseur de 3 626 donc 3 626 = 2×1 813.On essaie maintenant de décomposer 1 813.
7 est un diviseur de 1 813 donc 3 626=2x7x259.On essaie maintenant de décomposer 259.
7 est un diviseur de 259 donc 3 626=2x7x7x37.On essaie maintenant de décomposer 37.
37 est un nombre premier donc la décomposition en facteurs premiers de 3 626 est .
4. Fractions irréductibles
Exemple :
n’est pas une fraction irréductible car
.Par contre
est une fraction irréductible.
Remarque :
Pour écrire une fraction sous la forme irréductible, on décompose son numérateur et son dénominateur en produit de facteurs premiers, et on simplifie.
Quand on ne peut plus simplifier, la fraction est irréductible.
Exemple :
où est une fraction irréductible car le seul diviseur commun à 12 et 259 est 1.
Vous avez assimilé le cours sur l’arithmétique en 3ème ?
Effectuez ce QCM sur l’arithmétique et la décomposition en facteurs premiers d’un entier afin d’évaluer vos acquis sur cette leçon de troisième.
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Un nombre premier est :
Exact
Inexact
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Question 2 sur 5
La décomposition en facteurs premiers de 72 est :
Exact
Inexact
-
Question 3 sur 5
et
.
Un multiple commun à A et B est :Exact
Inexact
-
Question 4 sur 5
La fraction irréductible égale à
est :
Exact
Inexact
-
Question 5 sur 5
Une fraction irréductible est :
Exact
Inexact
Un autre QCm sur le PGCD de deux nombres entiers.
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Question 1 sur 10
Le nombre 455 est
Exact
Inexact
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Question 2 sur 10
Le pgcd des nombres 36 et 45 est :
Exact
Inexact
-
Question 3 sur 10
Le nombre 6 est le pgcd des nombres
Exact
Inexact
-
Question 4 sur 10
Les nombres premiers entre eux sont
Exact
Inexact
-
Question 5 sur 10
Dans l’égalité euclidienne
, le reste est
Exact
Inexact
-
Question 6 sur 10
La fraction irréductible est
Exact
Inexact
-
Question 7 sur 10
On considère la fraction
.
Quelle est l’affirmation fausse ?
Exact
Inexact
-
Question 8 sur 10
Avec des dalles entières carrées de 40 cm de côté, on peut carreler une pièce qui mesure :
Exact
Inexact
-
Question 9 sur 10
En utilisant totalement 42 roses et 36 tulipes, quel est le nombre maximal de bouquets identiques que l’on peut former ?
Exact
Inexact
-
Question 10 sur 10
On considère les deux nombres 1 717 et 303.
Exact
Inexact
Un autre QCM à effectuer sur l’artithmétique
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Question 1 sur 10
235 est divisible par
Exact
Inexact
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Question 2 sur 10
15 est un
Exact
Inexact
-
Question 3 sur 10
81 possède exactement
Exact
Inexact
-
Question 4 sur 10
Les diviseurs en communs de 18 et 24 sont
Exact
Inexact
-
Question 5 sur 10
Le PGCD de 24 et 45 est :
Exact
Inexact
-
Question 6 sur 10
Le PGCD de 1 935 et 2 193 est :
Exact
Inexact
-
Question 7 sur 10
Deux nombres premiers entre eux sont deux nombres qui ont :
Exact
Inexact
-
Question 8 sur 10
La fraction irréductible égale à
est :
Exact
Inexact
-
Question 9 sur 10
Retrouver le couple de nombres premiers entre eux.
Exact
Inexact
-
Question 10 sur 10
Retrouver la fraction irréductible
Exact
Inexact
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