Bac de maths 2021 en Asie (jour 2) : sujet et corrigé

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2021
Mathématiques — Jour 2
Asie — 8 juin 2021
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)

Pour chaque question, trois affirmations sont proposées, une seule de ces affirmations est exacte.
Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de chaque question et la lettre de la réponse choisie pour celle-ci.
AUCUNE JUSTIFICATION n’est demandée. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

1. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x) = (x^2 – 2x – 1)\text{e}^x.\]

2. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{3}{5 + \text{e}^x}\).

Sa courbe représentative dans un repère admet :

3. On donne ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}_{f^{\prime\prime}}\) représentant la fonction dérivée seconde \(f^{\prime\prime}\) d’une fonction \(f\) définie et deux fois dérivable sur l’intervalle \([-3{,}5~;~6]\).

4. On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n = n^2 – 17n + 20\).

5. On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 2\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 0{,}75u_n + 5\).

On considère la fonction « seuil » suivante écrite en Python :

def seuil() :
    u = 2
    n = 0
    while u < 45 :
        u = 0,75*u + 5
        n = n+1
    return n

Cette fonction renvoie :

Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

On considère un pavé droit ABCDEFGH tel que AB = AD = 1 et AE = 2, représenté ci-dessous.

Le point I est le milieu du segment [AE]. Le point K est le milieu du segment [DC]. Le point L est défini par : \(\vec{\text{DL}} = \dfrac{3}{2}\vec{\text{AI}}\). N est le projeté orthogonal du point D sur le plan (AKL).

On se place dans le repère orthonormé \((\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}},~\vec{\text{AI}})\).

On admet que le point L a pour coordonnées \((0~;~1~;~\dfrac{3}{2})\).

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\vec{\text{AK}}\) et \(\vec{\text{AL}}\).

2. a. Démontrer que le vecteur \(\vec{n}\) de coordonnées \((6~;~-3~;~2)\) est un vecteur normal au plan (AKL).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (AKL).

c. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite \(\Delta\) passant par D et perpendiculaire au plan (AKL).

d. En déduire que le point N de coordonnées \((\dfrac{18}{49}~;~\dfrac{40}{49}~;~\dfrac{6}{49})\) est le projeté orthogonal du point D sur le plan (AKL).

On rappelle que le volume \(\mathcal{V}\) d’un tétraèdre est donné par la formule :

\[\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}.\]

3. a. Calculer le volume du tétraèdre ADKL en utilisant le triangle ADK comme base.

b. Calculer la distance du point D au plan (AKL).

c. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle AKL.

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Une société de jeu en ligne propose une nouvelle application pour smartphone nommée « Tickets coeurs ! ».

Chaque participant génère sur son smartphone un ticket comportant une grille de taille \(3 \times 3\) sur laquelle sont placés trois cœurs répartis au hasard, comme par exemple ci-dessous.

Le ticket est gagnant si les trois cœurs sont positionnés côte à côte sur une même ligne, sur une même colonne ou sur une même diagonale.

1. Justifier qu’il y a exactement 84 façons différentes de positionner les trois cœurs sur une grille.

2. Montrer que la probabilité qu’un ticket soit gagnant est égale à \(\dfrac{2}{21}\).

3. Lorsqu’un joueur génère un ticket, la société prélève 1 € sur son compte en banque. Si le ticket est gagnant, la société verse alors au joueur 5 €. Le jeu est-il favorable au joueur ?

4. Un joueur décide de générer 20 tickets sur cette application. On suppose que les générations des tickets sont indépendantes entre elles.

a. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\) qui compte le nombre de tickets gagnants parmi les 20 tickets générés.

b. Calculer la probabilité, arrondie à \(10^{-3}\), de l’évènement \((X = 5)\).

c. Calculer la probabilité, arrondie à \(10^{-3}\), de l’évènement \((X \geq\, 1)\) et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter UN SEUL des deux exercices A ou B

Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B

Exercice A

Principaux domaines abordés : Suites ; Équations différentielles.

Dans cet exercice, on s’intéresse à la croissance du bambou Moso de taille maximale 20 mètres.

Le modèle de croissance de Ludwig von Bertalanffy suppose que la vitesse de croissance pour un tel bambou est proportionnelle à l’écart entre sa taille et la taille maximale.

Partie I : modèle discret

Dans cette partie, on observe un bambou de taille initiale 1 mètre.

Pour tout entier naturel \(n\), on note \(u_n\) la taille, en mètre, du bambou \(n\) jours après le début de l’observation. On a ainsi \(u_0 = 1\).

Le modèle de von Bertalanffy pour la croissance du bambou entre deux jours consécutifs se traduit par l’égalité :

\[u_{n+1} = u_n + 0{,}05(20 – u_n) \text{ pour tout entier naturel } n.\]

1. Vérifier que \(u_1 = 1{,}95\).

2. a. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 0{,}95u_n + 1\).

b. On pose pour tout entier naturel \(n\), \(v_n = 20 – u_n\).

Démontrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique dont on précisera le terme initial \(v_0\) et la raison.

c. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = 20 – 19 \times 0{,}95^n\).

3. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

Partie II : modèle continu

Dans cette partie, on souhaite modéliser la taille du même bambou Moso par une fonction donnant sa taille, en mètre, en fonction du temps \(t\) exprimé en jour.

D’après le modèle de von Bertalanffy, cette fonction est solution de l’équation différentielle

\[(E) \qquad y^{\prime} = 0{,}05(20 – y)\]

où \(y\) désigne une fonction de la variable \(t\), définie et dérivable sur \([0~;~+\infty[\) et \(y^{\prime}\) désigne sa fonction dérivée.

Soit la fonction \(L\) définie sur l’intervalle \([0~;~+\infty[\) par

\[L(t) = 20 – 19\text{e}^{-0{,}05t}.\]

1. Vérifier que la fonction \(L\) est une solution de \((E)\) et qu’on a également \(L(0) = 1\).

2. On prend cette fonction \(L\) comme modèle et on admet que, si on note \(L^{\prime}\) sa fonction dérivée, \(L^{\prime}(t)\) représente la vitesse de croissance du bambou à l’instant \(t\).

a. Comparer \(L^{\prime}(0)\) et \(L^{\prime}(5)\).

b. Calculer la limite de la fonction dérivée \(L^{\prime}\) en \(+\infty\).

Ce résultat est-il en cohérence avec la description du modèle de croissance exposé au début de l’exercice ?

Exercice B

Principaux domaines abordés : Suites, étude de fonction ; Fonction logarithme.

Soit la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]1~;~+\infty[\) par

\[f(x) = x – \ln (x – 1).\]

On considère la suite \((u_n)\) de terme initial \(u_0 = 10\) et telle que \(u_{n+1} = f(u_n)\) pour tout entier naturel \(n\).

Partie I :

La feuille de calcul ci-dessous a permis d’obtenir des valeurs approchées des premiers termes de la suite \((u_n)\).

1. Quelle formule a été saisie dans la cellule B3 pour permettre le calcul des valeurs approchées de \((u_n)\) par recopie vers le bas ?

2. À l’aide de ces valeurs, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite \((u_n)\).

Partie II :

On rappelle que la fonction \(f\) est définie sur l’intervalle \(]1~;~+\infty[\) par

\[f(x) = x – \ln (x – 1).\]

1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)\). On admettra que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

2. a. Soit \(f^{\prime}\) la fonction dérivée de \(f\). Montrer que pour tout \(x \in ]1~;~+\infty[\), \(f^{\prime}(x) = \dfrac{x – 2}{x – 1}\).

b. En déduire le tableau des variations de \(f\) sur l’intervalle \(]1~;~+\infty[\), complété par les limites.

c. Justifier que pour tout \(x \geq\, 2\), \(f(x) \geq\, 2\).

Partie III :

1. En utilisant les résultats de la partie II, démontrer par récurrence que \(u_n \geq\, 2\) pour tout entier naturel \(n\).

2. Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.

3. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente. On note \(\ell\) sa limite.

4. On admet que \(\ell\) vérifie \(f(\ell) = \ell\). Donner la valeur de \(\ell\).

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Réponse C.

La fonction \(f\) est le produit de \(u(x) = x^2 – 2x – 1\) et de \(v(x) = \text{e}^x\). Avec \((uv)^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime}\) :

\[f^{\prime}(x) = (2x – 2)\text{e}^x + (x^2 – 2x – 1)\text{e}^x = (x^2 – 3)\text{e}^x.\]

L’affirmation A oublie le terme \(uv^{\prime}\) : elle est fausse. Comme \(\text{e}^x \gt 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(x^2 – 3\), qui est négatif seulement entre \(-\sqrt{3}\) et \(\sqrt{3}\) : \(f\) est croissante sur \(]-\infty~;~-\sqrt{3}]\), donc B est fausse.

Pour la limite, on développe : \(f(x) = x^2\text{e}^x – 2x\text{e}^x – \text{e}^x\). Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^2\text{e}^x = 0\) et \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x\text{e}^x = 0\) ; de plus \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0\). Par somme, \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) : c’est la réponse C.

2. Réponse C.

Le dénominateur \(5 + \text{e}^x\) est strictement positif, donc \(f\) est définie sur tout \(\mathbb{R}\) : pas d’asymptote verticale possible.

En \(-\infty\) : \(\text{e}^x\) tend vers 0, donc \(f(x)\) tend vers \(\dfrac{3}{5}\) ; la droite d’équation \(y = \dfrac{3}{5}\) est asymptote horizontale.

En \(+\infty\) : \(5 + \text{e}^x\) tend vers \(+\infty\), donc \(f(x)\) tend vers 0 ; l’axe des abscisses \(y = 0\) est asymptote horizontale.

La courbe admet donc deux asymptotes horizontales.

3. Réponse B.

On lit le signe de \(f^{\prime\prime}\) sur le graphique : \(f^{\prime\prime}(x) \lt 0\) sur \([-3{,}5~;~-3[\), \(f^{\prime\prime}(x) \gt 0\) sur \(]-3~;~2[\), \(f^{\prime\prime}(x) \lt 0\) sur \(]2~;~5[\) et \(f^{\prime\prime}(x) \gt 0\) sur \(]5~;~6]\).

A est fausse : \(f^{\prime\prime}\) est négative sur \(]2~;~3]\), donc \(f\) y est concave et n’est pas convexe sur \([-3~;~3]\).

C est fausse : sur \([0~;~2]\), \(f^{\prime\prime} = (f^{\prime})^{\prime}\) est positive, donc \(f^{\prime}\) est croissante et non décroissante.

B est vraie : \(f^{\prime\prime}\) s’annule en changeant de signe en \(-3\), en 2 et en 5, donc la courbe de \(f\) possède trois points d’inflexion.

4. Réponse A.

On met le trinôme sous forme canonique : \(u_n = (n – \dfrac{17}{2})^2 – \dfrac{209}{4}\). Un carré étant positif, \(u_n \geq\, -\dfrac{209}{4}\) pour tout \(n\) : la suite est minorée. On peut même préciser que le plus petit terme est \(u_8 = u_9 = -52\).

B est fausse : \(u_{10} = -50 \gt u_9 = -52\), la suite finit par croître. C est fausse : l’équation \(n^2 – 17n + 20 = 2021\), soit \(n^2 – 17n – 2001 = 0\), a pour discriminant \(289 + 8004 = 8293\), qui n’est pas un carré parfait (\(91^2 = 8281\) et \(92^2 = 8464\)), donc elle n’a pas de solution entière.

5. Question sans bonne réponse (coquille du sujet).

Le fonctionnement d’une boucle « tant que » de ce type est bien connu : on calcule les termes successifs tant que \(u \lt 45\) et, à la sortie, \(n\) est le premier rang pour lequel \(u_n \geq\, 45\). C’est le schéma décrit par la réponse A, qui était visiblement la réponse attendue.

Mais avec cette suite, la boucle ne s’arrête jamais. Montrons par récurrence que \(u_n \leq\, 20\) pour tout \(n\). C’est vrai pour \(n = 0\) puisque \(u_0 = 2\). Si \(u_n \leq\, 20\), alors \(0{,}75u_n \leq\, 15\) et \(u_{n+1} = 0{,}75u_n + 5 \leq\, 20\). La propriété est donc vraie pour tout \(n\) : la suite ne dépasse jamais 20 (elle converge vers 20, point fixe de \(x \mapsto 0{,}75x + 5\)).

La condition \(u \lt 45\) reste toujours vraie, la fonction tourne indéfiniment et ne renvoie rien : aucune des trois affirmations n’est exacte telle que le sujet est écrit. Sur la copie, on pouvait répondre A en signalant ce problème.

Exercice 2 :

1. Coordonnées de \(\vec{\text{AK}}\) et \(\vec{\text{AL}}\)

Dans le repère \((\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}},~\vec{\text{AI}})\), on a A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0) et C(1 ; 1 ; 0) puisque \(\vec{\text{AC}} = \vec{\text{AB}} + \vec{\text{AD}}\). Ce repère est bien orthonormé car AB = AD = 1 et AI = \(\dfrac{\text{AE}}{2}\) = 1.

K est le milieu de [DC] : \(\text{K}(\dfrac{0 + 1}{2}~;~\dfrac{1 + 1}{2}~;~0)\), soit \(\text{K}(\dfrac{1}{2}~;~1~;~0)\). Comme A est l’origine :

\[\vec{\text{AK}}(\dfrac{1}{2}~;~1~;~0) \qquad \text{et} \qquad \vec{\text{AL}}(0~;~1~;~\dfrac{3}{2}).\]

2. a. Vecteur normal au plan (AKL)

Les vecteurs \(\vec{\text{AK}}\) et \(\vec{\text{AL}}\) ne sont pas colinéaires (la troisième coordonnée du premier est nulle, pas celle du second, alors que leurs deuxièmes coordonnées sont égales) : ils dirigent le plan (AKL). Calculons les produits scalaires :

\[\vec{n} \cdot \vec{\text{AK}} = 6 \times \dfrac{1}{2} + (-3) \times 1 + 2 \times 0 = 3 – 3 = 0,\]

\[\vec{n} \cdot \vec{\text{AL}} = 6 \times 0 + (-3) \times 1 + 2 \times \dfrac{3}{2} = -3 + 3 = 0.\]

Le vecteur \(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (AKL) : c’est donc un vecteur normal au plan (AKL).

2. b. Équation cartésienne

Un plan de vecteur normal \(\vec{n}(6~;~-3~;~2)\) a une équation de la forme \(6x – 3y + 2z + d = 0\). Le point A(0 ; 0 ; 0) lui appartient, donc \(d = 0\). Une équation du plan est : \(6x – 3y + 2z = 0\).

2. c. Représentation paramétrique de \(\Delta\)

La droite \(\Delta\) est perpendiculaire au plan (AKL) : elle est dirigée par son vecteur normal \(\vec{n}\). Elle passe par D(0 ; 1 ; 0). Un point \(M(x~;~y~;~z)\) appartient à \(\Delta\) si et seulement s’il existe un réel \(t\) tel que \(\vec{\text{D}M} = t\,\vec{n}\), ce qui donne :

\[\Delta : \{\begin{array}{l} x = 6t \\ y = 1 – 3t \\ z = 2t \end{array}. \qquad t \in \mathbb{R}.\]

2. d. Le point N

Le projeté orthogonal de D sur le plan (AKL) est le point d’intersection de ce plan avec la droite \(\Delta\), perpendiculaire au plan et passant par D. On injecte la représentation paramétrique dans l’équation du plan :

\[6(6t) – 3(1 – 3t) + 2(2t) = 0 \iff 36t – 3 + 9t + 4t = 0 \iff 49t = 3 \iff t = \dfrac{3}{49}.\]

Pour cette valeur de \(t\) : \(x = \dfrac{18}{49}\), \(y = 1 – \dfrac{9}{49} = \dfrac{40}{49}\) et \(z = \dfrac{6}{49}\). On retrouve bien \(\text{N}(\dfrac{18}{49}~;~\dfrac{40}{49}~;~\dfrac{6}{49})\), projeté orthogonal de D sur (AKL).

3. a. Volume du tétraèdre ADKL

La base ADK est un triangle rectangle en D (la face ABCD est un carré), avec AD = 1 et DK = \(\dfrac{1}{2}\) (K milieu de [DC] et DC = 1). Son aire vaut \(\dfrac{1 \times \frac{1}{2}}{2} = \dfrac{1}{4}\).

La hauteur associée est la distance de L au plan (ABD), c’est-à-dire DL : en effet L est sur l’arête [DH], perpendiculaire à la face ABCD, et \(\text{DL} = \dfrac{3}{2}\text{AI} = \dfrac{3}{2}\). Donc :

\[\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{8}.\]

Le volume du tétraèdre ADKL est \(\dfrac{1}{8}\) unité de volume.

3. b. Distance de D au plan (AKL)

Cette distance est la longueur DN, puisque N est le projeté orthogonal de D sur ce plan. On a \(\vec{\text{DN}} = \dfrac{3}{49}\,\vec{n}\) (valeur de \(t\) trouvée en 2. d.), donc :

\[\text{DN} = \dfrac{3}{49} \times \|\vec{n}\| = \dfrac{3}{49} \times \sqrt{36 + 9 + 4} = \dfrac{3}{49} \times 7 = \dfrac{3}{7}.\]

La distance de D au plan (AKL) est \(\dfrac{3}{7}\).

3. c. Aire du triangle AKL

On calcule le même volume en prenant cette fois AKL comme base : la hauteur issue de D est alors DN. Ainsi \(\dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{AKL}} \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{\mathcal{A}_{\text{AKL}}}{7}\), d’où \(\mathcal{A}_{\text{AKL}} = \dfrac{7}{8}\) unité d’aire.

Exercice 3 :

1. Nombre de positions

Placer trois cœurs revient à choisir 3 cases parmi les 9 de la grille, sans ordre (les cœurs sont identiques) et sans répétition. Le nombre de choix est :

\[\binom\,{9}{3} = \dfrac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{504}{6} = 84.\]

Il y a bien 84 façons de positionner les trois cœurs.

2. Probabilité de gagner

Les 84 grilles sont équiprobables puisque les cœurs sont placés au hasard. Les grilles gagnantes sont celles où les cœurs occupent une ligne complète (3 possibilités), une colonne complète (3 possibilités) ou une diagonale (2 possibilités) : 8 grilles gagnantes. Donc :

\[P(\text{gagnant}) = \dfrac{8}{84} = \dfrac{2}{21}.\]

3. Le jeu est-il favorable ?

Notons \(G\) le gain algébrique du joueur pour un ticket. S’il gagne, il a payé 1 € et reçu 5 € : \(G = 4\). Sinon, \(G = -1\). Donc \(P(G = 4) = \dfrac{2}{21}\) et \(P(G = -1) = \dfrac{19}{21}\).

\[E(G) = 4 \times \dfrac{2}{21} + (-1) \times \dfrac{19}{21} = \dfrac{8 – 19}{21} = -\dfrac{11}{21} \approx -0{,}52.\]

L’espérance est négative : sur un grand nombre de tickets, le joueur perd en moyenne environ 52 centimes par ticket. Le jeu n’est pas favorable au joueur.

4. a. Loi de \(X\)

Chaque génération de ticket est une épreuve de Bernoulli dont le succès « le ticket est gagnant » a pour probabilité \(p = \dfrac{2}{21}\). On répète 20 fois cette épreuve de manière indépendante et \(X\) compte les succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 20\) et \(p = \dfrac{2}{21}\).

4. b. Calcul de \(P(X = 5)\)

\[P(X = 5) = \binom\,{20}{5}(\dfrac{2}{21})^5(\dfrac{19}{21})^{15} = 15504 \times (\dfrac{2}{21})^5(\dfrac{19}{21})^{15} \approx 0{,}0271.\]

Arrondie à \(10^{-3}\) : \(P(X = 5) \approx 0{,}027\).

4. c. Calcul de \(P(X \geq\, 1)\)

On passe par l’évènement contraire \((X = 0)\) : aucun ticket gagnant.

\[P(X \geq\, 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – (\dfrac{19}{21})^{20} \approx 1 – 0{,}1351 \approx 0{,}865.\]

\(P(X \geq\, 1) \approx 0{,}865\) : un joueur qui génère 20 tickets a environ 86,5 % de chances d’obtenir au moins un ticket gagnant.

Exercice A :

Partie I : modèle discret

1. Calcul de \(u_1\)

Avec \(n = 0\) : \(u_1 = u_0 + 0{,}05(20 – u_0) = 1 + 0{,}05 \times 19 = 1 + 0{,}95 = 1{,}95\). On a bien \(u_1 = 1{,}95\).

2. a. Nouvelle forme de la relation de récurrence

Pour tout entier naturel \(n\), on développe : \(u_{n+1} = u_n + 0{,}05 \times 20 – 0{,}05u_n = (1 – 0{,}05)u_n + 1\), soit \(u_{n+1} = 0{,}95u_n + 1\).

2. b. La suite \((v_n)\) est géométrique

Pour tout entier naturel \(n\) :

\[v_{n+1} = 20 – u_{n+1} = 20 – 0{,}95u_n – 1 = 19 – 0{,}95u_n.\]

On remarque que \(19 = 0{,}95 \times 20\), d’où \(v_{n+1} = 0{,}95 \times 20 – 0{,}95u_n = 0{,}95(20 – u_n) = 0{,}95\,v_n\).

La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison \(q = 0{,}95\) et de premier terme \(v_0 = 20 – u_0 = 19\).

2. c. Expression de \(u_n\)

Pour une suite géométrique, \(v_n = v_0 \times q^n\), donc \(v_n = 19 \times 0{,}95^n\). Comme \(u_n = 20 – v_n\), on obtient pour tout \(n\) : \(u_n = 20 – 19 \times 0{,}95^n\).

3. Limite de \((u_n)\)

Puisque \(0 \lt 0{,}95 \lt 1\), \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 0{,}95^n = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 19 \times 0{,}95^n = 0\) et, par différence, \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 20\). La taille du bambou se rapproche de sa taille maximale de 20 mètres.

Partie II : modèle continu

1. \(L\) est solution de \((E)\)

La fonction \(t \mapsto \text{e}^{-0{,}05t}\) a pour dérivée \(t \mapsto -0{,}05\,\text{e}^{-0{,}05t}\). Donc :

\[L^{\prime}(t) = -19 \times (-0{,}05)\text{e}^{-0{,}05t} = 0{,}95\,\text{e}^{-0{,}05t}.\]

D’autre part : \(0{,}05(20 – L(t)) = 0{,}05 \times 19\,\text{e}^{-0{,}05t} = 0{,}95\,\text{e}^{-0{,}05t}\).

Les deux expressions sont égales pour tout \(t \geq\, 0\) : \(L\) est solution de \((E)\). Enfin \(L(0) = 20 – 19\,\text{e}^{0} = 20 – 19 = 1\).

2. a. Comparaison de \(L^{\prime}(0)\) et \(L^{\prime}(5)\)

\(L^{\prime}(0) = 0{,}95\,\text{e}^{0} = 0{,}95\) et \(L^{\prime}(5) = 0{,}95\,\text{e}^{-0{,}25} \approx 0{,}74\).

Comme \(\text{e}^{-0{,}25} \lt 1\), on a \(L^{\prime}(5) \lt L^{\prime}(0)\) : la vitesse de croissance du bambou est plus faible au bout de 5 jours qu’au départ (environ 0,74 m par jour contre 0,95 m par jour).

2. b. Limite de \(L^{\prime}\) en \(+\infty\)

Quand \(t\) tend vers \(+\infty\), \(-0{,}05t\) tend vers \(-\infty\), donc \(\text{e}^{-0{,}05t}\) tend vers 0. Ainsi \(\displaystyle\lim_{t \to +\infty} L^{\prime}(t) = 0\).

Ce résultat est cohérent avec le modèle : la vitesse de croissance est proportionnelle à l’écart \(20 – L(t)\) entre la taille et la taille maximale. Quand le bambou approche de 20 mètres (puisque \(L(t)\) tend vers 20), cet écart tend vers 0, et la vitesse de croissance aussi : le bambou pousse de moins en moins vite.

Exercice B :

Partie I

1. Formule de la cellule B3

Chaque terme s’obtient en appliquant \(f\) au terme précédent, situé dans la cellule du dessus. On saisit en B3 : =B2-LN(B2-1), puis on recopie vers le bas.

2. Conjecture

Les valeurs affichées diminuent à chaque ligne et se rapprochent de 2 : on conjecture que la suite \((u_n)\) est décroissante et qu’elle converge vers 2.

Partie II

1. Limite de \(f\) en 1

Quand \(x\) tend vers 1 par valeurs supérieures, \(x – 1\) tend vers 0 par valeurs positives, donc \(\ln(x – 1)\) tend vers \(-\infty\) et \(-\ln(x – 1)\) tend vers \(+\infty\). Comme \(x\) tend vers 1, par somme : \(\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = +\infty\). La droite d’équation \(x = 1\) est asymptote verticale à la courbe de \(f\).

2. a. Calcul de \(f^{\prime}(x)\)

La dérivée de \(\ln(u)\) est \(\dfrac{u^{\prime}}{u}\) ; ici \(u(x) = x – 1\), \(u^{\prime}(x) = 1\). Pour tout \(x \gt 1\) :

\[f^{\prime}(x) = 1 – \dfrac{1}{x – 1} = \dfrac{x – 1 – 1}{x – 1} = \dfrac{x – 2}{x – 1}.\]

2. b. Tableau de variations

Sur \(]1~;~+\infty[\), le dénominateur \(x – 1\) est strictement positif, donc \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(x – 2\) : négatif sur \(]1~;~2[\), nul en 2, positif sur \(]2~;~+\infty[\). On calcule \(f(2) = 2 – \ln 1 = 2\).

\(f\) est strictement décroissante sur \(]1~;~2]\), strictement croissante sur \([2~;~+\infty[\), avec un minimum égal à 2 atteint en \(x = 2\).

2. c. Minoration de \(f\)

D’après le tableau, 2 est le minimum de \(f\) sur tout l’intervalle \(]1~;~+\infty[\). A fortiori, pour tout \(x \geq\, 2\), \(f(x) \geq\, 2\). (On peut aussi dire : \(f\) est croissante sur \([2~;~+\infty[\), donc \(x \geq\, 2\) entraîne \(f(x) \geq\, f(2) = 2\).)

Partie III

1. Récurrence

Notons \(P(n)\) la propriété « \(u_n \geq\, 2\) ».

Initialisation : \(u_0 = 10 \geq\, 2\), donc \(P(0)\) est vraie.

Hérédité : supposons \(P(n)\) vraie pour un entier \(n\), c’est-à-dire \(u_n \geq\, 2\). D’après la question II. 2. c., appliquée à \(x = u_n\), on a \(f(u_n) \geq\, 2\), c’est-à-dire \(u_{n+1} \geq\, 2\) : \(P(n+1)\) est vraie.

Conclusion : par récurrence, \(u_n \geq\, 2\) pour tout entier naturel \(n\).

2. Sens de variation

Pour tout \(n\) : \(u_{n+1} – u_n = u_n – \ln(u_n – 1) – u_n = -\ln(u_n – 1)\).

Comme \(u_n \geq\, 2\), on a \(u_n – 1 \geq\, 1\), donc \(\ln(u_n – 1) \geq\, \ln 1 = 0\) (croissance de \(\ln\)). Ainsi \(u_{n+1} – u_n \leq\, 0\) : la suite \((u_n)\) est décroissante.

3. Convergence

La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par 2. D’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite \(\ell\), et \(\ell \geq\, 2\).

4. Valeur de \(\ell\)

\(f(\ell) = \ell \iff \ell – \ln(\ell – 1) = \ell \iff \ln(\ell – 1) = 0 \iff \ell – 1 = 1 \iff \ell = 2\).

La suite converge vers \(\ell = 2\), ce qui confirme la conjecture de la partie I.

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