Notion de fonction : cours de maths en 3ème

I. Notion de fonction : première approche.

1.Activité d’introduction :

On considère le rectangle MNOP, la longueur x, exprimée en cm, désigne un nombre compris entre 4 et 10.

1. Calculer l’aire du rectangle pour x=4.
L’aire du rectangle est .

On met en place un procédé mathématiques qui à tout nombre x associe l’aire du rectangle MNOP.

On considère l’aire du rectangle MNOP que l’on note f(x) .

2. Exprimer f(x) à l’aide de la variable x.

3. Calculer f(5) qui est l’image de 5 par la fonction f.

4. Calculer l’image de 4 par la fonction f, c’est-à-dire f(4).

5. Interpréter ce résultat.

Lorsque la longueur x vaut 4 cm, l’aire du rectangle MNOP vaut .

Remarque :

le rectangle MNOP est réduit au segment [MN].

6. compléter le tableau de valeurs suivant :

x	4	5	6	7,5	8,5	9
f(x)	0	5	8	8,75	6,75	5

7. Dans le tableau précédent, on lit f(6)=8.

6 étant un antécédent de 8 par la fonction f.

a. Donner un antécédent de 6,75.

Un antécédent de 6,75 par la fonction f est x = 8,5 cm.

b. Déterminer, d’après le tableau ci-dessus, deux  antécédents du nombre 5.

Deux antécédents de 5 par la fonction f sont x = 5 cm et x = 9 cm.

c. Pour quelles valeurs de x l’aire du rectangle MNOP vaut-elle 5 ?

D’après la question 3.b., l’aire du rectangle MNOP vaut 5 cm² lorsque x vaut 5 cm ou x vaut 9 cm.

II .Vocabulaire et notations sur la notion de fonction :

1. Définition d’une fonction :

2. Notations d’une fonction numérique :

Exemple :

Considérons le programme de calcul suivant :

– choisir un nombre x

– Multiplier le résultat par 2

– Ajouter 5

Soit la fonction f qui au nombre x choisi au départ associe le nombre f(x) obtenu à la fin du programme de calcul.

Nous obtenons la fonction f définie par f(x)= 2x+5 .

Calculons l’image de  – 3 par cette fonction  f :

– 3 est donc un antécédent donc une valeur de x.

Remplaçons x par – 3 dans l’expression de f pour calculer cette image.

donc l’image de – 3 par cette fonction f est – 1 et réciproquement, – 3 est un antécédent de – 1 par cette fonction f.

Calculons un antécédent de 7 par cette fonction f :

7 est donc une image, on cherche un antécédent de 7, c’est à dire que l’on cherche un nombre x tel que f(x)= 7.

Nous sommes amenés à résoudre l’équation suivante :

donc un antécédent de 7 par la fonction f est 1.

Nous pouvons le vérifier en calculant l’image de 1, on doit retrouver 7.

III. Courbe représentative d’une fonction :

1. Définition  de la courbe d’une fonction :

Exemple :

Reprenons l’activité du début du cours et la fonction f qui a la longueur x associe l’aire du rectangle MNOP.

Nous avions obtenu l’expression de la fonction f qui est  .

2. Tableau de valeurs :

A l’aide d’un tableur, complétons le tableau de valeurs suivant afin de tracer la courbe représentative de cette fonction f.

Voici ce que donne la courbe de la fonction f :

A l’aide du logiciel de géométrie dynamique GEOGEBRA, nous pouvons créer le rectangle MNOP et faire varier la valeur de x entre 4 et 10 et faire afficher dans une seconde fenêtre la courbe de la fonction f, voilà ce que cela donne :

 3. Déterminer graphiquement une image ou un antécédent

a. Déterminer une image à l’aide de la courbe de la fonction f

Déterminer l’image de 6 par la fonction f.

L’image de 6 par la fonction f est 8 ce qui équivaut à écrire f(6)=8.

En pratique, cela signifie que lorsque x vaut 6 cm alors l’aire du rectangle MNOP est de 8 cm².

b. Déterminer un antécédent à l’aide de la courbe de la fonction f

Déterminer le(s) antécédent(s) de 5 par la fonction f.

Il existent deux antécédents de 5 par la fonction f qui sont 5 et 9 ce qui équivaut à écrire que f(5)=5 et que f(9)=5.

En pratique cela signifie que l’aire du rectangle vaut 5 cm² lorsque x vaut 5 cm ou lorsque x vaut 9 cm.

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