Bac de maths 2021 en France (jour 1) : sujet et corrigé

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2021
Mathématiques — Candidats libres, sujet 1
France métropolitaine — 7 juin 2021
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1 (4 points)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée.

Soit \(f\) la fonction définie pour tout nombre réel \(x\) de l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{x}\]

On donne l’expression de la dérivée seconde \(f^{\prime\prime}\) de \(f\), définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{2\text{e}^{2x}(2x^2 – 2x + 1)}{x^3}.\]

1. La fonction \(f^{\prime}\), dérivée de \(f\), est définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par :

2. La fonction \(f\) :

3. La fonction \(f\) admet pour limite en \(+\infty\) :

4. La fonction \(f\) :

Exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que 5 % des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses.

Un ingénieur a mis au point un test à appliquer aux pièces. Ce test a deux résultats possibles : « positif » ou bien « négatif ».

On applique ce test à une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne.

On note \(p(E)\) la probabilité d’un évènement \(E\).

On considère les évènements suivants :

• \(D\) : « la pièce est défectueuse » ;
• \(T\) : « la pièce présente un test positif » ;
• \(\overline{D}\) et \(\overline{T}\) désignent respectivement les évènements contraires de \(D\) et \(T\).

Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que :

• La probabilité qu’une pièce présente un test positif sachant qu’elle est défectueuse est égale à \(0{,}98\) ;
• la probabilité qu’une pièce présente un test négatif sachant qu’elle n’est pas défectueuse est égale à \(0{,}97\).

Les parties I et II peuvent être traitées de façon indépendante.

PARTIE I

1. Traduire la situation à l’aide d’un arbre pondéré.

2. a. Déterminer la probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne soit défectueuse et présente un test positif.

b. Démontrer que : \(p(T) = 0{,}0775\).

3. On appelle valeur prédictive positive du test la probabilité qu’une pièce soit défectueuse sachant que le test est positif. On considère que pour être efficace, un test doit avoir une valeur prédictive positive supérieure à \(0{,}95\).

Calculer la valeur prédictive positive de ce test et préciser s’il est efficace.

PARTIE II

On choisit un échantillon de 20 pièces dans la production de la chaîne, en assimilant ce choix à un tirage avec remise. On note \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de pièces défectueuses dans cet échantillon.

On rappelle que : \(p(D) = 0{,}05\).

1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et déterminer les paramètres de cette loi.

2. Calculer la probabilité que cet échantillon contienne au moins une pièce défectueuse.

On donnera un résultat arrondi au centième.

3. Calculer l’espérance de la variable aléatoire \(X\) et interpréter le résultat obtenu.

Exercice 3 (6 points)

Commun à tous les candidats

Cécile a invité des amis à déjeuner sur sa terrasse. Elle a prévu en dessert un assortiment de gâteaux individuels qu’elle a achetés surgelés.

Elle sort les gâteaux du congélateur à −19 °C et les apporte sur la terrasse où la température est de 25 °C.

Au bout de 10 minutes la température des gâteaux est de 1,3 °C.

I – Premier modèle

On suppose que la vitesse de décongélation est constante c’est-à-dire que l’augmentation de la température est la même minute après minute.

Selon ce modèle, déterminer quelle serait la température des gâteaux 25 minutes après leur sortie du congélateur.

Ce modèle semble-t-il pertinent ?

II – Second modèle

On note \(T_n\) la température des gâteaux en degré Celsius, au bout de \(n\) minutes après leur sortie du congélateur ; ainsi \(T_0 = -19\).

On admet que pour modéliser l’évolution de la température, on doit avoir la relation suivante :

\[\text{Pour tout entier naturel } n,\ T_{n+1} – T_n = -0{,}06 \times (T_n – 25).\]

1. Justifier que, pour tout entier \(n\), on a \(T_{n+1} = 0{,}94T_n + 1{,}5\).

2. Calculer \(T_1\) et \(T_2\). On donnera des valeurs arrondies au dixième.

3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(T_n \leq\, 25\).

En revenant à la situation étudiée, ce résultat était-il prévisible ?

4. Étudier le sens de variation de la suite \((T_n)\).

5. Démontrer que la suite \((T_n)\) est convergente.

6. On pose pour tout entier naturel \(n\), \(U_n = T_n – 25\).

a. Montrer que la suite \((U_n)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme \(U_0\).

b. En déduire que pour tout entier naturel \(n\), \(T_n = -44 \times 0{,}94^n + 25\).

c. En déduire la limite de la suite \((T_n)\). Interpréter ce résultat dans le contexte de la situation étudiée.

7. a. Le fabricant conseille de consommer les gâteaux au bout d’une demi-heure à température ambiante après leur sortie du congélateur.

Quelle est alors la température atteinte par les gâteaux ? On donnera une valeur arrondie à l’entier le plus proche.

b. Cécile est une habituée de ces gâteaux, qu’elle aime déguster lorsqu’ils sont encore frais, à la température de 10 °C.

Donner un encadrement entre deux entiers consécutifs du temps en minutes après lequel Cécile doit déguster son gâteau.

c. Le programme suivant, écrit en langage Python, doit renvoyer après son exécution la plus petite valeur de l’entier \(n\) pour laquelle \(T_n \geq\, 10\).

def seuil() :
    n=0
    T= ..........
    while T ..........
        T= ..........
        n=n+1
    return

Recopier ce programme sur la copie et compléter les lignes incomplètes afin que le programme renvoie la valeur attendue.

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

Il indique sur sa copie l’exercice choisi : Exercice A ou Exercice B

Pour éclairer le choix, les principaux domaines abordés sont indiqués en début de chaque exercice.

Exercice A

Principaux domaines abordés : Géométrie de l’espace rapporté à un repère orthonormé ; orthogonalité dans l’espace

Dans un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\) on considère

• le point A de coordonnées (1 ; 3 ; 2),
• le vecteur \(\vec{u}\) de coordonnées \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
• la droite \(d\) passant par l’origine O du repère et admettant pour vecteur directeur \(\vec{u}\).

Le but de cet exercice est de déterminer le point de \(d\) le plus proche du point A et d’étudier quelques propriétés de ce point.

On pourra s’appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(d\).

2. Soit \(t\) un nombre réel quelconque, et \(M\) un point de la droite \(d\), le point \(M\) ayant pour coordonnées \((t\,;\,t\,;\,0)\).

a. On note \(AM\) la distance entre les points A et \(M\). Démontrer que :

\[AM^2 = 2t^2 – 8t + 14.\]

b. Démontrer que le point \(M_0\) de coordonnées \((2\,;\,2\,;\,0)\) est le point de la droite \(d\) pour lequel la distance \(AM\) est minimale.

On admettra que la distance \(AM\) est minimale lorsque son carré \(AM^2\) est minimal.

3. Démontrer que les droites \((AM_0)\) et \(d\) sont orthogonales.

4. On appelle \(A^{\prime}\) le projeté orthogonal du point \(A\) sur le plan d’équation cartésienne \(z = 0\). Le point \(A^{\prime}\) admet donc pour coordonnées \((1\,;\,3\,;\,0)\).

Démontrer que le point \(M_0\) est le point du plan \((AA^{\prime}M_0)\) le plus proche du point O, origine du repère.

5. Calculer le volume de la pyramide \(OM_0A^{\prime}A\).

On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par : \(V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}h\), où \(\mathcal{B}\) est l’aire d’une base et \(h\) est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.

Exercice B

Principaux domaines abordés : Équations différentielles ; fonction exponentielle.

On considère l’équation différentielle

\[(E)\quad y^{\prime} = y + 2x\text{e}^x\]

On cherche l’ensemble des fonctions définies et dérivables sur l’ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels qui sont solutions de cette équation.

1. Soit \(u\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(u(x) = x^2\text{e}^x\). On admet que \(u\) est dérivable et on note \(u^{\prime}\) sa fonction dérivée. Démontrer que \(u\) est une solution particulière de \((E)\).

2. Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). On note \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[g(x) = f(x) – u(x)\]

a. Démontrer que si la fonction \(f\) est solution de l’équation différentielle \((E)\) alors la fonction \(g\) est solution de l’équation différentielle : \(y^{\prime} = y\).

On admet que la réciproque de cette propriété est également vraie.

b. À l’aide de la résolution de l’équation différentielle \(y^{\prime} = y\), résoudre l’équation différentielle \((E)\).

3. Étude de la fonction \(u\)

a. Étudier le signe de \(u^{\prime}(x)\) pour \(x\) variant dans \(\mathbb{R}\).

b. Dresser le tableau de variations de la fonction \(u\) sur \(\mathbb{R}\) (les limites ne sont pas demandées).

c. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction \(u\) est concave.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Réponse c. On dérive le quotient \(\dfrac{v}{w}\) avec \(v(x) = \text{e}^{2x}\), \(v^{\prime}(x) = 2\text{e}^{2x}\), \(w(x) = x\), \(w^{\prime}(x) = 1\) : \(f^{\prime}(x) = \dfrac{2\text{e}^{2x} \times x – \text{e}^{2x} \times 1}{x^2}\), soit \(f^{\prime}(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}(2x – 1)}{x^2}\).

2. Réponse c. Sur \(]0\,;\,+\infty[\), \(\text{e}^{2x} \gt 0\) et \(x^2 \gt 0\), donc \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(2x – 1\) : négatif sur \(]0\,;\,\dfrac{1}{2}[\), nul en \(\dfrac{1}{2}\), positif ensuite. \(f\) décroît puis croît : elle admet un minimum en \(\dfrac{1}{2}\) (qui vaut \(f(\dfrac{1}{2}) = 2\text{e}\)). Elle n’est donc ni décroissante ni monotone sur \(]0\,;\,+\infty[\).

3. Réponse a. On écrit \(f(x) = 2 \times \dfrac{\text{e}^{2x}}{2x}\). Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \(X = 2x\) tend vers \(+\infty\), et par croissances comparées \(\dfrac{\text{e}^X}{X}\) tend vers \(+\infty\). Donc \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\). (La réponse d n’a pas de sens : une limite ne dépend pas de \(x\).)

4. Réponse b. Sur \(]0\,;\,+\infty[\), \(2\text{e}^{2x} \gt 0\) et \(x^3 \gt 0\), donc \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe du trinôme \(2x^2 – 2x + 1\). Son discriminant vaut \((-2)^2 – 4 \times 2 \times 1 = -4 \lt 0\) : le trinôme garde le signe de son coefficient dominant 2, il est toujours strictement positif. Ainsi \(f^{\prime\prime}(x) \gt 0\) sur \(]0\,;\,+\infty[\) : \(f\) est convexe sur \(]0\,;\,+\infty[\), et sa courbe n’a aucun point d’inflexion.

Exercice 2 :

Partie I

1. D’après l’énoncé, \(p(D) = 0{,}05\), \(p_D(T) = 0{,}98\) et \(p_{\overline{D}}(\overline{T}) = 0{,}97\). On complète chaque paire de branches pour que la somme fasse 1. L’arbre pondéré se lit ainsi :

2. a. On suit la branche \(D\) puis \(T\) : \(p(D \cap T) = p(D) \times p_D(T) = 0{,}05 \times 0{,}98\), donc \(p(D \cap T) = 0{,}049\).

b. De même \(p(\overline{D} \cap T) = 0{,}95 \times 0{,}03 = 0{,}0285\). Les évènements \(D\) et \(\overline{D}\) forment une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales :

\[p(T) = p(D \cap T) + p(\overline{D} \cap T) = 0{,}049 + 0{,}0285 = 0{,}0775.\]

3. La valeur prédictive positive est \(p_T(D) = \dfrac{p(D \cap T)}{p(T)} = \dfrac{0{,}049}{0{,}0775} \approx 0{,}632\). Elle est bien inférieure à 0,95 : le test n’est pas efficace. Environ 37 % des pièces testées positives sont en fait correctes : comme les pièces saines sont très nombreuses, les 3 % de faux positifs parmi elles pèsent lourd.

Partie II

1. On répète 20 fois, de façon identique et indépendante (tirage assimilé à un tirage avec remise), une épreuve de Bernoulli dont le succès « la pièce est défectueuse » a pour probabilité 0,05. \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 20\) et \(p = 0{,}05\).

2. L’évènement contraire de « au moins une pièce défectueuse » est « aucune pièce défectueuse », de probabilité \(p(X = 0) = 0{,}95^{20}\). Donc \(p(X \geq\, 1) = 1 – 0{,}95^{20} \approx 0{,}6415\), soit environ 0,64 au centième.

3. Pour une loi binomiale, \(E(X) = np = 20 \times 0{,}05\), donc \(E(X) = 1\). En moyenne, sur un grand nombre d’échantillons de 20 pièces, on trouve une pièce défectueuse par échantillon.

Exercice 3 :

I – Premier modèle

En 10 minutes, la température est passée de −19 °C à 1,3 °C : elle a augmenté de \(1{,}3 – (-19) = 20{,}3\) °C, soit \(2{,}03\) °C par minute si l’augmentation est constante. Au bout de 25 minutes, elle aurait augmenté de \(25 \times 2{,}03 = 50{,}75\) °C et vaudrait \(-19 + 50{,}75 = 31{,}75\) °C. Selon ce modèle, les gâteaux seraient à 31,75 °C, plus chauds que l’air de la terrasse (25 °C), ce qui est physiquement impossible : ce modèle n’est pas pertinent.

II – Second modèle

1. En développant : \(T_{n+1} – T_n = -0{,}06T_n + 0{,}06 \times 25 = -0{,}06T_n + 1{,}5\). En ajoutant \(T_n\) aux deux membres : \(T_{n+1} = T_n – 0{,}06T_n + 1{,}5\), c’est-à-dire \(T_{n+1} = 0{,}94T_n + 1{,}5\).

2. \(T_1 = 0{,}94 \times (-19) + 1{,}5 = -16{,}36\) et \(T_2 = 0{,}94 \times (-16{,}36) + 1{,}5 = -13{,}8784\). Arrondis au dixième : \(T_1 \approx -16{,}4\) °C et \(T_2 \approx -13{,}9\) °C.

3. Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(T_n \leq\, 25\) ».

Initialisation. \(T_0 = -19 \leq\, 25\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Supposons \(T_n \leq\, 25\) pour un entier naturel \(n\). En multipliant par \(0{,}94 \gt 0\) : \(0{,}94T_n \leq\, 23{,}5\), puis en ajoutant 1,5 : \(0{,}94T_n + 1{,}5 \leq\, 25\), c’est-à-dire \(T_{n+1} \leq\, 25\). \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. Par récurrence, \(T_n \leq\, 25\) pour tout entier naturel \(n\). C’était prévisible : des gâteaux qui se réchauffent au contact de l’air ne peuvent pas devenir plus chauds que cet air, dont la température est de 25 °C.

4. Pour tout \(n\), \(T_{n+1} – T_n = -0{,}06(T_n – 25) = 0{,}06(25 – T_n)\). D’après la question 3, \(25 – T_n \geq\, 0\), donc \(T_{n+1} – T_n \geq\, 0\) : la suite \((T_n)\) est croissante.

5. La suite \((T_n)\) est croissante et majorée par 25 : d’après le théorème de convergence monotone, elle converge (vers une limite inférieure ou égale à 25).

6. a. Pour tout \(n\) : \(U_{n+1} = T_{n+1} – 25 = 0{,}94T_n + 1{,}5 – 25 = 0{,}94T_n – 23{,}5\). Comme \(23{,}5 = 0{,}94 \times 25\), on obtient \(U_{n+1} = 0{,}94(T_n – 25) = 0{,}94\,U_n\). \((U_n)\) est géométrique de raison \(0{,}94\) et de premier terme \(U_0 = -19 – 25 = -44\).

b. Pour tout entier naturel \(n\), \(U_n = U_0 \times 0{,}94^n = -44 \times 0{,}94^n\), et comme \(T_n = U_n + 25\), on obtient bien \(T_n = -44 \times 0{,}94^n + 25\).

c. Comme \(0 \lt 0{,}94 \lt 1\), \(0{,}94^n\) tend vers 0, donc \(-44 \times 0{,}94^n\) aussi et \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} T_n = 25\). Au fil du temps, la température des gâteaux se rapproche de celle de la terrasse : ils finissent par être à température ambiante.

7. a. Une demi-heure correspond à \(n = 30\) : \(T_{30} = 25 – 44 \times 0{,}94^{30} \approx 18{,}12\). Les gâteaux sont alors à environ 18 °C.

b. On cherche à partir de quand \(T_n \geq\, 10\). À la calculatrice, \(T_{17} \approx 9{,}63\) et \(T_{18} \approx 10{,}55\). La suite étant croissante, la température de 10 °C est atteinte entre 17 et 18 minutes après la sortie du congélateur. (Par le calcul : \(T_n \geq\, 10 \iff 0{,}94^n \leq\, \dfrac{15}{44} \iff n \geq\, \dfrac{\ln(15/44)}{\ln(0{,}94)} \approx 17{,}4\), le sens de l’inégalité changeant car \(\ln(0{,}94) \lt 0\).)

c. On part de \(T_0 = -19\) et, tant que la température reste strictement inférieure à 10, on calcule la température de la minute suivante et on ajoute 1 au compteur. La boucle s’arrête au premier \(n\) tel que \(T_n \geq\, 10\), que l’on renvoie. Le programme complété renvoie 18.

def seuil() :
    n=0
    T=-19
    while T < 10 :
        T=0.94*T+1.5
        n=n+1
    return n

Exercice A :

1. La droite \(d\) passe par O(0 ; 0 ; 0) et a pour vecteur directeur \(\vec{u}(1\,;\,1\,;\,0)\). Un point \(M(x\,;\,y\,;\,z)\) est sur \(d\) si et seulement s’il existe un réel \(t\) tel que \(\vec{\text{O}M} = t\,\vec{u}\), d’où la représentation paramétrique :

\[\{\begin{array}{l} x = t \\ y = t \\ z = 0 \end{array}. \quad t \in \mathbb{R}.\]

2. a. \(\vec{AM}\) a pour coordonnées \((t – 1\,;\,t – 3\,;\,-2)\). Le repère étant orthonormé :

\[AM^2 = (t – 1)^2 + (t – 3)^2 + (-2)^2 = t^2 – 2t + 1 + t^2 – 6t + 9 + 4 = 2t^2 – 8t + 14.\]

b. Le trinôme \(2t^2 – 8t + 14\) a un coefficient dominant positif : il atteint son minimum en \(t = -\dfrac{-8}{2 \times 2} = 2\). On peut aussi l’écrire sous forme canonique : \(2t^2 – 8t + 14 = 2(t – 2)^2 + 6\), qui est minimal quand \(t = 2\) et vaut alors 6. Le point correspondant de \(d\) est \((2\,;\,2\,;\,0)\) : c’est \(M_0\), le point de \(d\) le plus proche de A, et \(AM_0 = \sqrt{6}\).

3. \(\vec{AM_0}\) a pour coordonnées \((1\,;\,-1\,;\,-2)\). Alors \(\vec{AM_0} \cdot \vec{u} = 1 \times 1 + (-1) \times 1 + (-2) \times 0 = 0\). Les vecteurs directeurs sont orthogonaux, donc les droites \((AM_0)\) et \(d\) sont orthogonales (elles sont même perpendiculaires en \(M_0\)).

4. Montrons que \(d\) est orthogonale au plan \((AA^{\prime}M_0)\). On a \(\vec{A^{\prime}M_0}(1\,;\,-1\,;\,0)\) et \(\vec{A^{\prime}A}(0\,;\,0\,;\,2)\), qui ne sont pas colinéaires et dirigent le plan. Or \(\vec{u} \cdot \vec{A^{\prime}M_0} = 1 – 1 + 0 = 0\) et \(\vec{u} \cdot \vec{A^{\prime}A} = 0 + 0 + 0 = 0\). Le vecteur \(\vec{u}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan : la droite \(d\) est orthogonale au plan \((AA^{\prime}M_0)\). Comme O est sur \(d\) et que \(d\) coupe le plan en \(M_0\), \(M_0\) est le projeté orthogonal de O sur le plan \((AA^{\prime}M_0)\). Pour tout autre point \(N\) de ce plan, le triangle \(OM_0N\) est rectangle en \(M_0\), donc \(ON^2 = OM_0^2 + M_0N^2 \gt OM_0^2\) : \(M_0\) est le point du plan le plus proche de O.

5. On prend pour base le triangle \(AA^{\prime}M_0\) et pour hauteur \(OM_0\), puisque \((OM_0)\) est perpendiculaire à ce plan (question 4). Le triangle \(AA^{\prime}M_0\) est rectangle en \(A^{\prime}\) car \(\vec{A^{\prime}A} \cdot \vec{A^{\prime}M_0} = 0\). Avec \(AA^{\prime} = 2\) et \(A^{\prime}M_0 = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\), son aire vaut \(\mathcal{B} = \dfrac{2 \times \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\). La hauteur est \(h = OM_0 = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}\). Donc :

\[V = \dfrac{1}{3} \times \sqrt{2} \times 2\sqrt{2} = \dfrac{4}{3}.\]

Le volume de la pyramide \(OM_0A^{\prime}A\) est \(\dfrac{4}{3}\) unité de volume.

Exercice B :

1. On dérive le produit : \(u^{\prime}(x) = 2x\,\text{e}^x + x^2\text{e}^x\). Or \(x^2\text{e}^x = u(x)\), donc \(u^{\prime}(x) = u(x) + 2x\,\text{e}^x\) pour tout réel \(x\) : \(u\) est une solution particulière de \((E)\).

2. a. Supposons \(f\) solution de \((E)\) : \(f^{\prime}(x) = f(x) + 2x\,\text{e}^x\) pour tout \(x\). La fonction \(g = f – u\) est dérivable et :

\[g^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) – u^{\prime}(x) = (f(x) + 2x\,\text{e}^x) – (u(x) + 2x\,\text{e}^x) = f(x) – u(x) = g(x).\]

\(g\) est donc solution de \(y^{\prime} = y\).

b. Les solutions de \(y^{\prime} = y\) sont les fonctions \(x \mapsto K\text{e}^x\), \(K \in \mathbb{R}\). D’après la question a et sa réciproque admise, \(f\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(f – u\) est de cette forme, c’est-à-dire \(f(x) = u(x) + K\text{e}^x\). Les solutions de \((E)\) sont les fonctions \(x \mapsto (x^2 + K)\text{e}^x\), où \(K\) est un réel quelconque.

3. a. \(u^{\prime}(x) = (x^2 + 2x)\text{e}^x = x(x + 2)\,\text{e}^x\). Comme \(\text{e}^x \gt 0\), \(u^{\prime}(x)\) a le signe de \(x(x + 2)\), trinôme de racines \(-2\) et \(0\), positif à l’extérieur des racines. Donc \(u^{\prime}(x) \gt 0\) sur \(]-\infty\,;\,-2[\) et sur \(]0\,;\,+\infty[\), \(u^{\prime}(x) \lt 0\) sur \(]-2\,;\,0[\), et \(u^{\prime}(-2) = u^{\prime}(0) = 0\).

b. On calcule \(u(-2) = 4\text{e}^{-2} \approx 0{,}54\) et \(u(0) = 0\). Tableau de variations :

c. \(u^{\prime}(x) = (x^2 + 2x)\text{e}^x\) est dérivable et \(u^{\prime\prime}(x) = (2x + 2)\text{e}^x + (x^2 + 2x)\text{e}^x = (x^2 + 4x + 2)\text{e}^x\). \(u^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(x^2 + 4x + 2\), de discriminant \(16 – 8 = 8\) et de racines \(\dfrac{-4 – 2\sqrt{2}}{2} = -2 – \sqrt{2}\) et \(-2 + \sqrt{2}\). Le trinôme est négatif entre ses racines. \(u\) est concave là où \(u^{\prime\prime} \leq\, 0\) : le plus grand intervalle sur lequel \(u\) est concave est \([-2 – \sqrt{2}\,;\,-2 + \sqrt{2}]\), soit environ \([-3{,}41\,;\,-0{,}59]\).

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