Bac maths 2022 Nlle-Calédonie J1 : sujet et corrigé

Voici le sujet du jour 1 du bac de spécialité mathématiques 2022 en Nouvelle-Calédonie, posé le 26 octobre 2022, suivi de son corrigé détaillé sur cette page. Trois exercices sur quatre sont à traiter. Le premier étudie \(f(x)=x^2-6x+4\ln(x)\) : limites, variations, équation \(f(x)=0\), point d’inflexion et position d’une corde par rapport à la courbe. Le deuxième mêle la fonction \(x\mapsto x^3\text{e}^x\) et la suite qu’elle engendre, avec un petit programme Python et une démonstration par récurrence. Le troisième place une maison surmontée d’un toit en prisme dans un repère : équation de plan, angle au sommet du toit et tranchée électrique qui doit atteindre une arête. Le dernier est un QCM sur la transmission de bits et d’octets, entre arbre pondéré et loi binomiale.

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2022
Mathématiques — Jour 1
Nouvelle-Calédonie — 26 octobre 2022
Durée de l’épreuve : 4 heures

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

Le sujet propose 4 exercices.

Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 (7 points)

Principaux domaines abordés : fonctions, fonction logarithme ; convexité.

On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0~;~+\infty[\) par

\[f(x)=x^2-6x+4\ln(x).\]

On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur l’intervalle \(]0~;~+\infty[\).

On note \(f^{\prime}\) sa dérivée et \(f^{\prime\prime}\) sa dérivée seconde.

On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal.

1. a. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)\).

Interpréter graphiquement ce résultat.

b. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).

2. a. Déterminer \(f^{\prime}(x)\) pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0~;~+\infty[\).

b. Étudier le signe de \(f^{\prime}(x)\) sur l’intervalle \(]0~;~+\infty[\).

En déduire le tableau de variations de \(f\).

3. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution dans l’intervalle \([4~;~5]\).

4. On admet que, pour tout \(x\) de \(]0~;~+\infty[\), on a :

\[f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{2x^2-4}{x^2}.\]

a. Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur \(]0~;~+\infty[\).

On précisera les valeurs exactes des coordonnées des éventuels points d’inflexion de \(\mathcal{C}_f\).

b. On note A le point de coordonnées \((\sqrt{2}~;~f(\sqrt{2}))\).

Soit \(t\) un réel strictement positif tel que \(t\neq\sqrt{2}\). Soit \(M\) le point de coordonnées \((t~;~f(t))\).

En utilisant la question 4. a, indiquer, selon la valeur de \(t\), les positions relatives du segment [A\(M\)] et de la courbe \(\mathcal{C}_f\).

Exercice 2 (7 points)

Principaux domaines abordés : suites ; fonctions, fonction exponentielle.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x)=x^3\text{e}^x.\]

On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

1. On définit la suite \((u_n)\) par \(u_0=-1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=f(u_n)\).

a. Calculer \(u_1\) puis \(u_2\).

On donnera les valeurs exactes, puis les valeurs approchées à \(10^{-3}\).

b. On considère la fonction fonc, écrite en langage Python ci-dessous.

On rappelle qu’en langage Python, « i in range (n) » signifie que i varie de 0 à n – 1.

def  fonc (n):
     u =- 1
     for i in range(n) :
       u=u**3*exp(u)
     return u

Déterminer, sans justifier, la valeur renvoyée par fonc (2) arrondie à \(10^{-3}\).

2. a. Démontrer que, pour tout \(x\) réel, on a \(f^{\prime}(x)=x^2\text{e}^x(x+3)\).

b. Justifier que le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est celui représenté ci-dessous :

c. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel \(n\), on a :

\[-1\leq\, u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 0.\]

d. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

e. On note \(\ell\) la limite de la suite \((u_n)\).

On rappelle que \(\ell\) est solution de l’équation \(f(x)=x\).

Déterminer \(\ell\). (Pour cela, on admettra que l’équation \(x^2\text{e}^x-1=0\) possède une seule solution dans \(\mathbb{R}\) et que celle-ci est strictement supérieure à \(\dfrac{1}{2}\)).

Exercice 3 (7 points)

Principaux domaines abordés : géométrie dans l’espace.

Une maison est constituée d’un parallélépipède rectangle ABCDEFGH surmonté d’un prisme EFIHGJ dont une base est le triangle EIF isocèle en I.

Cette maison est représentée ci-dessous.

On a AB \(=3\), AD \(=2\), AE \(=1\).

On définit les vecteurs \(\vec{\imath}=\dfrac{1}{3}\vec{\text{AB}}\), \(\vec{\jmath}=\dfrac{1}{2}\vec{\text{AD}}\), \(\vec{k}=\vec{\text{AE}}\).

On munit ainsi l’espace du repère orthonormé \((\text{A}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k})\).

1. Donner les coordonnées du point G.

2. Le vecteur \(\vec{n}\) de coordonnées \((2~;~0~;~-3)\) est vecteur normal au plan (EHI).

Déterminer une équation cartésienne du plan (EHI).

3. Déterminer les coordonnées du point I.

4. Déterminer une mesure au degré près de l’angle \(\widehat{\text{EIF}}\).

5. Afin de raccorder la maison au réseau électrique, on souhaite creuser une tranchée rectiligne depuis un relais électrique situé en contrebas de la maison.

Le relais est représenté par le point R de coordonnées \((6~;~-3~;~-1)\).

La tranchée est assimilée à un segment d’une droite \(\Delta\) passant par R et dirigée par le vecteur \(\vec{u}\) de coordonnées \((-3~;~4~;~1)\). On souhaite vérifier que la tranchée atteindra la maison au niveau de l’arête [BC].

a. Donner une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\).

b. On admet qu’une équation du plan (BFG) est \(x=3\).

Soit K le point d’intersection de la droite \(\Delta\) avec le plan (BFG).

Déterminer les coordonnées du point K.

c. Le point K appartient-il bien à l’arête [BC] ?

Exercice 4 (7 points)

Principaux domaines abordés : probabilités.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

On considère un système de communication binaire transmettant des 0 et des 1.

Chaque 0 ou 1 est appelé bit.

En raison d’interférences, il peut y avoir des erreurs de transmission :

un 0 peut être reçu comme un 1 et, de même, un 1 peut être reçu comme un 0.

Pour un bit choisi au hasard dans le message, on note les évènements :

\(E_0\) : « le bit envoyé est un 0 » ;
\(E_1\) : « le bit envoyé est un 1 » ;
\(R_0\) : « le bit reçu est un 0 »
\(R_1\) : « le bit reçu est un 1 ».

On sait que :

\(p(E_0)=0{,}4\) ; \(p_{E_0}(R_1)=0{,}01\) ; \(p_{E_1}(R_0)=0{,}02\).

On rappelle que la probabilité conditionnelle de \(A\) sachant \(B\) est notée \(p_B(A)\).

On peut ainsi représenter la situation par l’arbre de probabilités ci-dessus.

1. La probabilité que le bit envoyé soit un 0 et que le bit reçu soit un 0 est égale à :

a.	b.	c.	d.
0,99	0,396	0,01	0,4

2. La probabilité \(p(R_0)\) est égale à :

a.	b.	c.	d.
0,99	0,02	0,408	0,931

3. Une valeur, approchée au millième, de la probabilité \(p_{R_1}(E_0)\) est égale

a.	b.	c.	d.
0,004	0,001	0,007	0,010

4. La probabilité de l’évènement « il y a une erreur de transmission » est égale à :

a.	b.	c.	d.
0,03	0,016	0,16	0,015

Un message de longueur huit bits est appelé un octet.

On admet que la probabilité qu’un octet soit transmis sans erreur est égale à 0,88.

5. On transmet successivement 10 octets de façon indépendante.

La probabilité, à \(10^{-3}\) près, qu’exactement 7 octets soient transmis sans erreur est égale à :

a.	b.	c.	d.
0,915	0,109	0,976	0,085

6. On transmet successivement 10 octets de façon indépendante.

La probabilité qu’au moins 1 octet soit transmis sans erreur est égale à :

a.	b.	c.	d.
\(1-0{,}12^{10}\)	\(0{,}12^{10}\)	\(0{,}88^{10}\)	\(1-0{,}88^{10}\)

7. Soit \(N\) un entier naturel. On transmet successivement \(N\) octets de façon indépendante.

Soit \(N_0\) la plus grande valeur de \(N\) pour laquelle la probabilité que les \(N\) octets soient tous transmis sans erreur est supérieure ou égale à 0,1.

On peut affirmer que :

a.	b.	c.	d.
\(N_0=17\)	\(N_0=18\)	\(N_0=19\)	\(N_0=20\)

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. a. Étudions chaque terme quand \(x\) tend vers 0 (avec \(x\gt 0\)) : \(x^2\) et \(-6x\) tendent vers 0, tandis que \(\ln(x)\) tend vers \(-\infty\), donc \(4\ln(x)\) aussi. Par somme :

\[\lim_{x\to 0}f(x)=-\infty.\]

Graphiquement, la courbe \(\mathcal{C}_f\) plonge vers le bas le long de l’axe des ordonnées : la droite d’équation \(x=0\) (l’axe des ordonnées) est asymptote verticale à \(\mathcal{C}_f\).

b. En \(+\infty\), on a une forme indéterminée « \(+\infty-\infty\) » dans \(x^2-6x\). On factorise : pour \(x\gt 0\), \(x^2-6x=x^2(1-\dfrac{6}{x})\). Comme \(\dfrac{6}{x}\) tend vers 0, la parenthèse tend vers 1, et \(x^2\) tend vers \(+\infty\) : par produit, \(x^2-6x\) tend vers \(+\infty\). De plus \(\ln(x)\) tend vers \(+\infty\). Par somme :

\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.\]

2. a. On dérive terme à terme, en se rappelant que \((\ln x)^{\prime}=\dfrac{1}{x}\) :

\[f^{\prime}(x)=2x-6+\dfrac{4}{x}=\dfrac{2x^2-6x+4}{x}.\]

Pour tout \(x\gt 0\), \(f^{\prime}(x)=\dfrac{2x^2-6x+4}{x}\).

b. Sur \(]0~;~+\infty[\), le dénominateur \(x\) est strictement positif, donc \(f^{\prime}(x)\) a le signe du numérateur \(2x^2-6x+4=2(x^2-3x+2)\). Le trinôme \(x^2-3x+2\) a pour discriminant \(\Delta=9-8=1\) et pour racines \(\dfrac{3-1}{2}=1\) et \(\dfrac{3+1}{2}=2\). On a donc

\[f^{\prime}(x)=\dfrac{2(x-1)(x-2)}{x}.\]

Un trinôme de coefficient dominant positif est négatif entre ses racines et positif à l’extérieur : \(f^{\prime}(x)\gt 0\) sur \(]0~;~1[\) et sur \(]2~;~+\infty[\), \(f^{\prime}(x)\lt 0\) sur \(]1~;~2[\), et \(f^{\prime}\) s’annule en 1 et en 2.

On calcule les valeurs aux points où \(f^{\prime}\) s’annule :

\[f(1)=1-6+4\ln(1)=-5,\qquad f(2)=4-12+4\ln(2)=4\ln(2)-8\approx-5{,}23.\]

D’où le tableau de variations :

\(x\)	0		1		2		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)	\|\|	\(+\)	0	\(-\)	0	\(+\)
variations de \(f\)	\|\| \(-\infty\)	↗	\(-5\)	↘	\(4\ln(2)-8\)	↗	\(+\infty\)

3. L’intervalle \([4~;~5]\) est contenu dans \([2~;~+\infty[\), où \(f\) est strictement croissante. La fonction \(f\) est aussi continue sur \([4~;~5]\), car dérivable. Calculons les valeurs aux bornes :

\[f(4)=16-24+4\ln(4)=8\ln(2)-8\approx-2{,}45\lt 0,\qquad f(5)=25-30+4\ln(5)=4\ln(5)-5\approx 1{,}44\gt 0.\]

Le réel 0 est compris entre \(f(4)\) et \(f(5)\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue et strictement monotone), l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution dans \([4~;~5]\). La calculatrice la situe vers 4,68.

4. a. Pour tout \(x\gt 0\), \(f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{2(x^2-2)}{x^2}=\dfrac{2(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{x^2}\). Comme \(x^2\gt 0\) et \(x+\sqrt{2}\gt 0\), le signe de \(f^{\prime\prime}(x)\) est celui de \(x-\sqrt{2}\) :

sur \(]0~;~\sqrt{2}]\), \(f^{\prime\prime}(x)\leq\, 0\) : \(f\) est concave sur \(]0~;~\sqrt{2}]\) ;
sur \([\sqrt{2}~;~+\infty[\), \(f^{\prime\prime}(x)\geq\, 0\) : \(f\) est convexe sur \([\sqrt{2}~;~+\infty[\).

La dérivée seconde s’annule en \(\sqrt{2}\) en changeant de signe : la courbe \(\mathcal{C}_f\) admet un point d’inflexion d’abscisse \(\sqrt{2}\). Son ordonnée vaut, en utilisant \(\ln(\sqrt{2})=\dfrac{1}{2}\ln(2)\) :

\[f(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^2-6\sqrt{2}+4\ln(\sqrt{2})=2-6\sqrt{2}+2\ln(2).\]

Le seul point d’inflexion de \(\mathcal{C}_f\) est donc A\((\sqrt{2}~;~2-6\sqrt{2}+2\ln(2))\), soit environ \((1{,}414~;~-5{,}099)\).

b. On utilise la propriété des cordes : si une fonction est concave sur un intervalle, sa courbe est au-dessus de chacune de ses cordes sur cet intervalle ; si elle est convexe, sa courbe est en dessous.

Si \(0\lt t\lt\sqrt{2}\) : les points A et \(M\) ont leurs abscisses dans \(]0~;~\sqrt{2}]\), où \(f\) est concave. Le segment [A\(M\)] est situé en dessous de la courbe \(\mathcal{C}_f\).
Si \(t\gt\sqrt{2}\) : les abscisses de A et \(M\) sont dans \([\sqrt{2}~;~+\infty[\), où \(f\) est convexe. Le segment [A\(M\)] est situé au-dessus de la courbe \(\mathcal{C}_f\).

Exercice 2 :

1. a. On applique \(u_{n+1}=u_n^3\,\text{e}^{u_n}\) :

\[u_1=f(-1)=(-1)^3\text{e}^{-1}=-\text{e}^{-1}\approx-0{,}368.\]

\[u_2=f(u_1)=(-\text{e}^{-1})^3\text{e}^{-\text{e}^{-1}}=-\text{e}^{-3}\times \text{e}^{-\text{e}^{-1}}=-\text{e}^{-3-\text{e}^{-1}}\approx-0{,}034.\]

Donc \(u_1=-\text{e}^{-1}\approx-0{,}368\) et \(u_2=-\text{e}^{-3-\text{e}^{-1}}\approx-0{,}034\).

b. La variable u part de \(-1=u_0\), et chaque passage dans la boucle remplace u par \(f(\text{u})\), c’est-à-dire par le terme suivant. Avec n = 2, la boucle tourne deux fois (i vaut 0 puis 1), donc la fonction renvoie \(u_2\) : fonc (2) renvoie environ \(-0{,}034\).

2. a. \(f\) est le produit de \(x\mapsto x^3\), de dérivée \(3x^2\), et de \(x\mapsto \text{e}^x\), qui est sa propre dérivée. Avec \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) :

\[f^{\prime}(x)=3x^2\text{e}^x+x^3\text{e}^x=x^2\text{e}^x(3+x).\]

On obtient bien \(f^{\prime}(x)=x^2\text{e}^x(x+3)\) pour tout réel \(x\).

b. Signe de \(f^{\prime}\). Pour tout réel \(x\), \(x^2\geq\, 0\) et \(\text{e}^x\gt 0\) ; le facteur \(x^2\) ne s’annule qu’en 0 sans changer de signe. Le signe de \(f^{\prime}(x)\) est donc celui de \(x+3\) : \(f^{\prime}(x)\lt 0\) pour \(x\lt-3\), \(f^{\prime}(x)\geq\, 0\) pour \(x\gt-3\). Ainsi \(f\) est décroissante sur \(]-\infty~;~-3]\) et croissante sur \([-3~;~+\infty[\).

Minimum. \(f(-3)=(-3)^3\text{e}^{-3}=-27\text{e}^{-3}\approx-1{,}344\).

Limite en \(-\infty\). D’après les croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^n\text{e}^x=0\) pour tout entier naturel \(n\) ; avec \(n=3\), \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0\).

Limite en \(+\infty\). \(x^3\) et \(\text{e}^x\) tendent vers \(+\infty\), donc par produit \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

Ces quatre résultats sont exactement ceux du tableau proposé, qui est donc le tableau de variations de \(f\).

c. Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : « \(-1\leq\, u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 0\) ».

Initialisation. \(u_0=-1\) et \(u_1=-\text{e}^{-1}\approx-0{,}368\), donc \(-1\leq\, u_0\leq\, u_1\leq\, 0\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(-1\leq\, u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 0\). D’après la question 2. b, \(f\) est croissante sur \([-3~;~+\infty[\), donc en particulier sur \([-1~;~0]\). Appliquer \(f\) conserve donc l’ordre :

\[f(-1)\leq\, f(u_n)\leq\, f(u_{n+1})\leq\, f(0),\quad\text{soit}\quad -\text{e}^{-1}\leq\, u_{n+1}\leq\, u_{n+2}\leq\, 0.\]

Comme \(-1\leq\,-\text{e}^{-1}\), on en déduit \(-1\leq\, u_{n+1}\leq\, u_{n+2}\leq\, 0\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire ; par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(-1\leq\, u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 0\).

d. La question précédente montre que la suite \((u_n)\) est croissante (\(u_n\leq\, u_{n+1}\)) et majorée par 0. D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) converge. De plus, tous ses termes étant dans \([-1~;~0]\), sa limite \(\ell\) appartient aussi à \([-1~;~0]\) (passage à la limite dans les inégalités larges).

e. On résout \(f(x)=x\) en factorisant :

\[x^3\text{e}^x=x\iff x^3\text{e}^x-x=0\iff x(x^2\text{e}^x-1)=0\iff x=0\ \text{ou}\ x^2\text{e}^x-1=0.\]

L’équation \(x^2\text{e}^x-1=0\) a une seule solution, strictement supérieure à \(\dfrac{1}{2}\) : elle n’est donc pas dans \([-1~;~0]\) et ne peut pas être \(\ell\). La seule possibilité est \(\ell=0\) : la suite \((u_n)\) converge vers 0.

Exercice 3 :

Dans ce repère, A est l’origine, et comme \(\vec{\text{AB}}=3\vec{\imath}\), \(\vec{\text{AD}}=2\vec{\jmath}\) et \(\vec{\text{AE}}=\vec{k}\), on a B\((3~;~0~;~0)\), D\((0~;~2~;~0)\), E\((0~;~0~;~1)\), puis C\((3~;~2~;~0)\), F\((3~;~0~;~1)\) et H\((0~;~2~;~1)\).

1. ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle, donc \(\vec{\text{AG}}=\vec{\text{AB}}+\vec{\text{AD}}+\vec{\text{AE}}=3\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+\vec{k}\). Ainsi G\((3~;~2~;~1)\).

2. Puisque \(\vec{n}(2~;~0~;~-3)\) est normal au plan (EHI), ce plan a une équation de la forme \(2x-3z+d=0\). Le point E\((0~;~0~;~1)\) lui appartient : \(2\times 0-3\times 1+d=0\), d’où \(d=3\).

Une équation cartésienne du plan (EHI) est \(2x-3z+3=0\). (Vérification avec H\((0~;~2~;~1)\) : \(0-3+3=0\).)

3. Le triangle EIF, base du prisme, est le pignon avant du toit : il est situé dans le plan de la face avant ABFE, qui est le plan d’équation \(y=0\). Donc \(y_{\text{I}}=0\).

Le triangle EIF est isocèle en I, donc I est équidistant de E\((0~;~0~;~1)\) et de F\((3~;~0~;~1)\) : il se projette sur (EF) au milieu de [EF], de coordonnées \((\dfrac{3}{2}~;~0~;~1)\). Donc \(x_{\text{I}}=\dfrac{3}{2}\).

Enfin, I appartient au plan (EHI) : \(2\times \dfrac{3}{2}-3z_{\text{I}}+3=0\iff 6-3z_{\text{I}}=0\iff z_{\text{I}}=2\).

Donc I\((\dfrac{3}{2}~;~0~;~2)\).

4. On calcule l’angle avec le produit scalaire. On a \(\vec{\text{IE}}(-\dfrac{3}{2}~;~0~;~-1)\) et \(\vec{\text{IF}}(\dfrac{3}{2}~;~0~;~-1)\), donc :

\[\vec{\text{IE}}\cdot\vec{\text{IF}}=-\dfrac{9}{4}+0+1=-\dfrac{5}{4},\qquad \text{IE}=\text{IF}=\sqrt{\dfrac{9}{4}+1}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}.\]

Or \(\vec{\text{IE}}\cdot\vec{\text{IF}}=\text{IE}\times \text{IF}\times \cos(\widehat{\text{EIF}})\), d’où :

\[\cos(\widehat{\text{EIF}})=\dfrac{-\dfrac{5}{4}}{\dfrac{13}{4}}=-\dfrac{5}{13}.\]

La calculatrice donne \(\widehat{\text{EIF}}\approx 112{,}6^\circ\), soit \(\widehat{\text{EIF}}\approx 113^\circ\) au degré près.

5. a. La droite \(\Delta\) passe par R\((6~;~-3~;~-1)\) et a pour vecteur directeur \(\vec{u}(-3~;~4~;~1)\). Un point \(M(x~;~y~;~z)\) est sur \(\Delta\) si et seulement s’il existe un réel \(t\) tel que \(\vec{\text{R}M}=t\,\vec{u}\), ce qui donne :

\[\{\begin{array}{l}x=6-3t\\y=-3+4t\\z=-1+t\end{array}.\qquad t\in\mathbb{R}.\]

b. Le point K est sur \(\Delta\) et vérifie \(x=3\) : \(6-3t=3\iff t=1\). En reportant \(t=1\) : \(y=-3+4=1\) et \(z=-1+1=0\).

Donc K\((3~;~1~;~0)\).

c. On a B\((3~;~0~;~0)\) et C\((3~;~2~;~0)\). Le milieu de [BC] a pour coordonnées \((\dfrac{3+3}{2}~;~\dfrac{0+2}{2}~;~\dfrac{0+0}{2})=(3~;~1~;~0)\) : c’est exactement K. Le point K est le milieu de [BC], il appartient donc bien à l’arête [BC] : la tranchée atteint la maison au bon endroit.

Exercice 4 :

On complète d’abord l’arbre à l’aide de la règle « la somme des probabilités issues d’un même nœud vaut 1 » :

\[p(E_1)=1-0{,}4=0{,}6,\qquad p_{E_0}(R_0)=1-0{,}01=0{,}99,\qquad p_{E_1}(R_1)=1-0{,}02=0{,}98.\]

1. Réponse b. On suit la branche \(E_0\) puis \(R_0\) :

\[p(E_0\cap R_0)=p(E_0)\times p_{E_0}(R_0)=0{,}4\times 0{,}99=0{,}396.\]

2. Réponse c. \(E_0\) et \(E_1\) forment une partition de l’univers ; d’après la formule des probabilités totales :

\[p(R_0)=p(E_0\cap R_0)+p(E_1\cap R_0)=0{,}396+0{,}6\times 0{,}02=0{,}396+0{,}012=0{,}408.\]

3. Réponse c. On a \(p(R_1)=1-p(R_0)=0{,}592\) et \(p(E_0\cap R_1)=0{,}4\times 0{,}01=0{,}004\), donc :

\[p_{R_1}(E_0)=\dfrac{p(E_0\cap R_1)}{p(R_1)}=\dfrac{0{,}004}{0{,}592}\approx 0{,}0068\approx 0{,}007.\]

4. Réponse b. Il y a erreur lorsqu’un 0 envoyé est reçu comme un 1 ou lorsqu’un 1 envoyé est reçu comme un 0. Ces deux évènements sont incompatibles :

\[p(E_0\cap R_1)+p(E_1\cap R_0)=0{,}004+0{,}012=0{,}016.\]

5. Réponse d. Les 10 transmissions sont indépendantes et chacune réussit (octet sans erreur) avec la probabilité 0,88. Le nombre \(X\) d’octets transmis sans erreur suit donc la loi binomiale de paramètres \(n=10\) et \(p=0{,}88\) :

\[P(X=7)=\binom\,{10}{7}\times 0{,}88^{7}\times 0{,}12^{3}=120\times 0{,}88^{7}\times 0{,}12^{3}\approx 0{,}085.\]

6. Réponse a. L’évènement contraire de « au moins 1 octet sans erreur » est « aucun octet sans erreur », c’est-à-dire \(X=0\) :

\[P(X\geq\, 1)=1-P(X=0)=1-0{,}12^{10}.\]

7. Réponse b. Par indépendance, la probabilité que \(N\) octets soient tous transmis sans erreur est \(0{,}88^N\). On cherche le plus grand \(N\) tel que \(0{,}88^N\geq\, 0{,}1\). La fonction \(\ln\) étant croissante :

\[0{,}88^N\geq\, 0{,}1\iff N\ln(0{,}88)\geq\,\ln(0{,}1)\iff N\leq\,\dfrac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}88)}\approx 18{,}01,\]

en changeant le sens de l’inégalité car \(\ln(0{,}88)\lt 0\). On vérifie : \(0{,}88^{18}\approx 0{,}1002\geq\, 0{,}1\) et \(0{,}88^{19}\approx 0{,}0881\lt 0{,}1\). Donc \(N_0=18\).

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