Puis ce bac blanc de maths 2024 n° 2 est un sujet d’entraînement conçu sur le modèle de l’épreuve de spécialité mathématiques de terminale. Par ailleurs, il réunit huit exercices qui balaient presque tout le programme. Ensuite, on y résout une équation différentielle du premier ordre avant d’identifier une courbe par lecture graphique, puis on étudie une suite d’intégrales par intégration par parties et par encadrement. Ainsi, de plus, un long exercice de probabilités mobilise l’arbre pondéré, l’espérance, la variance, la loi binomiale et l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Ensuite, deux QCM portent sur la géométrie dans l’espace (prisme droit, vecteur normal, base de l’espace) et sur la trigonométrie, la convexité et le dénombrement.
Ainsi, les trois derniers exercices, de type vrai/faux, traitent de suites récurrentes démontrées par récurrence, d’une famille de fonctions exponentielles et d’un programme Python.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Bac de maths 2024: sujet et corrigé blanc n° 2 en PDF. : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Bac blanc 2 : présentation de la correction
D’abord, précisons que ce bac blanc 2 concerne le bac blanc de mathématiques 2024, avec une rédaction complète des réponses. Ainsi, vous trouverez 8 exercices indépendants. De plus, on y mobilise surtout les équations différentielles, le calcul intégral, l’intégration par parties et les probabilités conditionnelles. Ainsi, chaque étape de calcul reste visible, ce qui permet de repérer précisément l’endroit où un raisonnement a dévié.
Corrigé du sujet
Exercice 1 : la solution du bac blanc 2
Équation différentielle et fonctions exponentielles
Partie I
On étudie l’équation différentielle \((E) : y^{\prime} + y = \mathrm{e}^{-x}\).
1. On vérifie que \(u(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}\) est solution de \((E)\).
La fonction \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) comme produit de fonctions dérivables, et :
\[u^{\prime}(x) = 1\times \mathrm{e}^{-x} + x\times (-\mathrm{e}^{-x}) = \mathrm{e}^{-x} – x\,\mathrm{e}^{-x}.\]
Donc \(u^{\prime}(x) + u(x) = \mathrm{e}^{-x} – x\,\mathrm{e}^{-x} + x\,\mathrm{e}^{-x} = \mathrm{e}^{-x}\). La fonction \(u\) est bien une solution de \((E)\).
2. On résout l’équation homogène \((E^{\prime}) : y^{\prime} + y = 0\), c’est-à-dire \(y^{\prime} = -y\).
Les solutions de \(y^{\prime} = ay\) sont les fonctions \(x \mapsto k\,\mathrm{e}^{ax}\) avec \(k \in \mathbb{R}\). Ici \(a = -1\), donc les solutions de \((E^{\prime})\) sont les fonctions \(x \mapsto k\,\mathrm{e}^{-x}\), \(k \in \mathbb{R}\).
3. Les solutions de \((E)\) s’obtiennent en ajoutant une solution particulière de \((E)\) (ici \(u\)) à la solution générale de l’équation homogène \((E^{\prime})\). Les solutions de \((E)\) sont donc les fonctions \(x \mapsto k\,\mathrm{e}^{-x} + x\,\mathrm{e}^{-x} = (x+k)\,\mathrm{e}^{-x}\), avec \(k \in \mathbb{R}\).
4. On cherche la solution \(g\) de \((E)\) telle que \(g(0) = 2\). Par ailleurs, on a \(g(x) = (x+k)\,\mathrm{e}^{-x}\), donc \(g(0) = k\,\mathrm{e}^{0} = k\). Puis la condition \(g(0) = 2\) donne \(k = 2\) :
\[\boxed{g(x) = (x+2)\,\mathrm{e}^{-x}.}\]
Partie II
On considère \(f_k(x) = (x+k)\,\mathrm{e}^{-x}\) (où \(k\) est un réel inconnu) et \(h(x) = \mathrm{e}^{-x}\). Ensuite, le graphique donné représente les deux courbes \(\mathcal{C}_k\) et \(\mathcal{C}\), sans unités ni nom de courbe.
1. Il s’agit de reconnaître la courbe de \(h\). Puis on a \(h^{\prime}(x) = -\mathrm{e}^{-x}\) et \(\mathrm{e}^{-x} \gt 0\) pour tout réel \(x\), donc \(h^{\prime}(x) \lt 0\) : \(h\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\). Or la courbe en pointillés monte puis descend : elle ne peut pas représenter \(h\). La courbe de \(h\) est donc celle en trait plein.
2. Il faut retrouver l’unité sur chaque axe et la valeur de \(k\).
- La courbe de \(h\) coupe l’axe des ordonnées au point A d’ordonnée \(h(0) = \mathrm{e}^{0} = 1\) : le point A donne l’unité sur l’axe des ordonnées.
- La courbe en pointillés coupe l’axe des ordonnées en B, dont l’ordonnée semble valoir le double de celle de A, soit 2. Donc \(f_k(0) = 2\). Or \(f_k(0) = (0+k)\,\mathrm{e}^{0} = k\), d’où \(k = 2\) : la courbe en pointillés représente \(f_2(x) = (x+2)\,\mathrm{e}^{-x}\) (c’est la fonction \(g\) de la partie I).
- Les deux courbes se coupent en C, dont l’abscisse est la solution de \(f_2(x) = h(x)\) :
\[(x+2)\,\mathrm{e}^{-x} = \mathrm{e}^{-x} \iff x + 2 = 1 \iff x = -1,\]
en divisant par \(\mathrm{e}^{-x}\), qui n’est jamais nul. Le projeté orthogonal H de C sur l’axe des abscisses a donc pour coordonnées \((-1\,;\,0)\) : le symétrique I de H par rapport à O, de coordonnées \((1\,;\,0)\), donne l’unité sur l’axe des abscisses.
Remarque : la valeur de \(k\) repose sur une lecture graphique (B semble à une hauteur double de celle de A). De plus, on peut la contrôler avec C : son ordonnée vaut \(h(-1) = \mathrm{e} \approx 2{,}72\), ce qui est cohérent avec la figure.
Exercice 2 :
Suite d’intégrales
Partie I
Pour tout entier \(n \geq\, 1\), on pose \(f_n(x) = x^n\,\mathrm{e}^{x}\) sur \([0\,;\,1]\), on note \(\mathcal{C}_n\) sa courbe et \(I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x\).
1. a. On montre que \(F_1(x) = (x-1)\,\mathrm{e}^{x}\) est une primitive de \(f_1\). Ensuite, en dérivant le produit :
\[F_1^{\prime}(x) = 1\times \mathrm{e}^{x} + (x-1)\,\mathrm{e}^{x} = x\,\mathrm{e}^{x} = f_1(x).\]
Donc \(F_1\) est une primitive de \(f_1\) sur \([0\,;\,1]\).
b. On en déduit :
\[I_1 = \int_0^1 x\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x = F_1(1) – F_1(0) = 0\times \mathrm{e} – (-1)\times \mathrm{e}^{0} = \mathbf{1}.\]
2. On établit la relation \(I_{n+1} = \mathrm{e} – (n+1)\,I_n\) par une intégration par parties.
On pose \(u(x) = x^{n+1}\) et \(v^{\prime}(x) = \mathrm{e}^{x}\), donc \(u^{\prime}(x) = (n+1)\,x^n\) et \(v(x) = \mathrm{e}^{x}\). Par ailleurs, les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables à dérivées continues sur \([0\,;\,1]\), donc :
\[I_{n+1} = \int_0^1 x^{n+1}\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x = \Big[x^{n+1}\,\mathrm{e}^{x}\Big]_0^1 – \int_0^1 (n+1)\,x^n\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x = (\mathrm{e} – 0) – (n+1)\int_0^1 x^n\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x.\]
Ainsi, pour tout \(n \geq\, 1\), \(I_{n+1} = \mathrm{e} – (n+1)\,I_n\).
3. Avec \(n = 1\) : \(I_2 = \mathrm{e} – 2\,I_1 = \mathbf{\mathrm{e} – 2} \approx 0{,}718\).
4. On étudie la fonction Python suivante :
def mystere(n):
a = 1
L = [a]
for i in range(1,n):
a = e - (i + 1)*a
L.append(a)
return L
Au départ, \(a = 1 = I_1\) et la liste contient \(I_1\). À chaque tour de boucle, pour \(i\) allant de 1 à \(n-1\), l’instruction a = e - (i + 1)*a applique la relation \(I_{i+1} = \mathrm{e} – (i+1)\,I_i\) et ajoute \(I_{i+1}\) à la liste. Puis pour \(n = 5\), la boucle tourne pour \(i = 1, 2, 3, 4\). L’appel mystere(5) renvoie donc la liste \([I_1\,;\,I_2\,;\,I_3\,;\,I_4\,;\,I_5]\), c’est-à-dire environ \([1\,;\,0{,}718\,;\,0{,}563\,;\,0{,}465\,;\,0{,}396]\).
Partie II
1. On observe les courbes \(\mathcal{C}_1\), \(\mathcal{C}_2\), \(\mathcal{C}_3\), \(\mathcal{C}_{10}\), \(\mathcal{C}_{20}\) et \(\mathcal{C}_{30}\).
a. Sur \([0\,;\,1]\), \(x^n \geq\, 0\) et \(\mathrm{e}^{x} \gt 0\), donc \(f_n\) est positive et continue. \(I_n\) est l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe \(\mathcal{C}_n\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 1\).
b. Plus \(n\) est grand, plus la courbe \(\mathcal{C}_n\) « colle » à l’axe des abscisses sauf tout près de \(x = 1\) : l’aire sous la courbe semble se réduire. On conjecture que la suite \((I_n)\) converge vers 0.
2. On démontre que \(0 \leq\, I_n \leq\, \mathrm{e}\displaystyle\int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x\).
- Sur \([0\,;\,1]\), \(x^n\,\mathrm{e}^{x} \geq\, 0\) ; comme \(0 \lt 1\), la positivité de l’intégrale donne \(I_n \geq\, 0\).
- La fonction exponentielle est croissante, donc pour \(0 \leq\, x \leq\, 1\), \(\mathrm{e}^{x} \leq\, \mathrm{e}^{1} = \mathrm{e}\). En multipliant par \(x^n \geq\, 0\) : \(x^n\,\mathrm{e}^{x} \leq\, \mathrm{e}\,x^n\). Par croissance de l’intégrale (bornes dans l’ordre croissant) :
\[I_n \leq\, \int_0^1 \mathrm{e}\,x^n\,\mathrm{d}x = \mathrm{e}\int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x.\]
On a donc \(0 \leq\, I_n \leq\, \mathrm{e}\displaystyle\int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x\).
3. On calcule \(\displaystyle\int_0^1 x^n\,\mathrm{d}x = [\frac{x^{n+1}}{n+1}]_0^1 = \frac{1}{n+1}\). Ensuite, L’encadrement devient :
\[0 \leq\, I_n \leq\, \frac{\mathrm{e}}{n+1}.\]
Comme \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{\mathrm{e}}{n+1} = 0\), le théorème des gendarmes permet de conclure : la suite \((I_n)\) converge et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} I_n = 0\), ce qui confirme la conjecture.
Exercice 3 :
Probabilités : arbre, variables aléatoires, loi binomiale, Bienaymé-Tchebychev
Un examen noté sur 10 comporte un premier exercice sur 2 points (deux questions Q1 et Q2) et un second sur 8 points.
Partie I
Un candidat réussit Q1 avec une probabilité de 0,8 ; s’il a réussi Q1, il réussit Q2 avec une probabilité de 0,6, sinon avec une probabilité de 0,1. Puis on note \(A\) : « le candidat réussit Q1 » et \(B\) : « le candidat réussit Q2 ».
1. L’arbre pondéré complété est le suivant.
2. Probabilité de réussir les deux questions :
\[P(A \cap B) = P(A)\times P_A(B) = 0{,}8 \times 0{,}6 = \mathbf{0{,}48}.\]
3. Probabilité de réussir Q2. De plus, les événements \(A\) et \(\overline{A}\) forment une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales :
\[P(B) = P(A\cap B) + P(\overline{A}\cap B) = 0{,}48 + 0{,}2 \times 0{,}1 = 0{,}48 + 0{,}02 = \mathbf{0{,}5}.\]
On note \(X_1\) et \(X_2\) les notes obtenues aux questions Q1 et Q2, et \(X = X_1 + X_2\) la note à l’exercice.
4. Lois de \(X_1\) et \(X_2\) et espérance de \(X\).
| \(x_i\) | 0 | 1 |
|---|---|---|
| \(P(X_1 = x_i)\) | 0,2 | 0,8 |
Donc \(E(X_1) = 0\times 0{,}2 + 1\times 0{,}8 = 0{,}8\).
| \(x_i\) | 0 | 1 |
|---|---|---|
| \(P(X_2 = x_i)\) | 0,5 | 0,5 |
Donc \(E(X_2) = 0\times 0{,}5 + 1\times 0{,}5 = 0{,}5\).
Par linéarité de l’espérance, \(E(X) = E(X_1) + E(X_2) = 0{,}8 + 0{,}5 = \mathbf{1{,}3}\). En moyenne, un candidat obtient 1,3 point sur 2 à ce premier exercice.
Exercice 3 du bac blanc 2, partie I : question 5
5. a. Loi de \(X\), qui prend les valeurs 0, 1 et 2 :
- \(P(X = 0) = P(\overline{A}\cap\overline{B}) = 0{,}2 \times 0{,}9 = 0{,}18\) ;
- \(P(X = 2) = P(A \cap B) = 0{,}48\) ;
- \(P(X = 1) = 1 – (0{,}18 + 0{,}48) = 0{,}34\).
| \(x_i\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| \(P(X = x_i)\) | 0,18 | 0,34 | 0,48 |
b. D’après la formule de König-Huygens, \(V(X) = E(X^2) – \big(E(X)\big)^2\), avec :
\[E(X^2) = 0^2\times 0{,}18 + 1^2\times 0{,}34 + 2^2\times 0{,}48 = 0{,}34 + 1{,}92 = 2{,}26.\]
Donc \(V(X) = 2{,}26 – 1{,}3^2 = 2{,}26 – 1{,}69 = \mathbf{0{,}57}\).
c. On compare \(V(X)\) et \(V(X_1) + V(X_2)\). Comme \(X_1\) et \(X_2\) ne prennent que les valeurs 0 et 1, \(X_1^2 = X_1\) et \(X_2^2 = X_2\) :
\[V(X_1) = 0{,}8 – 0{,}8^2 = 0{,}16 \qquad V(X_2) = 0{,}5 – 0{,}5^2 = 0{,}25.\]
Ainsi \(V(X_1) + V(X_2) = 0{,}41\) alors que \(V(X) = 0{,}57\) : \(V(X) \neq V(X_1) + V(X_2)\). Ensuite, ce n’est pas surprenant : l’additivité de la variance n’est garantie que pour des variables indépendantes, et ici \(X_1\) et \(X_2\) ne le sont pas (\(P_A(B) = 0{,}6\) alors que \(P(B) = 0{,}5\)).
Partie II
Le second exercice compte huit questions indépendantes, chacune notée sur 1 point, et le candidat répond juste à chacune avec une probabilité \(\frac{3}{4}\). Par ailleurs, on note \(Y\) le nombre de bonnes réponses, c’est-à-dire la note sur 8.
1. On répète 8 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont le succès (« bonne réponse ») a pour probabilité \(\frac{3}{4}\). \(Y\) compte le nombre de succès : \(Y\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(8\,;\,\frac{3}{4})\).
2. Probabilité d’obtenir la note maximale :
\[P(Y = 8) = \binom\,{8}{8}(\frac{3}{4})^8(\frac{1}{4})^0 = (\frac{3}{4})^8 = \frac{6561}{65536} \approx \mathbf{0{,}100}.\]
3. Espérance et variance de \(Y\) :
\[E(Y) = np = 8\times \frac{3}{4} = \mathbf{6} \qquad V(Y) = np(1-p) = 8\times \frac{3}{4}\times \frac{1}{4} = \frac{3}{2} = \mathbf{1{,}5}.\]
Partie III
On suppose \(X\) et \(Y\) indépendantes et on note \(Z = X + Y\) la note totale sur 10.
1. Par linéarité, \(E(Z) = E(X) + E(Y) = 1{,}3 + 6 = \mathbf{7{,}3}\). Comme \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, \(V(Z) = V(X) + V(Y) = 0{,}57 + 1{,}5 = \mathbf{2{,}07}\).
2. On prélève un échantillon de \(n\) candidats ; les notes \(Z_1, \ldots, Z_n\) sont indépendantes et de même loi que \(Z\), et \(M_n = \dfrac{Z_1 + \cdots + Z_n}{n}\) est leur moyenne.
a. Par linéarité de l’espérance :
\[E(M_n) = \frac{E(Z_1) + \cdots + E(Z_n)}{n} = \frac{n\times 7{,}3}{n} = \mathbf{7{,}3}.\]
b. On cherche les valeurs de \(n\) pour lesquelles l’écart type de \(M_n\) est inférieur ou égal à 0,5. Puis les \(Z_i\) étant indépendantes :
\[V(M_n) = \frac{1}{n^2}\big(V(Z_1) + \cdots + V(Z_n)\big) = \frac{n\times 2{,}07}{n^2} = \frac{2{,}07}{n}, \qquad \sigma(M_n) = \sqrt{\frac{2{,}07}{n}}.\]
Les deux membres étant positifs :
\[\sqrt{\frac{2{,}07}{n}} \leq\, 0{,}5 \iff \frac{2{,}07}{n} \leq\, 0{,}25 \iff n \geq\, \frac{2{,}07}{0{,}25} = 8{,}28.\]
L’écart type de \(M_n\) est inférieur ou égal à 0,5 dès que \(n \geq\, 9\).
c. On montre que, pour ces valeurs de \(n\), \(P(6{,}3 \leq\, M_n \leq\, 8{,}3) \geq\, 0{,}75\).
Comme \(E(M_n) = 7{,}3\), l’événement \(6{,}3 \leq\, M_n \leq\, 8{,}3\) s’écrit \(|M_n – 7{,}3| \leq\, 1\). Son contraire est \(|M_n – 7{,}3| \gt 1\), qui est inclus dans \(|M_n – 7{,}3| \geq\, 1\). D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée avec \(\delta = 1\) :
\[P\big(|M_n – 7{,}3| \gt 1\big) \leq\, P\big(|M_n – E(M_n)| \geq\, 1\big) \leq\, \frac{V(M_n)}{1^2} = \frac{2{,}07}{n}.\]
Pour \(n \geq\, 9\), \(\dfrac{2{,}07}{n} \leq\, \dfrac{2{,}07}{9} = 0{,}23\). Donc :
\[P(6{,}3 \leq\, M_n \leq\, 8{,}3) = 1 – P\big(|M_n – 7{,}3| \gt 1\big) \geq\, 1 – 0{,}23 = 0{,}77.\]
Pour \(n \geq\, 9\), on a bien \(P(6{,}3 \leq\, M_n \leq\, 8{,}3) \geq\, 0{,}77 \geq\, 0{,}75\).
Exercice 4 :
QCM de géométrie dans l’espace
ABFEDCGH est un prisme droit avec AB = AD ; sa base ABFE est un trapèze rectangle en A tel que \(\vec{BF} = \frac{1}{2}\vec{AE}\). I est le milieu de [EF], J celui de [AE], et on travaille dans le repère orthonormé \((\mathrm{A}\,;\,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})\) avec \(\vec{\imath} = \vec{AB}\), \(\vec{\jmath} = \vec{AD}\), \(\vec{k} = \vec{AJ}\).
Dans ce repère : A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), C(1 ; 1 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 2), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1), H(0 ; 1 ; 2), J(0 ; 0 ; 1).
1. Quel vecteur est normal au plan (ABG) ? Propositions : a. \((1\,;\,1\,;\,1)\) ; b. \((-1\,;\,1\,;\,1)\) ; c. \((0\,;\,-1\,;\,1)\) ; d. \((0\,;\,0\,;\,1)\).
Le plan (ABG) est dirigé par \(\vec{AB}(1\,;\,0\,;\,0)\) et \(\vec{BG}(0\,;\,1\,;\,1)\), qui ne sont pas colinéaires (\(\vec{BG} = \vec{BC} + \vec{CG} = \vec{\jmath} + \vec{k}\)). Ensuite, pour \(\vec{n}(0\,;\,-1\,;\,1)\) :
\[\vec{n}\cdot\vec{AB} = 0\times 1 + (-1)\times 0 + 1\times 0 = 0 \qquad \vec{n}\cdot\vec{BG} = 0\times 0 + (-1)\times 1 + 1\times 1 = 0.\]
Ce vecteur est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan. Puis les autres ne conviennent pas : a et b ont un produit scalaire non nul avec \(\vec{AB}\) ou \(\vec{BG}\), d donne \(\vec{n}\cdot\vec{BG} = 1\). Réponse c.
Exercice 4 du bac blanc 2 : questions 2 à 4
2. Quelle droite est parallèle à (IJ) ? Propositions : a. (DG) ; b. (BD) ; c. (AG) ; d. (FG).
Dans le triangle AEF, J est le milieu de [AE] et I celui de [EF] : d’après le théorème des milieux, (IJ) est parallèle à (AF). De plus \(\vec{AF}(1\,;\,0\,;\,1)\) et \(\vec{DG}(1\,;\,0\,;\,1)\) sont égaux, donc (AF) et (DG) sont parallèles. Réponse a : (IJ) est parallèle à (DG).
3. Quels vecteurs forment une base de l’espace ? Propositions : a. \((\vec{AB}\,;\,\vec{CG})\) ; b. \((\vec{AB}\,;\,\vec{AC}\,;\,\vec{AD})\) ; c. \((\vec{DA}\,;\,\vec{DC}\,;\,\vec{DG})\) ; d. \((\vec{CA}\,;\,\vec{CG}\,;\,\vec{CE})\).
Une base de l’espace est formée de trois vecteurs non coplanaires.
- a ne contient que deux vecteurs : ce n’est pas une base de l’espace.
- b : \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\), les trois vecteurs sont coplanaires.
- d : \(\vec{CE} = \vec{CA} + \vec{AE} = \vec{CA} + 2\,\vec{CG}\), les trois vecteurs sont coplanaires.
- c : \(\vec{DA}(0\,;\,-1\,;\,0)\), \(\vec{DC}(1\,;\,0\,;\,0)\) et \(\vec{DG}(1\,;\,0\,;\,1)\). Si \(a\vec{DA} + b\vec{DC} + c\vec{DG} = \vec{0}\), la troisième coordonnée donne \(c = 0\), puis \(a = b = 0\) : les vecteurs ne sont pas coplanaires.
Réponse c.
4. Quelle décomposition de \(\vec{AG}\) utilise des vecteurs deux à deux orthogonaux ? Propositions : a. \(\vec{AB} + \vec{HG}\) ; b. \(\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AJ}\) ; c. \(\vec{AB} + \vec{BJ} + \vec{JG}\) ; d. \(\vec{AD} + \vec{DH} + \vec{HG}\).
Exercice 4 du bac blanc 2 : question 5
La proposition a est fausse : \(\vec{AB} + \vec{HG} = \vec{\imath} + (\vec{\imath} – \vec{k})\) n’est pas \(\vec{AG}(1\,;\,1\,;\,1)\). De plus, pour b, \(\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AJ} = \vec{\imath} + \vec{\jmath} + \vec{k}\) a bien pour coordonnées \((1\,;\,1\,;\,1)\), et ces trois vecteurs sont deux à deux orthogonaux puisqu’ils forment la base orthonormée du repère. Ensuite, en c, \(\vec{AB}\cdot\vec{BJ} = 1\times (-1) = -1 \neq 0\) ; en d, \(\vec{DH}(0\,;\,0\,;\,2)\) et \(\vec{HG}(1\,;\,0\,;\,-1)\) ne sont pas orthogonaux. Réponse b.
5. Volume du prisme ABFEDCGH. Propositions : a. \(\frac{5}{8}\) ; b. \(\frac{8}{5}\) ; c. \(\frac{3}{2}\) ; d. 2.
La base ABFE est un trapèze rectangle de bases AE = 2 et BF = 1 et de hauteur AB = 1 ; son aire vaut \(\dfrac{(2 + 1)\times 1}{2} = \dfrac{3}{2}\). Par ailleurs, la hauteur du prisme est AD = 1, donc \(\mathcal{V} = \dfrac{3}{2}\times 1 = \dfrac{3}{2}\).
On peut aussi le voir en découpant : si K est le milieu de [DH], le prisme se compose du cube ABCDJFGK de volume 1 surmonté du prisme JFGKHE, moitié d’un tel cube, soit \(1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\). Réponse c.
Exercice 5 :
QCM : trigonométrie, convexité, dénombrement
1. Nombre de solutions de \(\sin(x) = 0{,}1\) sur \([0\,;\,2\pi]\) : a. zéro ; b. une ; c. deux ; d. quatre.
La droite d’équation \(y = 0{,}1\) coupe la courbe du sinus en deux points sur \([0\,;\,2\pi]\) : une fois sur \([0\,;\,\frac{\pi}{2}]\) où le sinus croît de 0 à 1, une fois sur \([\frac{\pi}{2}\,;\,\pi]\) où il décroît de 1 à 0, et jamais sur \(]\pi\,;\,2\pi[\) où il est négatif. Puis les solutions sont \(\arcsin(0{,}1) \approx 0{,}100\) et \(\pi – \arcsin(0{,}1) \approx 3{,}041\). Réponse c.
2. Pour \(f(x) = x + \sin(x)\) sur \([0\,;\,\pi]\), on doit choisir entre : a. \(f\) convexe ; b. \(f\) concave ; c. un unique point d’inflexion ; d. exactement deux points d’inflexion.
On a \(f^{\prime}(x) = 1 + \cos(x)\) et \(f^{\prime\prime}(x) = -\sin(x)\). Sur \([0\,;\,\pi]\), \(\sin(x) \geq\, 0\), donc \(f^{\prime\prime}(x) \leq\, 0\) : \(f^{\prime\prime}\) ne change pas de signe, il n’y a pas de point d’inflexion et \(f\) est concave sur \([0\,;\,\pi]\). Réponse b.
3. On tire successivement et sans remise trois boules parmi 50 numérotées de 1 à 50, sans tenir compte de l’ordre. Nombre de tirages : a. \(50^3\) ; b. \(1\times 2\times 3\) ; c. \(50\times 49\times 48\) ; d. \(\dfrac{50\times 49\times 48}{1\times 2\times 3}\).
Un tirage est une partie à 3 éléments d’un ensemble à 50 éléments ; leur nombre est :
\[\binom\,{50}{3} = \frac{50\times 49\times 48}{1\times 2\times 3} = 19\,600.\]
Réponse d.
Exercice 5 du bac blanc 2 : questions 4 à 5
4. On lance dix fois une pièce et on note la liste ordonnée des résultats. Nombre de listes possibles : a. \(2\times 10\) ; b. \(2^{10}\) ; c. \(1\times 2\times \cdots\times 10\) ; d. \(\dfrac{1\times 2\times \cdots\times 10}{1\times 2}\).
Chaque lancer a 2 issues possibles et les choix sont indépendants : le principe multiplicatif donne \(2\times 2\times \cdots\times 2 = 2^{10} = 1\,024\) listes (ce sont des 10-uplets de l’ensemble {pile ; face}). Réponse b.
5. On lance \(n\) fois une pièce équilibrée. Probabilité d’obtenir au plus deux fois « pile » : a. \(\dfrac{n(n-1)}{2}\) ; b. \(\dfrac{n(n-1)}{2}(\dfrac12)^n\) ; c. \(1 + n + \dfrac{n(n-1)}{2}\) ; d. \((1 + n + \dfrac{n(n-1)}{2})(\dfrac12)^n\).
Le nombre \(X\) de « pile » suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n\,;\,\frac{1}{2})\), donc \(P(X = k) = \binom\,{n}{k}(\frac{1}{2})^n\). Ensuite, on cherche :
\[P(X \leq\, 2) = [\binom\,{n}{0} + \binom\,{n}{1} + \binom\,{n}{2}](\frac{1}{2})^n = (1 + n + \frac{n(n-1)}{2})(\frac{1}{2})^n.\]
Réponse d.
Exercice 6 :
Vrai ou faux : suite récurrente et récurrence
La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + 2u_n}\).
Affirmation 1 : « \(u_4 = \frac{1}{9}\) ».
\[u_1 = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3} \qquad u_2 = \frac{\frac13}{1 + \frac23} = \frac{\frac13}{\frac53} = \frac{1}{5} \qquad u_3 = \frac{\frac15}{1 + \frac25} = \frac{1}{7} \qquad u_4 = \frac{\frac17}{1 + \frac27} = \frac{1}{9}.\]
L’affirmation 1 est vraie.
Affirmation 2 : « pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = \dfrac{1}{2n+1}\) ».
Les calculs précédents la vérifient pour \(n\) de 0 à 4. Puis on la démontre par récurrence en notant \(\mathcal{P}(n)\) : « \(u_n = \dfrac{1}{2n+1}\) ».
- Initialisation : \(u_0 = 1\) et \(\dfrac{1}{2\times 0 + 1} = 1\), donc \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
- Hérédité : supposons \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un entier \(n \geq\, 0\), c’est-à-dire \(u_n = \dfrac{1}{2n+1}\). Alors
\[u_{n+1} = \frac{\frac{1}{2n+1}}{1 + \frac{2}{2n+1}} = \frac{\frac{1}{2n+1}}{\frac{2n+3}{2n+1}} = \frac{1}{2n+3} = \frac{1}{2(n+1)+1},\]
donc \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie. - Conclusion : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie et la propriété est héréditaire ; par le principe de récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier naturel \(n\).
L’affirmation 2 est vraie.
Affirmation 3 : « la suite \((u_n)\) est minorée par \(10^{-10}\) ».
Comme \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(2n+1) = +\infty\), on a \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = 0\). Concrètement, \(u_n \lt 10^{-10} \iff 2n + 1 \gt 10^{10}\), ce qui est vrai par exemple pour \(n = 10^{10}\). De plus, une suite minorée par le réel strictement positif \(10^{-10}\) ne pourrait pas tendre vers 0. L’affirmation 3 est fausse.
Exercice 7 :
Vrai ou faux : famille de fonctions exponentielles
Pour \(k \gt 0\), on considère \(f_k(x) = x + k\,\mathrm{e}^{-x}\) définie sur \(\mathbb{R}\).
1. On étudie le cas \(k = 0{,}5\) : \(f_{0,5}(x) = x + 0{,}5\,\mathrm{e}^{-x}\).
a. Pour tout réel \(x\), \(f_{0,5}^{\prime}(x) = 1 + 0{,}5\times (-\mathrm{e}^{-x}) = \mathbf{1 – 0{,}5\,\mathrm{e}^{-x}}\).
b. Signe de la dérivée, en utilisant la stricte croissance de la fonction logarithme népérien :
\[f_{0,5}^{\prime}(x) \gt 0 \iff 0{,}5\,\mathrm{e}^{-x} \lt 1 \iff \mathrm{e}^{-x} \lt 2 \iff -x \lt \ln 2 \iff x \gt -\ln 2 = \ln(0{,}5).\]
De même, \(f_{0,5}^{\prime}(x) = 0 \iff x = \ln(0{,}5)\) et \(f_{0,5}^{\prime}(x) \lt 0 \iff x \lt \ln(0{,}5)\). Ensuite, la fonction \(f_{0,5}\) est donc décroissante sur \(]-\infty\,;\,\ln(0{,}5)]\) puis croissante sur \([\ln(0{,}5)\,;\,+\infty[\) : elle admet un minimum en \(x = \ln(0{,}5)\), égal à \(\ln(0{,}5) + 0{,}5\times 2 = 1 – \ln 2 \approx 0{,}31\).
Dans le cas général (\(k \gt 0\)), le même raisonnement donne le tableau de variations suivant.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\ln(k)\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f_k^{\prime}(x)\) | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| \(f_k\) | \(+\infty\) | décroissante | \(f_k(\ln k)\) | croissante | \(+\infty\) |
2. On calcule le minimum \(f_k(\ln k)\) :
\[f_k(\ln k) = \ln k + k\,\mathrm{e}^{-\ln k} = \ln k + \frac{k}{\mathrm{e}^{\ln k}} = \ln k + \frac{k}{k} = \mathbf{\ln k + 1}.\]
Exercice 7 du bac blanc 2 : question 3
3. On note \(\mathrm{A}_k\) le point de \(\mathcal{C}_k\) d’abscisse \(\ln k\). Affirmation : « pour tout réel \(k \gt 0\), les points \(\mathrm{A}_{0,5}\), \(\mathrm{A}_1\) et \(\mathrm{A}_k\) sont alignés ».
D’après la question 2, \(\mathrm{A}_k\) a pour coordonnées \((\ln k\,;\,\ln k + 1)\) : son ordonnée est égale à son abscisse augmentée de 1. Tous les points \(\mathrm{A}_k\) appartiennent donc à la droite d’équation \(y = x + 1\), en particulier \(\mathrm{A}_{0,5}(-\ln 2\,;\,1 – \ln 2)\) et \(\mathrm{A}_1(0\,;\,1)\). L’affirmation est vraie.
Exercice 8 :
Vrai ou faux : suite arithmético-géométrique et Python
La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = 3u_n + 1\) pour tout entier naturel \(n\). Par ailleurs, on dispose des deux fonctions Python suivantes.
def calcul(n):
u = 0
for i in range(n):
u = 3 * u + 1
return u
def liste(n):
l = []
for i in range(n):
l.append(calcul(i))
return l
Affirmation 1 : « l’appel liste(6) renvoie la liste [0, 1, 4, 13, 42, 121] ».
calcul(i) renvoie \(u_i\), donc liste(6) renvoie \([u_0, u_1, u_2, u_3, u_4, u_5]\). Or \(u_0 = 0\), \(u_1 = 1\), \(u_2 = 4\), \(u_3 = 13\), \(u_4 = 3\times 13 + 1 = 40\) et \(u_5 = 121\). Puis la liste renvoyée est [0, 1, 4, 13, 40, 121] : \(u_4 = 40 \neq 42\). L’affirmation 1 est fausse.
Affirmation 2 : « pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = \frac{1}{2}\times 3^n – \frac{1}{2}\) ».
On vérifie d’abord : pour \(n = 0, 1, 2\), la formule donne \(\frac12 – \frac12 = 0\), \(\frac32 – \frac12 = 1\) et \(\frac92 – \frac12 = 4\), ce qui correspond. Ensuite, on démontre la formule par récurrence.
- Initialisation : \(u_0 = 0\) et \(\frac{1}{2}\times 3^0 – \frac{1}{2} = 0\) : la propriété est vraie au rang 0.
- Hérédité : supposons \(u_n = \frac{1}{2}\times 3^n – \frac{1}{2}\) pour un entier \(n \geq\, 0\). Alors
\[u_{n+1} = 3u_n + 1 = 3(\frac{1}{2}\times 3^n – \frac{1}{2}) + 1 = \frac{1}{2}\times 3^{n+1} – \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{2}\times 3^{n+1} – \frac{1}{2},\]
et la propriété est vraie au rang \(n+1\). - Conclusion : vraie au rang 0 et héréditaire, la propriété est vraie pour tout entier naturel \(n\).
L’affirmation 2 est vraie.
Affirmation 3 : « pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} – u_n\) est une puissance de 3 ».
D’après l’affirmation 2 :
\[u_{n+1} – u_n = (\frac{1}{2}\times 3^{n+1} – \frac{1}{2}) – (\frac{1}{2}\times 3^n – \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}\times 3^n\,(3 – 1) = 3^n.\]
On le retrouve sur les premiers termes : \(1 – 0 = 3^0\), \(4 – 1 = 3^1\), \(13 – 4 = 3^2\). L’affirmation 3 est vraie.
Bien travailler ce bac blanc 2
Tout d’abord, travaillez l’énoncé du sujet en temps limité, sans ouvrir la correction. Puis confrontez votre travail à la correction en vérifiant chaque argument, car une bonne valeur sans justification rapporte peu de points. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur les équations différentielles ou le calcul intégral. Puis pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à équations différentielles propose un rappel complet.
Les erreurs fréquentes à éviter
- Pour une équation différentielle, n’oubliez pas la solution particulière avant d’écrire la forme générale, puis utilisez la condition initiale pour fixer la constante.
- Une intégrale ne mesure une aire que si la fonction est positive sur l’intervalle : vérifiez le signe avant de conclure en unités d’aire.
- Pour une intégration par parties, choisissez comme fonction à dériver celle qui se simplifie, et écrivez les quatre fonctions avant de calculer.
Questions fréquentes sur ce bac blanc 2
Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, les équations différentielles, le calcul intégral et l’intégration par parties, mais aussi les probabilités conditionnelles.
Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.
