Corrigé mars 2021 : ce que contient la correction
D’abord, précisons que ce corrigé mars 2021 concerne l’épreuve de spécialité mathématiques 2021 en France (mars, sujet 1), avec une rédaction complète des réponses. Par ailleurs, en effet, l’épreuve se compose de 5 exercices indépendants. De plus, on y mobilise surtout la fonction logarithme népérien, la fonction exponentielle, la convexité et les probabilités conditionnelles. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 48 minutes pour chaque exercice. De cette façon, vous pouvez vérifier non seulement vos résultats, mais aussi la qualité de votre rédaction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Partie 1
1. L’énoncé donne \(P(D) = 0{,}1\), \(P_D(A) = 0{,}6\) et \(P_{\overline{D}}(A) = 0{,}2\). Puis on complète par passage au contraire : \(P(\overline{D}) = 0{,}9\), \(P_D(\overline{A}) = 0{,}4\) et \(P_{\overline{D}}(\overline{A}) = 0{,}8\).
2. On suit le chemin \(D\) puis \(A\) de l’arbre et on multiplie les probabilités rencontrées :
\[P(D \cap A) = P(D) \times P_D(A) = 0{,}1 \times 0{,}6 = 0{,}06.\]
La probabilité qu’un candidat soit sélectionné sur dossier puis admis est \(0{,}06\).
3. Les évènements \(D\) et \(\overline{D}\) forment une partition de l’univers. Avec \(P(\overline{D} \cap A) = 0{,}9 \times 0{,}2 = 0{,}18\), la formule des probabilités totales donne :
\[P(A) = P(D \cap A) + P(\overline{D} \cap A) = 0{,}06 + 0{,}18 = 0{,}24.\]
On a bien \(P(A) = 0{,}24\).
4. On sait que le candidat est admis : on calcule la probabilité conditionnelle de \(\overline{D}\) sachant \(A\).
\[P_A(\overline{D}) = \dfrac{P(\overline{D} \cap A)}{P(A)} = \dfrac{0{,}18}{0{,}24} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75.\]
Un candidat admis a été recruté par l’épreuve écrite avec une probabilité de \(0{,}75\) : trois admis sur quatre viennent de l’écrit.
Partie 2
1. a. Ensuite, on répète 7 fois, de façon indépendante (tirage avec remise), une épreuve de Bernoulli dont le succès « le candidat est admis » a pour probabilité \(0{,}24\). \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 7\) et \(p = 0{,}24\).
b. On cherche \(P(X = 1)\) :
\[P(X = 1) = \binom\,{7}{1} \times 0{,}24^1 \times 0{,}76^6 = 7 \times 0{,}24 \times 0{,}76^6 \approx 0{,}324.\]
Au centième, \(P(X = 1) \approx 0{,}32\).
c. « Au moins deux » est le contraire de « zéro ou un ». Avec \(P(X = 0) = 0{,}76^7 \approx 0{,}146\) :
\[P(X \geq\, 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) \approx 1 – 0{,}146\,5 – 0{,}323\,7 \approx 0{,}530.\]
Au centième, \(P(X \geq\, 2) \approx 0{,}53\).
2. a. Chacun des \(n\) candidats est refusé avec la probabilité \(1 – 0{,}24 = 0{,}76\), et les résultats sont indépendants. Puis la probabilité qu’aucun ne soit admis est le produit de ces \(n\) probabilités : \(0{,}76^n\).
b. La probabilité qu’au moins un élève soit admis est l’évènement contraire : \(1 – 0{,}76^n\). On résout :
\[1 – 0{,}76^n \geq\, 0{,}99 \iff 0{,}76^n \leq\, 0{,}01 \iff n \ln(0{,}76) \leq\, \ln(0{,}01),\]
par stricte croissance de \(\ln\) sur \(]0\,;\,+\infty[\). Comme \(\ln(0{,}76) \lt 0\), la division change le sens de l’inégalité :
\[n \geq\, \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}76)} \approx 16{,}78.\]
Vérification : \(1 – 0{,}76^{16} \approx 0{,}988 \lt 0{,}99\) et \(1 – 0{,}76^{17} \approx 0{,}991 \geq\, 0{,}99\). C’est donc à partir de \(n = 17\) candidats que la probabilité d’avoir au moins un admis atteint 99 %.
Exercice 2 :
1. a. Par croissance comparée de l’exponentielle et des puissances, \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty\).
b. Quand \(x\) tend vers 0 par valeurs positives, \(\text{e}^x\) tend vers \(\text{e}^0 = 1\) et \(\dfrac{1}{x}\) tend vers \(+\infty\). Par produit, \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = +\infty\). Une limite infinie en 0 signifie que la droite d’équation \(x = 0\), c’est-à-dire l’axe des ordonnées, est asymptote verticale à \(\mathcal{C}_f\).
2. \(f\) est le quotient \(\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x) = \text{e}^x\), \(u^{\prime}(x) = \text{e}^x\), \(v(x) = x\), \(v^{\prime}(x) = 1\), et \(v\) ne s’annule pas sur \(]0\,;\,+\infty[\) :
\[f^{\prime}(x) = \dfrac{\text{e}^x \times x – \text{e}^x \times 1}{x^2} = \dfrac{\text{e}^x(x – 1)}{x^2}.\]
3. Pour \(x \gt 0\), \(\text{e}^x \gt 0\) et \(x^2 \gt 0\) : \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(x – 1\). Donc \(f^{\prime}(x) \lt 0\) sur \(]0\,;\,1[\), \(f^{\prime}(1) = 0\) et \(f^{\prime}(x) \gt 0\) sur \(]1\,;\,+\infty[\). \(f\) est strictement décroissante sur \(]0\,;\,1]\) et strictement croissante sur \([1\,;\,+\infty[\), avec un minimum \(f(1) = \text{e}\).
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f^{\prime}(x)\) | || | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |
| \(f(x)\) | || \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(\text{e}\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
4. On raisonne sur chacun des deux intervalles de monotonie, où \(f\) est continue et strictement monotone.
Exercice 2 du corrigé mars 2021 : question 5
- Si \(m \lt \text{e}\) : le minimum de \(f\) est \(\text{e}\), donc \(f(x) \geq\, \text{e} \gt m\) pour tout \(x\) : aucune solution.
- Si \(m = \text{e}\) : le minimum n’est atteint qu’en \(x = 1\) : une seule solution, \(x = 1\).
- Si \(m \gt \text{e}\) : sur \(]0\,;\,1]\), \(f\) décroît de \(+\infty\) à \(\text{e}\), et sur \([1\,;\,+\infty[\), elle croît de \(\text{e}\) à \(+\infty\). Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires donne une solution unique dans chacun des deux intervalles : deux solutions.
5. a. Deux droites sont parallèles lorsqu’elles ont le même coefficient directeur. Celui de \(\Delta\) est \(-1\) et celui de la tangente en A est \(f^{\prime}(a)\). De plus, la condition s’écrit donc, avec \(a \gt 0\) :
\[\dfrac{\text{e}^a(a – 1)}{a^2} = -1 \iff \text{e}^a(a – 1) = -a^2 \iff \text{e}^a(a – 1) + a^2 = 0.\]
(On a multiplié par \(a^2 \neq 0\).) Ainsi \(a\) est solution de l’équation \(\text{e}^x(x – 1) + x^2 = 0\).
b. On dérive le produit \(\text{e}^x(x – 1)\) et le carré :
\[g^{\prime}(x) = \text{e}^x(x – 1) + \text{e}^x \times 1 + 2x = x\,\text{e}^x + 2x = x(\text{e}^x + 2).\]
Sur \([0\,;\,+\infty[\), \(x \geq\, 0\) et \(\text{e}^x + 2 \gt 0\), donc \(g^{\prime}(x) \geq\, 0\), avec égalité seulement en 0 : \(g\) est strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). On a \(g(0) = 1 \times (-1) + 0 = -1\) et, comme \(\text{e}^x(x – 1)\) et \(x^2\) tendent vers \(+\infty\), \(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\).
| \(x\) | \(0\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|
| \(g^{\prime}(x)\) | \(0\) | \(+\) | |
| \(g(x)\) | \(-1\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
c. La fonction \(g\) est continue (car dérivable) et strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), avec \(g(0) = -1 \lt 0\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution \(a\) dans \([0\,;\,+\infty[\), et \(a \neq 0\) puisque \(g(0) \neq 0\) : \(a\) appartient bien à \(]0\,;\,+\infty[\).
D’après la question a (où chaque étape est une équivalence), les points de \(\mathcal{C}_f\) où la tangente est parallèle à \(\Delta\) sont exactement ceux dont l’abscisse est solution de \(g(x) = 0\). Il existe donc un unique point A qui convient. La calculatrice donne \(g(0{,}73) \lt 0 \lt g(0{,}74)\), d’où \(a \approx 0{,}74\) et \(f(a) \approx 2{,}83\).
Exercice 3 :
1. Les droites (DK) et (SD) sont confondues (K est sur [SD]) ; (AS) et (IC) se coupent en A, car (IC) est la droite (AC) ; (LM) est parallèle à (CB) par le théorème des milieux dans le triangle SCB, donc à (AD) : ces trois paires sont coplanaires. Ensuite, en revanche, (AC) est contenue dans le plan de la base, que (SB) ne coupe qu’au point B ; comme B n’est pas sur la diagonale (AC), les deux droites n’ont aucun point commun sans être parallèles. Réponse c.
2. K milieu de [SD] : \(\text{K}(0\,;\,-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2})\) ; L milieu de [SC] : \(\text{L}(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,\dfrac{1}{2})\). Par ailleurs, le milieu de [KL] a pour coordonnées les moyennes : \(\text{N}(\dfrac{1}{4}\,;\,-\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{1}{2})\). Réponse b.
3. \(\vec{\text{AS}}\) a pour coordonnées \((0 – (-1)\,;\,0 – 0\,;\,1 – 0) = (1\,;\,0\,;\,1)\). Réponse b.
4. Il faut un vecteur directeur colinéaire à \((1\,;\,0\,;\,1)\) : cela élimine a et d (coordonnée \(y\) non constante). Puis pour b, \(y = 0\) et le vecteur \((2\,;\,0\,;\,2)\) convient, mais le point de paramètre \(t = 0\) est \((-1\,;\,0\,;\,1)\), qui n’est pas sur (AS) (le point de (AS) d’abscisse \(-1\) est A, de cote 0). Ensuite, pour c, \(t = -1\) donne \((-1\,;\,0\,;\,0)\), c’est-à-dire A, et \(t = 0\) donne \((0\,;\,0\,;\,1)\), c’est-à-dire S. Réponse c.
Exercice 3 du corrigé mars 2021 : question 5
5. On teste les trois points S(0 ; 0 ; 1), C(1 ; 0 ; 0) et B(0 ; 1 ; 0), non alignés. Puis pour \(x + y + z – 1 = 0\) : \(0 + 0 + 1 – 1 = 0\), \(1 + 0 + 0 – 1 = 0\) et \(0 + 1 + 0 – 1 = 0\) : les trois points vérifient l’équation. De plus, les autres propositions échouent : a n’est pas vérifiée par C, c par S, d par B. Réponse b.
Exercice A :
1. Avec \(n = 0\) : \(u_1 = \dfrac{3}{4} \times 1 + \dfrac{1}{4} \times 0 + 1 = \dfrac{3}{4} + 1 = \dfrac{7}{4}\).
Avec \(n = 1\) : \(u_2 = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{7}{4} + \dfrac{1}{4} \times 1 + 1 = \dfrac{21}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{16}{16} = \dfrac{41}{16}\).
Ainsi \(u_1 = \dfrac{7}{4}\) et \(u_2 = \dfrac{41}{16}\) (fractions irréductibles, car 7 et 41 sont impairs), ce qui correspond bien à 1,75 et 2,562 5 dans le tableur.
2. a. Ensuite, la cellule B3 contient \(u_1\), calculé à partir de \(u_0\) (cellule B2) et de \(n = 0\) (cellule A2). Par ailleurs, on peut écrire =3/4*B2+1/4*A2+1 (ou =0,75*B2+0,25*A2+1) : en recopiant vers le bas, les références deviennent B3 et A3, puis B4 et A4, etc.
b. Les valeurs affichées augmentent : 1 ; 1,75 ; 2,562 5 ; 3,42… ; 4,32… On conjecture que la suite \((u_n)\) est croissante.
3. a. Notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(n \leq\, u_n \leq\, n + 1\) ».
Initialisation. \(u_0 = 1\) et \(0 \leq\, 1 \leq\, 1\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(n \leq\, u_n \leq\, n + 1\). On multiplie par \(\dfrac{3}{4} \gt 0\) (le sens des inégalités est conservé), puis on ajoute \(\dfrac{1}{4}n + 1\) :
\[\dfrac{3}{4}n + \dfrac{1}{4}n + 1 \leq\, \dfrac{3}{4}u_n + \dfrac{1}{4}n + 1 \leq\, \dfrac{3}{4}(n + 1) + \dfrac{1}{4}n + 1,\]
c’est-à-dire \(n + 1 \leq\, u_{n+1} \leq\, n + \dfrac{7}{4}\). Or \(n + \dfrac{7}{4} \leq\, n + 2\), donc \(n + 1 \leq\, u_{n+1} \leq\, (n + 1) + 1\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Conclusion. Par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(n \leq\, u_n \leq\, n + 1\).
b. Sens de variation. Pour tout \(n\), l’encadrement au rang \(n + 1\) donne \(u_{n+1} \geq\, n + 1\), et celui au rang \(n\) donne \(n + 1 \geq\, u_n\). Donc \(u_{n+1} \geq\, u_n\) : la suite \((u_n)\) est croissante, ce qui confirme la conjecture.
Exercice A du corrigé mars 2021 : question 4
Limite. Pour tout \(n\), \(u_n \geq\, n\) et \(\lim\limits_{n \to +\infty} n = +\infty\). Par comparaison, \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty\).
c. Pour \(n \geq\, 1\), on divise l’encadrement par \(n \gt 0\) :
\[1 \leq\, \dfrac{u_n}{n} \leq\, \dfrac{n + 1}{n} = 1 + \dfrac{1}{n}.\]
Comme \(\lim\limits_{n \to +\infty} (1 + \dfrac{1}{n}) = 1\), le théorème des gendarmes donne \(\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{n} = 1\).
4. a. Puis pour tout entier naturel \(n\) :
\[v_{n+1} = u_{n+1} – (n + 1) = \dfrac{3}{4}u_n + \dfrac{1}{4}n + 1 – n – 1 = \dfrac{3}{4}u_n – \dfrac{3}{4}n = \dfrac{3}{4}(u_n – n) = \dfrac{3}{4}v_n.\]
Chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par \(\dfrac{3}{4}\) : \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{3}{4}\), de premier terme \(v_0 = u_0 – 0 = 1\).
b. Le terme général d’une suite géométrique donne \(v_n = v_0 \times (\dfrac{3}{4})^n = (\dfrac{3}{4})^n\). Comme \(u_n = v_n + n\), on obtient, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = (\dfrac{3}{4})^n + n\).
Exercice B :
1. La somme \(x – 4\ln(x)\) est une forme indéterminée « \(\infty – \infty\) ». Ensuite, on factorise par \(x\) :
\[f(x) = x(1 – 4\,\dfrac{\ln(x)}{x}) + 4 – \dfrac{3}{x}.\]
Par croissance comparée, \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0\), donc la parenthèse tend vers 1 et le produit tend vers \(+\infty\). Comme \(4 – \dfrac{3}{x}\) tend vers 4, par somme \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
2. On dérive terme à terme : la dérivée de \(x + 4\) est 1, celle de \(-4\ln(x)\) est \(-\dfrac{4}{x}\), celle de \(-\dfrac{3}{x}\) est \(\dfrac{3}{x^2}\). Puis en réduisant au dénominateur \(x^2\) :
\[f^{\prime}(x) = 1 – \dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{x^2} = \dfrac{x^2 – 4x + 3}{x^2}.\]
3. a. Comme \(x^2 \gt 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe du trinôme \(x^2 – 4x + 3\), dont 1 est racine évidente (\(1 – 4 + 3 = 0\)) ; le produit des racines valant 3, l’autre racine est 3. Ainsi \(x^2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3)\), positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles.
Valeurs aux extremums : \(f(1) = 1 + 4 – 0 – 3 = 2\) et \(f(3) = 3 + 4 – 4\ln(3) – 1 = 6 – 4\ln(3) \approx 1{,}61\).
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(3\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f^{\prime}(x)\) | || | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |
| \(f(x)\) | || \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(2\) | \(\searrow\) | \(6 – 4\ln(3)\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
\(f\) est croissante sur \(]0\,;\,1]\), décroissante sur \([1\,;\,3]\) et croissante sur \([3\,;\,+\infty[\), avec un maximum local 2 et un minimum local \(6 – 4\ln(3)\).
b. On compare \(\dfrac{5}{3} \approx 1{,}67\) aux valeurs du tableau : \(6 – 4\ln(3) \approx 1{,}61 \lt \dfrac{5}{3} \lt 2\).
Exercice B : question 4
- Sur \(]0\,;\,1]\), \(f\) croît de \(-\infty\) à 2 : la valeur \(\dfrac{5}{3}\) est atteinte une fois.
- Sur \([1\,;\,3]\), \(f\) décroît de 2 à \(6 – 4\ln(3)\) : \(\dfrac{5}{3}\) est atteinte une fois.
- Sur \([3\,;\,+\infty[\), \(f\) croît de \(6 – 4\ln(3)\) à \(+\infty\) : \(\dfrac{5}{3}\) est atteinte une fois.
L’équation \(f(x) = \dfrac{5}{3}\) admet trois solutions sur \(]0\,;\,+\infty[\).
4. On dérive \(f^{\prime}(x) = 1 – \dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{x^2}\) terme à terme :
\[f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{4}{x^2} – \dfrac{6}{x^3} = \dfrac{4x – 6}{x^3} = \dfrac{2(2x – 3)}{x^3}.\]
Comme \(x^3 \gt 0\), \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(2x – 3\), qui s’annule en \(\dfrac{3}{2}\) :
- sur \(]0\,;\,\dfrac{3}{2}]\), \(f^{\prime\prime}(x) \leq\, 0\) : \(f\) est concave ;
- sur \([\dfrac{3}{2}\,;\,+\infty[\), \(f^{\prime\prime}(x) \geq\, 0\) : \(f\) est convexe.
La dérivée seconde s’annule en changeant de signe uniquement en \(x = \dfrac{3}{2}\) : la courbe \(\mathcal{C}\) admet donc un unique point d’inflexion, d’abscisse \(\dfrac{3}{2}\). Son ordonnée est :
\[f(\dfrac{3}{2}) = \dfrac{3}{2} + 4 – 4\ln(\dfrac{3}{2}) – 2 = \dfrac{7}{2} – 4\ln(\dfrac{3}{2}) \approx 1{,}88.\]
Le point d’inflexion est \((\dfrac{3}{2}\,;\,\dfrac{7}{2} – 4\ln(\dfrac{3}{2}))\).
Corrigé mars 2021 : méthode pour bien s’entraîner
D’abord, ouvrez l’énoncé du sujet et traitez un exercice entier sans aide, comme le jour de l’épreuve. Ensuite, comparez votre copie avec la correction ligne par ligne : au-delà du résultat final, regardez surtout la justification attendue. Par ailleurs, faites la liste des points de cours à revoir ; ici, ce sera souvent la fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. De plus, en complément, l’article fonction logarithme de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.
Les erreurs qui coûtent des points
- Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
- Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
- La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde, pas sur celui de la dérivée : c’est une confusion très courante.
Questions fréquentes sur ce corrigé mars 2021
Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, la fonction logarithme népérien, la fonction exponentielle et la convexité, mais aussi les probabilités conditionnelles.
Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.
Par ailleurs, Retour à l’énoncé : Bac de maths 2021 en France (mars, sujet 1) : sujet et corrigé.
