Cette fiche réunit 34 exercices consacrés aux intégrales et aux primitives, pensés pour les élèves de terminale en spécialité mathématiques. On y détermine des primitives de fonctions polynômes, rationnelles, trigonométriques ou exponentielles, parfois avec une condition initiale, puis on calcule des intégrales par linéarité, par intégration par parties ou grâce à une décomposition en éléments simples.
D’autres énoncés relient le calcul intégral à la géométrie : aires lues sur un graphique ou délimitées par deux courbes, reconnaissance d’une fonction à partir de la courbe de sa primitive, domaine partagé par une droite. Plusieurs sujets de type bac mêlent aussi suites définies par une intégrale, encadrements, limites et études de fonctions (dérivée, asymptotes, centre de symétrie).
Cherchez chaque exercice au brouillon en rédigeant la démarche complète, puis confrontez votre travail au corrigé détaillé des exercices de calcul intégral afin de repérer vos erreurs et de consolider les méthodes.
L’essentiel : Pour s’entraîner sur « Intégrales et primitives » en Terminale, la fiche propose 34 exercices progressifs : calcul intégral, intégration par parties et dérivée d’une fonction. Le corrigé détaillé est sur une page séparée ; fiche gratuite à imprimer en PDF.
Exercice 1 – Calcul intégral (intégrales et primitives)
Calculer
\(I= \int_{1}\;^{2}\frac{1+x^2}{1+x}dx\)
en cherchant une intégrale intermédiaire de la forme
\(J = \int_{1}\;^{2}\frac{f(x)}{g(x)}dx\)
qui s’intégrera facilement.
Exercice 2 – Intégration par parties
Calculer ces intégrales en intégrant par parties :
A. \(\int_{0}^{3}x\sqrt{3-x}dx\) .
B. \(\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x^2}dx\) .
C. \(\int_{0}^{\pi}x\cos(\frac{x}{2})dx\) .
Exercice 3 – Dérivée d’une fonction (intégrales et primitives)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^{+*}\) par \(f(x)=\frac{1}{x}+\frac{\ln x}{x}\).
Quelle est la dérivée de \(f\) sur \(\mathbb{R}^{+*}\) ?
Exercice 4 – Limite d’une fonction et asymptotes
Soit \(f\) une fonction définie sur \(]-\infty\,;0]\cup[1\,;+\infty[\) tel que \(f(x)=\sqrt{x^2-x}+x\) .
1. a. Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\) .
b. Déterminer la limite de \(f\) en \(-\infty\) , que peut-on en déduire pour la courbe de \(f\) ?
2. Cette fonction est-elle dérivable en 0 ? en 1?
Que peut -on en déduire pour la courbe de \(f\) ?
3. a. Déterminer la limite en \(+\infty\) de \(\frac{f(x)}{x}\) .
b. déterminer la limite en \(+\infty\) de \([f(x)-2x]\)
En déduire que la courbe de \(f\) admet une asymptote oblique en \(+\infty\) .
Exercice 5 – Fonction numérique et dérivée (intégrales et primitives)
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\) par \(f(x)=\frac{-2x^2+3x+7}{x-3}\)
et C sa représentation graphique dans un repère orthonormé du plan.
1.a.Déterminer les limites de f en \(+\infty\) et \(-\infty\).
b.Etudier le comportement asymptotique de f en 3.Interpréter les résultats graphiquement.
2.a.Déterminer la dérivée de f et étudier les variations de f.Dresser le tableau de variation complet de f.
3.a.Montrer que la courbe de f admet la droite (D) d’équation y = – 2x – 3 comme asymptote oblique en \(+\infty\) et \(-\infty\).
b.Déterminer algébriquement la position relative de la courbe C et de la droite (D).
4.Soit S(3;- 9).Montrer que S est le centre de symétrie de la courbe C.
Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C avec l’axe des abscisses.
5. Construire la courbe C et y faire apparaître les éléments remarquables.
Exercice 6 – Intégrales et suites numériques au Bac S Liban
On considère la suite \(( U_n)\) définie, pour tout entier naturel n , par :
\(U_n=\int_{0}^{1}\frac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}dx\)
1.
a. Montrer que \(U_0+U_1=1\) .
b. Calculer \(U_1\), en déduire \(U_0\) .
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, \(U_n\geq\,\,\, 0\).
3.
a. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul,
\(U_{n+1}+U_n=\frac{1-e^{-n}}{n}\)
b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul,
\(U_n\leq\,\,\, \frac{1-e^{-n}}{n}\)
4. Déterminer la limite de la suite \(( U_n)\).
Exercice 7 – Intégrales et exponentielles Bac S Nouvelle Calédonie (intégrales et primitives)
Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x par \(f(x) = (1 + x)e^{-x}\)
.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \((O,\vec{i},\vec{j})\) d’unité graphique 1 cm.
1. a. Étudier le signe de f(x) sur \(\mathbb{R}\).
b. Déterminer la limite de la fonction f en \(-\infty\).
Déterminer la limite de la fonction f en \(+\infty\).
c. On note f ‘ la fonction dérivée de la fonction f sur \(\mathbb{R}\).
Calculer, pour tout nombre réel x, f'(x).
En déduire les variations de la fonction f sur \(\mathbb{R}\).
d. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [−2 ; 5].
2. On note \((I_n)\) la suite définie pour tout entier naturel n par :
\(I_n=\int_{-1}^{n}f(x)dx\)
Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de \(I_n\) en fonction de n.
a. Montrer que, pour tout \(n\in \mathbb{N}\,,\,I_n >0\).
b. Montrer que la suite \((I_n)\) est croissante.
3. a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tous réels a et b :
\(\int_{a}^{b}f(x)dx=(-2-b)e^{-b}+(2+a)e^{-a}\)
b. En déduire l’expression de \(I_n\) en fonction de n.
c. Déterminer\(\lim_{n \to +\infty }I_n\) .
d. Donner une interprétation graphique de cette limite.
4. Déterminer \(\alpha \in \mathbb{R}\) tel que
\(\int_{-1}^{\alpha }f(x)dx=e\).
Ce calcul intégral correspond-il à un calcul d’aire ?
Exercice 8 – Dérivée
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\)
par \(f(x)=\cos^4 x-\cos^2 x\) .
1. Calculer \(f^{\prime}(x)\) et \(f^{\prime\prime}(x)\) .
En déduire que \(f^{\prime\prime}(x)+16f(x)\) est constant .
2. En déduire la valeur exacte de l’intégrale \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx\) .
Exercice 9 – Intégration par parties (intégrales et primitives)
Pour tout réel \(x\gt 0\), calculer à l’aide d’une intégration par parties :
\(I=\int_{1}^{x}(t^2-t)ln\,t\,dt\)
Exercice 10 – Le calcul de primitives
Etudier les primitives de la fonction f sur un intervalle I que l’on précisera .
a. \(f(x)=-1+x+\frac{x^3}{2}+x^5\,.\)
b. \(f(x)=(x-1)^2(x+1)\,.\)
c. \(f(x)=\frac{5}{4}x+\frac{7}{3}x^2+\frac{1}{2}x^4\,.\)
d. \(f(x)=x+\frac{1}{\sqrt{x}}\,.\)
d. \(f(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\,.\)
e. \(f(x)=-\frac{-3}{(3x-1)^2}\,.\)
f. \(f(x)=cos(x)+sin(x)\,.\)
g. \(f(x)=\frac{-3}{\sqrt{6x+7}}\,.\)
h. \(f(x)=\frac{1}{cos^2(x)}+cos x\,.\)
i. \(f(x)=ln(x)\,.\)
j. \(f(x)=sinx\times cos^2 x\,.\)
k. \(f(x)=sin(-3x+1)\,.\)
l. \(f(x)=\frac{3x}{(x^2+1)^2}\,.\)
m. \(f(x)=\frac{-1}{sin^2 x}\,.\)
(Indication : penser à \(\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}=(\frac{u}{v})^{\prime}\,.\) ).
Exercice 11 (intégrales et primitives)
Déterminer la primitive F de la fonction f sur I vérifiant la condition indiquée.
a. \(f(x)=x^3-x^2-1\,,I=\mathbb{R}\,\,,F(0)=7\,.\)
b. \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x^2}\,,I=]0\,;\,+\infty[\,\,,F(1)=0\,.\)
c. \(f(x)=sin(3x+\frac{\pi}{2})\,,I=\mathbb{R}\,\,,F(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{6}\,.\)
Exercice 12
Soit \(f(t)=\frac{-6t-3}{(t+2)^2(t-1)^2}\,.\)
a. Déterminer deux nombres réels a et b tels que, pour tout t différent de -2 et 1,
\(f(t)=\frac{a}{(t+2)^2}+\frac{b}{(t-1)^2}\,.\)
b. En déduire les primitives de f sur ]-2;1[ .
Exercice 13 – Extrait bac s sur l’intégration par partie (intégrales et primitives)
1. Déterminer trois réels a,b,c tels que , pour tout \(x\in ]0;+\infty[\) :
\(\frac{1}{x(1+x)^2}=\frac{a}{x}+\frac{b}{1+x}+\frac{c}{(1+x)^2}\) .
2. Soit \(X\ge 1\) .
a. Calculer \(\int_{1}^{X} \frac{dx}{x(1+x)^2}\) .
b. Soit f la fonction définie sur \(x\in [1;+\infty[\) par \(f(X)=\int_{1}^{X} \frac{ln x}{(1+x)^3}dx\)
En intégrant par parties, calculer f(X) en fonction de X .
c. Montrer que \(\lim_{X \to +\infty} f(X)=\frac{1}{2}(ln2-\frac{1}{2})\)
Exercice 14 – Les intégrales et les primitives
Calculer l’intégrale proposée :
a. \(\int_2^{3} 0 dt \,.\)
b. \(\int_{-1}^{2} (-x+6) dx \,.\)
c. \(\int_0^{4} (2x^2+8x-1) dx \,.\)
d. \(\int_0^{\frac{2\pi}{3}} (cosx) dx \,.\)
e. \(\int_{-2}^{0} (x^5+4x^3+x^2-x) dx \,.\)
f. \(\int_1^{3} (\frac{1}{x^2}) dx \,.\)
g. \(\int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}(\frac{1}{cos^2 x}) dx \,.\)
h. \(\int_{3}^{4}(\frac{1}{\sqrt{2x+5}}) dx \,.\)
Exercice 15 – calculs d’aires (intégrales et primitives)
Soit \(f(x)=x^2+1 \,.\)
I=[-1;0].
\(D\) est délimité par l’axe des abscisse, la courbe \(C\), les droites d’équations x=-1 et x=0 .
Démontrer que f est positive sur I et calculer l’aire du domaine \(D\,.\)
Exercice 16 – propriétés de l’intégration
On considère \(\int_a^{b} f(x) dx=5 \,.\) et \(\int_a^{b} g(x) dx=3 \,.\)
a. Calculer \(\int_a^{b} (2f(x)-4g(x)) dx \,.\)
b. Déterminer \(\beta \,.\) sachant que : \(\int_a^{b} (4f(x)-\beta g(x)) dx=2 \,.\)
Exercice 17 – propriétés de l’intégration (intégrales et primitives)
Justifier sans calcul le résultat suivant :
\(\int_{-5}^{5} (x^3-tan x) dx=0 \,.\)
Exercice 18
Calculer l’intégrale proposée en linéarisant :
a. \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} sin^2x dx \,.\)
b. \(\int_0^{\frac{\pi}{4}} sin x.cos x dx \,.\)
Exercice 19 (intégrales et primitives)
Soit \(f(t)=\frac{-6t-3}{(t+2)^2(t-1)^2} \,.\).
a. Déterminer deux nombres réels a et b tels que, pour tout t différent de -2 et 1, \(f(t)=\frac{a}{(t+2)^2}+\frac{b}{(t-1)^2} \,.\)
b. En déduire les primitives de f sur ]-2;1[.
Exercice 20 :
Calculer la valeur des deux intégrales suivantes :
a) \(\int_{0}^{4}3\,dx\) ; b) \(\int_{3}^{7}(\frac{1}{2}t+2)\,dt\)
Exercice 21 (intégrales et primitives)
f est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\frac{e^x}{(e^x+1\,)^2}\).
Pour chacune des fonctions définies ci-dessous, dire s’il s’agit d’une primitive de f sur \(\mathbb{R}\).
\(F_1(x)=\frac{-1}{e^x+1}\)
\(F_2(x)=\frac{2e^x+1}{e^x+1}\)
\(F_3(x)=\frac{2e^{-x}+1}{e^{-x}+1}\)
\(F_4(x)=\frac{e^{-x}+2}{e^{-x}+1}\)
Exercice 22 :
Déterminer une primitive sur \(\mathbb{R}\) des fonctions numériques suivantes :
a) \(f(x)=5x^4-3x+7\,,\,I=\mathbb{R}\)
b) \(g(x)=4(3x-1)^5\,,\,I=\mathbb{R}\)
c) \(h(x)=\frac{7x}{x^2+4}\,,\,I=]-4;+\infty[\)
d) \(i(x)=3xe^x\,,\,I=\mathbb{R}\)
Exercice 23 (intégrales et primitives)
a) Démontrer que pour tout réel t de l’intervalle [0;1],
\(2-2e^t\leq\,\,\,\,2-2e^{t^2}\leq\,\,\,\,0\)
b) Démontrer que, pour tout nombre réel t de l’intervalle \([1;+\infty[\)
\(2-2e^{t^2}\leq\,\,\,\,2-2e^t\)
c) En déduire :
- un encadrement de \(\int_{0}^{1}(2-2e^{t^2})dt\)
- l’inégalité \(\int_{1}^{5}(2-2e^{t^2})dt\leq\,\,\,\,8+2(e-e^5)\)
Exercice 24 :
Démontrer que pour tout entier naturel n,
\(0\leq\,\,\,\,\int_{0}^{1}\frac{x^n}{1+x}dx\leq\,\,\,\,ln2\)
Exercice 25 :
Dans le repère orthonormé ci-dessous, on a tracé la courbe représentative d’une fonction f définie
et continue sur l’intervalle [-4;4].
Calculer les intégrales suivantes :
a) \(\int_{-4}^{-2}f(t)dt\) ; b) \(\int_{-2}^{2}f(t)dt\) ; c) \(\int_{2}^{4}f(t)dt\)
Exercice 26 :
Calculer chacune des intégrales suivantes :
a) \(\int_{-2}^{1}5dx\) ; b) \(\int_{-1}^{2}(-t+4)dt\) ; c) \(\int_{-3}^{3}(x+3)dx\)
d) \(\int_{0}^{5}(2x+1)dx\) ; e) \(\int_{-2}^{2}(1-\frac{x}{2})dx\) ; f) \(\int_{-1}^{1}(1-|x|)dx\)
Exercice 27 :
Sur le graphique ci- dessous sont tracées les courbes représentatives des
fonctions f et g définies sur [0 ; 1] par \(f(x)=x^2\) et \(g (x) = -x^2\) et deux surfaces
limitées par ces courbes.
1. Calculer l’aire, en unités d’aire, de la surface colorée en bleu.
2. En déduire, sans calcul, l’aire, en unités d’aire, de la surface colorée en rouge.
3. Retrouver l’aire précédente par un calcul d’intégrale.
Exercice 28 :
Pour l’exercice, indiquer si l’affirmation est vraie ou fausse, puis justifier.
Soit \(I=\int_{1}^{3}xdx\) et \(J=\int_{-2}^{2}(-0{,}5x+1)dx\).
Par lecture graphique sur le schéma ci-contre I = J.
Exercice 29 :
Exercice 30 :
Soit une fonction f définie sur [ – 3 ; 5 ].
La courbe ci-dessous représente une primitive F sur [ – 3; 5 ] de f.
Parmi les deux courbes représentées ci-dessous, laquelle représente la fonction f? Justifier.
Exercice 31 :
Exercice 32 :
Voici la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthogonal.
Exercice 33 :
On note \(\varphi\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
b) Pour tout réel \(a\geq\,\,\,\,0\), on note \(D_a\) le domaine situé sous la courbe \(\varphi\) sur l’intervalle \([0;\,a]\).
A l’aide d’une intégration par parties, exprimer l’aire, en u.a., du domaine \(D_a\) en fonction de a.
c) Déterminer la limite de cette aire lorsque a tend vers \(+\infty\).
Exercice 34 :
\(f(x)=x(6-x)\).
\(A\) est l’aire du domaine coloré, en unité d’aire.
Déterminer, si elles existent, les valeurs de \(m\) pour lesquelles l’aire du domaine compris entre la courbe de \(f\) et \(D_m\) est égale à un huitième de \(A\).
Intégrales et primitives : méthode de travail
Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. Par ailleurs, intégrales et primitives en terminale demande surtout de la régularité.
Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Intégrale sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec représentations paramétriques et équations cartésiennes : exercices de maths en terminale en PDF.
