Bac de maths 2021 aux centres étrangers (jour 1) : sujet et corrigé

Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2021
Mathématiques — Candidats libres, sujet 1
Centres étrangers — 9 juin 2021
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Ceci est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte.
Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la réponse correspondante.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

1. On considère la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x) = x\text{e}^{-2x}.\]

On note \(f^{\prime\prime}\) la dérivée seconde de la fonction \(f\).

Quel que soit le réel \(x\), \(f^{\prime\prime}(x)\) est égal à :

2. Un élève de première générale choisit trois spécialités parmi les douze proposées. Le nombre de combinaisons possibles est :

3. On donne ci-dessous la représentation graphique de \(f^{\prime}\) fonction dérivée d’une fonction \(f\) définie sur \([0~;~7]\).

Le tableau de variation de \(f\) sur l’intervalle \([0~;~7]\) est :

4. Une entreprise fabrique des cartes à puces. Chaque puce peut présenter deux défauts notés A et B.

Une étude statistique montre que 2,8 % des puces ont le défaut A, 2,2 % des puces ont le défaut B et, heureusement, 95,4 % des puces n’ont aucun des deux défauts.

La probabilité qu’une puce prélevée au hasard ait les deux défauts est :

5. On se donne une fonction \(f\), supposée dérivable sur \(\mathbb{R}\), et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

On donne ci-dessous le tableau de variation de \(f\) :

D’après ce tableau de variation :

Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Dans tout cet exercice, les probabilités seront arrondies, si nécessaire, à \(10^{-3}\).

D’après une étude, les utilisateurs réguliers de transports en commun représentent 17 % de la population française.

Parmi ces utilisateurs réguliers, 32 % sont des jeunes âgés de 18 à 24 ans. (Source : TNS-Sofres)

Partie A

On interroge une personne au hasard et on note :

• \(R\) l’évènement : « La personne interrogée utilise régulièrement les transports en commun ».
• \(J\) l’évènement : « La personne interrogée est âgée de 18 à 24 ans ».

1. Représentez la situation à l’aide de cet arbre pondéré, que vous recopierez sur votre copie, en y reportant les données de l’énoncé.

2. Calculer la probabilité \(P(R \cap J)\).

3. D’après cette même étude, les jeunes de 18 à 24 ans représentent 11 % de la population française.

Montrer que la probabilité que la personne interrogée soit un jeune de 18 à 24 ans n’utilisant pas régulièrement les transports en commun est 0,056 à \(10^{-3}\) près.

4. En déduire la proportion de jeunes de 18 à 24 ans parmi les utilisateurs non réguliers des transports en commun.

Partie B

Lors d’un recensement sur la population française, un recenseur interroge au hasard 50 personnes en une journée sur leur pratique des transports en commun.

La population française est suffisamment importante pour assimiler ce recensement à un tirage avec remise.

Soit \(X\) la variable aléatoire dénombrant les personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les 50 personnes interrogées.

1. Déterminer, en justifiant, la loi de \(X\) et préciser ses paramètres.

2. Calculer \(P(X = 5)\) et interpréter le résultat.

3. Le recenseur indique qu’il y a plus de 95 % de chance pour que, parmi les 50 personnes interrogées, moins de 13 d’entre elles utilisent régulièrement les transports en commun.

Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier votre réponse.

4. Quel est le nombre moyen de personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les 50 personnes interrogées ?

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

En mai 2020, une entreprise fait le choix de développer le télétravail afin de s’inscrire dans une démarche écoresponsable.

Elle propose alors à ses 5 000 collaborateurs en France de choisir entre le télétravail et le travail au sein des locaux de l’entreprise.

En mai 2020, seuls 200 d’entre eux ont choisi le télétravail.

Chaque mois, depuis la mise en place de cette mesure, les dirigeants de l’entreprise constatent que 85 % de ceux qui avaient choisi le télétravail le mois précédent choisissent de continuer, et que, chaque mois, 450 collaborateurs supplémentaires choisissent le télétravail.

On modélise le nombre de collaborateurs de cette entreprise en télétravail par la suite \((a_n)\).

Le terme \(a_n\) désigne ainsi une estimation du nombre de collaborateurs en télétravail le \(n\)-ième mois après le mois de mai 2020. Ainsi \(a_0 = 200\).

Partie A

1. Calculer \(a_1\).

2. Justifier que pour tout entier naturel \(n\), \(a_{n+1} = 0{,}85a_n + 450\).

3. On considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par : \(v_n = a_n – 3000\).

a. Démontrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(0{,}85\).

b. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\) pour tout entier naturel \(n\).

c. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(a_n = -2800 \times 0{,}85^n + 3000\).

4. Déterminer le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à 2 500, après la mise en place de cette mesure dans l’entreprise.

Partie B

Afin d’évaluer l’impact de cette mesure sur son personnel, les dirigeants de l’entreprise sont parvenus à modéliser le nombre de collaborateurs satisfaits par ce dispositif à l’aide de la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1} = \dfrac{5u_n + 4}{u_n + 2}\]

où \(u_n\) désigne le nombre de milliers de collaborateurs satisfaits par cette nouvelle mesure au bout de \(n\) mois après le mois de mai 2020.

1. Démontrer que la fonction \(f\) définie pour tout \(x \in [0~;~+\infty[\) par \(f(x) = \dfrac{5x + 4}{x + 2}\) est strictement croissante sur \([0~;~+\infty[\).

2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel

\[0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 4.\]

b. Justifier que la suite \((u_n)\) est convergente.

3. On admet que pour tout entier naturel \(n\),

\[0 \leq\, 4 – u_n \leq\, 3 \times (\dfrac{1}{2})^n.\]

En déduire la limite de la suite \((u_n)\) et l’interpréter dans le contexte de la modélisation.

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B

Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Exercice A — Géométrie dans l’espace

Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points suivants :

\[\text{A}(2~;~-1~;~0),\ \text{B}(3~;~-1~;~2),\ \text{C}(0~;~4~;~1) \ \text{ et } \ \text{S}(0~;~1~;~4).\]

1. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.

2. a. Montrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}\) est orthogonal au plan (ABC).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

c. Montrer que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.

3. Soit \((d)\) la droite orthogonale au plan (ABC) passant par S. Elle coupe le plan (ABC) en H.

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((d)\).

b. Montrer que les coordonnées du point H sont H(2 ; 2 ; 3).

4. On rappelle que le volume \(V\) d’un tetraèdre est \(V = \dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}\).

Calculer le volume du tétraèdre SABC.

5. a. Calculer la longueur SA.

b. On indique que SB \(= \sqrt{17}\).

En déduire une mesure de l’angle \(\widehat{\text{ASB}}\) approchée au dixième de degré.

Exercice B — Équations différentielles

Partie A

Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[g(x) = 2\text{e}^{\frac{-1}{3}x} + \dfrac{2}{3}x – 2.\]

1. On admet que la fonction \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(g^{\prime}\) sa fonction dérivée.

Montrer que, pour tout réel \(x\) :

\[g^{\prime}(x) = \dfrac{-2}{3}\text{e}^{-\frac{1}{3}x} + \dfrac{2}{3}.\]

2. En déduire le sens de variations de la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}\).

3. Déterminer le signe de \(g(x)\), pour tout \(x\) réel.

Partie B

1. On considère l’équation différentielle

\[(E) : \qquad 3y^{\prime} + y = 0.\]

Résoudre l’équation différentielle \((E)\).

2. Déterminer la solution particulière dont la courbe représentative, dans un repère du plan, passe par le point M(0 ; 2).

3. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = 2\text{e}^{-\frac{1}{3}x}\]

et \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative.

a. Montrer que la tangente \((\Delta_0)\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point M(0 ; 2) admet une équation de la forme :

\[y = -\dfrac{2}{3}x + 2.\]

b. Étudier, sur \(\mathbb{R}\), la position de cette courbe \(\mathcal{C}_f\) par rapport à la tangente \((\Delta_0)\).

Partie C

1. Soit A le point de la courbe \(\mathcal{C}_f\) d’abscisse \(a\), \(a\) réel quelconque.

Montrer que la tangente \((\Delta_a)\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point A coupe l’axe des abscisses en un point P d’abscisse \(a + 3\).

2. Expliquer la construction de la tangente \((\Delta_{-2})\) à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point B d’abscisse \(-2\).

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Réponse b.

On dérive le produit \(x \times \text{e}^{-2x}\), en se rappelant que la dérivée de \(\text{e}^{-2x}\) est \(-2\text{e}^{-2x}\) :

\[f^{\prime}(x) = 1 \times \text{e}^{-2x} + x \times (-2\text{e}^{-2x}) = (1 – 2x)\text{e}^{-2x}.\]

On recommence avec \(u(x) = 1 – 2x\) (\(u^{\prime} = -2\)) et \(v(x) = \text{e}^{-2x}\) :

\[f^{\prime\prime}(x) = -2\text{e}^{-2x} + (1 – 2x)(-2\text{e}^{-2x}) = (-2 – 2 + 4x)\text{e}^{-2x} = 4(x – 1)\text{e}^{-2x}.\]

La proposition a est \(f^{\prime}(x)\), pas \(f^{\prime\prime}(x)\) : c’est un piège. La bonne réponse est b.

2. Réponse c.

On choisit 3 spécialités parmi 12, sans ordre et sans répétition : c’est un nombre de combinaisons.

\[\binom\,{12}{3} = \dfrac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{1320}{6} = 220.\]

1 320 compterait les choix ordonnés (arrangements) et 1 728 \(= 12^3\) les listes avec répétition. Réponse c : 220.

3. Réponse b.

Le sens de variation de \(f\) se lit sur le signe de \(f^{\prime}\) : la courbe de \(f^{\prime}\) est sous l’axe des abscisses sur \([0~;~2]\), au-dessus sur \([2~;~5]\), puis de nouveau en dessous sur \([5~;~7]\).

Donc \(f\) est décroissante sur \([0~;~2]\), croissante sur \([2~;~5]\), décroissante sur \([5~;~7]\) : c’est le tableau b. Les tableaux a et d confondent le maximum de \(f^{\prime}\) (vers 3,25) ou son annulation avec les variations de \(f\).

4. Réponse b.

Notons \(A\) et \(B\) les évènements « la puce a le défaut A » et « la puce a le défaut B ». On a \(P(A) = 0{,}028\), \(P(B) = 0{,}022\) et, puisque 95,4 % des puces n’ont aucun défaut, \(P(A \cup B) = 1 – 0{,}954 = 0{,}046\).

La formule \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\) donne :

\[P(A \cap B) = 0{,}028 + 0{,}022 – 0{,}046 = 0{,}004.\]

Réponse b : 0,004.

5. Réponse b.

D’après le tableau, \(f\) est croissante sur \(]-\infty~;~-1]\) puis décroissante sur \([-1~;~+\infty[\). Une fonction dérivable croissante sur un intervalle a une dérivée positive sur cet intervalle : \(f^{\prime}\) est positive sur \(]-\infty~;~-1]\). Les autres propositions sont contredites par l’une des deux phases de variation.

Exercice 2 :

Partie A

1. Arbre pondéré

L’énoncé donne \(P(R) = 0{,}17\) et \(P_R(J) = 0{,}32\) (32 % des utilisateurs réguliers ont entre 18 et 24 ans). On en déduit \(P(\overline{R}) = 0{,}83\) et \(P_R(\overline{J}) = 0{,}68\). Les probabilités conditionnelles sachant \(\overline{R}\) ne sont pas données à ce stade : on les calcule à la question 4. L’arbre porte les pondérations suivantes :

2. Calcul de \(P(R \cap J)\)

On suit la branche \(R\) puis \(J\) : \(P(R \cap J) = P(R) \times P_R(J) = 0{,}17 \times 0{,}32 = 0{,}0544\), soit environ 0,054.

3. Calcul de \(P(\overline{R} \cap J)\)

Les évènements \(R\) et \(\overline{R}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[P(J) = P(R \cap J) + P(\overline{R} \cap J), \quad \text{donc} \quad P(\overline{R} \cap J) = 0{,}11 – 0{,}0544 = 0{,}0556.\]

Arrondie à \(10^{-3}\), cette probabilité vaut bien 0,056.

4. Proportion de jeunes parmi les non-utilisateurs réguliers

On cherche la probabilité conditionnelle \(P_{\overline{R}}(J)\) :

\[P_{\overline{R}}(J) = \dfrac{P(\overline{R} \cap J)}{P(\overline{R})} = \dfrac{0{,}0556}{0{,}83} \approx 0{,}067.\]

Environ 6,7 % des utilisateurs non réguliers des transports en commun ont entre 18 et 24 ans.

Partie B

1. Loi de \(X\)

Interroger une personne est une épreuve de Bernoulli : le succès « la personne utilise régulièrement les transports en commun » a pour probabilité \(p = 0{,}17\). Le recensement est assimilé à un tirage avec remise, donc les 50 épreuves sont identiques et indépendantes. \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 50\) et \(p = 0{,}17\).

2. Calcul de \(P(X = 5)\)

\[P(X = 5) = \binom\,{50}{5} \times 0{,}17^5 \times 0{,}83^{45} \approx 0{,}069.\]

Il y a environ 6,9 % de chances que, parmi les 50 personnes interrogées, exactement 5 utilisent régulièrement les transports en commun.

3. L’affirmation du recenseur

« Moins de 13 personnes » correspond à l’évènement \((X \leq\, 12)\). À la calculatrice (fonction de répartition de la loi binomiale) : \(P(X \leq\, 12) \approx 0{,}929\).

Cette probabilité est inférieure à 0,95 : l’affirmation est fausse. (Il faudrait aller jusqu’à 13 personnes incluses : \(P(X \leq\, 13) \approx 0{,}964\).)

4. Nombre moyen

L’espérance d’une loi binomiale vaut \(E(X) = np = 50 \times 0{,}17 = 8{,}5\). En moyenne, 8,5 personnes sur 50 utilisent régulièrement les transports en commun.

Exercice 3 :

Partie A

1. Calcul de \(a_1\)

85 % des 200 télétravailleurs de mai continuent, et 450 nouveaux s’ajoutent : \(a_1 = 0{,}85 \times 200 + 450 = 170 + 450 = 620\). \(a_1 = 620\).

2. Relation de récurrence

Le mois \(n+1\), les télétravailleurs sont ceux du mois \(n\) qui continuent, soit 85 % de \(a_n\), c’est-à-dire \(0{,}85a_n\), auxquels s’ajoutent 450 nouveaux. Donc \(a_{n+1} = 0{,}85a_n + 450\) pour tout entier naturel \(n\).

3. a. La suite \((v_n)\) est géométrique

Pour tout entier naturel \(n\), en utilisant \(a_n = v_n + 3000\) :

\[v_{n+1} = a_{n+1} – 3000 = 0{,}85a_n + 450 – 3000 = 0{,}85a_n – 2550 = 0{,}85(a_n – 3000) = 0{,}85\,v_n,\]

car \(0{,}85 \times 3000 = 2550\). La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison 0,85, de premier terme \(v_0 = 200 – 3000 = -2800\).

3. b. Expression de \(v_n\)

Pour une suite géométrique, \(v_n = v_0 \times q^n\), donc \(v_n = -2800 \times 0{,}85^n\).

3. c. Expression de \(a_n\)

Comme \(a_n = v_n + 3000\), on obtient pour tout entier naturel \(n\) : \(a_n = -2800 \times 0{,}85^n + 3000\).

4. Seuil de 2 500 télétravailleurs

On résout \(a_n \gt 2500\) :

\[-2800 \times 0{,}85^n + 3000 \gt 2500 \iff -2800 \times 0{,}85^n \gt -500 \iff 0{,}85^n \lt \dfrac{500}{2800} = \dfrac{5}{28}.\]

La fonction \(\ln\) est strictement croissante, donc \(n \ln(0{,}85) \lt \ln(\dfrac{5}{28})\). Comme \(\ln(0{,}85) \lt 0\), diviser par ce nombre change le sens de l’inégalité :

\[n \gt \dfrac{\ln(\frac{5}{28})}{\ln(0{,}85)} \approx 10{,}6.\]

Le plus petit entier qui convient est 11. Vérification : \(a_{10} \approx 2449\) et \(a_{11} \approx 2531\). Le nombre de télétravailleurs dépasse 2 500 au bout de 11 mois, c’est-à-dire en avril 2021.

Partie B

1. Sens de variation de \(f\)

\(f\) est un quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur \(x + 2\) ne s’annule pas sur \([0~;~+\infty[\). Avec \((\dfrac{u}{v})^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}v – uv^{\prime}}{v^2}\) :

\[f^{\prime}(x) = \dfrac{5(x + 2) – (5x + 4) \times 1}{(x + 2)^2} = \dfrac{6}{(x + 2)^2}.\]

Pour tout \(x \geq\, 0\), \(f^{\prime}(x) \gt 0\) : \(f\) est strictement croissante sur \([0~;~+\infty[\).

2. a. Récurrence

Notons \(P(n)\) la propriété « \(0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 4\) ».

Initialisation : \(u_0 = 1\) et \(u_1 = \dfrac{5 + 4}{1 + 2} = 3\). On a bien \(0 \leq\, 1 \leq\, 3 \leq\, 4\) : \(P(0)\) est vraie.

Hérédité : supposons \(P(n)\) vraie pour un entier \(n\) : \(0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 4\). Tous ces nombres sont dans \([0~;~+\infty[\), où \(f\) est croissante, donc l’ordre est conservé :

\[f(0) \leq\, f(u_n) \leq\, f(u_{n+1}) \leq\, f(4), \quad \text{soit} \quad 2 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_{n+2} \leq\, 4,\]

car \(f(0) = \dfrac{4}{2} = 2\) et \(f(4) = \dfrac{24}{6} = 4\). Comme \(2 \geq\, 0\), on obtient \(0 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_{n+2} \leq\, 4\) : \(P(n+1)\) est vraie.

Conclusion : pour tout entier naturel \(n\), \(0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 4\).

2. b. Convergence

L’inégalité \(u_n \leq\, u_{n+1}\) montre que la suite est croissante, et \(u_n \leq\, 4\) qu’elle est majorée par 4. D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) converge.

3. Limite et interprétation

Comme \(0 \lt \dfrac{1}{2} \lt 1\), \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (\dfrac{1}{2})^n = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 3 \times (\dfrac{1}{2})^n = 0\). La suite \((4 – u_n)\) est encadrée par 0 et une suite qui tend vers 0 : d’après le théorème des gendarmes, elle tend vers 0. Donc \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 4\).

Dans le modèle, \(u_n\) compte des milliers de collaborateurs : à long terme, le nombre de collaborateurs satisfaits par le télétravail se stabilise autour de 4 000.

Exercice A :

1. Triangle ABC rectangle en A

On calcule \(\vec{\text{AB}}(1~;~0~;~2)\) et \(\vec{\text{AC}}(-2~;~5~;~1)\), puis leur produit scalaire :

\[\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{AC}} = 1 \times (-2) + 0 \times 5 + 2 \times 1 = 0.\]

Les vecteurs sont orthogonaux, donc le triangle ABC est rectangle en A.

2. a. Vecteur orthogonal au plan (ABC)

\(\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{AC}}\) ne sont pas colinéaires (la deuxième coordonnée de l’un est nulle, pas celle de l’autre) : ils dirigent le plan (ABC).

\(\vec{n} \cdot \vec{\text{AB}} = 2 \times 1 + 1 \times 0 + (-1) \times 2 = 0\) et \(\vec{n} \cdot \vec{\text{AC}} = 2 \times (-2) + 1 \times 5 + (-1) \times 1 = 0\).

\(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan : il est orthogonal au plan (ABC).

2. b. Équation cartésienne

Le plan (ABC) a une équation de la forme \(2x + y – z + d = 0\). Il contient A(2 ; −1 ; 0) : \(4 – 1 – 0 + d = 0\), donc \(d = -3\). Une équation de (ABC) est \(2x + y – z – 3 = 0\).

2. c. Les points ne sont pas coplanaires

Avec les coordonnées de S : \(2 \times 0 + 1 – 4 – 3 = -6 \neq 0\). Le point S n’appartient pas au plan (ABC), donc A, B, C et S ne sont pas coplanaires.

3. a. Représentation paramétrique de \((d)\)

La droite \((d)\) est orthogonale au plan (ABC), elle est donc dirigée par \(\vec{n}\), et elle passe par S(0 ; 1 ; 4) :

\[(d) : \{\begin{array}{l} x = 2t \\ y = 1 + t \\ z = 4 – t \end{array}. \qquad t \in \mathbb{R}.\]

3. b. Coordonnées de H

H est sur \((d)\) et dans le plan (ABC). On remplace dans l’équation du plan :

\[2(2t) + (1 + t) – (4 – t) – 3 = 0 \iff 6t – 6 = 0 \iff t = 1.\]

Pour \(t = 1\) : \(x = 2\), \(y = 2\), \(z = 3\). On obtient bien H(2 ; 2 ; 3).

4. Volume du tétraèdre SABC

On prend pour base le triangle ABC, rectangle en A : \(\text{AB} = \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5}\) et \(\text{AC} = \sqrt{4 + 25 + 1} = \sqrt{30}\), donc son aire vaut \(\dfrac{\sqrt{5} \times \sqrt{30}}{2} = \dfrac{\sqrt{150}}{2} = \dfrac{5\sqrt{6}}{2}\).

La hauteur est SH, car H est le pied de la perpendiculaire au plan (ABC) issue de S : \(\vec{\text{SH}}(2~;~1~;~-1)\), donc \(\text{SH} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}\).

\[V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{5\sqrt{6}}{2} \times \sqrt{6} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{5 \times 6}{2} = 5.\]

Le volume du tétraèdre SABC est 5 unités de volume.

5. a. Longueur SA

\(\vec{\text{SA}}(2~;~-2~;~-4)\), donc \(\text{SA} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\). SA \(= 2\sqrt{6} \approx 4{,}90\).

5. b. Angle \(\widehat{\text{ASB}}\)

On calcule le produit scalaire de deux façons. Avec les coordonnées, \(\vec{\text{SA}}(2~;~-2~;~-4)\) et \(\vec{\text{SB}}(3~;~-2~;~-2)\) :

\[\vec{\text{SA}} \cdot \vec{\text{SB}} = 6 + 4 + 8 = 18.\]

Avec les normes : \(\vec{\text{SA}} \cdot \vec{\text{SB}} = \text{SA} \times \text{SB} \times \cos\widehat{\text{ASB}} = 2\sqrt{6} \times \sqrt{17} \times \cos\widehat{\text{ASB}}\). Donc :

\[\cos\widehat{\text{ASB}} = \dfrac{18}{2\sqrt{6} \times \sqrt{17}} = \dfrac{9}{\sqrt{102}} \approx 0{,}8911.\]

À la calculatrice, \(\widehat{\text{ASB}} \approx 27{,}0°\) au dixième de degré (26,98° avant arrondi).

Exercice B :

Partie A

1. Calcul de \(g^{\prime}(x)\)

La dérivée de \(\text{e}^{kx}\) est \(k\,\text{e}^{kx}\) ; ici \(k = -\dfrac{1}{3}\). Donc :

\[g^{\prime}(x) = 2 \times (-\dfrac{1}{3})\text{e}^{-\frac{1}{3}x} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{-2}{3}\text{e}^{-\frac{1}{3}x} + \dfrac{2}{3}.\]

2. Sens de variation de \(g\)

On factorise : \(g^{\prime}(x) = \dfrac{2}{3}(1 – \text{e}^{-\frac{1}{3}x})\). Or \(1 – \text{e}^{-\frac{1}{3}x} \geq\, 0 \iff \text{e}^{-\frac{1}{3}x} \leq\, 1 \iff -\dfrac{1}{3}x \leq\, 0 \iff x \geq\, 0\), par croissance de l’exponentielle.

Donc \(g^{\prime}(x) \leq\, 0\) sur \(]-\infty~;~0]\) et \(g^{\prime}(x) \geq\, 0\) sur \([0~;~+\infty[\), avec \(g^{\prime}(0) = 0\). \(g\) est décroissante sur \(]-\infty~;~0]\) et croissante sur \([0~;~+\infty[\).

3. Signe de \(g(x)\)

D’après les variations, \(g\) admet un minimum en 0, qui vaut \(g(0) = 2\text{e}^0 + 0 – 2 = 0\). Donc \(g(x) \geq\, 0\) pour tout réel \(x\), et \(g(x) = 0\) seulement pour \(x = 0\) (les variations sont strictes de part et d’autre de 0, car \(g^{\prime}\) ne s’annule qu’en 0).

Partie B

1. Résolution de \((E)\)

\(3y^{\prime} + y = 0 \iff y^{\prime} = -\dfrac{1}{3}y\). Les solutions de l’équation \(y^{\prime} = ay\) sont les fonctions \(x \mapsto C\text{e}^{ax}\). Ici, les solutions de \((E)\) sont les fonctions \(x \mapsto C\text{e}^{-\frac{1}{3}x}\), avec \(C \in \mathbb{R}\).

2. Solution passant par M(0 ; 2)

On veut \(C\text{e}^0 = 2\), donc \(C = 2\). La solution cherchée est \(x \mapsto 2\text{e}^{-\frac{1}{3}x}\), c’est-à-dire la fonction \(f\) de la question suivante.

3. a. Tangente en M

\(f(0) = 2\) et \(f^{\prime}(x) = -\dfrac{2}{3}\text{e}^{-\frac{1}{3}x}\), donc \(f^{\prime}(0) = -\dfrac{2}{3}\). La tangente en M a pour équation \(y = f^{\prime}(0)(x – 0) + f(0)\), soit \(y = -\dfrac{2}{3}x + 2\).

3. b. Position de la courbe par rapport à la tangente

On étudie le signe de la différence :

\[f(x) – (-\dfrac{2}{3}x + 2) = 2\text{e}^{-\frac{1}{3}x} + \dfrac{2}{3}x – 2 = g(x).\]

D’après la partie A, \(g(x) \geq\, 0\) pour tout réel \(x\), avec égalité seulement en 0. Donc la courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de sa tangente \((\Delta_0)\) sur \(\mathbb{R}\), et ne la touche qu’au point M.

Partie C

1. Intersection de \((\Delta_a)\) avec l’axe des abscisses

La tangente au point d’abscisse \(a\) a pour équation \(y = f^{\prime}(a)(x – a) + f(a)\), c’est-à-dire :

\[y = -\dfrac{2}{3}\text{e}^{-\frac{1}{3}a}(x – a) + 2\text{e}^{-\frac{1}{3}a}.\]

Elle coupe l’axe des abscisses quand \(y = 0\). En divisant par \(\dfrac{2}{3}\text{e}^{-\frac{1}{3}a}\), qui n’est jamais nul :

\[-(x – a) + 3 = 0 \iff x = a + 3.\]

La tangente \((\Delta_a)\) coupe donc l’axe des abscisses au point P d’abscisse \(a + 3\).

2. Construction de \((\Delta_{-2})\)

On place sur la courbe \(\mathcal{C}_f\) le point B d’abscisse \(-2\) (son ordonnée est \(2\text{e}^{\frac{2}{3}} \approx 3{,}9\)). D’après la question précédente, la tangente en B coupe l’axe des abscisses au point P d’abscisse \(-2 + 3 = 1\), c’est-à-dire P(1 ; 0). Il suffit de placer P et de tracer la droite (BP) : c’est la tangente \((\Delta_{-2})\). Cette construction marche pour tout point de la courbe : on se décale de 3 unités vers la droite sur l’axe des abscisses.

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