Corrigé des exercices (matrices en terminale)
Exercice 1 :
On multiplie chaque ligne de A par chaque colonne de A :
\(A^2=\begin{pmatrix}1\times 1+(-1)\times 2 & 1\times (-1)+(-1)\times 3\\ 2\times 1+3\times 2 & 2\times (-1)+3\times 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-2 & -1-3\\ 2+6 & -2+9\end{pmatrix}\)
\(A^2=\begin{pmatrix}-1 & -4\\ 8 & 7\end{pmatrix}\)
Application 2 (matrices en terminale)
- Deux matrices de même dimension s’additionnent coefficient par coefficient :
\(A+B=\begin{pmatrix}1+(-4) & -1+8\\ 2+2 & 3+0\end{pmatrix}\), donc \(A+B=\begin{pmatrix}-3 & 7\\ 4 & 3\end{pmatrix}\). - Le coefficient de la ligne i et de la colonne j de AB est le produit de la ligne i de A par la colonne j de B :
\(AB=\begin{pmatrix}1\times (-4)+(-1)\times 2 & 1\times 8+(-1)\times 0\\ 2\times (-4)+3\times 2 & 2\times 8+3\times 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4-2 & 8\\ -8+6 & 16\end{pmatrix}\), donc \(AB=\begin{pmatrix}-6 & 8\\ -2 & 16\end{pmatrix}\).
Exercice 3 :
\(AB=\begin{pmatrix}3\times 0+0\times (-2) & 3\times 0+0\times 1\\ 5\times 0+0\times (-2) & 5\times 0+0\times 1\end{pmatrix}\), donc \(AB=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\), la matrice nulle.
Remarque : A et B ne sont pas nulles mais leur produit l’est. Contrairement aux nombres réels, un produit de matrices peut être nul sans qu’aucun des facteurs ne soit nul.
Application 4 (matrices en terminale)
1. Résolution des systèmes.
Pour \((S_1)\) : on multiplie la première équation par 7 et la seconde par 2 : \(14x+21y=63\) et \(14x+26y=88\). Par soustraction, \(5y=25\), donc \(y=5\). Alors \(2x+15=9\), d’où \(2x=-6\) et \(x=-3\).
\((S_1)\) a une unique solution : le couple \((-3\,;\,5)\).
Pour \((S_2)\) : en multipliant la seconde équation par 2, on obtient \(6x+4y=0\), ce qui contredit \(6x+4y=1\).
\((S_2)\) n’a aucune solution.
A. Représentation du système
- On pose \(M_{x,y}=\begin{pmatrix}2x+3y\\ 7x+13y\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}9\\ 44\end{pmatrix}\). Deux matrices sont égales lorsque leurs coefficients sont égaux, donc \((S_1)\) équivaut à \(M_{x,y}=B\).
- Avec \(A=\begin{pmatrix}2 & 3\\ 7 & 13\end{pmatrix}\) et \(X=\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\), on calcule \(AX=\begin{pmatrix}2x+3y\\ 7x+13y\end{pmatrix}\), donc \(M_{x,y}=AX\).
- \((S_1)\) équivaut à \(M_{x,y}=B\), c’est-à-dire à \(AX=B\) : résoudre \((S_1)\) revient à résoudre l’équation matricielle \(AX=B\) d’inconnue \(X=\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\).
B. Inverse de matrice et résolution matricielle
- Comme \(2^{-1}\times 2=\dfrac{1}{2}\times 2=1\), multiplier les deux membres par \(2^{-1}\) donne \(1\times x=2^{-1}\times 5\), soit \(x=\dfrac{5}{2}\) : le coefficient devant x devient 1, qui est neutre pour la multiplication.
- On calcule \(AA^{-1}=\begin{pmatrix}2 & 3\\ 7 & 13\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2a+3c & 2b+3d\\ 7a+13c & 7b+13d\end{pmatrix}\).
L’égalité \(AA^{-1}=I_2\) équivaut à l’égalité des quatre coefficients : \(2a+3c=1\), \(7a+13c=0\), \(2b+3d=0\) et \(7b+13d=1\). On obtient bien les deux systèmes annoncés, l’un d’inconnues a et c, l’autre d’inconnues b et d. - Premier système : \(7a+13c=0\) donne \(a=-\dfrac{13}{7}c\) ; en remplaçant, \(-\dfrac{26}{7}c+3c=1\), soit \(-\dfrac{5}{7}c=1\), donc \(c=-\dfrac{7}{5}\) et \(a=\dfrac{13}{5}\).
Second système : \(2b+3d=0\) donne \(b=-\dfrac{3}{2}d\) ; en remplaçant, \(-\dfrac{21}{2}d+13d=1\), soit \(\dfrac{5}{2}d=1\), donc \(d=\dfrac{2}{5}\) et \(b=-\dfrac{3}{5}\).
\(A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{13}{5} & -\dfrac{3}{5}\\ -\dfrac{7}{5} & \dfrac{2}{5}\end{pmatrix}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}13 & -3\\ -7 & 2\end{pmatrix}\). - On remarque que \(5=2\times 13-3\times 7\) : les coefficients diagonaux 2 et 13 ont été échangés, les deux autres coefficients ont changé de signe, et tout est divisé par \(2\times 13-3\times 7\).
Formule générale : si \(M=\begin{pmatrix}p & q\\ r & s\end{pmatrix}\) avec \(ps-qr\neq 0\), alors \(M^{-1}=\dfrac{1}{ps-qr}\begin{pmatrix}s & -q\\ -r & p\end{pmatrix}\). Le nombre \(ps-qr\) est le déterminant de M ; s’il est nul, M n’est pas inversible. - \(AX=B\) entraîne \(A^{-1}AX=A^{-1}B\), c’est-à-dire \(I_2X=A^{-1}B\), soit \(X=A^{-1}B\) :
\(X=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}13 & -3\\ -7 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}9\\ 44\end{pmatrix}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}117-132\\ -63+88\end{pmatrix}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}-15\\ 25\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\ 5\end{pmatrix}\).
On retrouve bien la solution \(x=-3\) et \(y=5\) de \((S_1)\). - \((S_2)\) s’écrit \(CX=D\) avec \(C=\begin{pmatrix}6 & 4\\ 3 & 2\end{pmatrix}\), \(X=\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\) et \(D=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}\).
Or \(6\times 2-4\times 3=12-12=0\) : la formule précédente ne s’applique pas. Si \(C^{-1}\) existait, on aurait \(X=C^{-1}D\) et le système aurait une solution, ce qui est faux d’après la question 1. La matrice C n’est donc pas inversible : ses deux lignes sont proportionnelles (la première vaut deux fois la seconde).
Exercice 5 :
A est de dimension \(2\times 3\) et B de dimension \(3\times 2\) : le produit AB existe et il est de dimension \(2\times 2\).
\(AB=\begin{pmatrix}3\times 2+2\times 4+4\times (-6) & 3\times (-3)+2\times 5+4\times 1\\ -1\times 2+0\times 4+3\times (-6) & -1\times (-3)+0\times 5+3\times 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6+8-24 & -9+10+4\\ -2+0-18 & 3+0+3\end{pmatrix}\)
\(AB=\begin{pmatrix}-10 & 5\\ -20 & 6\end{pmatrix}\)
Application 6 (matrices en terminale)
Ligne 1 de A, \((1\;\;2\;\;-1)\), par les colonnes de B : \(1-4+4=1\) ; \(0+2+5=7\) ; \(0+6-2=4\).
Également, ligne 2 de A, \((2\;\;0\;\;3)\) : \(2+0-12=-10\) ; \(0+0-15=-15\) ; \(0+0+6=6\).
Ligne 3 de A, \((0\;\;4\;\;-5)\) : \(0-8+20=12\) ; \(0+4+25=29\) ; \(0+12-10=2\).
\(AB=\begin{pmatrix}1 & 7 & 4\\ -10 & -15 & 6\\ 12 & 29 & 2\end{pmatrix}\)
Exercice 7 :
Pour une matrice \(\begin{pmatrix}p & q\\ r & s\end{pmatrix}\), on calcule \(ps-qr\). Ici \(2\times 5-3\times (-1)=10+3=13\neq 0\), donc A est inversible et
\(A^{-1}=\dfrac{1}{13}\begin{pmatrix}5 & -3\\ 1 & 2\end{pmatrix}\), soit \(A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{5}{13} & -\dfrac{3}{13}\\ \dfrac{1}{13} & \dfrac{2}{13}\end{pmatrix}\).
Vérification : \(A\times \begin{pmatrix}5 & -3\\ 1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10+3 & -6+6\\ -5+5 & 3+10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13 & 0\\ 0 & 13\end{pmatrix}=13I_2\).
Application 8 :
On calcule AB en mettant \(\dfrac{1}{8}\) en facteur : \(B=\dfrac{1}{8}\begin{pmatrix}4 & 2 & -2\\ -14 & -1 & 9\\ 2 & -1 & 1\end{pmatrix}\).
\(A\begin{pmatrix}4 & 2 & -2\\ -14 & -1 & 9\\ 2 & -1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+0+4 & 2+0-2 & -2+0+2\\ 16-14-2 & 8-1+1 & -8+9-1\\ 8-14+6 & 4-1-3 & -4+9+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8 & 0 & 0\\ 0 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 8\end{pmatrix}\)
donc \(AB=\dfrac{1}{8}\times 8I_3=I_3\). Ensuite, pour une matrice carrée, \(AB=I_3\) suffit : B est l’inverse de A, \(B=A^{-1}\).
Équation \(XA=C\) : X a 2 lignes (comme C) et 3 colonnes (pour pouvoir multiplier par A). Par ailleurs, on multiplie à droite par \(A^{-1}=B\) : \(XAB=CB\), soit \(XI_3=CB\), donc \(X=CB\).
\(CB=\dfrac{1}{8}\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ 3 & 4 & 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & 2 & -2\\ -14 & -1 & 9\\ 2 & -1 & 1\end{pmatrix}=\dfrac{1}{8}\begin{pmatrix}4+0+4 & 2+0-2 & -2+0+2\\ 12-56+12 & 6-4-6 & -6+36+6\end{pmatrix}=\dfrac{1}{8}\begin{pmatrix}8 & 0 & 0\\ -32 & -4 & 36\end{pmatrix}\)
L’équation a une unique solution : \(X=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ -4 & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{9}{2}\end{pmatrix}\).
Exercice 9 :
- On ordonne chaque équation selon x, y, z : \(x+y+z=2\), \(0x-y+2z=0\) et \(3x+4y+2z=7\). Avec \(A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 2\\ 3 & 4 & 2\end{pmatrix}\), \(X=\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 7\end{pmatrix}\), le produit AX a pour coefficients les trois premiers membres. Par égalité des coefficients, le système équivaut à \(AX=B\).
- À la calculatrice, on obtient \(A^{-1}=\begin{pmatrix}10 & -2 & -3\\ -6 & 1 & 2\\ -3 & 1 & 1\end{pmatrix}\) ; on le vérifie : la première ligne de \(AA^{-1}\) vaut \((10-6-3\;\;\;-2+1+1\;\;\;-3+2+1)=(1\;\;0\;\;0)\), et de même pour les deux autres lignes, donc \(AA^{-1}=I_3\) et A est inversible.
Alors \(AX=B\) équivaut à \(X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}20+0-21\\ -12+0+14\\ -6+0+7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\ 2\\ 1\end{pmatrix}\).
Le système a une unique solution : \((x\,;\,y\,;\,z)=(-1\,;\,2\,;\,1)\).
Vérification : \(-1+2+1=2\) ; \(2-2=0\) ; \(-3+8+2=7\).
Application 10 :
- On ordonne chaque équation selon x, y, z : \(x-y+z=3\), \(x+y-z=-1\) et \(-x+y+z=5\). Avec \(A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1\end{pmatrix}\), \(X=\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}3\\ -1\\ 5\end{pmatrix}\), on a \(AX=\begin{pmatrix}x-y+z\\ x+y-z\\ -x+y+z\end{pmatrix}\), donc le système équivaut à \(AX=B\).
- À la calculatrice, \(A^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\) ; on vérifie que \(A\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}\), donc \(AA^{-1}=I_3\).
Ainsi \(X=A^{-1}B=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}3-1\\ -1+5\\ 3+5\end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}2\\ 4\\ 8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 4\end{pmatrix}\).
Le système a une unique solution : \((x\,;\,y\,;\,z)=(1\,;\,2\,;\,4)\).
Vérification : \(1-2+4=3\) ; \(1+2-4=-1\) ; \(-1+2+4=5\).
Exercice 11 :
- On cherche \(X=\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\) tel que \(AX+B=X\), soit \(\begin{pmatrix}x+3y+6\\ 2y+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\).
La première ligne donne \(3y+6=0\), soit \(y=-2\) ; la seconde donne \(2y+2=y\), soit \(y=-2\) aussi. Le réel x n’intervient pas : toute matrice \(\begin{pmatrix}x\\ -2\end{pmatrix}\) convient (ici \(I_2-A\) n’est pas inversible, d’où une infinité de solutions). On choisit la plus simple : \(X=\begin{pmatrix}0\\ -2\end{pmatrix}\). - Pour tout entier n, \(V_{n+1}=U_{n+1}-X=AU_n+B-X\). Or \(X=AX+B\), donc \(V_{n+1}=AU_n+B-AX-B=A(U_n-X)\), c’est-à-dire \(V_{n+1}=AV_n\).
Par récurrence, \(V_n=A^nV_0\) pour tout entier n (vrai pour \(n=0\) car \(A^0=I_2\), et si \(V_n=A^nV_0\) alors \(V_{n+1}=AA^nV_0=A^{n+1}V_0\)).
Avec \(V_0=U_0-X=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\) : \(V_n=A^n\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\) et \(U_n=A^n\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\ -2\end{pmatrix}\).
Complément : on montre par récurrence que \(A^n=\begin{pmatrix}1 & 3(2^n-1)\\ 0 & 2^n\end{pmatrix}\) (vrai pour \(n=0\), et \(A\times A^n=\begin{pmatrix}1 & 3(2^n-1)+3\times 2^n\\ 0 & 2\times 2^n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 3(2^{n+1}-1)\\ 0 & 2^{n+1}\end{pmatrix}\)). On obtient alors \(U_n=\begin{pmatrix}3\times 2^n-2\\ 2^n-2\end{pmatrix}\), ce que l’on contrôle avec \(U_1=AU_0+B=\begin{pmatrix}4\\ 0\end{pmatrix}\).
Application 12 :
- La translation de vecteur \(\vec{u}\) ajoute les coordonnées de \(\vec{u}\) à celles du point : \(\begin{pmatrix}x_B\\ y_B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sqrt{3}\\ 7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\ -5\end{pmatrix}\), donc \(B(\sqrt{3}+4\,;\,2)\).
- La rotation de centre O et d’angle \(\theta\) a pour matrice \(R=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\). Pour \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\), \(\cos\theta=\sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), donc
\(\begin{pmatrix}x_C\\ y_C\end{pmatrix}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix}1 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sqrt{3}\\ 7\end{pmatrix}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix}\sqrt{3}-7\\ \sqrt{3}+7\end{pmatrix}\).
\(C(\dfrac{\sqrt{6}-7\sqrt{2}}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{6}+7\sqrt{2}}{2})\), soit environ \(C(-3{,}73\,;\,6{,}17)\).
Exercice 13 :
- \(\begin{pmatrix}x_B\\ y_B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-5\\ 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\ \dfrac{13}{3}\end{pmatrix}\), donc \(B(-4\,;\,\dfrac{13}{3})\).
- Pour \(\theta=\dfrac{2\pi}{3}\), \(\cos\theta=-\dfrac{1}{2}\) et \(\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), donc
\(\begin{pmatrix}x_C\\ y_C\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{6}\\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}\).
\(C(-\dfrac{3+\sqrt{3}}{6}\,;\,\dfrac{3\sqrt{3}-1}{6})\), soit environ \(C(-0{,}79\,;\,0{,}70)\).
Application 14 :
- On cherche \(X=\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\) tel que \(AX+B=X\), soit \(\begin{pmatrix}5x-3y-2\\ 4x-2y-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\). Les deux lignes donnent la même équation \(4x-3y=2\) : il y a une infinité de solutions (\(I_2-A\) n’est pas inversible). Par exemple \(x=2\) et \(y=2\) conviennent car \(8-6=2\) : \(X=\begin{pmatrix}2\\ 2\end{pmatrix}\).
Vérification : \(AX+B=\begin{pmatrix}10-6-2\\ 8-4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\ 2\end{pmatrix}=X\). - Pour tout entier n, \(V_{n+1}=U_{n+1}-X=AU_n+B-(AX+B)=A(U_n-X)\), donc \(V_{n+1}=AV_n\).
- La suite \((V_n)\) vérifie \(V_{n+1}=AV_n\), donc par récurrence \(V_n=A^nV_0\), avec \(V_0=U_0-X=\begin{pmatrix}-2\\ -1\end{pmatrix}\).
\(V_n=A^n\begin{pmatrix}-2\\ -1\end{pmatrix}\) et \(U_n=A^n\begin{pmatrix}-2\\ -1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\ 2\end{pmatrix}\).
Complément : on peut montrer par récurrence que \(A^n=\begin{pmatrix}4\times 2^n-3 & 3-3\times 2^n\\ 4\times 2^n-4 & 4-3\times 2^n\end{pmatrix}\), ce qui donne \(U_n=\begin{pmatrix}5-5\times 2^n\\ 6-5\times 2^n\end{pmatrix}\) ; on retrouve \(U_1=AU_0+B=\begin{pmatrix}-5\\ -4\end{pmatrix}\).
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