Corrigé Réunion 2023 : présentation de la correction
D’abord, précisons que ce corrigé Réunion 2023 concerne l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 à La Réunion (jour 2), avec une rédaction complète des réponses. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants. De plus, on y mobilise surtout la fonction exponentielle, la fonction logarithme népérien, la convexité et la géométrie dans l’espace. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Ainsi, chaque étape de calcul reste visible, ce qui permet de repérer précisément l’endroit où un raisonnement a dévié.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Partie A
1. L’énoncé donne \(P(R)=0{,}2\) et \(P_R(S)=0{,}9\). Sur chaque nœud, la somme des poids des branches vaut 1, ce qui complète l’arbre :
| Branche | Probabilité |
|---|---|
| racine → \(R\) | \(0{,}2\) |
| racine → \(\overline{R}\) | \(0{,}8\) |
| \(R\) → \(S\) | \(0{,}9\) |
| \(R\) → \(\overline{S}\) | \(0{,}1\) |
| \(\overline{R}\) → \(S\) | \(x\) |
| \(\overline{R}\) → \(\overline{S}\) | \(1-x\) |
2. Les évènements \(R\) et \(\overline{R}\) forment une partition de l’univers. La formule des probabilités totales donne :
\[P(S)=P(R)\times P_R(S)+P(\overline{R})\times P_{\overline{R}}(S)=0{,}2\times 0{,}9+0{,}8x=0{,}18+0{,}8x.\]
Or \(P(S)=0{,}82\), donc \(0{,}18+0{,}8x=0{,}82\), soit \(0{,}8x=0{,}64\) et \(x=\dfrac{0{,}64}{0{,}8}=0{,}8\).
3. On cherche \(P_S(R)\) :
\[P_S(R)=\dfrac{P(R\cap S)}{P(S)}=\dfrac{0{,}2\times 0{,}9}{0{,}82}=\dfrac{0{,}18}{0{,}82}=\dfrac{9}{41}\approx 0{,}22.\]
Un client satisfait a acheté un matelas RESSORTS avec une probabilité d’environ 0,22.
Partie B
1. a. On répète 5 fois, de manière indépendante, l’épreuve « le client est-il satisfait ? », dont le succès a pour probabilité 0,82. \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=5\) et \(p=0{,}82\).
b. Plutôt que d’additionner quatre termes, on passe par l’évènement contraire :
\[P(X\leq\, 3)=1-P(X=4)-P(X=5)=1-\binom\,{5}{4}\times 0{,}82^{4}\times 0{,}18-0{,}82^{5}.\]
\[P(X\leq\, 3)\approx 1-0{,}4069-0{,}3707\approx 0{,}222.\]
La probabilité qu’au plus trois clients soient satisfaits est environ 0,222.
2. a. Les \(n\) choix sont assimilés à des tirages avec remise, donc indépendants, et chaque client est satisfait avec la probabilité 0,82. Le nombre de clients satisfaits suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et 0,82, et « tous sont satisfaits » correspond à \(n\) succès :
\[p_n=\binom\,{n}{n}\times 0{,}82^{n}\times 0{,}18^{0}=0{,}82^{n}.\]
On obtient bien \(p_n=0{,}82^n\).
b. On résout, en appliquant la fonction \(\ln\) strictement croissante :
\[0{,}82^n\lt 0{,}01\iff n\ln(0{,}82)\lt\ln(0{,}01)\iff n\gt\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}82)},\]
le sens de l’inégalité changeant car \(\ln(0{,}82)\lt 0\). Or \(\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}82)}\approx 23{,}2\). (Contrôle : \(0{,}82^{23}\approx 0{,}0104\) et \(0{,}82^{24}\approx 0{,}0085\).)
Les entiers cherchés sont tous les entiers \(n\geq\, 24\). Interprétation : dès que l’on interroge au moins 24 clients, la probabilité qu’ils soient tous satisfaits de leur matelas tombe en dessous de 1 %.
Exercice 2 :
1. \(u_1=\dfrac{6\times 8+2}{8+5}=\dfrac{50}{13}\), donc \(u_1=\dfrac{50}{13}\approx 3{,}85\).
2. a. \(f\) est un quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur \(x+5\) ne s’annule pas sur \([0~;~+\infty[\). Avec la formule \((\dfrac{u}{v})^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}\) :
\[f^{\prime}(x)=\dfrac{6(x+5)-1\times (6x+2)}{(x+5)^2}=\dfrac{28}{(x+5)^2}.\]
Pour tout \(x\geq\, 0\), \(f^{\prime}(x)\gt 0\) : \(f\) est strictement croissante sur \([0~;~+\infty[\).
On calcule \(f(2)=\dfrac{12+2}{2+5}=\dfrac{14}{7}=2\). Si \(x\gt 2\), la stricte croissance de \(f\) donne \(f(x)\gt f(2)\), c’est-à-dire \(f(x)\gt 2\).
b. Notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(u_n\gt 2\) ».
Initialisation. \(u_0=8\gt 2\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Hérédité. Supposons \(u_n\gt 2\) pour un entier naturel \(n\) donné. D’après la question précédente appliquée à \(x=u_n\), \(f(u_n)\gt 2\), c’est-à-dire \(u_{n+1}\gt 2\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Conclusion. Par récurrence, \(u_n\gt 2\) pour tout entier naturel \(n\).
3. a. Pour tout \(n\), \(u_n\gt 2\), donc \(2-u_n\lt 0\), \(u_n+1\gt 0\) et \(u_n+5\gt 0\). Le quotient \(\dfrac{(2-u_n)(u_n+1)}{u_n+5}\) est donc strictement négatif : \(u_{n+1}-u_n\lt 0\). La suite \((u_n)\) est (strictement) décroissante.
b. La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par 2. D’après le théorème de convergence monotone, \((u_n)\) est convergente (vers une limite supérieure ou égale à 2).
4. a. \(v_0=\dfrac{8-2}{8+1}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}\).
b. On exprime numérateur et dénominateur de \(v_{n+1}\) en fonction de \(u_n\) :
\[u_{n+1}-2=\dfrac{6u_n+2-2(u_n+5)}{u_n+5}=\dfrac{4u_n-8}{u_n+5}=\dfrac{4(u_n-2)}{u_n+5},\]
\[u_{n+1}+1=\dfrac{6u_n+2+u_n+5}{u_n+5}=\dfrac{7u_n+7}{u_n+5}=\dfrac{7(u_n+1)}{u_n+5}.\]
En faisant le quotient (les dénominateurs \(u_n+5\) se simplifient) :
\[v_{n+1}=\dfrac{4(u_n-2)}{7(u_n+1)}=\dfrac{4}{7}v_n.\]
\((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{4}{7}\) et de premier terme \(v_0=\dfrac{2}{3}\).
c. Pour tout \(n\), \(v_n=\dfrac{2}{3}\times (\dfrac{4}{7})^n\). Comme \(-1\lt\dfrac{4}{7}\lt 1\), \(\lim\limits_{n\to+\infty}(\dfrac{4}{7})^n=0\), donc \(\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=0\).
Exercice 2 du corrigé Réunion 2023 : question 5
Pour revenir à \(u_n\), on inverse la relation : \(v_n(u_n+1)=u_n-2\iff u_n(1-v_n)=2+v_n\). Comme \(v_n\lt 1\) (le numérateur \(u_n-2\) est plus petit que le dénominateur \(u_n+1\), qui est positif), on peut diviser :
\[u_n=\dfrac{2+v_n}{1-v_n}.\]
Par opérations sur les limites, \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\dfrac{2+0}{1-0}\), soit \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2\).
5. La fonction calcule les termes successifs de la suite tant qu’ils dépassent A, en comptant les étapes dans n. On trouve \(u_{13}\approx 2{,}0014\), encore supérieur à 2,001, et \(u_{14}\approx 2{,}000\,79\), qui ne l’est plus. La commande seuil (2.001) renvoie 14 : \(u_{14}\) est le premier terme de la suite inférieur ou égal à 2,001, autrement dit c’est à partir du rang 14 que \(u_n\) est à moins de 0,001 de sa limite 2 (la suite étant décroissante, tous les termes suivants le sont aussi).
Exercice 3 :
1. La droite \((d)\) passe par A(1 ; 1 ; 0) et est dirigée par \(\vec{u}(0~;~2~;~-1)\) :
\[(d) : \{\begin{array}{l c l} x = 1\\ y = 1+2t\\ z = -t \end{array}.\quad (t\in\mathbb{R}).\]
2. Un vecteur normal à \(\mathcal{P}\) est \(\vec{n_{\mathcal{P}}}(1~;~4~;~2)\). Or \(\vec{u}\cdot\vec{n_{\mathcal{P}}}=0+8-2=6\neq 0\) : la droite n’est pas parallèle au plan, donc elle le coupe en un unique point.
On cherche ce point en reportant la représentation paramétrique dans l’équation du plan :
\[1+4(1+2t)+2(-t)+1=0\iff 6+6t=0\iff t=-1.\]
Avec \(t=-1\) : \(x=1\), \(y=1-2=-1\), \(z=1\). \((d)\) et \(\mathcal{P}\) sont sécants au point B(1 ; −1 ; 1).
3. a. \(\vec{\text{AB}}(0~;~-2~;~1)\) et \(\vec{\text{AC}}(0~;~-2~;~-1)\). Si ces vecteurs étaient colinéaires, les deuxièmes coordonnées imposeraient \(\vec{\text{AC}}=\vec{\text{AB}}\), ce qui est faux pour les troisièmes coordonnées. Ils ne sont donc pas colinéaires : A, B et C ne sont pas alignés et définissent un plan.
b. \(\vec{n}\cdot\vec{\text{AB}}=1\times 0+0\times (-2)+0\times 1=0\) et \(\vec{n}\cdot\vec{\text{AC}}=1\times 0+0\times (-2)+0\times (-1)=0\). Le vecteur \(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : il est normal au plan (ABC).
c. Le plan (ABC) a une équation de la forme \(1\times x+0\times y+0\times z+d=0\), soit \(x+d=0\). Comme A(1 ; 1 ; 0) lui appartient, \(d=-1\). Une équation de (ABC) est \(x-1=0\) (c’est-à-dire \(x=1\)).
Exercice 3 du corrigé Réunion 2023 : questions 4 à 5
4. a. \(\text{AB}=\sqrt{0^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{5}\) et \(\text{AC}=\sqrt{0^2+(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{5}\). Comme AB = AC, le triangle ABC est isocèle en A.
b. H, milieu de [BC], a pour coordonnées \((\dfrac{1+1}{2}~;~\dfrac{-1-1}{2}~;~\dfrac{1-1}{2})\), soit H(1 ; −1 ; 0). Alors \(\vec{\text{AH}}(0~;~-2~;~0)\) et AH = 2.
Dans le triangle isocèle ABC, la médiane (AH) issue du sommet principal est aussi la hauteur relative à [BC]. Avec \(\vec{\text{BC}}(0~;~0~;~-2)\), on a BC = 2, d’où :
\[\mathcal{A}_{\text{ABC}}=\dfrac{\text{BC}\times \text{AH}}{2}=\dfrac{2\times 2}{2}=2.\]
L’aire du triangle ABC vaut 2 unités d’aire.
5. a. \(\vec{\text{BD}}(0-1~;~-1-(-1)~;~1-1)=(-1~;~0~;~0)=-\vec{n}\). Le vecteur \(\vec{\text{BD}}\) est colinéaire au vecteur normal \(\vec{n}\) du plan (ABC), donc la droite (BD) est orthogonale au plan (ABC). Comme elle passe par D et coupe ce plan en B, (BD) est la hauteur de la pyramide ABCD issue de D, relative à la base ABC.
b. La hauteur correspondante est \(h=\text{BD}=\sqrt{(-1)^2+0^2+0^2}=1\) et l’aire de la base ABC vaut 2. Donc :
\[V=\dfrac{1}{3}\times 2\times 1=\dfrac{2}{3}.\]
Le volume de la pyramide ABCD est \(\dfrac{2}{3}\) unité de volume.
Exercice 4 :
1. Réponse c. On a \(f^{\prime}(x)=2\text{e}^x+2x\text{e}^x=2(1+x)\text{e}^x\), du signe de \(1+x\) : \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty~;~-1]\) et strictement croissante sur \([-1~;~+\infty[\). Son minimum vaut \(f(-1)=-\dfrac{2}{\text{e}}\approx-0{,}736\). Par croissance comparée, \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0\), et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\). Comme \(-\dfrac{2}{\text{e}}\lt-0{,}73\lt 0\), le théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue strictement monotone) fournit exactement une solution sur chacun des deux intervalles : 2 solutions.
2. Réponse a. On écrit \(g(x)=(x+1)\text{e}^{-x}\). Quand \(x\to-\infty\), \(x+1\to-\infty\) et \(\text{e}^{-x}\to+\infty\), donc par produit \(\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=-\infty\).
3. Réponse b. \(h^{\prime}(x)=4\text{e}^{2x}+2(4x-16)\text{e}^{2x}=(8x-28)\text{e}^{2x}\), puis \(h^{\prime\prime}(x)=8\text{e}^{2x}+2(8x-28)\text{e}^{2x}=(16x-48)\text{e}^{2x}=16(x-3)\text{e}^{2x}\). La dérivée seconde s’annule en changeant de signe en \(x=3\) (négative avant, positive après) : \(\mathcal{C}_h\) a un point d’inflexion en \(x=3\), et \(h\) n’est ni convexe ni concave sur tout \(\mathbb{R}\).
4. Réponse b. \(k(\text{e})=3\ln(\text{e})-\text{e}=3-\text{e}\) et \(k^{\prime}(x)=\dfrac{3}{x}-1\), donc \(k^{\prime}(\text{e})=\dfrac{3}{\text{e}}-1=\dfrac{3-\text{e}}{\text{e}}\). La tangente a pour équation \(y=\dfrac{3-\text{e}}{\text{e}}(x-\text{e})+3-\text{e}=\dfrac{3-\text{e}}{\text{e}}x-(3-\text{e})+3-\text{e}\), soit \(y=(\dfrac{3-\text{e}}{\text{e}})x\).
5. Réponse c. On pose \(X=\ln(x)\) : l’équation devient \(X^2+10X+21=0\), de discriminant \(\Delta=100-84=16\gt 0\), donc de racines \(X=\dfrac{-10-4}{2}=-7\) et \(X=\dfrac{-10+4}{2}=-3\). Chacune donne une valeur de \(x\) : \(x=\text{e}^{-7}\) et \(x=\text{e}^{-3}\), qui sont bien dans \(]0~;~+\infty[\). L’équation a 2 solutions.
Bien travailler ce corrigé Réunion 2023
Tout d’abord, travaillez l’énoncé du sujet en temps limité, sans ouvrir la correction. Puis confrontez votre travail à la correction en vérifiant chaque argument, car une bonne valeur sans justification rapporte peu de points. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur la fonction exponentielle ou la fonction logarithme népérien. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur fonction exponentielle.
Les erreurs fréquentes à éviter
- Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
- Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
- La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde, pas sur celui de la dérivée : c’est une confusion très courante.
Corrigé Réunion 2023 : vos questions
Où trouver l’énoncé complet ? Il se trouve sur la page du sujet ; ainsi, vous pouvez chercher chaque exercice avant de lire la correction.
Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, la fonction exponentielle, la fonction logarithme népérien et la convexité, mais aussi la géométrie dans l’espace.
Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.
Puis Retour à l’énoncé : Bac de maths 2023 à La Réunion (jour 2) : sujet et corrigé.
