Probabilités : corrigé des exercices de maths en 1ère à télécharger en PDF

Exercice 1 (probabilités 1ère corrigé)

On choisit un nombre au hasard parmi les 20 nombres de E : chaque nombre a la même probabilité d’être choisi (équiprobabilité). La probabilité d’un événement est donc égale au nombre d’issues qui le réalisent divisé par 20.

1. \(A=\{2;4;6;8;10;12;14;16;18;20\}\) contient 10 nombres, donc \(P(A)=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}\).
\(B=\{4;8;12;16;20\}\) contient 5 nombres, donc \(P(B)=\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}\).
\(C=\{5;10;15;20\}\) contient 4 nombres, donc \(P(C)=\dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{5}\).
\(D=\{2;6;10;14;18\}\) contient 5 nombres, donc \(P(D)=\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}\).

2. Tout multiple de 4 est pair, donc \(B\subset A\) : \(A\cap B=B\) et \(A\cup B=A\).
\(P(A\cap B)=\dfrac{1}{4}\) et \(P(A\cup B)=\dfrac{1}{2}\).
\(A\cap C\) est l’ensemble des multiples de 10 : \(\{10;20\}\), donc \(P(A\cap C)=\dfrac{2}{20}=\dfrac{1}{10}\).
\(P(A\cup C)=P(A)+P(C)-P(A\cap C)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{5+2-1}{10}\), donc \(P(A\cup C)=\dfrac{3}{5}\).

Exercice 2 :

Le premier niveau de l’arbre correspond au jeton tiré : 1, 2 ou 3, chacun avec la probabilité \(\dfrac{1}{3}\). Dans un arbre « sélectif », on ne garde ensuite que les branches qui donnent une somme égale à 7.

• Jeton 1 : on lance le dé une fois ; il faut obtenir 6. Probabilité \(\dfrac{1}{6}\).
• Jeton 2 : on lance le dé deux fois ; la somme des deux dés doit valoir 5, soit les couples (1 ; 4), (2 ; 3), (3 ; 2), (4 ; 1). Probabilité \(\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}\).
• Jeton 3 : on lance le dé trois fois ; la somme doit valoir 4, soit (1 ; 1 ; 2), (1 ; 2 ; 1), (2 ; 1 ; 1). Probabilité \(\dfrac{3}{216}=\dfrac{1}{72}\).

Par la formule des probabilités totales :
\(P(\text{somme} = 7)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{72}=\dfrac{12}{216}+\dfrac{8}{216}+\dfrac{1}{216}=\dfrac{21}{216}\)
La probabilité cherchée est \(\dfrac{7}{72}\approx 0{,}097\).

Exercice 3 (probabilités 1ère corrigé)

On lit dans le tableau :
\(P(R)=\dfrac{160}{400}=0{,}4\) ; \(P(F)=\dfrac{100}{400}=0{,}25\) ; \(P(R\cap F)=\dfrac{35}{400}=0{,}0875\).
Or \(P(R)\times P(F)=0{,}4\times 0{,}25=0{,}1\).
Comme \(P(R\cap F)\neq P(R)\times P(F)\), les événements R et F ne sont pas indépendants.
Autre justification : \(P_F(R)=\dfrac{35}{100}=0{,}35\) alors que \(P(R)=0{,}4\) : savoir que le roman est français modifie la probabilité qu’il date d’après 1900.

Exercice 4 :

L’urne contient 5 boules : 2 rouges et 3 vertes. Le tirage se fait avec remise, donc les deux tirages sont indépendants et, à chaque tirage, \(P(V)=\dfrac{3}{5}\) et \(P(R)=\dfrac{2}{5}\).
L’événement « une boule verte et une boule rouge » est réalisé par les issues (V ; R) et (R ; V) :
\(P=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}\times \dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{25}+\dfrac{6}{25}=\dfrac{12}{25}\)
La probabilité est \(\dfrac{12}{25}=0{,}48\).

Exercice 5 (probabilités 1ère corrigé)

Il y a 42 finalistes au total.

• a. \(P(F)=\dfrac{11}{42}\)
• b. \(P(E)=\dfrac{31}{42}\)
• c. \(P(L)=\dfrac{10}{42}=\dfrac{5}{21}\)
• d. Parmi les 11 finalistes français, 10 sont de l’Olympique Lyonnais : \(P_F(L)=\dfrac{10}{11}\)
• e. \(P_F(A)=\dfrac{1}{11}\)
• f. Parmi les 32 finalistes des autres clubs, 31 sont étrangers : \(P_A(E)=\dfrac{31}{32}\)

Exercice 6 :

Les pondérations du premier niveau sont des probabilités simples, celles du second niveau des probabilités conditionnelles.

• a. \(P(A)=0{,}7\)
• b. \(P(\overline{A})=0{,}3\)
• c. \(P_A(B)=0{,}2\)
• d. \(P_{\overline{A}}(B)=0{,}6\)
• e. \(P_A(\overline{B})=0{,}8\)
• f. \(P_{\overline{A}}(\overline{B})=0{,}4\)

Exercice 7 (probabilités 1ère corrigé)

a. On cherche \(P_T(R)\) : parmi les 160 élèves qui utilisent les transports publics, 74 sont en Première.
\(P_T(R)=\dfrac{74}{160}=\dfrac{37}{80}=0{,}4625\).

b. Parmi les 160 élèves qui utilisent un moyen personnel, 102 sont en Terminale :
\(P_M(\overline{R})=\dfrac{102}{160}=\dfrac{51}{80}=0{,}6375\).
C’est la probabilité que l’élève soit en Terminale sachant qu’il utilise un moyen de locomotion personnel : 63,75 % des élèves venant par leurs propres moyens sont en Terminale.

Exercice 8 :

a. Il y a \(250-150=100\) clients occasionnels.
\(P(R)=\dfrac{150}{250}=0{,}6\) ; \(P_R(A)=\dfrac{36}{150}=0{,}24\) ; \(P_O(A)=\dfrac{25}{100}=0{,}25\).

b. On complète les branches issues d’un même nœud pour que leur somme vaille 1 :

c. On cherche \(P(R\cap A)=P(R)\times P_R(A)=0{,}6\times 0{,}24\), donc \(P(R\cap A)=0{,}144\) (on retrouve \(\dfrac{36}{250}\)).

Exercice 9 (probabilités 1ère corrigé)

a. \(P(I)=0{,}8\) donc \(P(M)=0{,}2\).
On sait que \(P(I\cap F)=0{,}1\), donc \(P_I(F)=\dfrac{P(I\cap F)}{P(I)}=\dfrac{0{,}1}{0{,}8}=0{,}125\) et \(P_I(H)=1-0{,}125=0{,}875\).
Enfin \(P_M(H)=0{,}4\) et \(P_M(F)=0{,}6\).

b. \(P(M\cap H)=P(M)\times P_M(H)=0{,}2\times 0{,}4\), donc \(P(M\cap H)=0{,}08\).

Exercice 10 :

a. On multiplie les probabilités le long de chaque chemin :

• \(P(A\cap B)=0{,}4\times P(A)=0{,}4\times 0{,}1=0{,}04\)
• \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}2\times P(\overline{A})=0{,}2\times 0{,}9=0{,}18\)
• \(P(A\cap\overline{B})=0{,}6\times P(A)=0{,}6\times 0{,}1=0{,}06\)

b. Il manque \(P(\overline{A}\cap B)=0{,}8\times 0{,}9=0{,}72\). On obtient le tableau (en pourcentages) :

	\(A\)	\(\overline{A}\)	Total
\(B\)	4 %	72 %	76 %
\(\overline{B}\)	6 %	18 %	24 %
Total	10 %	90 %	100 %

Exercice 11 (probabilités 1ère corrigé)

Il y a 7 papiers : 4 orange et 3 qui ne le sont pas (2 verts et 1 rouge). Le tirage est sans remise.
\(P(O_1)=\dfrac{4}{7}\) et \(P(\overline{O_1})=\dfrac{3}{7}\).
Si le premier papier est orange, il reste 3 orange sur 6 : \(P_{O_1}(O_2)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\).
Si le premier papier n’est pas orange, il reste 4 orange sur 6 : \(P_{\overline{O_1}}(O_2)=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\).

a. Arbre complété :

b. \(P(O_1\cap O_2)=\dfrac{4}{7}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{7}\) : c’est la probabilité que les deux papiers tirés soient orange.
\(P(O_1\cap\overline{O_2})=\dfrac{4}{7}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{7}\) : c’est la probabilité que le premier papier soit orange et le second non.
\(P(\overline{O_1}\cap\overline{O_2})=\dfrac{3}{7}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{7}\) : c’est la probabilité qu’aucun des deux papiers ne soit orange.

Exercice 12 :

a. \(P(G)=\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}\) et, parmi les 20 applications de sport, 5 sont gratuites : \(P_S(G)=\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}\).

b. \(P_S(G)=P(G)\) : savoir que l’application est liée au sport ne change pas la probabilité qu’elle soit gratuite. Les événements G et S sont indépendants.

Exercice 13 (probabilités 1ère corrigé)

a. Le tramway passe toutes les 4 minutes et Max arrive à un instant quelconque : il attend moins de 2 minutes s’il arrive dans la seconde moitié de l’intervalle, d’où \(P(V)=\dfrac{2}{4}=0{,}5\) et \(P(\overline{V})=0{,}5\). Les trois trajets sont indépendants, donc toutes les branches valent 0,5 et chacune des 8 issues a pour probabilité \(0{,}5^3=0{,}125\).

b. « Une seule attente de moins de 2 min » correspond aux trois issues \((V;\overline{V};\overline{V})\), \((\overline{V};V;\overline{V})\) et \((\overline{V};\overline{V};V)\).
La probabilité est \(3\times 0{,}125\), soit 0,375.

Exercice 14 :

1. Le 60 % en rouge est une probabilité conditionnelle : parmi les personnes qui ont voté pour B au premier tour, 60 % votent pour A au second tour.

2. a. \(0{,}30\times 2000=600\) : 600 personnes ont voté pour A au premier tour.
b. De même, B : \(0{,}15\times 2000=300\) ; C : \(0{,}35\times 2000=700\) ; D : \(0{,}20\times 2000=400\).

3. a. Les voix de A au second tour viennent de trois branches :
\(600\times 1+300\times 0{,}6+400\times 0{,}7=600+180+280=1060\), soit 1 060 personnes.
b. Pour C : \(300\times 0{,}4+700\times 1+400\times 0{,}3=120+700+120=940\).

	1er tour	2e tour
A	600	1 060
B	300	0
C	700	940
D	400	0
Total	2 000	2 000

c. Avec 1 060 voix sur 2 000 (53 %), le candidat A devrait gagner l’élection, bien que C soit arrivé en tête au premier tour.

Exercice 15 (probabilités 1ère corrigé)

a. Il y a \(1800-850=950\) femmes. Parmi les hommes, 340 sont favorables sur 850 ; parmi les femmes, 608 sur 950.
\(P(H)=\dfrac{850}{1800}=\dfrac{17}{36}\) ; \(P(\overline{H})=\dfrac{19}{36}\) ; \(P_H(F)=\dfrac{340}{850}=0{,}4\) ; \(P_H(\overline{F})=0{,}6\) ; \(P_{\overline{H}}(F)=\dfrac{608}{950}=0{,}64\) ; \(P_{\overline{H}}(\overline{F})=0{,}36\).

b. Par la formule des probabilités totales :
\(P(F)=P(H)\times P_H(F)+P(\overline{H})\times P_{\overline{H}}(F)=\dfrac{17}{36}\times 0{,}4+\dfrac{19}{36}\times 0{,}64=\dfrac{340+608}{1800}\)
\(P(F)=\dfrac{948}{1800}=\dfrac{79}{150}\approx 0{,}527\).

c. On cherche \(P_F(\overline{H})=\dfrac{P(\overline{H}\cap F)}{P(F)}=\dfrac{608}{948}\approx 0{,}6414\).
Arrondie au centième, la probabilité est 0,64.

Exercice 16 :

Les branches issues de la racine portent des probabilités simples ; les autres portent des probabilités conditionnelles.

• \(0{,}27=p(C)\) et \(0{,}73=p(\overline{C})\)
• \(0{,}44=p_C(D)\) et \(0{,}56=p_C(\overline{D})\)
• \(0{,}12=p_{\overline{C}}(D)\) et \(0{,}88=p_{\overline{C}}(\overline{D})\)

Exercice 17 (probabilités 1ère corrigé)

On a \(A=\{2;4;6\}\), \(B=\{2\}\) et \(C=\{1;2;3;4\}\).

1. a) \(P_C(B)\) est la probabilité d’obtenir 2 sachant que le résultat est inférieur ou égal à 4. Elle vaut \(\dfrac{1}{4}\) (une issue favorable parmi 1, 2, 3, 4).
b) \(P_A(\overline{B})\) est la probabilité de ne pas obtenir 2 sachant que le résultat est pair. Elle vaut \(\dfrac{2}{3}\) (4 et 6 parmi 2, 4, 6).

2. a) La probabilité que le résultat soit pair sachant qu’il est inférieur ou égal à 4 se note \(P_C(A)\). Comme \(A\cap C=\{2;4\}\) :
\(P_C(A)=\dfrac{P(A\cap C)}{P(C)}=\dfrac{2/6}{4/6}=\dfrac{1}{2}\).
b) La probabilité que le résultat soit inférieur ou égal à 4 sachant qu’il est pair se note \(P_A(C)\) :
\(P_A(C)=\dfrac{P(A\cap C)}{P(A)}=\dfrac{2/6}{3/6}=\dfrac{2}{3}\).

Exercice 18 :

	Conforme	Non conforme	Total
Seconde	9	8	17
Première	3	5	8
Terminale	1	6	7
Total	13	19	32

1. Le manuel est choisi au hasard parmi 32 :
\(p(C)=\dfrac{13}{32}\) ; \(p(S)=\dfrac{17}{32}\) ; \(p(T)=\dfrac{7}{32}\).

2. Parmi les 7 manuels de Terminale, 1 seul est conforme : \(p_T(C)=\dfrac{1}{7}\).
Parmi les 13 manuels conformes, 1 seul est de Terminale : \(p_C(T)=\dfrac{1}{13}\).

3. Parmi les 13 manuels conformes, \(3+1=4\) ne sont pas de Seconde : \(p_C(\overline{S})=\dfrac{4}{13}\).
Il y a \(32-17=15\) manuels qui ne sont pas de Seconde, dont 4 conformes : \(p_{\overline{S}}(C)=\dfrac{4}{15}\).

Exercice 19 (probabilités 1ère corrigé)

1. L’arbre pondéré de la situation est le suivant :

2. La probabilité d’acheter un poivron jaune bio est \(p(J\cap B)=p(J)\times p_J(B)=0{,}15\times 0{,}8\), soit \(p(J\cap B)=0{,}12\).

3. V, R et J forment une partition de l’univers ; par la formule des probabilités totales :
\(p(B)=p(V)\times p_V(B)+p(R)\times p_R(B)+p(J)\times p_J(B)=0{,}4\times 0{,}6+0{,}45\times 0{,}5+0{,}15\times 0{,}8\)
\(p(B)=0{,}24+0{,}225+0{,}12\), donc \(p(B)=0{,}585\).
Puis \(p(\overline{B})=1-0{,}585=0{,}415\).

Exercice 20 :

1. \(p(A)=0{,}3\) ; parmi les dragées avec amande, 40 % sont bleues : \(p_A(B)=0{,}4\) ; parmi les dragées sans amande, 25 % sont roses, donc 75 % sont bleues : \(p_{\overline{A}}(B)=0{,}75\).

2. \(p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)=0{,}3\times 0{,}4\), donc \(p(A\cap B)=0{,}12\).

3. \(p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)=0{,}12+0{,}7\times 0{,}75=0{,}12+0{,}525\), donc \(p(B)=0{,}645\).
\(p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}=\dfrac{0{,}12}{0{,}645}\), donc \(p_B(A)=\dfrac{8}{43}\approx 0{,}186\).

4. \(p(\overline{B})=1-0{,}645=0{,}355\) et \(p(A\cap\overline{B})=0{,}3\times 0{,}6=0{,}18\).
\(p_{\overline{B}}(A)=\dfrac{0{,}18}{0{,}355}\), donc \(p_{\overline{B}}(A)=\dfrac{36}{71}\approx 0{,}507\).

5. Une dragée rose contient une amande avec une probabilité d’environ 0,507, contre environ 0,186 pour une dragée bleue. Sophie a intérêt à choisir une dragée rose.

Exercice 21 (probabilités 1ère corrigé)

	France	Étranger	Total
Gardien	2	1	3
Défenseur	3	5	8
Milieu	1	5	6
Attaquant	3	3	6
Total	9	14	23

1. \(p(G)=\dfrac{3}{23}\) et \(p(F)=\dfrac{9}{23}\).

2. Parmi les 6 milieux, 1 joue en France : \(p_M(F)=\dfrac{1}{6}\).
Parmi les 9 joueurs évoluant en France, 1 est milieu et 3 sont attaquants : \(p_F(M)=\dfrac{1}{9}\) et \(p_F(A)=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\).

3. Parmi les 3 gardiens, 1 joue à l’étranger : \(p_G(\overline{F})=\dfrac{1}{3}\).
Parmi les 14 joueurs évoluant à l’étranger, 5 sont défenseurs : \(p_{\overline{F}}(D)=\dfrac{5}{14}\).

4. Un joueur ne peut pas être à la fois gardien et milieu : \(G\cap M=\varnothing\), donc \(p_G(M)=0\).

5. Il faut un effectif de 5 dans un groupe de 8 : parmi les 8 défenseurs, 5 jouent à l’étranger, donc \(p_D(\overline{F})=\dfrac{5}{8}\).

6. \(G\cup D\) compte \(3+8=11\) joueurs, dont \(2+3=5\) jouent en France : \(p_{G\cup D}(F)=\dfrac{5}{11}\).
Parmi les 14 joueurs de l’étranger, \(5+3=8\) sont milieux ou attaquants : \(p_{\overline{F}}(M\cup A)=\dfrac{8}{14}=\dfrac{4}{7}\).

Exercice 22 :

	Habillé	Décontracté	Total
Bleu	5	8	13
Noir	3	6	9
Rouge	0	2	2
Total	8	16	24

Deux événements X et Y sont indépendants lorsque \(P(X\cap Y)=P(X)\times P(Y)\). Ici \(P(D)=\dfrac{16}{24}=\dfrac{2}{3}\) et \(P(\overline{D})=\dfrac{1}{3}\).

a) \(P(B\cap D)=\dfrac{8}{24}=\dfrac{1}{3}\) et \(P(B)\times P(D)=\dfrac{13}{24}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{13}{36}\). Comme \(\dfrac{1}{3}=\dfrac{12}{36}\neq\dfrac{13}{36}\), B et D ne sont pas indépendants.

b) \(P(R\cap\overline{D})=0\) (aucun pantalon rouge habillé) alors que \(P(R)\times P(\overline{D})=\dfrac{2}{24}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{36}\). R et \(\overline{D}\) ne sont pas indépendants.

c) \(P(N\cap D)=\dfrac{6}{24}=\dfrac{1}{4}\) et \(P(N)\times P(D)=\dfrac{9}{24}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{4}\). N et D sont indépendants.

d) \(P(N\cap\overline{D})=\dfrac{3}{24}=\dfrac{1}{8}\) et \(P(N)\times P(\overline{D})=\dfrac{9}{24}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{8}\). N et \(\overline{D}\) sont indépendants (c’était prévisible : si N et D sont indépendants, N et \(\overline{D}\) le sont aussi).

Exercice 23 (probabilités 1ère corrigé)

1. Chaque soir, l’épreuve est la même (il y a du courrier avec la probabilité 0,47) et, d’après l’énoncé, ce qui se passe un soir n’influence pas le soir suivant. Le résultat de la première épreuve ne modifie donc pas les probabilités de la seconde : c’est une succession de deux épreuves indépendantes.

2. On note C l’événement « il y a du courrier ». Les probabilités du second niveau sont les mêmes quelle que soit la branche :

3. Dans chaque case, on multiplie les probabilités des deux soirs (\(0{,}47^2=0{,}2209\), \(0{,}47\times 0{,}53=0{,}2491\), \(0{,}53^2=0{,}2809\)) :

	C (2e soir)	\(\overline{C}\) (2e soir)	Total
C (1er soir)	0,2209	0,2491	0,47
\(\overline{C}\) (1er soir)	0,2491	0,2809	0,53
Total	0,47	0,53	1

Exercice 24 :

1. Ornella et Fanny puisent dans deux réserves différentes (la poche de l’une, le porte-monnaie de l’autre) : la pièce prise par Ornella ne modifie pas le contenu du porte-monnaie de Fanny. Les deux tirages sont donc des épreuves indépendantes.

2. Ornella tire 0,50 € avec la probabilité \(\dfrac{2}{3}\) et 1 € avec la probabilité \(\dfrac{1}{3}\) ; Fanny tire 0,20 € avec la probabilité \(\dfrac{3}{5}\), 1 € et 2 € chacun avec la probabilité \(\dfrac{1}{5}\).

3. Chaque case contient le produit des deux probabilités :

	Fanny : 0,20 €	Fanny : 1 €	Fanny : 2 €	Total
Ornella : 0,50 €	\(\dfrac{2}{5}\)	\(\dfrac{2}{15}\)	\(\dfrac{2}{15}\)	\(\dfrac{2}{3}\)
Ornella : 1 €	\(\dfrac{1}{5}\)	\(\dfrac{1}{15}\)	\(\dfrac{1}{15}\)	\(\dfrac{1}{3}\)
Total	\(\dfrac{3}{5}\)	\(\dfrac{1}{5}\)	\(\dfrac{1}{5}\)	1

Exercice 25 :

On définit les événements :

• E : « l’objet produit est une équerre » ;
• \(R=\overline{E}\) : « l’objet produit est un rapporteur » ;
• D : « l’objet a un défaut ».

Après cela, on a \(P(E)=0{,}7\) et \(P(R)=0{,}3\) ; \(P_E(D)=0{,}2\) donc \(P_E(\overline{D})=0{,}8\) ; 30 % des rapporteurs n’ont pas de défaut, donc \(P_R(\overline{D})=0{,}3\) et \(P_R(D)=0{,}7\).

On peut en déduire par exemple \(P(E\cap D)=0{,}7\times 0{,}2=0{,}14\) et \(P(R\cap D)=0{,}3\times 0{,}7=0{,}21\).

Exercice 26 :

1. L’arbre pondéré complété :

2. a) \(p(N\cap S)=p(S)\times p_S(N)=0{,}24\times 0{,}43\), donc \(p(N\cap S)=0{,}1032\).
b) S, P et T forment une partition de l’univers :
\(p(N)=0{,}24\times 0{,}43+0{,}61\times 0{,}22+0{,}15\times 0{,}5=0{,}1032+0{,}1342+0{,}075\), donc \(p(N)=0{,}3124\).
c) \(p_N(S)=\dfrac{p(N\cap S)}{p(N)}=\dfrac{0{,}1032}{0{,}3124}\), donc \(p_N(S)\approx 0{,}330\).

3. On compare les probabilités sachant N :
\(p_N(P)=\dfrac{0{,}1342}{0{,}3124}\approx 0{,}430\) et \(p_N(T)=\dfrac{0{,}075}{0{,}3124}\approx 0{,}240\).
Comme \(0{,}430\gt 0{,}330\gt 0{,}240\), il est plus probable que ce nageur soit un élève de première.

4. a) Dans chaque niveau, les pourcentages de football, d’athlétisme et de natation totalisent 100 % : chaque élève pratique un seul de ces sports, donc A et N sont incompatibles et \(p(A\cup N)=p(A)+p(N)\).
\(p(A)=0{,}24\times 0{,}45+0{,}61\times 0{,}44+0{,}15\times 0{,}09=0{,}108+0{,}2684+0{,}0135=0{,}3899\).
\(p(A\cup N)=0{,}3899+0{,}3124\), donc \(p(A\cup N)=0{,}7023\) (on retrouve \(1-p(F)\)).
b) \(p(F)=0{,}24\times 0{,}12+0{,}61\times 0{,}34+0{,}15\times 0{,}41=0{,}0288+0{,}2074+0{,}0615=0{,}2977\) et \(p(S\cap F)=0{,}0288\).
\(p(S\cup F)=p(S)+p(F)-p(S\cap F)=0{,}24+0{,}2977-0{,}0288\), donc \(p(S\cup F)=0{,}5089\).

Exercice 27 :

1. \(P(A)=0{,}3\), \(P(\overline{A})=0{,}7\), \(P_A(C)=0{,}35\), \(P_A(\overline{C})=0{,}65\), \(P_{\overline{A}}(C)=0{,}45\), \(P_{\overline{A}}(\overline{C})=0{,}55\).

2. Par la formule des probabilités totales :
\(P(C)=0{,}3\times 0{,}35+0{,}7\times 0{,}45=0{,}105+0{,}315=0{,}42\).
Or \(P_A(C)=0{,}35\neq P(C)=0{,}42\) : savoir que le beignet est à l’ananas modifie la probabilité qu’il soit à la cannelle. Les événements A et C ne sont pas indépendants.

Exercice 28 :

On note T l’événement « l’élève est en terminale » et F l’événement « l’élève est une fille ». La chorale compte \(7+9+n=16+n\) élèves, dont \(1+3+6=10\) filles et 6 filles de terminale.
\(P(T)=\dfrac{n}{16+n}\) ; \(P(F)=\dfrac{10}{16+n}\) ; \(P(T\cap F)=\dfrac{6}{16+n}\).

T et F sont indépendants si et seulement si \(P(T\cap F)=P(T)\times P(F)\), c’est-à-dire :
\(\dfrac{6}{16+n}=\dfrac{10n}{(16+n)^2}\iff 6(16+n)=10n\iff 96=4n\iff n=24\).

Vérification : avec 40 élèves, \(P(T\cap F)=\dfrac{6}{40}=0{,}15\) et \(P(T)\times P(F)=\dfrac{24}{40}\times \dfrac{10}{40}=0{,}15\).
Les deux événements sont indépendants pour \(n=24\) et pour cette seule valeur.

Exercice 29 :

	Noir	Couleur	Total
Bois	17	84	101
Pierre	31	60	91
Métal	8	24	32
Total	56	168	224

1. a) Parmi les 101 éléphants en bois, 17 sont noirs : \(p_B(N)=\dfrac{17}{101}\approx 0{,}168\).
b) Parmi les 168 éléphants de couleur, 84 sont en bois : \(p_{\overline{N}}(B)=\dfrac{84}{168}=\dfrac{1}{2}\).
c) Il y a \(101+32=133\) éléphants en bois ou en métal, dont \(17+8=25\) noirs : \(p_{B\cup M}(N)=\dfrac{25}{133}\approx 0{,}188\).

2. \(p(N)=\dfrac{56}{224}=\dfrac{1}{4}\) et \(p_M(N)=\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}\). Comme \(p_M(N)=p(N)\), N et M sont indépendants.

3. \(p_B(N)=\dfrac{17}{101}\approx 0{,}168\neq\dfrac{1}{4}=p(N)\), donc N et B ne sont pas indépendants.

Exercice 30 :

1. \(p(S)=0{,}15\), \(p(N)=0{,}3\), \(p(P)=1-0{,}15-0{,}3=0{,}55\) ; \(p_S(M)=0{,}05\), \(p_N(M)=0{,}1\), \(p_P(M)=0{,}9\).

2. a) \(p(P\cap M)=0{,}55\times 0{,}9\), donc \(p(P\cap M)=0{,}495\).
\(p(M)=0{,}15\times 0{,}05+0{,}3\times 0{,}1+0{,}495=0{,}0075+0{,}03+0{,}495\), donc \(p(M)=0{,}5325\).
b) \(p_S(M)=0{,}05\neq p(M)=0{,}5325\), donc S et M ne sont pas indépendants.
c) On cherche \(p_M(S)=\dfrac{p(S\cap M)}{p(M)}=\dfrac{0{,}0075}{0{,}5325}=\dfrac{1}{71}\), soit environ 0,014.

3. On note x la proportion commandée au grossiste normand et y celle commandée au grossiste de Paris, avec \(x+y=0{,}85\). On veut :
\(0{,}15\times 0{,}05+0{,}1x+0{,}9y=0{,}3\)
En remplaçant y par \(0{,}85-x\) : \(0{,}0075+0{,}1x+0{,}765-0{,}9x=0{,}3\iff 0{,}8x=0{,}4725\iff x=0{,}590625\), puis \(y=0{,}259375\).
Saumonix doit commander environ 59,1 % de son poisson au grossiste normand et environ 25,9 % au grossiste de Paris.

Exercice 31 :

On note I l’événement « la famille part à Istanbul » et \(\overline{P}\) l’événement « il ne pleut pas ». On a \(p(I)=0{,}9\) et \(p_I(\overline{P})=0{,}85\) (c’est une probabilité conditionnelle : l’absence de pluie est donnée sachant que Yannis est à Istanbul).
\(p(I\cap\overline{P})=p(I)\times p_I(\overline{P})=0{,}9\times 0{,}85\), donc \(p(I\cap\overline{P})=0{,}765\).

Exercice 32 :

1. \(p(U)=0{,}25\), \(p(\overline{U})=0{,}75\), \(p_U(C)=0{,}9\), \(p_U(\overline{C})=0{,}1\), \(p_{\overline{U}}(C)=0{,}85\), \(p_{\overline{U}}(\overline{C})=0{,}15\).

2. \(p(U\cap C)=0{,}25\times 0{,}9=0{,}225\) et \(p(\overline{U}\cap C)=0{,}75\times 0{,}85=0{,}6375\).

3. Par la formule des probabilités totales : \(p(C)=p(U\cap C)+p(\overline{U}\cap C)=0{,}225+0{,}6375\), donc \(p(C)=0{,}8625\), soit environ 86 % de chances.

Exercice 33 :

A, B et C forment une partition de l’univers, donc :
\(P(D)=0{,}1\times 0{,}23+0{,}2\times 0{,}44+0{,}7\times 0{,}17=0{,}023+0{,}088+0{,}119=0{,}23\).

1. \(P_A(D)=0{,}23=P(D)\) (autrement dit \(P(A\cap D)=0{,}023=0{,}1\times 0{,}23=P(A)\times P(D)\)). A et D sont indépendants.

2. \(P_B(D)=0{,}44\neq 0{,}23=P(D)\). B et D ne sont pas indépendants.

Exercice 34 :

D’après l’arbre, \(P(A)=0{,}4\), \(P_A(B)=0{,}8\) et \(P_{\overline{A}}(B)=p\).
\(P(A\cap B)=0{,}4\times 0{,}8=0{,}32\) et \(P(B)=0{,}32+0{,}6p\).
A et B sont indépendants si et seulement si \(P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\) :
\(0{,}32=0{,}4\times (0{,}32+0{,}6p)\iff 0{,}32=0{,}128+0{,}24p\iff p=\dfrac{0{,}192}{0{,}24}\)
Donc \(p=0{,}8\). On pouvait le prévoir : A et B sont indépendants lorsque \(P_A(B)=P_{\overline{A}}(B)\), c’est-à-dire lorsque la probabilité de B ne dépend pas de la branche suivie.

Bien travailler avec probabilités 1ère corrigé

Tout d’abord, fais l’exercice sans regarder la solution. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. En outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.

Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Probabilité sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec barycentre : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF.