Arithmétique et nombres premiers : cours de maths en 3ème.

cours maths 3eme

Les mathématiques sont considérées comme la matière où les élèves rencontrent le plus de difficultés. Mathovore vous permet de travailler sur arithmétique et nombres premiers : cours de maths en 3ème. et réviser en ligne par le biais de milliers de ressources rédigées par une équipe d'enseignants volontaires de l'éducation nationale. Vous développerez vos connaissances autant dans le domaine de l'algébre qu'en géométrie. Les mêmes ressources que vous trouverez dans votre manuel scolaire avec des cours complets conformes aux programmes officiels de l'éducation nationale et des exercices corrigés poortant sur chaque chapitre du programme de votre niveau. Chaque document dispose, en bas de page, d'un lien vous permettant de l'exporter au format PDF. Oubliez les cours particuliers qui peuvent être très cher sur une année scolaire. Nos resssources, cours et exercices corrigés sur arithmétique et nombres premiers : cours de maths en 3ème. vous permettent de vous exercer en ligne afin de combler vos lacunes en maths et d'envisager une constante progression tout au long de l'année scolaire en développant de nouvelles compétences et en comblant les différentes lacunes que vous rencontrez sur les cours de maths en 3ème . De nombreuses ressources en ligne pour les élèves de primaire (CE2, CM1 et CM1), du collège (6ème, 5ème, 4ème et 3ème) et du lycée (2de, 1ère et terminale) ainsi que de nombreux sujets du brevet des collèges et du baccalauréat afin de vous préparer dans les meileurs conditions pour ces diplômes. Les membres du site ont accès gratuitement aux différents corrigés afin de pouvoir relever les différents erreurs commises sur arithmétique et nombres premiers : cours de maths en 3ème. et d'assimiler les différentes notions comme les définitions, les propriétés et les théorèmes.

Arithmétique et les nombres premiers dans un cours de maths en 3ème au cycle 4. Nous aborderons les notions de multiple et diviseur, les critères de divisibilités. Nous étudierons, également, les nombres premiers et le crible d’Erastostène puis la décomposition en facteurs premiers d’un nombre entier positif ainsi que les fractions irréductibles dans cette leçon en troisième.

I. La division euclidienne

1.Division euclidienne

Propriété :

On considère a et b deux nombres entiers positifs avec b non nul.

Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est trouver le couple unique d’entiers positifs q et r

vérifiant :

a=b\times  \,q+r avec r<b.

Exemple :

Prenons a=187 et b=13.

On pose la division euclidienne pour obtenir q et r.

Division euclidienne

donc 187=13\times  \,14+5 avec 5<13.

2. Multiples et diviseurs

Définition :
On considère a et b deux entiers positifs avec b non nul.
Si r=0 alors l’égalité précédente devient a=b\times  \,q.
On dit alors que a est un multiple de b et que b est un diviseur de a
ou encore que b divise a.

Exemple:

Prenons a=135 et b=15.

On a 135=15\times  \,9+0=15\times  \,9.

Donc 135 est un multiple de 15 et 15 est un diviseur de 135.

De même 135 est un multiple de 9 et 9 est un diviseur de 135.

Remarques :

  • Un nombre entier a un nombre fini de diviseurs mais un nombre infini de multiples;
  • Un nombre entier supérieur à 1 admet toujours au moins deux diviseurs qui sont 1 et lui-même.

3. Critères de divisibilité

Propriété :
  • Un nombre entier est divisible par 2 si le chiffre de ses unités est 0,2,4,6 ou 8.Dans ce cas, on dit qu’il est pair;
  •  Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3;
  •  Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre constitué de ses deux derniers chiffres (dizaine et unité) est divisible par 4;
  •  Un nombre entier est divisible par 5 si le chiffre de ses unités est 0 ou 5;
  •  Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

Exemple :

  •  915 n’est pas divisible par 2 car il ne se termine pas par 0,2,4,6 ou 8.
  • 915 est divisible par 3 car 9+1+5=15 et 15 est un multiple de 3. 915 n’est pas divisible par 4 car 15 n’est pas divisible par 4.D’ailleurs comme il n’est pas divisible par 2, il ne peut pas être divisible par 4.
  •  915 est divisible par 5 car il se termine par 5.
  •  915 n’est pas divisible par 9 car 9+1+5=15 et 15 n’est pas un multiple de 9.

II. Les nombres premiers

1.Définition

Définition :

Un nombre est dit premier, s’il admet exactement 2 diviseurs distincts (lui-même et l’unité). 1 n’est donc pas premier.

2. Le crible d’Eratosthène

n désigne sous le nom de crible d’Eratosthène (vers 276 av.J.-C – vers 194 av.J.-C), une méthode de recherche des nombres premiers plus petits qu’un entier naturel n donné.
Pour ceci, on écrit la liste de tous les nombres jusqu’à n.

  • On élimine 1.
  • Puis on fait de même avec 3.
  • On choisit alors le plus petit nombre non souligné et non éliminé ici 5, et on élimine tous ses multiples.
  • On réitère le procédé jusqu’à la partie entière de la racine de n.

Les nombres non éliminés sont les nombres premiers jusqu’à n.

Exemple :

crible-erastostene

Les nombres premiers inférieurs à 100 sont donc 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
 

3. Décomposition en facteurs premiers

Propriété :

Tout nombre entier n supérieur à 1 peut s’écrire sous la forme d’un produit de nombres premiers.Quand on écrit la décomposition sous la forme n=p_1^{a1}\times  \,p_2^{a_2}\times  \,...\times  \,p_k^{a_k}

avec p_1<p_2<...<p_k des nombres premiers.

Cette écriture est unique et est appelée décomposition en facteurs premiers de l’entier n.

Exemple :

On veut décomposer l’entier 3 626 en produit de facteurs premiers.

2 est un diviseur de 3 626 donc 3 626 = 2×1 813.On essaie maintenant de décomposer 1 813.

7 est un diviseur de 1 813 donc 3 626=2x7x259.On essaie maintenant de décomposer 259.

7 est un diviseur de 259 donc 3 626=2x7x7x37.On essaie maintenant de décomposer 37.

37 est un nombre premier donc la décomposition en facteurs premiers de 3 626 est 3626=2\times  \,7^2\times  \,37.

4. Fractions irréductibles

Définition :
Une fraction est dite irréductible quand ce n’est plus possible de la simplifier donc lorsque le seul diviseur en commun du numérateur et du dénominateur est 1.

Exemple :

\frac{14}{21} n’est pas une fraction irréductible car \frac{14}{21}=\frac{14:7}{21:7}=\frac{2}{3}.Par contre \frac{2}{3} est une fraction irréductible.

Remarque :

Pour écrire une fraction sous la forme irréductible, on décompose son numérateur et son dénominateur en produit de facteurs premiers, et on simplifie.

Quand on ne peut plus simplifier, la fraction est irréductible.

Exemple :

\frac{168}{3626}=\frac{2^3\times  \,3\times  \,7\,}{2\times  \,7^2\times  \,37}=\frac{2\times  \,2\times  \,2\times  \,3\times  \,7}{2\times  \,7\times  \,7\times  \,37}=\frac{2\times  \,2\times  \,3}{7\times  \,37}=\frac{12}{259}

où \frac{12}{259} est une fraction irréductible car le seul diviseur commun à 12 et 259 est 1.

Vous avez assimilé le cours sur l’arithmétique en 3ème ?

Effectuez ce QCM sur l’arithmétique et la décomposition en facteurs premiers d’un entier afin d’évaluer vos acquis sur cette leçon de troisième.

Arithmétique et facteurs premiers

 


Un autre QCm sur le PGCD de deux nombres entiers.
PGCD de deux entiers

Un QCM sur le PGCD de deux entiers


Un autre QCM à effectuer sur l’artithmétique
Arithmétique et PGCD

 

4.1/5 - (11 votes)

Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «arithmétique et nombres premiers : cours de maths en 3ème.» au format PDF.




Télécharger nos applications gratuites avec tous les cours,exercices corrigés.

Application Mathovore sur Google Play Store. Application Mathovore sur Apple Store.

D'autres fiches similaires à arithmétique et nombres premiers : cours de maths en 3ème..

Mathovore vous permet de réviser en ligne et de progresser en mathématiques tout au long de l'année scolaire.
De nombreuses ressources destinées aux élèves désireux de combler leurs lacunes en maths et d'envisager une progression constante. Tous les cours en primaire, au collège, au lycée mais également, en maths supérieures et spéciales ainsi qu'en licence sont disponibles sur notre sites web de mathématiques.
Des documents similaires à arithmétique et nombres premiers : cours de maths en 3ème. à télécharger ou à imprimer gratuitement en PDF avec tous les cours de maths du collège au lycée et post bac rédigés par des enseignants de l'éducation nationale.
Vérifiez si vous avez acquis le contenu des différentes leçons (définition, propriétés, téhorèmpe) en vous exerçant sur des milliers d'exercices de maths disponibles sur Mathovore et chacun de ces exercices dispose de son corrigé.
En complément des cours et exercices sur le thème arithmétique et nombres premiers : cours de maths en 3ème., les élèves de troisième pourront réviser le brevet de maths en ligne ainsi que pour les élèves de terminale pourront s'exercer sur les sujets corrigé du baccalauréat de maths en ligne.
  • 60
    Calcul littéral : correction des exercices en troisième Développer avec les identités remarquables, exercices corrigés de mathématiques en troisième (3ème) sur les identités remarquables. Exercice: Développer en utilisant les identités remarquable : Exercice : On considère les expressions E = x² − 5x + 5 et F = (2x − 7)(x − 2) − (x − 3)² .…
  • 58
    Les équations et inéquations : correction des exercices en troisième Résoudre des équations du premier degré à une inconnue.Exercices corrigés de mathématiques en troisième (3ème). Exercice : Exercice : Déterminer trois nombres entier positifs consécutifs dont la somme des carrés est égale à 1 325.     Pour la facilité des calculs on choisira les nombres consécutifs suivants : n-1…
  • 54
    Problèmes de maths et calculs à résoudre à imprimer en PDF.La série des problèmes ouverts de maths afin de réfléchir sur des exercices complexes avec un travail individuel ou en groupe.Ces exercices développe l'esprit d'initiative et le raisonnement scientifique pour les élèves du collège et du lycée. Une série de problèmes ouverts afin de développer la prise d'initiative et le…
  • 50
    Arithmétique : exercices de maths en terminale spécialité corrigés en PDF. Des exercices d'arithmétiques en terminale S pour les élèves suivants l'enseignement de spécialité. Vous trouverez les différentes propriétés du cours à appliquer ainsi que le théorème de Gauss et le théorème de Bézout. Exercice 1 - Arithmétique en terminale 1-Etablir que pour tout 2-Montrer que pour tout  Exercice 2 -…


Retrouvez nos cours de maths et exercices corrigés sur notre chaîne YouTube.

Inscription gratuite à Mathovore.  Mathovore c'est 2 498 999 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 184 754 membres.
Rejoignez-nous : inscription gratuite.