Cette série de 34 exercices de maths en 1ère fait travailler les probabilités conditionnelles et les notions qui les préparent. Ensuite, les premiers énoncés reviennent sur l’équiprobabilité, l’intersection et la réunion d’événements, avec des nombres entiers, des jetons, des boules tirées dans une urne ou des tirages successifs avec ou sans remise. Viennent ensuite de nombreux tableaux croisés (romans, footballeuses, élèves, applications, manuels, pantalons, éléphants miniatures) à partir desquels on calcule des fréquences et des probabilités « sachant que ».
La seconde partie est consacrée aux arbres pondérés : les compléter, lire une pondération comme une probabilité \(p_A(B)\), appliquer la formule des probabilités totales, remonter à une probabilité « sachant que », puis étudier l’indépendance de deux événements et la succession de deux épreuves indépendantes. Quelques problèmes plus ouverts demandent de trouver une valeur inconnue : l’effectif de la chorale ou la pondération d’un arbre qui rendent deux événements indépendants, ou les proportions que le poissonnier doit commander pour atteindre son objectif.
Cherchez chaque exercice au brouillon en rédigeant vos justifications, puis comparez votre travail avec le corrigé détaillé de ces exercices, qui reprend chaque arbre et chaque calcul.
Exercice 1 – Probabilités et ensemble de nombre (probabilités conditionnelles 1ère)
E est l’ensemble des nombres de 1 à 20 inclus.
On choisit au hasard l’un de ces nombres.
1. Quelle est la probabilité des événements suivants :
A = « il est un multiple de 2 »
B = « il est un multiple de 4 »
C = « il est un multiple de 5 »
D = « il est un multiple de 2 mais pas de 4 »
2. Ensuite, calculer la probabilité de \(A\cap B\), \(A\cup B\), \(A\cap C\) et \(A\cup C\).
Exercice 2 – Exercice sur les probabilités
Un sac contient trois jetons numérotés 1, 2 et 3.
Puis on tire un jeton au hasard, puis on lance un dé autant de fois que le chiffre inscrit sur le jeton.
De plus, calculer la probabilité que la somme du nombre lu sur le jeton et du (ou des) nombre(s) lu(s) sur le dé soit égale à 7. (On fera un arbre « sélectif ».)
Exercice 3 (probabilités conditionnelles 1ère)
Le tableau ci-dessous donne la répartition des romans d’une médiathèque.
On choisit au hasard l’un des romans.
Les événements R et F sont-ils indépendants ? Ensuite, justifier.
| Français (F) | Étranger (\(\overline{F}\)) | Total | |
| Depuis 1900 (R) | 35 | 125 | 160 |
| Avant 1900 (\(\overline{R}\)) | 65 | 175 | 240 |
| Total | 100 | 300 | 400 |
Exercice 4 :
On tire, au hasard et avec remise, deux boules de l’urne ci-contre et on note les couleurs
obtenues : V pour verte et R pour rouge.
Par ailleurs, calculer la probabilité que sur les deux boules tirées, l’une soit verte et l’autre soit rouge.
Exercice 5 (probabilités conditionnelles 1ère)
Voici l’historique des finalistes de la Ligue des Champions féminine de football depuis sa
création (données 2022).
| Olympique Lyonnais (L) | Autres clubs (A) | Total | |
| Français (F) | 10 | 1 | 11 |
| Étranger (E) | 0 | 31 | 31 |
| Total | 10 | 32 | 42 |
On choisit au hasard la fiche d’un des finalistes.
Puis donner, sans justification, chaque probabilité.
a. \(P(F)\) ; b. \(P(E)\) ; c. \(P(L)\) ; d. \(P_F(L)\) ; e. \(P_F(A)\) ; f. \(P_A(E)\)
Exercice 6 :
Voici un arbre de probabilités.
Donner, sans justification, chaque probabilité.
a. \(P(A)\) ; b. \(P(\overline{A})\) ; c. \(P_A(B)\) ; d. \(P_{\overline{A}}(B)\) ; e. \(P_A(\overline{B})\) ; f. \(P_{\overline{A}}(\overline{B})\)
Exercice 7 (probabilités conditionnelles 1ère)
Voici la répartition des moyens de locomotion utilisés par des élèves de Première et de Terminale
pour se rendre au lycée.
| Première (R) | Terminale (\(\overline{R}\)) | Total | |
| Transport public (T) | 74 | 86 | 160 |
| Moyen personnel (M) | 58 | 102 | 160 |
| Total | 132 | 188 | 320 |
On choisit au hasard la fiche de l’un de ces élèves.
a. L’élève choisi utilise les transports publics.
Quelle est la probabilité qu’il soit en Première ?
b. Également, calculer et interpréter \(P_M(\overline{R})\).
Exercice 8 :
Sur les 250 clients d’une entreprise, 150 sont des clients réguliers (R), les autres sont occasionnels (O).
Parmi les clients réguliers, 36 sont des particuliers (A).
Parmi les clients occasionnels, 25 sont des particuliers.
Ensuite, on choisit au hasard la fiche d’un des clients.
a. Recopier et compléter les calculs suivants.
\(P(R)=\dfrac{\ldots}{\ldots}=\ldots\)
\(P_R(A)=\dfrac{\ldots}{\ldots}=\ldots\)
\(P_O(A)=\dfrac{\ldots}{\ldots}=\ldots\)
b. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
c. Puis calculer la probabilité que la fiche choisie soit celle d’un client particulier régulier.
Exercice 9 (probabilités conditionnelles 1ère)
Une boutique de prêt-à-porter vend 80 % de ses articles sur Internet (I) et le reste en magasin (M).
10 % de ses articles sont vendus sur Internet et destinés aux femmes (F).
Parmi les articles vendus en magasin, 40 % sont destinés aux hommes (H).
On choisit au hasard la fiche d’un article vendu par cette boutique.
a. Ensuite, recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
b. De plus, calculer la probabilité que la fiche choisie soit celle d’un article acheté par un homme en magasin.
Exercice 10 :
Voici un arbre pondéré par des probabilités.
a. Recopier et compléter le calcul de chaque probabilité.
- \(P(A\cap B)=\ldots\times P(A)=\ldots\times \ldots=\ldots\)
- \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=\ldots\times P(\overline{A})=\ldots\times \ldots=\ldots\)
- \(P(A\cap\overline{B})=\ldots\times P(A)=\ldots\times \ldots=\ldots\)
b. Recopier et compléter le tableau croisé ci-dessous avec des pourcentages.
| \(A\) | \(\overline{A}\) | Total | |
| \(B\) | |||
| \(\overline{B}\) | |||
| Total |
Exercice 11 (probabilités conditionnelles 1ère)
On choisit au hasard successivement et sans remise, deux papiers de la liste ci-dessous.
On note \(O_1\) (resp. \(O_2\)) l’événement « Le premier (resp. le deuxième) papier choisi est orange ».
a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
b. Ensuite, calculer et interpréter les probabilités suivantes :
\(P(O_1\cap O_2)\) ; \(P(O_1\cap\overline{O_2})\) ; \(P(\overline{O_1}\cap\overline{O_2})\)
Exercice 12 :
Voici la répartition des applications sur un smartphone selon qu’elles sont liées au sport ou au divertissement, qu’elles sont gratuites ou non.
| Sport (S) | Divertissement (D) | Total | |
| Gratuite (G) | 5 | 3 | 8 |
| Payante (P) | 15 | 9 | 24 |
| Total | 20 | 12 | 32 |
On choisit au hasard l’une de ces applications.
a. De plus, calculer P(G) puis \(P_S(G)\).
b. Par ailleurs, les événements G et S sont-ils indépendants ?
Puis justifier.
Exercice 13 (probabilités conditionnelles 1ère)
Pour se rendre à l’université où il étudie, Max prend le tramway ; celui-ci passe toutes les 4 min.
Ensuite, on choisit un trajet au hasard et on note V l’événement « Max a attendu son tramway moins de 2 min ».
Max se rend trois jours de suite à l’université.
a. Par ailleurs, recopier et compléter cet arbre pondéré.
b. Puis calculer la probabilité que, sur les trois trajets, il ait attendu une seule fois moins de 2 min.
Exercice 14 :
Deux sondages ont été réalisés auprès des mêmes 2000 personnes : l’un avant le premier tour d’une élection présidentielle et l’autre avant le second tour.
Quatre candidats, notés A, B, C, D, étaient présents au premier tour, et les deux restants au second tour sont A et C.
Toutes les personnes interrogées se sont prononcées.
De plus, l’arbre ci-dessous indique les probabilités des votes pour chaque candidat.
| 1er tour | 2e tour | |
| A | ||
| B | ||
| C | ||
| D | ||
| Total | 2 000 | 2 000 |
1. Interpréter le nombre écrit en rouge sur l’arbre (60 %).
2. a. Ensuite, calculer le nombre de personnes ayant voté pour le candidat A au premier tour.
b. Recopier le tableau croisé ci-dessus, et compléter la colonne « 1er tour ».
3. a. Par ailleurs, calculer le nombre de personnes ayant voté pour le candidat A au second tour.
b. Puis, compléter la colonne « 2e tour » du tableau croisé.
c. Quel candidat devrait gagner l’élection ?
Exercice 15 (probabilités conditionnelles 1ère)
Un supermarché envisage de s’implanter à proximité d’un village.
Puis la mairie effectue une enquête d’opinion auprès de ses habitants afin de savoir s’ils sont favorables ou non à cette implantation.
Sur les 1 800 habitants à s’être prononcés, il y avait 850 hommes (H).
Ensuite, on sait de plus que 340 hommes et 608 femmes sont favorables (F) au projet.
Puis dans le listing des habitants à s’être prononcés, on tire un nom au hasard.
a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
b. Également, calculer la probabilité P(F).
c. Sachant que l’habitant choisi au hasard est favorable au projet, calculer la probabilité que ce soit une femme.
Arrondir au centième.
Exercice 16 :
Dans l’arbre ci-dessous, exprimer chacune des pondérations
comme une probabilité (par exemple \(0{,}44=p_C(D)\)).
Exercice 17 (probabilités conditionnelles 1ère)
Quand on lance un dé à 6 faces, on considère les événements :
A : « Le résultat est pair. »
B : « Le résultat est 2. »
C : « Le résultat est inférieur ou égal à 4. »
1. a) Décrire la probabilité \(P_C(B)\) par une phrase.
b) Même question pour \(P_A(\overline{B})\).
2. a) Écrire la probabilité que le résultat soit pair sachant qu’il
est inférieur ou égal à 4 avec la notation des probabilités
conditionnelles.
b) Même question pour la probabilité que le résultat soit
inférieur ou égal à 4 sachant qu’il est pair.
Exercice 18 :
Un professeur de mathématiques a trié sa bibliothèque dans laquelle figurent 32 manuels de différents niveaux,
certains étant conformes aux programmes actuels et d’autres, plus vieux, n’y étant pas conformes.
La répartition de ces manuels est donnée par le tableau ci-dessous :
| Conforme | Non conforme | Total | |
| Seconde | 9 | 8 | 17 |
| Première | 3 | 5 | 8 |
| Terminale | 1 | 6 | 7 |
| Total | 13 | 19 | 32 |
Il prend un de ces manuels au hasard et on considère les événements :
C : « Le manuel est conforme aux programmes actuels. »
S : « Le manuel est un manuel de Seconde. »
T : « Le manuel est un manuel de Terminale. »
1. De plus, calculer p(C), p(S) et p(T).
2. Ensuite, calculer \(p_T(C)\) et \(p_C(T)\).
3. Par ailleurs, calculer \(p_C(\overline{S})\) et \(p_{\overline{S}}(C)\).
Exercice 19 (probabilités conditionnelles 1ère)
La répartition des poivrons chez un maraîcher est :
- 40 % de poivrons verts dont 60 % sont bio.
- 45 % de poivrons rouges dont 50 % sont bio.
- 15 % de poivrons jaunes dont 80 % sont bio.
Nino achète un de ces poivrons au hasard et on note :
- V l’événement « Le poivron est vert ».
- R l’événement « Le poivron est rouge ».
- J l’événement « Le poivron est jaune ».
- B l’événement « Le poivron est bio ».
1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation.
2. Puis calculer la probabilité qu’il achète un poivron jaune bio.
3. Ensuite, calculer p(B) puis \(p(\overline{B})\).
Exercice 20 :
Sophie a mis des dragées dans une boîte, les unes contiennent une amande, les autres pas :
- 30 % des dragées contiennent une amande ;
- 40 % des dragées avec amande sont bleues et les autres roses ;
- 25 % des dragées sans amande sont roses et les autres bleues.
Sophie choisit au hasard une dragée dans la boîte et on considère les événements :
A : « La dragée choisie contient une amande. »
B : « La dragée choisie est bleue. »
1. Ensuite, représenter la situation par un arbre pondéré.
2. Puis montrer que \(p(A \cap B) = 0{,}12\).
3. De plus, calculer p(B) puis en déduire \(p_B(A)\).
4. Ensuite, calculer \(p_{\overline{B}}(A)\).
5. Sophie préfère les dragées contenant une amande.
Doit-elle plutôt choisir une dragée bleue ou rose ?
Exercice 21 (probabilités conditionnelles 1ère)
On considère les 23 joueurs de football ayant gagné la coupe du monde 2018 selon leur poste et selon s’ils jouaient en France ou à l’étranger durant cette saison 2017-2018 :
| France | Étranger | Total | |
| Gardien | 2 | 1 | 3 |
| Défenseur | 3 | 5 | 8 |
| Milieu | 1 | 5 | 6 |
| Attaquant | 3 | 3 | 6 |
| Total | 9 | 14 | 23 |
On tire au hasard un joueur parmi les 23 et on considère les événements :
Ensuite, g : « Le joueur est gardien. »
De même, d : « Le joueur est défenseur. »
Également, m : « Le joueur est milieu. »
Par ailleurs, a : « Le joueur est attaquant. »
Puis, f : « Le joueur joue en France. »
1. Par ailleurs, calculer p(G) et p(F).
2. De plus, calculer \(p_M(F)\), \(p_F(M)\) et \(p_F(A)\).
3. Puis calculer \(p_G(\overline{F})\) et \(p_{\overline{F}}(D)\).
4. Par ailleurs, calculer \(p_G(M)\).
5. Ensuite, trouver une probabilité conditionnelle égale à \(\dfrac{5}{8}\).
6. Puis, calculer \(p_{G\cup D}(F)\) et \(p_{\overline{F}}(M\cup A)\).
Exercice 22 :
La répartition des pantalons de Gani est donnée par le tableau ci-dessous :
| Habillé | Décontracté | Total | |
| Bleu | 5 | 8 | 13 |
| Noir | 3 | 6 | 9 |
| Rouge | 0 | 2 | 2 |
| Total | 8 | 16 | 24 |
Il prend un pantalon au hasard dans son armoire et on considère les événements :
- B : « Le pantalon est bleu. »
- N : « Le pantalon est noir. »
- R : « Le pantalon est rouge. »
- D : « Le pantalon est décontracté. »
Les événements suivants sont-ils indépendants ?
a) B et D
b) Également, r et \(\overline{D}\)
c) N et D
d) Ensuite, n et \(\overline{D}\)
Exercice 23 (probabilités conditionnelles 1ère)
Justin vérifie sa boîte à lettres tous les soirs et la probabilité qu’il y ait du courrier est 0,47. Puis on admet que la présence de courrier ou non dans sa boîte aux lettres un soir n’a pas d’influence sur celle du soir
suivant.
1. Pourquoi peut-on penser que la répétition de cette épreuve deux soirs consécutifs est une succession
de deux épreuves indépendantes ?
2. De plus, représenter cette succession de deux épreuves indépendantes par un arbre.
3. De plus, représenter cette succession de deux épreuves indépendantes par un tableau double entrée.
Exercice 24 :
Ornella et Fanny sont allées boire un verre et, au moment de partir, elles décident de
laisser un pourboire.
Ensuite, pour cela, Ornella prend une pièce au hasard dans sa poche qui
contient deux pièces de 0,50 euro et une de 1 euro puis Fanny prend une pièce au hasard dans son porte-monnaie qui contient trois pièces de 0,20 euro, une de 1 euro et une de 2 euros.
1. Par ailleurs, pourquoi peut-on penser que ces deux tirages sont une succession de deux épreuves indépendantes ?
2. Par ailleurs, représenter cette succession de deux épreuves indépendantes par un arbre.
3. Puis représenter cette succession de deux épreuves indépendantes par un tableau double entrée.
Exercice 25 (probabilités conditionnelles 1ère)
La production d’une entreprise de matériel mathématique est composée à 70 % d’équerres et à 30 % de
rapporteurs.
Suite à un problème en usine, 20 % des équerres ont des défauts et 30 % des rapporteurs n’en ont pas.
Ensuite, représenter la situation par un arbre pondéré après avoir énoncé les événements y apparaissant.
Exercice 26 :
Dans l’association sportive d’un lycée, il y a :
• 24 % d’élèves de seconde dont 12 % font du football, 45 % de l’athlétisme et 43 % de la natation ;
• 61 % d’élèves de première dont 34 % font du football, 44 % de l’athlétisme et 22 % de la natation ;
• 15 % d’élèves de terminale dont 41 % font du football, 9 % de l’athlétisme et 50 % de la natation.
Puis on prend un élève de l’association sportive et on considère les événements :
De plus, s (resp. P, resp. T) : Cet élève est en seconde (resp. première, resp. terminale).
Ensuite, f (resp. A, resp. N) : Cet élève pratique le football (resp. l’athlétisme, resp. la natation).
1. Puis, recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation.
2. a) Déterminer \(p(N\cap S)\).
b) Déterminer \(p(N)\).
c) Également, en déduire \(p_N(S)\).
3. De plus, on considère un élève qui se rend à la piscine pour faire de la natation.
Est-il plus probable que ce soit un élève de seconde, première ou terminale ?
4. a) Déterminer \(p(A\cup N)\).
b) Ensuite, déterminer la probabilité que l’élève soit en seconde ou qu’il fasse du football.
Exercice 27 (probabilités conditionnelles 1ère)
Le cuisinier d’une colonie de vacances a confectionné des beignets pour le goûter :
• 30 % des beignets sont à l’ananas, les autres sont aux pommes ;
• 35 % des beignets à l’ananas sont aromatisés à la cannelle, ainsi que 45 % des beignets aux pommes.
On choisit un beignet au hasard et on définit les événements A : « Le beignet
choisi est à l’ananas » et C : « Le beignet choisi est aromatisé à la cannelle ».
1. Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
2. De plus, les événements A et C sont-ils indépendants ? Ensuite, justifier la réponse.
Exercice 28 :
Dans la chorale d’un lycée, il y a 7 élèves de seconde, 9 élèves de première et n élèves de terminale.
De plus, parmi les élèves de seconde, il n’y a qu’une seule fille, contre 3 parmi les élèves de première et 6 parmi les élèves de terminale. Par ailleurs, on tire au sort un élève de la chorale.
Puis pour quelle(s) valeur(s) de n les événements « L’élève est en terminale » et « L’élève est une fille » sont-ils indépendants ?
Exercice 29 :
Annie a une collection d’éléphants miniatures dont la répartition est donnée ci-dessous.
| Noir | Couleur | Total | |
| Bois | 17 | 84 | 101 |
| Pierre | 31 | 60 | 91 |
| Métal | 8 | 24 | 32 |
| Total | 56 | 168 | 224 |
Chaque semaine, elle tire au sort un éléphant pour le mettre sur son bureau au travail.
Ensuite, on considère les événements :
De même, n : « L’éléphant est noir. »
Également, b : « L’éléphant est en bois. »
Par ailleurs, m : « L’éléphant est en métal. »
1. Puis calculer les probabilités suivantes.
a) \(p_B(N)\) b) \(p_{\overline{N}}(B)\) c) \(p_{B\cup M}(N)\)
2. De plus, les événements N et M sont-ils indépendants ?
3. Par ailleurs, les événements N et B sont-ils indépendants ?
Exercice 30 :
Saumonix est poissonnier et 15 % du poisson qu’il vend a été pêché par ses soins, 30 % vient d’un grossiste normand et le reste d’un grossiste de Paris.
Ensuite, il a remarqué que 5 % de ses clients sont mécontents du poisson qu’il a lui-même pêché, 10 % du poisson provenant du grossiste normand et 90 % du poisson de Paris.
Par ailleurs, un client achète un poisson chez Saumonix.
Puis on considère les événements suivants :
Puis, s : « Le poisson a été pêché par Saumonix. »
De plus, n : « Le poisson provient du grossiste normand. »
Ensuite, p : « Le poisson provient du grossiste de Paris. »
De même, m : « Le client est mécontent du poisson. »
1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
2. a) Calculer \(p(P\cap M)\) et p(M).
b) Les événements S et M sont-ils indépendants ?
c) Puis, un client est mécontent du poisson acheté.
Quelle est la probabilité que ce poisson ait été pêché par Saumonix ?
3. Saumonix souhaite ramener le taux de mécontentement à 30 % en continuant à pêcher 15 % de sa production.
Déterminer les proportions de poisson qu’il doit commander à chaque grossiste pour atteindre son objectif.
Exercice 31 :
Pour les prochaines vacances de Yannis, tout est presque réglé : ses parents lui ont assuré qu’il y a 90 % de chances que la famille parte à Istanbul.
Par ailleurs, Yannis a constaté que pendant cette période de vacances, la probabilité qu’il ne pleuve pas s’il va à Istanbul est 0,85.
Quelle est la probabilité qu’il parte à Istanbul pour ses prochaines vacances et qu’il n’y pleuve pas ?
Exercice 32 :
Émilie a une entreprise de plomberie.
75 % de ses interventions sont programmées, le reste est « en urgence ».
Pour les interventions programmées, elle utilise son chalumeau 85 % du temps contre 90 % pour les interventions d’urgence.
Émilie part chez un client, on considère les événements :
Également, u : « L’intervention est en urgence. »
Par ailleurs, c : « Émilie va devoir utiliser son chalumeau. »
1. Également, compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation.
2. Ensuite, calculer \(p(U\cap C)\) et \(p(\overline{U}\cap C)\).
3. Ensuite, déterminer la probabilité qu’Émilie doive utiliser son chalumeau pour cette intervention.
Exercice 33 :
Pour des événements A, B, C et D tels que A, B et C forment une partition de l’univers, on considère la situation représentée par l’arbre pondéré ci-dessous :
1. Puis les événements A et D sont-ils indépendants ?
2. De plus, les événements B et D sont-ils indépendants ?
Exercice 34 :
On considère deux événements A et B et l’arbre pondéré associé ci-dessous.
Ensuite, déterminer p pour que les événements A et B soient indépendants.
Probabilités conditionnelles 1ère : nos conseils pour progresser
D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. De plus, un travail régulier sur probabilités conditionnelles 1ère vaut mieux qu’une longue séance.
Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Probabilité conditionnelle sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec fonction exponentielle : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.
