Corrigé Antilles 2026 : la correction en un coup d’œil
Tout d’abord, ce corrigé Antilles 2026 porte sur l’épreuve de spécialité mathématiques 2026 aux Antilles-Guyane (jour 1), dont chaque question est corrigée et justifiée. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants. De plus, on y mobilise surtout la fonction logarithme népérien, la fonction exponentielle, la convexité et le calcul intégral. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 60 minutes par exercice, relecture comprise. Par conséquent, la correction sert autant à contrôler un résultat qu’à apprendre la rédaction attendue le jour de l’examen.
Corrigé du sujet
Exercice 1 : réponses détaillées du corrigé Antilles 2026
Partie A
1. Les trois états forment une partition du parc : \(P(A)=0{,}2\), \(P(R)=0{,}05\), donc \(P(N)=1-0{,}2-0{,}05=0{,}75\). Sur les branches du second niveau, on place les probabilités conditionnelles données, et chaque paire de branches issues d’un même nœud doit avoir une somme égale à 1. L’arbre complété porte donc les pondérations suivantes :
| Premier niveau | Vers \(C\) | Vers \(\overline{C}\) |
|---|---|---|
| \(P(A)=0{,}2\) | \(P_A(C)=0{,}85\) | \(P_A(\overline{C})=0{,}15\) |
| \(P(R)=0{,}05\) | \(P_R(C)=0{,}6\) | \(P_R(\overline{C})=0{,}4\) |
| \(P(N)=0{,}75\) | \(P_N(C)=x\) | \(P_N(\overline{C})=1-x\) |
2. On cherche \(P(A\cap C)\). On suit la branche \(A\) puis \(C\) et on multiplie les probabilités rencontrées :
\[P(A\cap C)=P(A)\times P_A(C)=0{,}2\times 0{,}85=0{,}17.\]
La probabilité que le réacteur soit à l’arrêt et contrôlé vaut 0,17.
3. Les évènements \(A\), \(R\) et \(N\) forment une partition de l’univers. La formule des probabilités totales donne :
\[P(C)=P(A\cap C)+P(R\cap C)+P(N\cap C)=0{,}17+0{,}05\times 0{,}6+0{,}75x=0{,}2+0{,}75x.\]
Comme \(P(C)=0{,}35\), on obtient \(0{,}75x=0{,}15\), d’où \(x=\dfrac{0{,}15}{0{,}75}\), c’est-à-dire \(x=0{,}2\).
4. On cherche la probabilité conditionnelle \(P_C(N)\) :
\[P_C(N)=\dfrac{P(N\cap C)}{P(C)}=\dfrac{0{,}75\times 0{,}2}{0{,}35}=\dfrac{0{,}15}{0{,}35}=\dfrac{3}{7}.\]
Sachant que le réacteur est contrôlé, la probabilité qu’il fonctionne normalement est \(\dfrac{3}{7}\approx 0{,}43\).
Partie B
1. a. \(X\) prend la valeur 0 si le réacteur est à l’arrêt, 10 s’il tourne au ralenti et 16 s’il fonctionne normalement :
| \(k\) | \(0\) | \(10\) | \(16\) |
|---|---|---|---|
| \(p_k\) | \(0{,}20\) | \(0{,}05\) | \(0{,}75\) |
b. L’espérance est la moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités :
\[E(X)=0\times 0{,}2+10\times 0{,}05+16\times 0{,}75=0+0{,}5+12=12{,}5.\]
Pour la variance, on utilise la formule de König-Huygens \(V(X)=E(X^2)-E(X)^2\). On calcule d’abord :
\[E(X^2)=0^2\times 0{,}2+10^2\times 0{,}05+16^2\times 0{,}75=5+192=197.\]
D’où \(V(X)=197-12{,}5^2=197-156{,}25=40{,}75\). On a bien \(E(X)=12{,}5\) et \(V(X)=40{,}75\).
2. a. Par linéarité de l’espérance, \(E(S)=E(X_1)+\cdots+E(X_{12})=12\times 12{,}5=150\). Comme les variables \(X_1,\ldots,X_{12}\) sont indépendantes, la variance de leur somme est la somme de leurs variances : \(V(S)=12\times 40{,}75=489\). Donc \(E(S)=150\) et \(V(S)=489\).
b. L’évènement « \(100\lt S\lt 200\) » s’écrit \(-50\lt S-150\lt 50\), c’est-à-dire \(|S-E(S)|\lt 50\). Son contraire est \(|S-E(S)|\geq\, 50\).
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev affirme que pour tout réel \(\delta\gt 0\), \(P(|S-E(S)|\geq\, \delta)\leq\, \dfrac{V(S)}{\delta^2}\). Avec \(\delta=50\) :
\[P(|S-150|\geq\, 50)\leq\, \dfrac{489}{2500}=0{,}1956.\]
En passant à l’évènement contraire : \(P(100\lt S\lt 200)\geq\, 1-0{,}1956=0{,}8044\).
Comme \(0{,}8044\gt 0{,}80\), on peut affirmer que la probabilité d’éviter la surcharge tout en couvrant les besoins est supérieure à 0,80.
Exercice 2 :
Partie A
1. L’équation est de la forme \(y^{\prime}=ay+b\) avec \(a=-\dfrac{3}{10}\) et \(b=1\). Ses solutions sont les fonctions \(t\mapsto K\text{e}^{at}-\dfrac{b}{a}\), et ici \(-\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{3/10}=\dfrac{10}{3}\). Les solutions de \((E)\) sur \([0\,;\,+\infty[\) sont donc les fonctions \(t\mapsto K\text{e}^{-\frac{3}{10}t}+\dfrac{10}{3}\), avec \(K\in\mathbb{R}\).
2. Puisque \(q\) est solution de \((E)\), il existe un réel \(K\) tel que \(q(t)=K\text{e}^{-\frac{3}{10}t}+\dfrac{10}{3}\) pour tout \(t\geq\, 0\). La condition initiale \(q(0)=1\) donne \(K+\dfrac{10}{3}=1\), donc \(K=-\dfrac{7}{3}\). Ainsi, pour tout \(t\geq\, 0\), \(q(t)=\dfrac{10}{3}-\dfrac{7}{3}\text{e}^{-\frac{3}{10}t}\).
3. Quand \(t\) tend vers \(+\infty\), \(-\dfrac{3}{10}t\) tend vers \(-\infty\) ; or \(\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^{X}=0\), donc par composition \(\text{e}^{-\frac{3}{10}t}\) tend vers 0. Par produit et somme :
\[\lim\limits_{t\to+\infty}q(t)=\dfrac{10}{3}\approx 3{,}33.\]
Interprétation : à long terme, avec la perfusion, la quantité de médicament dans le sang se stabilise vers \(\dfrac{10}{3}\) mg, soit environ 3,33 mg, valeur qui dépasse le seuil de toxicité de 3 mg.
4. On dérive : pour tout \(t\geq\, 0\),
\[q^{\prime}(t)=-\dfrac{7}{3}\times (-\dfrac{3}{10})\text{e}^{-\frac{3}{10}t}=\dfrac{7}{10}\text{e}^{-\frac{3}{10}t}.\]
Une exponentielle est toujours strictement positive, donc \(q^{\prime}(t)\gt 0\) : la fonction \(q\) est strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), de \(q(0)=1\) vers sa limite \(\dfrac{10}{3}\).
5. Le risque apparaît dès que \(q(t)\geq\, 3\). On résout cette inéquation :
\[q(t)\geq\, 3 \iff \dfrac{10}{3}-\dfrac{7}{3}\text{e}^{-\frac{3}{10}t}\geq\, 3 \iff \dfrac{1}{3}\geq\,\dfrac{7}{3}\text{e}^{-\frac{3}{10}t} \iff \text{e}^{-\frac{3}{10}t}\leq\,\dfrac{1}{7}.\]
La fonction \(\ln\) étant strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), on peut l’appliquer aux deux membres :
\[-\dfrac{3}{10}t\leq\,\ln(\dfrac{1}{7})=-\ln 7 \iff t\geq\,\dfrac{10\ln 7}{3}.\]
Exercice 2 du corrigé Antilles 2026, partie A : question 6
(On a divisé par \(-\dfrac{3}{10}\), qui est négatif, ce qui renverse le sens de l’inégalité.) Le médicament présente donc un risque à partir de \(t=\dfrac{10\ln 7}{3}\) heures, soit environ 6,5 heures après l’injection initiale.
6. Le traitement doit durer au moins 7 heures. Or dès 6,5 heures environ, la quantité de médicament atteint 3 mg et, comme \(q\) est croissante, elle reste ensuite au-dessus de ce seuil. Oui, ce protocole présente un risque de toxicité pour le patient avant même la fin de la durée minimale du traitement.
Partie B
1. Une baisse de 30 % revient à multiplier par \(1-\dfrac{30}{100}=0{,}7\). Au bout d’une heure supplémentaire, la quantité \(u_n\) devient \(0{,}7u_n\), puis on ajoute la nouvelle dose de 0,75 mg. Donc pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=0{,}7u_n+0{,}75\).
2. a. Notons \(\mathcal{P}_n\) la propriété « \(u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 4\) ».
Initialisation. \(u_0=1\) et \(u_1=0{,}7\times 1+0{,}75=1{,}45\). On a bien \(1\leq\, 1{,}45\leq\, 4\) : \(\mathcal{P}_0\) est vraie.
Hérédité. Supposons \(\mathcal{P}_n\) vraie pour un entier \(n\) donné : \(u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 4\). En multipliant par \(0{,}7\gt 0\), le sens des inégalités se conserve : \(0{,}7u_n\leq\, 0{,}7u_{n+1}\leq\, 2{,}8\). En ajoutant 0,75 : \(0{,}7u_n+0{,}75\leq\, 0{,}7u_{n+1}+0{,}75\leq\, 3{,}55\), c’est-à-dire \(u_{n+1}\leq\, u_{n+2}\leq\, 3{,}55\leq\, 4\). La propriété \(\mathcal{P}_{n+1}\) est donc vraie.
Conclusion. \(\mathcal{P}_0\) est vraie et la propriété est héréditaire, donc par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 4\).
b. L’inégalité \(u_n\leq\, u_{n+1}\) montre que la suite \((u_n)\) est croissante, et \(u_{n}\leq\, 4\) montre qu’elle est majorée par 4. D’après le théorème de convergence monotone, une suite croissante et majorée converge : \((u_n)\) est convergente.
c. La suite vérifie \(u_{n+1}=g(u_n)\) avec \(g(x)=0{,}7x+0{,}75\), fonction affine donc continue sur \(\mathbb{R}\). Sa limite \(\ell\) est donc un point fixe de \(g\) : \(\ell=0{,}7\ell+0{,}75\), soit \(0{,}3\ell=0{,}75\) et \(\ell=2{,}5\).
Exercice 2 du corrigé Antilles 2026, partie B : questions 3 à 4
d. La suite est croissante et converge vers 2,5, donc tous ses termes sont inférieurs ou égaux à sa limite : \(u_n\leq\, 2{,}5\) pour tout \(n\). La quantité de médicament ne dépasse jamais 2,5 mg, qui est en dessous de 3 mg. D’après ce modèle, ce second protocole ne présente pas de risque, quelle que soit la durée du traitement.
3. a. Pour tout entier naturel \(n\) :
\[v_{n+1}=u_{n+1}-2{,}5=0{,}7u_n+0{,}75-2{,}5=0{,}7u_n-1{,}75=0{,}7(u_n-2{,}5)=0{,}7v_n.\]
La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison \(0{,}7\) et de premier terme \(v_0=u_0-2{,}5=-1{,}5\).
b. On en déduit \(v_n=v_0\times 0{,}7^n=-1{,}5\times 0{,}7^n\), puis \(u_n=v_n+2{,}5\), soit pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=2{,}5-1{,}5\times 0{,}7^n\).
4. On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n\gt 2{,}4\) :
\[2{,}5-1{,}5\times 0{,}7^n\gt 2{,}4 \iff 1{,}5\times 0{,}7^n\lt 0{,}1 \iff 0{,}7^n\lt\dfrac{1}{15}.\]
La fonction \(\ln\) est strictement croissante, donc cela équivaut à \(n\ln(0{,}7)\lt -\ln 15\). Comme \(\ln(0{,}7)\lt 0\), en divisant on change le sens : \(n\gt\dfrac{-\ln 15}{\ln 0{,}7}\approx 7{,}59\).
Vérification : \(u_7\approx 2{,}376\) et \(u_8\approx 2{,}414\). Comme une injection supplémentaire a lieu chaque heure, \(u_n\) correspond à \(n\) injections supplémentaires. La quantité dépasse 2,4 mg au bout de 8 injections supplémentaires.
Exercice 3 :
Affirmation 1 : vraie.
On calcule \(\vec{\text{SA}}\begin{pmatrix}3\\0\\3\end{pmatrix}\), \(\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{AC}}\begin{pmatrix}0\\-\sqrt{2}\\0\end{pmatrix}\). Le repère étant orthonormé :
\[\vec{\text{SA}}\cdot\vec{\text{AB}}=3\times (-1)+0\times 0+3\times 1=0 \quad\text{et}\quad \vec{\text{SA}}\cdot\vec{\text{AC}}=3\times 0+0\times (-\sqrt{2})+3\times 0=0.\]
Comme A, B et C ne sont pas alignés, \(\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{AC}}\) sont deux vecteurs non colinéaires qui dirigent le plan (ABC). Le vecteur \(\vec{\text{SA}}\), orthogonal à chacun d’eux, est donc normal au plan (ABC).
Affirmation 2 : fausse.
La droite (SB) est dirigée par \(\vec{\text{SB}}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}\) et la droite \(d\) par \(\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\\sqrt{2}\\-1\end{pmatrix}\). La deuxième coordonnée de \(\vec{\text{SB}}\) est nulle mais pas celle de \(\vec{u}\), alors que leurs premières coordonnées sont non nulles : ces vecteurs ne sont pas colinéaires, et les droites ne sont pas parallèles.
Une représentation paramétrique de (SB) est \(\{\begin{array}{l} x=-1+2t \\ y=\sqrt{2} \\ z=-4+4t \end{array}.\), \(t\in\mathbb{R}\). Un point commun aux deux droites devrait vérifier \(\sqrt{2}\,k=\sqrt{2}\), donc \(k=1\), ce qui donne le point \((1\,;\,\sqrt{2}\,;\,-2)\) de \(d\). Pour qu’il soit sur (SB), il faudrait \(-1+2t=1\), donc \(t=1\), et alors \(z=-4+4=0\neq -2\). Il n’existe aucun point commun : les droites (SB) et \(d\) sont non coplanaires, elles ne sont pas sécantes.
Affirmation 3 : vraie.
Un vecteur normal à \(P\) est \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\). On a \(\vec{u}\cdot\vec{n}=-1\times 1+\sqrt{2}\times 0+(-1)\times (-1)=0\) : le vecteur directeur de \(d\) est orthogonal à un vecteur normal de \(P\), donc \(d\) est parallèle au plan \(P\). On peut préciser : le point \((2\,;\,0\,;\,-1)\) de \(d\) (obtenu pour \(k=0\)) vérifie \(2-(-1)+1=4\neq 0\), il n’est pas dans \(P\), donc \(d\) est strictement parallèle à \(P\).
Affirmation 4 : vraie.
Deux conditions sont à vérifier. D’abord, H appartient à \(P\) : \(-3-(-2)+1=0\). Ensuite, \(\vec{\text{SH}}\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}=-2\,\vec{n}\) est colinéaire au vecteur normal \(\vec{n}\), donc la droite (SH) est orthogonale au plan \(P\). H est le point de \(P\) tel que (SH) soit perpendiculaire à \(P\) : c’est bien le projeté orthogonal de S sur \(P\).
Exercice 4 :
Partie A
1. Le nombre dérivé \(f^{\prime}(1)\) est le coefficient directeur de la tangente \(T\) au point d’abscisse 1. Cette tangente passe par A(1 ; 0) et B(0 ; −2), donc :
\[f^{\prime}(1)=\dfrac{y_\text{A}-y_\text{B}}{x_\text{A}-x_\text{B}}=\dfrac{0-(-2)}{1-0}=2.\]
Ainsi \(f^{\prime}(1)=2\).
2. Une fonction concave a sa courbe en dessous de chacune de ses tangentes. Sur le graphique, pour \(x\gt 1\), la courbe \(\mathcal{C}\) est située au-dessus de la tangente \(T\). La fonction \(f\) n’est donc pas concave sur \(]\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty[\).
3. Au point A, la courbe passe d’en dessous de \(T\) (à gauche de A) à au-dessus de \(T\) (à droite) : elle traverse sa tangente, A est un point d’inflexion. La dérivée seconde s’annule en changeant de signe en un point d’inflexion, donc \(f^{\prime\prime}(1)=0\).
Partie B
1. Quand \(x\) tend vers \(\dfrac{1}{2}\) par valeurs supérieures, \(2x-1\) tend vers 0 en restant positif. Comme \(\lim\limits_{X\to 0^+}\ln X=-\infty\), par composition \(\ln(2x-1)\) tend vers \(-\infty\). Par ailleurs \(x\) tend vers \(\dfrac{1}{2}\gt 0\). Par produit :
\[\lim\limits_{x\to\frac{1}{2}^+}f(x)=-\infty.\]
Interprétation graphique : la droite d’équation \(x=\dfrac{1}{2}\) est asymptote verticale à la courbe \(\mathcal{C}\).
2. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul. Sur \(]\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty[\), \(x\) n’est jamais nul, donc :
\[f(x)=0\iff\ln(2x-1)=0\iff 2x-1=1\iff x=1.\]
La valeur 1 appartient bien à l’intervalle : l’unique solution est \(x=1\).
3. a. On dérive \(f^{\prime}\). La dérivée de \(\ln(2x-1)\) est \(\dfrac{2}{2x-1}\). Pour \(\dfrac{2x}{2x-1}\), on applique la formule \((\dfrac{u}{v})^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}\) avec \(u=2x\) et \(v=2x-1\), donc \(u^{\prime}=v^{\prime}=2\) :
\[(\dfrac{2x}{2x-1})^{\prime}=\dfrac{2(2x-1)-2x\times 2}{(2x-1)^2}=\dfrac{-2}{(2x-1)^2}.\]
En réduisant au même dénominateur :
\[f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{2}{2x-1}-\dfrac{2}{(2x-1)^2}=\dfrac{2(2x-1)-2}{(2x-1)^2}=\dfrac{4x-4}{(2x-1)^2}=\dfrac{4(x-1)}{(2x-1)^2}.\]
b. Le dénominateur \((2x-1)^2\) est strictement positif sur l’intervalle, donc \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(x-1\) : strictement négatif sur \(]\dfrac{1}{2}\,;\,1[\), nul en 1, strictement positif sur \(]1\,;\,+\infty[\).
| \(x\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f^{\prime\prime}(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| Convexité de \(f\) | concave | convexe |
La dérivée seconde s’annule en changeant de signe uniquement en \(x=1\) : la courbe admet un unique point d’inflexion, d’abscisse 1. Son ordonnée est \(f(1)=1\times \ln 1=0\). Ce point est \((1\,;\,0)\) ; d’après la question 2, c’est exactement le point où \(\mathcal{C}\) coupe l’axe des abscisses.
Exercice 4 du corrigé Antilles 2026, partie B : question 4
4. a. Si \(1\leq\, x\leq\, 2\), alors \(1\leq\, 2x-1\leq\, 3\), donc \(\ln(2x-1)\geq\,\ln 1=0\) par croissance de \(\ln\). De plus \(x\geq\, 1\gt 0\). Le produit de deux nombres positifs est positif : \(f(x)\geq\, 0\) sur \([1\,;\,2]\).
b. Grâce à l’égalité admise, on intègre terme à terme. Sur \([1\,;\,2]\), \(2x-1\gt 0\), et une primitive de \(\dfrac{2}{2x-1}\) est \(\ln(2x-1)\) (forme \(\dfrac{u^{\prime}}{u}\)). Une primitive de \(x\mapsto \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}\times \dfrac{2}{2x-1}\) est donc \(x\mapsto \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{8}\ln(2x-1)\). D’où :
\[\int_{1}^{2}\dfrac{x^2}{2x-1}\,\text{d}x=(\dfrac{4}{4}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{8}\ln 3)-(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}\ln 1)=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{8}\ln 3-\dfrac{1}{2}.\]
On obtient bien \(\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{x^2}{2x-1}\,\text{d}x=1+\dfrac{1}{8}\ln 3\).
c. La fonction \(f\) est continue et positive sur \([1\,;\,2]\) (question 4.a), donc l’aire cherchée est \(\mathcal{A}=\displaystyle\int_1^2 x\ln(2x-1)\,\text{d}x\) unités d’aire.
On intègre par parties en posant \(u(x)=\ln(2x-1)\), d’où \(u^{\prime}(x)=\dfrac{2}{2x-1}\), et \(v^{\prime}(x)=x\), d’où \(v(x)=\dfrac{x^2}{2}\). Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables à dérivées continues sur \([1\,;\,2]\), donc :
\[\mathcal{A}=[\dfrac{x^2}{2}\ln(2x-1)]_1^2-\int_1^2\dfrac{x^2}{2}\times \dfrac{2}{2x-1}\,\text{d}x=(2\ln 3-\dfrac{1}{2}\ln 1)-\int_1^2\dfrac{x^2}{2x-1}\,\text{d}x.\]
Avec le résultat de la question précédente :
\[\mathcal{A}=2\ln 3-1-\dfrac{1}{8}\ln 3=\dfrac{15}{8}\ln 3-1.\]
L’aire vaut \(\mathcal{A}=\dfrac{15}{8}\ln 3-1\approx 1{,}06\) unité d’aire.
Partie C
1. Soit \(a\gt 0\). Sur \(]\dfrac{1}{a}\,;\,+\infty[\), le dénominateur \((ax-1)^2\) est strictement positif et \(a\gt 0\), donc \(f_a^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(ax-2\). Or \(ax-2\gt 0\iff x\gt\dfrac{2}{a}\), et \(\dfrac{2}{a}\) appartient bien à l’intervalle puisque \(\dfrac{2}{a}\gt\dfrac{1}{a}\). Donc \(f_a^{\prime\prime}\) est négative sur \(]\dfrac{1}{a}\,;\,\dfrac{2}{a}[\), s’annule en \(\dfrac{2}{a}\) et est positive sur \(]\dfrac{2}{a}\,;\,+\infty[\).
La dérivée seconde change de signe en un seul point : \(\mathcal{C}_a\) admet un unique point d’inflexion \(\text{A}_a\), d’abscisse \(\dfrac{2}{a}\). Son ordonnée vaut \(f_a(\dfrac{2}{a})=\dfrac{2}{a}\ln(a\times \dfrac{2}{a}-1)=\dfrac{2}{a}\ln 1=0\), donc \(\text{A}_a(\dfrac{2}{a}\,;\,0)\).
2. Pour tout \(a\gt 0\), le point \(\text{A}_a\) a une ordonnée nulle : tous ces points sont situés sur l’axe des abscisses. Ils sont donc alignés (sur la droite d’équation \(y=0\)). On retrouve pour \(a=2\) le point d’inflexion \((1\,;\,0)\) de la partie B.
Corrigé Antilles 2026 : conseils de révision
Pour commencer, reprenez l’énoncé du sujet et cherchez chaque exercice seul, au brouillon puis au propre. Puis confrontez votre travail à la correction en vérifiant chaque argument, car une bonne valeur sans justification rapporte peu de points. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur la fonction logarithme népérien ou la fonction exponentielle. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à fonction logarithme propose un rappel complet.
Points de vigilance
- Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
- Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
- La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde, pas sur celui de la dérivée : c’est une confusion très courante.
Questions fréquentes sur ce corrigé Antilles 2026
Où trouver l’énoncé complet ? Il se trouve sur la page du sujet ; ainsi, vous pouvez chercher chaque exercice avant de lire la correction.
Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, la fonction logarithme népérien, la fonction exponentielle et la convexité, mais aussi le calcul intégral.
Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.
Retour à l’énoncé : Bac de maths 2026 aux Antilles-Guyane (jour 1) : sujet et corrigé.
