Préparez votre année de maths sup avec des cours complets, des exercices progressifs et des corrigés rédigés, tous téléchargeables en PDF. Chaque chapitre suit le programme officiel de MPSI et reprend ses notations. Ainsi, vous travaillez exactement ce que vos professeurs attendent en colle et en devoir surveillé. Les fiches conviennent aussi aux élèves de MP2I, qui partagent le même texte, et en grande partie à ceux de PCSI.
Le programme de première année de prépa scientifique
Le programme officiel est un texte national, publié au Bulletin officiel. Il précise pour chaque partie les contenus exigibles et les capacités attendues. Il fixe aussi l’esprit de la formation : développer l’initiative, la rigueur du raisonnement et l’aisance dans la communication, à l’écrit comme à l’oral. Les professeurs gardent néanmoins une liberté dans l’ordre des chapitres et dans le choix des exemples.
Le texte en vigueur date de 2021 et s’applique depuis la rentrée suivante. Il découpe l’année en deux semestres aux objectifs bien distincts. D’abord, le premier semestre assure la transition avec la terminale. Vous y consolidez le raisonnement, le vocabulaire ensembliste et une véritable boîte à outils de calcul : sommes, inégalités, trigonométrie, nombres complexes. Viennent ensuite les techniques de dérivation, les primitives et les équations différentielles linéaires d’ordre 1 et 2.
Puis l’analyse réelle reçoit une fondation rigoureuse. Les nombres réels, les suites, les limites, la continuité et la convexité sont repris avec des définitions précises. En parallèle, l’algèbre démarre avec l’arithmétique de Z, les groupes, anneaux et corps, le calcul matriciel et les polynômes.
Le second semestre change d’échelle. En effet, il installe l’algèbre linéaire : espaces vectoriels, dimension finie, applications linéaires, théorème du rang, matrices et déterminants. De plus, les espaces préhilbertiens introduisent la géométrie euclidienne abstraite. Côté analyse, vous abordez les développements limités, l’intégration sur un segment, les séries numériques et les familles sommables. Enfin, l’année se termine avec le dénombrement, les probabilités sur un univers fini et les fonctions de deux variables.
Qu’est-ce qui change vraiment en maths sup par rapport au lycée ? Surtout l’exigence de preuve. Un résultat ne s’admet plus : il se démontre, puis il s’applique. Le rythme est aussi bien plus soutenu, avec une leçon nouvelle presque chaque semaine. C’est pourquoi les 32 chapitres ci-dessous sont rangés dans l’ordre de la progression usuelle, du premier cours de septembre jusqu’aux dernières séances de juin.
Les chapitres, un par un
Fondements : logique, ensembles, raisonnement
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Logique, ensembles, applications et relations
quantificateurs, implication, contraposition, équivalence, raisonnement par disjonction des cas, par contraposition, par l'absurde, par analyse-synthèse, raisonnement par récurrence (simple, double, forte), ensembles, inclusion, parties, ensemble des parties P(E), réunion, intersection, différence, complémentaire, produit cartésien
Arithmétique
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Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs
divisibilité dans Z, division euclidienne, PGCD, algorithme d'Euclide, PPCM, relation de Bézout, algorithme d'Euclide étendu, entiers premiers entre eux, théorème de Bézout, lemme de Gauss, PGCD d'un nombre fini d'entiers, premiers entre eux deux à deux
Algèbre et algèbre linéaire
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Calculs algébriques : sommes, produits, inégalités
notations Σ et Π, sommes et produits télescopiques, changements d'indices et regroupements de termes, sommes des k, des k² et somme géométrique, factorisation de a^n − b^n par a − b, sommes doubles, sommes triangulaires, produit de deux sommes
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Nombres complexes et exponentielle complexe
parties réelle et imaginaire, plan complexe, affixe, conjugaison, module, inégalité triangulaire et cas d'égalité, nombres complexes de module 1, groupe U, e^{it}, formules d'Euler et de Moivre, technique de l'angle moitié, linéarisation, calcul de Σcos(kt) et Σsin(kt)
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Structures algébriques usuelles : groupes, anneaux, corps
loi de composition interne, associativité, commutativité, élément neutre, élément inversible, partie stable, groupe, groupe produit, groupe des permutations S_X, sous-groupe, caractérisation, morphisme de groupes, image, noyau, condition d'injectivité
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Calcul matriciel et systèmes linéaires
ensemble M_{n,p}(K), combinaisons linéaires, matrices élémentaires, produit matriciel, bilinéarité, associativité, transposée, opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes, écriture matricielle AX = B d'un système linéaire, système homogène associé
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Polynômes : division euclidienne, racines, interpolation
anneau K[X], degré, coefficient dominant, polynôme unitaire, composition, ensemble K_n[X], divisibilité, polynômes associés, division euclidienne, fonction polynomiale, racine, caractérisation par la divisibilité, nombre de racines majoré par le degré, multiplicité
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Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles
PGCD, algorithme d'Euclide, relation de Bézout dans K[X], PPCM, polynômes premiers entre eux, lemme de Gauss, théorème de d'Alembert-Gauss, polynômes irréductibles de C[X] et de R[X], décomposition en facteurs irréductibles, factorisation de X^n − 1
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Espaces vectoriels, familles libres et génératrices
structure de K-espace vectoriel, espaces K^n, K[X], M_{n,p}(K), K^Ω, produit fini d'espaces vectoriels, combinaison linéaire, famille presque nulle, sous-espace vectoriel, caractérisation, intersection, sous-espace engendré Vect(A)
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Espaces vectoriels de dimension finie
espace de dimension finie, existence de bases, théorème de la base extraite, théorème de la base incomplète, dimension, caractérisation des bases en dimension n, dimension d'un produit, rang d'une famille de vecteurs, dimension d'un sous-espace, cas d'égalité
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Applications linéaires et théorème du rang
application linéaire, espace L(E,F), isomorphisme, image directe et réciproque d'un sous-espace, noyau, image, caractérisation de l'injectivité, rang d'une application linéaire, invariance par isomorphisme, endomorphismes, anneau L(E), groupe linéaire GL(E)
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Matrices, changements de base, rang et trace
matrice d'un vecteur, d'une famille, d'une application linéaire dans des bases, isomorphismes L(E,F) ≅ M_{n,p}(K) et L(E) ≅ M_n(K), matrice d'une composée, matrices inversibles et isomorphismes, application linéaire canoniquement associée, noyau, image et rang d'une matrice, systèmes linéaires et systèmes de Cramer
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Groupe symétrique et déterminants
groupe symétrique S_n, cycles, transpositions, décomposition en produit de cycles à supports disjoints, décomposition en produit de transpositions, signature, formes n-linéaires alternées, antisymétrie, déterminant d'une famille de vecteurs dans une base
Analyse
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Trigonométrie et fonctions circulaires
cercle trigonométrique, paramétrisation par cosinus et sinus, congruence modulo 2π, cosinus et sinus de π ± x et de π/2 ± x, angles usuels, formules d'addition cos(a ± b), sin(a ± b), formules de duplication
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Fonctions usuelles et techniques de dérivation
ensemble de définition, parité, périodicité, transformations du graphe, fonctions monotones, majorées, minorées, bornées, dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient, d'une composée, dérivée et graphe d'une fonction réciproque, exponentielle, logarithme népérien, fonctions puissances
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Primitives et calcul intégral
primitives d'une fonction continue sur un intervalle, à valeurs complexes, lien entre intégrale et primitive, primitives usuelles (puissances, exponentielle, trigonométriques, hyperboliques), primitives de 1/(1 + x²) et 1/√(1 − x²), primitives de e^{λx}, de e^{ax}cos(bx) et e^{ax}sin(bx)
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Équations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2
équation linéaire du premier ordre y' + a(x)y = b(x), équation homogène associée et ensemble de ses solutions, principe de superposition, solution générale = solution particulière + solutions homogènes, méthode de la variation de la constante
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Nombres réels et suites numériques
entiers, décimaux, rationnels, irrationnels, approximations décimales, propriété de la borne supérieure, bornes supérieure et inférieure, caractérisation des intervalles, droite achevée, suites majorées, minorées, bornées, monotones, limite finie ou infinie, unicité, opérations sur les limites
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Suites particulières et suites récurrentes
suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques, suites récurrentes linéaires homogènes d'ordre 2 à coefficients constants, suites définies par u_{n+1} = f(u_n), intervalle stable par une fonction, représentation géométrique en escalier ou en escargot
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Limites et continuité des fonctions
limite finie ou infinie en un point, unicité, limite à droite, à gauche, caractérisation séquentielle de la limite, opérations sur les limites, composition, encadrement, théorème de la limite monotone
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Dérivabilité et convexité
dérivabilité en un point, taux d'accroissement, tangente, opérations sur les fonctions dérivables, dérivée d'une réciproque, extremum local et point critique, théorème de Rolle, égalité et inégalité des accroissements finis, fonctions lipschitziennes
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Relations de comparaison : domination, équivalents
relations de domination, de négligeabilité, d'équivalence en un point, notations O, o et ∼ pour les fonctions, règles de manipulation des équivalents et des symboles o et O, obtention d'un équivalent par encadrement, propriétés conservées par équivalence : signe, limite
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Développements limités et étude locale
développement limité à l'ordre n en un point, unicité, troncature, DL d'une fonction paire ou impaire, caractérisation de la dérivabilité par un DL d'ordre 1, opérations : combinaison linéaire, produit, quotient, composition, primitivation d'un développement limité
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Intégration sur un segment
continuité uniforme, théorème de Heine, subdivision, fonctions en escalier, fonctions continues par morceaux, intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment, linéarité, positivité, croissance, relation de Chasles, inégalité triangulaire intégrale
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Séries numériques
sommes partielles, convergence, divergence, somme d'une série, divergence grossière, reste d'une série convergente, lien suite-série, séries télescopiques, séries géométriques, série exponentielle, séries à termes positifs : comparaison, équivalents
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Familles sommables
calcul dans [0, +∞], borne supérieure dans [0, +∞], somme d'une famille de réels positifs, invariance de la somme par permutation, théorème de sommation par paquets positif, théorème de Fubini positif
Calcul différentiel
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Fonctions de deux variables
boules et ouverts de R², continuité d'une fonction de deux variables, représentation graphique par une surface, dérivées partielles en un point, fonction de classe C^1, développement limité à l'ordre 1, plan tangent, gradient, direction de plus forte croissance
Probabilités
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Dénombrement
cardinal d'un ensemble fini, cardinal d'une partie, application entre ensembles de même cardinal : injective ⇔ surjective ⇔ bijective, cardinal d'une union disjointe ou quelconque, du complémentaire, de la différence, cardinal d'un produit cartésien, cardinal de l'ensemble des applications, de l'ensemble des parties
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Probabilités sur un univers fini et variables aléatoires
univers, événements, système complet d'événements, variable aléatoire, événements {X ∈ A}, probabilité sur un univers fini, distribution de probabilités, probabilité uniforme, probabilités conditionnelles, formules des probabilités composées, des probabilités totales, de Bayes
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Espérance, variance et inégalités probabilistes
espérance d'une variable aléatoire réelle ou complexe, linéarité, positivité, croissance de l'espérance, formule de transfert, espérance d'un produit de variables indépendantes, variance, écart type, V(aX + b) = a²V(X)
Géométrie
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Formes linéaires, hyperplans et sous-espaces affines
forme linéaire, formes coordonnées, hyperplan défini comme noyau d'une forme linéaire non nulle, supplémentaire d'une droite, équation d'un hyperplan, comparaison de deux équations d'un même hyperplan, intersection de m hyperplans, système d'équations d'un sous-espace
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Espaces préhilbertiens réels
produit scalaire, espace préhilbertien, espace euclidien, produits scalaires canoniques sur R^n et M_{n,p}(R), produit scalaire intégral, norme associée, distance, identités de polarisation, inégalité de Cauchy-Schwarz, cas d'égalité, vecteurs orthogonaux, orthogonal d'une partie
Comment utiliser les leçons, les exercices et les corrigés
Commencez toujours par la leçon. Lisez les définitions crayon en main et refaites les démonstrations sans regarder. Ensuite, passez aux exercices du chapitre. Ils vont des applications directes jusqu’aux questions de type concours. Cherchez chaque énoncé au moins vingt minutes avant d’ouvrir la solution. En effet, c’est la recherche, même infructueuse, qui fait progresser.
Le corrigé sert ensuite de modèle. Comparez votre rédaction à la sienne : hypothèses vérifiées, théorèmes cités, calculs justifiés. Notez sur une fiche les astuces que vous n’aviez pas vues. Autrement dit, chaque erreur doit devenir une méthode réutilisable.
Organisez aussi votre semaine. Un bon rythme consiste à relire le cours le soir même, puis à consacrer deux créneaux aux exercices avant la fin de la semaine. Le dimanche, faites une courte synthèse : ce que vous savez refaire seul, ce qui reste fragile. Cette routine demande peu de temps. Pourtant, elle évite l’effet d’avalanche qui décourage tant d’étudiants dès la Toussaint.
Réussir les colles, les DS et les concours
La colle hebdomadaire est une interrogation orale d’une heure, à trois élèves. Le colleur demande presque toujours une question de cours : un énoncé précis ou une preuve courte. Par conséquent, apprenez les résultats par cœur, avec leurs hypothèses exactes. Au tableau, parlez en cherchant : l’examinateur note aussi votre démarche. S’il vous donne une indication, saisissez-la sans vous troubler. Après la séance, notez les remarques reçues et retravaillez l’exercice qui vous a résisté.
Pour les devoirs surveillés, entraînez-vous en temps limité. Rédigez proprement, puis relisez-vous avec la solution. Pendant les vacances, reprenez les chapitres du semestre écoulé plutôt que d’anticiper la suite. De cette façon, vous arrivez aux écrits de fin de spé avec des bases solides. Car les concours portent sur les deux années, et la première pèse lourd. Les notions de maths sup reviennent d’ailleurs dans presque chaque sujet.
Passerelles et suite du parcours
À l’issue de la maths sup, la plupart des étudiants passent en MP, en MPI ou en MP*. Cependant, d’autres choix restent ouverts. Les crédits ECTS validés permettent d’intégrer une deuxième année de licence à l’université. Le contenu de première année de prépa recouvre en effet largement celui d’une L1 de mathématiques, et le dépasse souvent. Les fiches de licence proposées ici peuvent donc servir de révision croisée si vous hésitez sur votre orientation.
À plus long terme, la filière mène aux écoles d’ingénieurs, aux écoles normales supérieures ou à un master. Ces voies débouchent sur la recherche, l’enseignement, la finance, l’informatique ou l’industrie. Dans tous les cas, une première année bien travaillée reste votre meilleur capital. Les méthodes acquises ici, comme la clarté de rédaction ou la persévérance face à un problème long, serviront bien au-delà des mathématiques. Elles resteront utiles en physique, en informatique et plus tard dans votre vie professionnelle.
Questions fréquentes
Quel niveau faut-il en terminale pour réussir en maths sup ?
Un bon dossier en spécialité mathématiques est indispensable, et l’option maths expertes est fortement conseillée. Plus que les notes, c’est la capacité de travail qui compte. Un élève régulier et curieux s’adapte en général en quelques semaines.
Ces cours conviennent-ils à la PCSI ou à la MP2I ?
Oui pour la MP2I, qui suit exactement le même programme que la MPSI. Pour la PCSI, la plupart des chapitres sont utilisables. Il suffit de laisser de côté l’arithmétique, les structures algébriques, le groupe symétrique et les familles sommables.
Combien de temps consacrer aux mathématiques chaque soir en MPSI ?
Comptez environ deux heures par soir, week-end compris, en plus des cours. Une partie sert à relire la leçon du jour, l’autre à chercher des exercices. Mieux vaut un travail quotidien qu’une longue séance hebdomadaire.
Comment préparer efficacement une colle ?
Relisez les définitions et les théorèmes du chapitre, puis refaites deux ou trois démonstrations importantes. Entraînez-vous ensuite sur des exercices classiques en parlant à voix haute. Le jour venu, expliquez votre raisonnement même si vous n’êtes pas sûr du résultat.
Peut-on rejoindre l'université après une première année de prépa ?
Oui, c’est même une réorientation courante. Grâce aux crédits ECTS, un étudiant de MPSI peut généralement entrer en deuxième année de licence. Le lycée délivre pour cela une attestation de parcours en fin d’année.
Faut-il travailler pendant l'été avant d'entrer en prépa ?
Quelques révisions légères suffisent : calcul algébrique, trigonométrie, dérivées et primitives. L’essentiel est d’arriver reposé et avec des automatismes de calcul solides. Inutile d’anticiper le programme de l’année.
