Cette fiche rassemble 14 exercices pour s’entraîner sur les matrices en terminale, dans le cadre de l’option maths expertes de la spécialité. Puis les trois premiers exercices, puis les exercices 5 et 6, font pratiquer le calcul matriciel : somme, produit de matrices de dimensions 2 × 2, 2 × 3 ou 3 × 3, et carré d’une matrice. Ensuite, l’exercice 4 est une activité guidée qui montre comment passer d’un système linéaire à l’équation AX = B et qui fait découvrir la formule de la matrice inverse d’une matrice carrée d’ordre 2.
Les exercices 7 à 10 réinvestissent cette méthode : prouver qu’une matrice est inversible, puis résoudre des systèmes linéaires de trois équations à trois inconnues grâce à l’écriture matricielle. Puis les exercices 11 et 14 étudient des suites de matrices du type Un+1 = AUn + B à l’aide d’une suite auxiliaire, tandis que les exercices 12 et 13 relient les matrices à la géométrie avec une translation et une rotation du plan.
Cherchez chaque question au brouillon avant de lire la correction détaillée placée en bas de page : elle justifie chaque étape et met les résultats en évidence. De plus, vous pouvez aussi imprimer la fiche en PDF pour travailler hors ligne.
Exercice 1 – Puissance de matrices (matrices en terminale)
Soit la matrice \(A=\begin{pmatrix}1 & -1\\ 2 & 3\end{pmatrix}\).
Calculer \(A^2=A\times A.\)
Application 2 – Somme et produit de matrices
Soient les matrices suivantes :
\(A=\begin{pmatrix}1 & -1\\ 2 & 3\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}-4 & 8\\ 2 & 0\end{pmatrix}\)
1. Puis calculer la somme des matrices \(A+B.\)
2. Calculer le produit de matrices \(AB.\)
Exercice 3 – Calcul d’un produit (matrices en terminale)
Soient les matrices suivantes :
\(A=\begin{pmatrix}3 & 0\\ 5 & 0\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0 & 0\\ -2 & 1\end{pmatrix}\)
Calculer le produit \(AB.\)
Application 4 :
1. Ensuite, résoudre les systèmes suivants.
\[(S_1)\,:\,\lbrace \begin{array}{l} 2x+3y=9\\ 7x+13y=44\end{array}. \qquad (S_2)\,:\,\lbrace \begin{array}{l} 6x+4y=1\\ 3x+2y=0\end{array}.\]
Nous allons voir comment déterminer les solutions de ces systèmes par calcul matriciel.
A. Représentation du système :
1. Déterminer deux matrices \(M_{x,y}\) et B de dimension \(2\times 1\) telles que \((S_1)\) équivaut à \(M_{x,y}=B\).
2. Puis donner deux matrices A et X, de dimensions respectives \(2\times 2\) et \(2\times 1\), telles que \(M_{x,y}=AX\).
3. En déduire que résoudre le système \((S_1)\) revient à résoudre l’équation AX = B, d’inconnue X.
B. Inverse de matrice et résolution matricielle
1. De plus, dans l’équation 2x = 5, pourquoi multiplier les deux membres par \(2^{-1}\) permet d’isoler \(x\) ?
La matrice identité est :
\[I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\]
On cherche à déterminer s’il existe une matrice :
\[A^{-1}=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\]
telle que \(AA^{-1}=I_2\).
2. Ensuite, montrer que trouver \(A^{-1}\) revient à résoudre les systèmes :
\[\lbrace \begin{array}{l} 2a+3c=1\\ 7a+13c=0\end{array}. \quad \text{et} \quad \lbrace \begin{array}{l} 2b+3d=0\\ 7b+13d=1\end{array}.\]
3. Résoudre ces systèmes et en déduire \(A^{-1}\) (mettre les coefficients sous forme de fraction).
4. Par ailleurs, exprimer les coefficients de \(A^{-1}\) en fonction de ceux de A.
En déduire une formule afin de déterminer la matrice inverse d’une matrice.
5. Multiplier à gauche les deux membres de AX = B par \(A^{-1}\).
Retrouve-t-on les solutions de \((S_1)\) ?
6. De même, mettre le système \((S_2)\) sous la forme matricielle \(CX=D\).
Peut-on trouver \(C^{-1}\) ? Pourquoi ?
Exercice 5 (matrices en terminale)
Soient les matrices suivantes :
\[A=\begin{pmatrix}3 & 2 & 4\\ -1 & 0 & 3\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B=\begin{pmatrix}2 & -3\\ 4 & 5\\ -6 & 1\end{pmatrix}\]
Calculer AB.
Application 6 :
Soient les matrices A et B suivantes :
\[A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\ 2 & 0 & 3\\ 0 & 4 & -5\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 3\\ -4 & -5 & 2\end{pmatrix}\]
Calculer le produit AB.
Exercice 7 (matrices en terminale)
Soit \(A=\begin{pmatrix}2 & 3\\ -1 & 5\end{pmatrix}\).
Montrer que A est inversible et déterminer \(A^{-1}\).
Application 8 :
Soient les matrices suivantes :
\[A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ 4 & 1 & -1\\ 2 & 1 & 3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{4}\\ -\dfrac{7}{4} & -\dfrac{1}{8} & \dfrac{9}{8}\\ \dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{8}\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad C=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ 3 & 4 & 6\end{pmatrix}.\]
Montrer que B est l’inverse de A et en déduire les solutions de l’équation XA = C.
Exercice 9 (matrices en terminale)
1. Mettre le système :
\[\lbrace \begin{array}{l} x+y+z=2\\ 2z-y=0\\ 3x+2z+4y=7\end{array}.\]
sous forme d’équation matricielle en justifiant.
2. Puis en déduire les solutions du système.
Application 10 :
1. Mettre le système :
\[\lbrace \begin{array}{l} x-y+z=3\\ x-z+y=-1\\ y-x+z=5\end{array}.\]
sous forme d’équation matricielle en justifiant.
2. En déduire les solutions du système.
Exercice 11 (matrices en terminale)
On considère une suite \((U_n)\) de matrices de dimension \(2\times 1\) telle que :
\(U_{n+1}=AU_n+B\)
avec
\[A=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 0 & 2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}6\\ 2\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad U_0=\begin{pmatrix}1\\ -1\end{pmatrix}.\]
1. Ensuite, déterminer une matrice X telle que AX + B = X.
2. Soit la suite \((V_n)\) définie par \(V_n=U_n-X\) pour tout entier n.
Montrer que \(V_{n+1}=AV_n\) pour tout entier n.
Puis en déduire l’expression de \(V_n\), puis de \(U_n\) en fonction de n et A.
Application 12 :
On considère, dans un plan muni d’un repère \((O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j})\), le point \(A(\sqrt{3}\,;\,7)\).
1. Soit \(\vec{u}\begin{pmatrix}4\\ -5\end{pmatrix}\), déterminer les coordonnées de B, l’image de A par la translation de vecteur \(\vec{u}\).
2. Donner les coordonnées de C, l’image de A par la rotation de centre O et d’angle \(\dfrac{\pi}{4}\).
Exercice 13 (matrices en terminale)
On considère, dans un plan muni d’un repère \((O\,;\,\vec{i}\,,\,\vec{j})\) le point \(A(1\,;\,\dfrac{1}{3})\).
1. Soit \(\vec{u}\begin{pmatrix}-5\\ 4\end{pmatrix}\), déterminer les coordonnées de B l’image de A par la translation de vecteur \(\vec{u}\).
2. Donner les coordonnées de C l’image de A par la rotation de centre O et d’angle \(\dfrac{2\pi}{3}\).
Application 14 :
On considère une suite \((U_n)\) de matrices de dimension \(2\times 1\) telle que :
\(U_{n+1}=AU_n+B\)
avec
\[A=\begin{pmatrix}5 & -3\\ 4 & -2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}-2\\ -2\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad U_0=\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}.\]
1. Déterminer une matrice X telle que AX + B = X.
2. Soit la suite \((V_n)\) définie par \(V_n=U_n-X\) pour tout entier n.
Montrer que \(V_{n+1}=AV_n\) pour tout entier n.
3. En déduire l’expression de \(V_n\), puis de \(U_n\) en fonction de n et A.
Exercice 15 – Puissances d’une matrice (matrices en terminale)
Soit la matrice \(A=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}\).
1. Calculer \(A^2\) et \(A^3\).
2. Conjecturer l’expression de \(A^n\) pour tout entier \(n\geq\, 1\).
3. Démontrer cette conjecture par récurrence.
4. En déduire \(A^{10}\).
Exercice 16 – Graphe probabiliste (matrices en terminale)
Un service de vélos en libre-service possède deux stations A et B. Chaque soir, 80 % des vélos présents le matin dans la station A y restent et 20 % rejoignent B ; 70 % des vélos de la station B y restent et 30 % rejoignent A. Au matin du jour 0, tous les vélos sont dans la station A. On note \(a_n\) et \(b_n\) les proportions de vélos dans les stations A et B au matin du jour \(n\), et \(X_n=\begin{pmatrix}a_n\\ b_n\end{pmatrix}\).
1. Montrer que \(X_{n+1}=MX_n\) avec \(M=\begin{pmatrix}0{,}8 & 0{,}3\\ 0{,}2 & 0{,}7\end{pmatrix}\).
2. Calculer \(X_1\) et \(X_2\).
3. Déterminer l’état stable \(X=\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}\), c’est-à-dire la matrice vérifiant \(MX=X\) et \(a+b=1\).
4. Montrer que \(a_{n+1}=0{,}5\,a_n+0{,}3\), puis que la suite \((a_n-0{,}6)\) est géométrique. En déduire \(a_n\) en fonction de n et la limite de \((a_n)\).
5. À partir de quel jour la proportion de vélos dans la station A est-elle inférieure à 61 % ?
Exercice 17 – Un système de trois équations (matrices en terminale)
Un fleuriste compose trois bouquets avec des roses (R), des tulipes (T) et des lys (L). On note \(r\), \(t\) et \(l\) les prix en euros d’une rose, d’une tulipe et d’un lys.
| Bouquet | Roses | Tulipes | Lys | Prix (€) |
|---|---|---|---|---|
| n° 1 | 3 | 2 | 1 | 11 |
| n° 2 | 1 | 4 | 2 | 12 |
| n° 3 | 2 | 1 | 3 | 14 |
1. Écrire le système vérifié par \(r\), \(t\) et \(l\), puis l’équation matricielle \(NX=B\) correspondante, où \(X=\begin{pmatrix}r\\ t\\ l\end{pmatrix}\).
2. On donne \(P=\begin{pmatrix}10 & -5 & 0\\ 1 & 7 & -5\\ -7 & 1 & 10\end{pmatrix}\). Calculer \(NP\) et en déduire que N est inversible, puis \(N^{-1}\).
3. Déterminer les prix \(r\), \(t\) et \(l\).
4. Quel serait le prix d’un bouquet composé d’une rose, d’une tulipe et de deux lys ?
Exercice 18 – Rotations et produit de matrices (matrices en terminale)
Pour tout réel \(\theta\), on note \(R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\) la matrice de la rotation de centre O et d’angle \(\theta\).
1. Écrire les matrices \(R(\dfrac{\pi}{3})\) et \(R(\dfrac{\pi}{6})\).
2. Calculer le produit \(R(\dfrac{\pi}{6})R(\dfrac{\pi}{3})\). Quelle matrice reconnaît-on ?
3. Démontrer que, pour tous réels a et b, \(R(a)R(b)=R(a+b)\).
4. En déduire que \(R(\theta)\) est inversible et que son inverse est \(R(-\theta)\).
5. Le point A a pour coordonnées \((4\,;\,0)\). Déterminer les coordonnées de \(A_1\), image de A par la rotation de centre O et d’angle \(\dfrac{\pi}{3}\), puis celles de \(A_2\), image de \(A_1\) par la rotation de centre O et d’angle \(\dfrac{\pi}{6}\).
Exercice 19 – Matrice de Fibonacci (matrices en terminale)
La suite de Fibonacci \((f_n)\) est définie par \(f_0=0\), \(f_1=1\) et, pour tout entier \(n\geq\, 1\), \(f_{n+1}=f_n+f_{n-1}\). On pose \(F=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\).
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f_n\) | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 |
1. Calculer \(F^2\), \(F^3\) et \(F^4\).
2. Conjecturer l’expression de \(F^n\) à l’aide des termes de la suite \((f_n)\).
3. Démontrer cette conjecture par récurrence pour tout entier \(n\geq\, 1\).
4. En déduire \(F^8\).
5. Calculer \(f_{n+1}f_{n-1}-f_n^2\) pour \(n=1,2,3,4\), conjecturer le résultat, puis le démontrer par récurrence.
Exercice 20 – Suites croisées et puissances de matrice (matrices en terminale)
On considère les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par \(u_0=5\), \(v_0=3\) et, pour tout entier n, \(u_{n+1}=4u_n-2v_n\) et \(v_{n+1}=u_n+v_n\). On pose \(U_n=\begin{pmatrix}u_n\\ v_n\end{pmatrix}\), \(A=\begin{pmatrix}4 & -2\\ 1 & 1\end{pmatrix}\), \(P=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\) et \(D=\begin{pmatrix}3 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}\).
| n | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(u_n\) | 5 | 14 | ? | ? |
| \(v_n\) | 3 | 8 | ? | ? |
1. Compléter le tableau ci-dessus, puis écrire \(U_{n+1}=AU_n\) et en déduire \(U_n=A^nU_0\).
2. Montrer que P est inversible et que \(P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}\).
3. Calculer \(P^{-1}AP\) et vérifier que le résultat est D.
4. Démontrer par récurrence que \(A^n=PD^nP^{-1}\) pour tout entier n, puis donner l’expression de \(A^n\).
5. En déduire \(u_n\) et \(v_n\) en fonction de n, et vérifier avec le tableau.
6. Déterminer la limite de \(\dfrac{u_n}{v_n}\) quand n tend vers \(+\infty\).
Voir le corrigé détaillé : Matrices : corrigé des exercices de maths en terminale
Bien travailler avec matrices en terminale
Tout d’abord, fais l’exercice sans regarder la solution. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. De plus, un travail régulier sur matrices en terminale vaut mieux qu’une longue séance.
Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Matrice (mathématiques) sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec arithmétique : exercices en terminale spécialité de maths corrigés en PDF.
