Conjugué et argument d'un nombre complexe

Sommaire

Les nombres complexes avec un cours de maths en terminale faisant intervenir la notion de conjugué et d’argument.

L’essentiel : Pour $z=a+ib$, le conjugué est $\,\overline{z}=a-ib$ et le module est $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, avec $z\,\overline{z}=|z|^2$. Pour $z$ non nul, un argument est une mesure $\theta$, à $2\pi$ près, de l’angle entre l’axe des réels et le vecteur d’affixe $z$, et $z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$ est sa forme trigonométrique.

I. Conjugué d’un nombre complexe.

1. Définition du conjugué.

Définition :

Soit un nombre complexe de forme algébrique $z\,=\,x+iy$ (x, y réels).

Le nombre complexe $x\,-\,iy$ , noté $\,\overline{z}$ , est appelé conjugué du nombre complexe .

Exemples :

$\,\overline{2+3i}=2-3i$ ; $\,\overline{3}=3$ ; $\,\overline{-7}=-7$ ; $\,\overline{2i}=-2i$ ; $\,\overline{-5i}={5i}$ .

Conséquences :

$\,\overline{\,\overline{z}}=z$
$z\,\overline{z}=x^2+y^2$
$z+\,\overline{z}=2\times Re(z)=2x$
$z-\,\overline{z}=2\times Im(z)=2y$

2. Interprétation géométrique.

Dans le plan complexe, considérons un point M d’affixe z alors le pont M’ d’affixe z est l’image de M par la symétrie par rapport à l’axe des réels (abscisses).

Propriétés :

Soit z un nombre complexe.

1. z est réel $\Longleftrightarrow z=\,\overline{z}$ .
2. z est imaginaire pur $\Longleftrightarrow z\,=\,-\,\,\overline{z}$ .

3. Conjugué et opérations.

Propriétés :

Soient z et z’ deux nombres complexes et n un entier naturel non nul.

$\,\overline{z+z\,#039;}=\,\overline{z}+\,\overline{z\,#039;}$

$\,\overline{zz\,#039;}=\,\overline{z}\,\overline{z\,#039;}$

$\,\overline{z^n}^n=\,\overline{z}^n$

$Si\, z\neq\,0 ,\, \,\,\overline{\frac{1}{z}}=\frac{1}{\,\overline{z}}$

$Si\, z\,#039;\neq\,0 ,\, \,\,\overline{\frac{z}{z\,#039;}}=\frac{\,\overline{z}}{\,\overline{z\,#039;}}$

II. Module et argument d’un nombre complexe.

1. Module d’un nombre complexe.

Définition :

Soit z un nombre complexe de forme algébrique x+iy (x et y réels).

Le module de z est le nombre réel positif noté $lzl=sqrt{x^2+y2}$ .

Interprétation géométrique :
Dans le plan complexe, si M a pour affixe z alors OM=lzl.

Remarque :

Si est un réel, le module de est égal à la valeur absolue de x.
$|z\,|=0$ si et seulement ( car équivaut à O=M)
$z\overline{z}=\,|\,z\,|^2$ .

2. Arguments d’un nombres complexe non nul.

Définition :

Soit un nombre complexe non nul, de point image M.

On appelle argument de et on note , toute mesure en radian de l’angle orienté $(\vec{OU},\vec{OM})$ .

Remarque:
Un nombre complexe non nul z a une infinité d’argument; si $\theta$ est l’un d’entre eux alors tous les autres sont de la forme $\theta\,+\,2k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})$ .

On note $arg(z)=\,\theta\,[2\pi]$ ou plus simplement arg(z)= $\theta$

3. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul.

3.1. Repérages cartésien et polaire :

Dans le plan complexe un point M distinct de O peut être repéré par ses coordonnées cartésienne ou par un couple $(r\,,\, \theta)$ de coordonnées polaires avec OM=r et $(\vec{OU}\,,\,\vec{OM})$ ,

on a alors :
$\fbox{\{{x\,=\,rcos\theta\atop y\,=\,rsin\theta}}$

3.2 Forme trigonométrique :

Définition :

Soit un nombre complexe non nul.

L’écriture $z\,=\,r(cos\theta\,+\,isin\theta)$ avec $r=\,|\,z\,|$ et $\theta\,\,=arg(z)$ est appelée forme trigonométrique de z.

Propriété :

Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si, ils ont même module et même argument à un multiple de 2pi près.

Propriété :

Si $z\,=\,r(cos\theta\,+\,isin\theta)$ avec alors $r=\,|\,z\,|$ et $\theta\,\,=arg(z)$ .

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