Notion de fonction : cours de maths en 3ème en PDF.
Mis à jour le 14 avril 2025
I. Notion de fonction : première approche.
1.Activité d’introduction :
On considère le rectangle MNOP, la longueur x, exprimée en cm, désigne un nombre compris entre 4 et 10.
1. Calculer l’aire du rectangle pour x=4.
L’aire du rectangle est 
.
On met en place un procédé mathématiques qui à tout nombre x associe l’aire du rectangle MNOP.
On considère l’aire du rectangle MNOP que l’on note f(x) .
2. Exprimer f(x) à l’aide de la variable x.
3. Calculer f(5) qui est l’image de 5 par la fonction f.
4. Calculer l’image de 4 par la fonction f, c’est-à-dire f(4).
5. Interpréter ce résultat.
Lorsque la longueur x vaut 4 cm, l’aire du rectangle MNOP vaut .
Remarque :
le rectangle MNOP est réduit au segment [MN].
6. compléter le tableau de valeurs suivant :
| x | 4 | 5 | 6 | 7,5 | 8,5 | 9 |
| f(x) | 0 | 5 | 8 | 8,75 | 6,75 | 5 |
7. Dans le tableau précédent, on lit f(6)=8.
6 étant un antécédent de 8 par la fonction f.
a. Donner un antécédent de 6,75.
Un antécédent de 6,75 par la fonction f est x = 8,5 cm.
b. Déterminer, d’après le tableau ci-dessus, deux antécédents du nombre 5.
Deux antécédents de 5 par la fonction f sont x = 5 cm et x = 9 cm.
c. Pour quelles valeurs de x l’aire du rectangle MNOP vaut-elle 5 ?
D’après la question 3.b., l’aire du rectangle MNOP vaut 5 cm² lorsque x vaut 5 cm ou x vaut 9 cm.
II .Vocabulaire et notations sur la notion de fonction :
1. Définition d’une fonction :
- Une fonction f est un processus mathématiques qui à tout nombre x associe un unique nombre, noté f(x).
- Le nombre f(x) est appelé l’image du nombre x par la fonction f.
- Le nombre x est appelé l’antécédent du nombre f(x) par la fonction f.
2. Notations d’une fonction numérique :
Il existe deux façons de noter une fonction :
– Soit f la fonction définie par f(x)= 3x+7 .
– ou se lit la fonction f qui à tout nombre x associe le nombre 3x+7.
Exemple :
Considérons le programme de calcul suivant :
– choisir un nombre x
– Multiplier le résultat par 2
– Ajouter 5
Soit la fonction f qui au nombre x choisi au départ associe le nombre f(x) obtenu à la fin du programme de calcul.
Nous obtenons la fonction f définie par f(x)= 2x+5 .
Calculons l’image de – 3 par cette fonction f :
– 3 est donc un antécédent donc une valeur de x.
Remplaçons x par – 3 dans l’expression de f pour calculer cette image.
donc l’image de – 3 par cette fonction f est – 1 et réciproquement, – 3 est un antécédent de – 1 par cette fonction f.
Calculons un antécédent de 7 par cette fonction f :
7 est donc une image, on cherche un antécédent de 7, c’est à dire que l’on cherche un nombre x tel que f(x)= 7.
Nous sommes amenés à résoudre l’équation suivante :
donc un antécédent de 7 par la fonction f est 1.
Nous pouvons le vérifier en calculant l’image de 1, on doit retrouver 7.
III. Courbe représentative d’une fonction :
1. Définition de la courbe d’une fonction :
Soit f une fonction telle que .
Soit a un nombre relatif et f(a) son image par la fonction f.
Dans un repère orthonormé, on considère les points M de coordonnées M (a;f(a)) .
L’ensemble de ces points constitue la représentation graphique ( ou courbe représentative) de la fonction f dans ce repère.
Exemple :
Reprenons l’activité du début du cours et la fonction f qui a la longueur x associe l’aire du rectangle MNOP.
Nous avions obtenu l’expression de la fonction f qui est .
2. Tableau de valeurs :
A l’aide d’un tableur, complétons le tableau de valeurs suivant afin de tracer la courbe représentative de cette fonction f.
Voici ce que donne la courbe de la fonction f :
A l’aide du logiciel de géométrie dynamique GEOGEBRA, nous pouvons créer le rectangle MNOP et faire varier la valeur de x entre 4 et 10 et faire afficher dans une seconde fenêtre la courbe de la fonction f, voilà ce que cela donne :
3. Déterminer graphiquement une image ou un antécédent
a. Déterminer une image à l’aide de la courbe de la fonction f
Déterminer l’image de 6 par la fonction f.
L’image de 6 par la fonction f est 8 ce qui équivaut à écrire f(6)=8.
En pratique, cela signifie que lorsque x vaut 6 cm alors l’aire du rectangle MNOP est de 8 cm².
b. Déterminer un antécédent à l’aide de la courbe de la fonction f
Déterminer le(s) antécédent(s) de 5 par la fonction f.
Il existent deux antécédents de 5 par la fonction f qui sont 5 et 9 ce qui équivaut à écrire que f(5)=5 et que f(9)=5.
En pratique cela signifie que l’aire du rectangle vaut 5 cm² lorsque x vaut 5 cm ou lorsque x vaut 9 cm.
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