Fonctions usuelles : exercices de maths sup corrigés en PDF.

Exercice 1 : Ensembles de définition, parité et périodicité

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminez l’ensemble de définition, puis étudiez la parité ou la périodicité demandée.

1. \(f(x) = \ln(\dfrac{1+x}{1-x})\) : ensemble de définition et parité.
2. \(g(x) = \dfrac{\sqrt{4 – x^2}}{x^2 – 1}\) : ensemble de définition et parité.
3. \(h(x) = \cos(3x) + \sin(2x)\) : montrez que \(h\) est \(2\pi\)-périodique, mais que \(\pi\) n’est pas une période de \(h\).
4. \(k(x) = \dfrac{x}{\mathrm{e}^x – 1} + \dfrac{x}{2}\) : ensemble de définition, puis montrez que \(k\) est paire.

Exercice 2 : Transformations du graphe du logarithme

La figure ci-dessous représente la courbe de la fonction \(\ln\).

Sans étude de variations, déterminez l’ensemble de définition de chaque fonction, décrivez la transformation géométrique qui permet d’obtenir sa courbe à partir de celle de \(\ln\), puis tracez-la.

1. \(f_1(x) = \ln(x – 2) + 1\).
2. \(f_2(x) = \ln(-x)\).
3. \(f_3(x) = \ln(\dfrac{1}{x})\).
4. \(f_4(x) = |\ln x|\).
5. \(f_5(x) = \ln|x|\).
6. \(f_6(x) = \ln(2x)\) : proposez deux transformations différentes qui conviennent.

Exercice 3 : Fonctions monotones et fonctions bornées

1. Montrez que \(f : x \mapsto \dfrac{x}{1+x^2}\) est bornée sur \(\mathbb{R}\). Déterminez son maximum et son minimum, ainsi que les points où ils sont atteints.
2. Montrez que \(g : x \mapsto x + \sin x\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Est-elle majorée ?
3. Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions croissantes sur \(\mathbb{R}\). Montrez que \(uv\) n’est pas nécessairement croissante. Montrez ensuite que \(uv\) est croissante si \(u\) et \(v\) sont de plus positives.
4. Montrez que la composée de deux fonctions décroissantes est croissante.

Exercice 4 : Calculs de dérivées

Justifiez la dérivabilité de chaque fonction sur l’ensemble indiqué, puis calculez sa dérivée sous forme simplifiée.

1. \(f_1(x) = x^2\mathrm{e}^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\).
2. \(f_2(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})\) sur \(\mathbb{R}\).
3. \(f_3(x) = \dfrac{x^3}{1 + x^2}\) sur \(\mathbb{R}\).
4. \(f_4(x) = \cos^3(2x)\) sur \(\mathbb{R}\).
5. \(f_5(x) = x^x\) sur \(]0, +\infty[\).
6. \(f_6(x) = \mathrm{e}^{\sin x}\cos x\) sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 5 : Dérivée d’une fonction réciproque

On considère \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x + \mathrm{e}^x\).

1. Montrez que \(f\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\). On note \(g = f^{-1}\).
2. Justifiez que \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et exprimez \(g^{\prime}(y)\) en fonction de \(g(y)\).
3. Calculez \(g(1)\), \(g^{\prime}(1)\), puis donnez l’équation de la tangente à la courbe de \(g\) au point d’abscisse 1. Calculez de même \(g(1 + \mathrm{e})\) et \(g^{\prime}(1 + \mathrm{e})\).
4. Montrez que, pour tout réel \(y\), \(g^{\prime}(y) = \dfrac{1}{1 + y – g(y)}\).
5. En déduisant que \(g\) est deux fois dérivable, calculez \(g^{\prime\prime}(1)\).

Exercice 6 : Équations avec exponentielles, logarithmes et puissances

Résolvez dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes, en précisant à chaque fois les conditions d’existence.

1. \(\mathrm{e}^{2x} – 3\mathrm{e}^{x} + 2 = 0\).
2. \(\ln x + \ln(x – 1) = \ln 6\).
3. \(2^x = 3^{x-1}\).
4. \(4^x – 2^{x+1} – 8 = 0\).
5. \(x^{\sqrt{x}} = (\sqrt{x})^x\), pour \(x > 0\).

Exercice 7 : Limites par croissances comparées

Déterminez les limites suivantes en justifiant chaque étape.

1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^3}{\sqrt{x}}\).
2. \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^x\).
3. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^{1/x}\).
4. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{x^5}\).
5. \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x(\ln x)^2\).
6. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^x – x^3}{\mathrm{e}^x + \ln x}\).

Exercice 8 : Les inégalités fondamentales et la somme harmonique

1. Démontrez que \(\mathrm{e}^x \geq\, 1 + x\) pour tout réel \(x\), puis que \(\ln(1 + x) \leq\, x\) pour tout \(x > -1\).
2. En déduire que \(\ln(1 + x) \geq\, \dfrac{x}{1+x}\) pour tout \(x > -1\).
3. Montrez que \(\mathrm{e}^x \leq\, \dfrac{1}{1 – x}\) pour tout \(x < 1\).
4. Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(H_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\). Montrez que \(\ln(n + 1) \leq\, H_n \leq\, 1 + \ln n\).
5. En déduire la limite de \(H_n\) et celle de \(\dfrac{H_n}{\ln n}\).

Exercice 9 : Inégalités par étude de fonction

1. Montrez que, pour tout \(x \geq\, 0\), \(x – \dfrac{x^2}{2} \leq\, \ln(1 + x) \leq\, x\).
2. En déduire un encadrement de \(\ln(1{,}1)\) d’amplitude \(0{,}005\).
3. Montrez que \(\sin x \leq\, x\) pour tout \(x \geq\, 0\), puis que \(\cos x \geq\, 1 – \dfrac{x^2}{2}\) pour tout réel \(x\).
4. On pose \(\varphi(x) = \dfrac{\sin x}{x}\) sur \(]0, \frac{\pi}{2}]\). Étudiez les variations de \(\varphi\), puis démontrez l’inégalité de Jordan : \(\sin x \geq\, \dfrac{2x}{\pi}\) pour tout \(x \in [0, \frac{\pi}{2}]\).

Exercice 10 : Comparer e puissance π et π puissance e

On pose \(h(x) = \dfrac{\ln x}{x}\) pour \(x > 0\).

1. Étudiez les variations de \(h\) et ses limites en \(0^+\) et en \(+\infty\).
2. En déduire, sans calculatrice, lequel des deux nombres \(\mathrm{e}^{\pi}\) et \(\pi^{\mathrm{e}}\) est le plus grand.
3. Vérifiez que \(2^4 = 4^2\). Soient \(0 < a < b\) tels que \(a^b = b^a\). Montrez que \(h(a) = h(b)\), puis que \(a < \mathrm{e} < b\).
4. Montrez que \(a = 2\) est le seul entier naturel \(a \geq\, 1\) pour lequel il existe un entier \(b > a\) avec \(a^b = b^a\), et que \(b = 4\).

Exercice 11 : Valeurs et simplifications avec Arcsin, Arccos, Arctan

1. Calculez \(\mathrm{Arcsin}(\sin\frac{7\pi}{6})\), \(\mathrm{Arccos}(\cos(-\frac{2\pi}{3}))\) et \(\mathrm{Arctan}(\tan\frac{3\pi}{4})\).
2. Calculez \(\mathrm{Arcsin}(\sin 3)\) et \(\mathrm{Arccos}(\cos 4)\).
3. Simplifiez, pour \(x\) dans l’ensemble indiqué : \(\cos(\mathrm{Arcsin}\, x)\) sur \([-1, 1]\), \(\tan(\mathrm{Arcsin}\, x)\) sur \(]-1, 1[\), \(\cos(\mathrm{Arctan}\, x)\) sur \(\mathbb{R}\).
4. Montrez que \(\sin(2\,\mathrm{Arctan}\, x) = \dfrac{2x}{1 + x^2}\) pour tout réel \(x\).

Exercice 12 : Relations entre fonctions circulaires réciproques

1. En appliquant le théorème de la dérivée réciproque, retrouvez les dérivées de Arccos sur \(]-1, 1[\) et de Arctan sur \(\mathbb{R}\).
2. Montrez que \(\mathrm{Arccos}(-x) = \pi – \mathrm{Arccos}\, x\) pour tout \(x \in [-1, 1]\).
3. Démontrez par dérivation que \(\mathrm{Arcsin}\, x + \mathrm{Arccos}\, x = \dfrac{\pi}{2}\) sur \([-1, 1]\).
4. Soit \(\psi(x) = \mathrm{Arctan}\, x + \mathrm{Arctan}\,\dfrac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\). Calculez \(\psi^{\prime}\), puis donnez \(\psi(x)\) selon le signe de \(x\). Pourquoi \(\psi\) n’est-elle pas constante sur \(\mathbb{R}^*\) ?

Exercice 13 : Équations avec Arctan

1. Montrez que \(\mathrm{Arctan}\,\dfrac{1}{2} + \mathrm{Arctan}\,\dfrac{1}{3} = \dfrac{\pi}{4}\).
2. Montrez que \(\mathrm{Arctan}\, 2 + \mathrm{Arctan}\, 3 = \dfrac{3\pi}{4}\).
3. On pose \(S(x) = \mathrm{Arctan}\, x + \mathrm{Arctan}(2x)\). Montrez que l’équation \(S(x) = \dfrac{\pi}{4}\) admet une unique solution réelle, puis déterminez-la.

Exercice 14 : Étude de Arcsin(2x√(1 − x²))

On considère \(f(x) = \mathrm{Arcsin}(2x\sqrt{1 – x^2})\).

1. Montrez que \(f\) est définie sur \([-1, 1]\) et qu’elle est impaire.
2. Pour \(x \in [-1, 1]\), on pose \(\theta = \mathrm{Arcsin}\, x\). Exprimez \(2x\sqrt{1-x^2}\) en fonction de \(\theta\).
3. En déduire une expression simple de \(f(x)\) sur chacun des intervalles \([-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}]\), \([-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]\) et \([\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]\).
4. Calculez directement \(f^{\prime}(x)\) sur \(]-1, 1[\) privé de \(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\) et vérifiez la cohérence avec la question précédente.
5. Tracez la courbe de \(f\). La fonction \(f\) est-elle dérivable en \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) ?

Exercice 15 : Formulaire hyperbolique

1. Démontrez que \(\mathrm{ch}^2 x – \mathrm{sh}^2 x = 1\) pour tout réel \(x\).
2. Démontrez que \(\mathrm{ch}(a + b) = \mathrm{ch}\, a\,\mathrm{ch}\, b + \mathrm{sh}\, a\,\mathrm{sh}\, b\) et \(\mathrm{sh}(a + b) = \mathrm{sh}\, a\,\mathrm{ch}\, b + \mathrm{ch}\, a\,\mathrm{sh}\, b\).
3. En déduire \(\mathrm{sh}(2x)\) et \(\mathrm{ch}(2x)\), puis montrez que \(\mathrm{ch}(2x) = 2\,\mathrm{ch}^2 x – 1\).
4. Montrez que \(\mathrm{th}(a + b) = \dfrac{\mathrm{th}\, a + \mathrm{th}\, b}{1 + \mathrm{th}\, a\,\mathrm{th}\, b}\).
5. Calculez \(\mathrm{ch}(\ln 3)\), \(\mathrm{sh}(\ln 3)\) et \(\mathrm{th}(\ln 2)\).
6. Montrez que \((\mathrm{ch}\, x + \mathrm{sh}\, x)^n = \mathrm{ch}(nx) + \mathrm{sh}(nx)\) pour tout entier naturel \(n\).

Exercice 16 : Équations hyperboliques et fonction argument sinus hyperbolique

1. Résolvez \(\mathrm{sh}\, x = \dfrac{3}{4}\), puis \(\mathrm{ch}\, x = \dfrac{5}{4}\).
2. Résolvez \(3\,\mathrm{ch}\, x – \mathrm{sh}\, x = 3\).
3. Montrez que sh est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\). Pour \(y\) réel, résolvez \(\mathrm{sh}\, x = y\) et en déduire l’expression de la réciproque \(\mathrm{Argsh}\, y\) à l’aide d’un logarithme.
4. Calculez la dérivée de Argsh de deux façons : à partir de son expression, puis par le théorème de la dérivée réciproque.

Exercice 17 : Tangente hyperbolique et sa réciproque

1. Montrez que th est impaire, que \(\mathrm{th}^{\prime} = 1 – \mathrm{th}^2\) et que th est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Calculez ses limites en \(\pm\infty\).
2. Montrez que \(\mathrm{th}\, x \leq\, x\) pour tout \(x \geq\, 0\).
3. Montrez que th réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(]-1, 1[\) et exprimez sa réciproque \(\mathrm{Argth}\) à l’aide d’un logarithme.
4. Calculez \(\mathrm{Argth}^{\prime}(y)\) pour \(y \in ]-1, 1[\). Quel lien y a-t-il avec la fonction \(f\) de la question 1 de l’exercice 1 ?

Exercice 18 : Dérivation d’une fonction à valeurs complexes

Soit \(a\) un réel. On pose \(f(t) = \mathrm{e}^{(a+i)t}\) pour \(t \in \mathbb{R}\). La figure ci-dessous représente, dans le plan complexe, la courbe décrite par \(f(t)\) pour \(t \geq\, 0\) lorsque \(a = -0{,}15\).

1. Calculez \(f^{\prime}(t)\) de deux façons : avec la formule \((\mathrm{e}^{\varphi})^{\prime} = \varphi^{\prime}\mathrm{e}^{\varphi}\), puis en dérivant parties réelle et imaginaire.
2. En déduire une primitive de \(t \mapsto \mathrm{e}^{at}\cos t\) et une primitive de \(t \mapsto \mathrm{e}^{at}\sin t\).
3. Calculez \(|f(t)|\) et interprétez la forme de la courbe. Montrez que \(\dfrac{f^{\prime}(t)}{f(t)}\) est constant et interprétez géométriquement.
4. On pose \(g(t) = \mathrm{e}^{it}\). Existe-t-il \(c \in ]0, 2\pi[\) tel que \(g(2\pi) – g(0) = 2\pi\, g^{\prime}(c)\) ? Commentez.
5. Calculez la dérivée de \(t \mapsto \mathrm{e}^{t + it^2}\).

Exercice 19 : Étude complète de x exp(1/x)

On considère \(f(x) = x\,\mathrm{e}^{1/x}\).

1. Déterminez l’ensemble de définition de \(f\), puis ses limites en \(-\infty\), \(+\infty\), \(0^-\) et \(0^+\).
2. Calculez \(f^{\prime}\) et dressez le tableau de variations de \(f\).
3. En posant \(u = 1/x\), montrez que \(f(x) – (x + 1) = \dfrac{\mathrm{e}^u – 1 – u}{u}\). En déduire que la droite \(y = x + 1\) est asymptote à la courbe en \(\pm\infty\).
4. Étudiez la position de la courbe par rapport à cette asymptote, puis tracez la courbe.

Exercice 20 : Angle de vue optimal

Un tableau est accroché à un mur vertical. Son bord inférieur est situé 1 m au-dessus de l’œil d’un visiteur, et son bord supérieur 4 m au-dessus. Le visiteur se place à une distance \(x > 0\) du mur, comme sur la figure ci-dessous. On note \(\theta(x)\) l’angle sous lequel il voit le tableau.

1. Montrez que \(\theta(x) = \mathrm{Arctan}\,\dfrac{4}{x} – \mathrm{Arctan}\,\dfrac{1}{x}\).
2. Déterminez les limites de \(\theta\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
3. Étudiez les variations de \(\theta\) sur \(]0, +\infty[\).
4. À quelle distance le visiteur doit-il se placer pour voir le tableau sous l’angle maximal ? Montrez que cet angle maximal vaut \(\mathrm{Arctan}\,\dfrac{3}{4}\).

Exercice 21 : Trois expressions d’une même fonction

On définit sur \(\mathbb{R}\) les fonctions \(F(x) = \mathrm{Arctan}(\mathrm{sh}\, x)\), \(G(x) = 2\,\mathrm{Arctan}(\mathrm{e}^x) – \dfrac{\pi}{2}\) et \(H(x) = \mathrm{Arcsin}(\mathrm{th}\, x)\).

1. Justifiez que \(F\), \(G\) et \(H\) sont définies et dérivables sur \(\mathbb{R}\).
2. Montrez que \(F^{\prime}(x) = G^{\prime}(x) = H^{\prime}(x) = \dfrac{1}{\mathrm{ch}\, x}\).
3. En déduire que \(F = G = H\) sur \(\mathbb{R}\).
4. Étudiez la fonction \(F\) : parité, variations, limites. Montrez que \(F\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\).
5. Montrez que \(\sin(F(x)) = \mathrm{th}\, x\) et \(\cos(F(x)) = \dfrac{1}{\mathrm{ch}\, x}\). Pour \(y \in ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\), exprimez \(F^{-1}(y)\) à l’aide de \(\tan y\) et \(\cos y\).

Exercice 22 : Problème, la fonction (1 + 1/x) puissance x

On définit sur \(]0, +\infty[\) les fonctions \(f(x) = (1 + \dfrac{1}{x})^x\) et \(k(x) = (1 + \dfrac{1}{x})^{x+1}\).

Partie A : deux inégalités.

1. Montrez que, pour tout \(u > 0\), \(\dfrac{u}{1+u} < \ln(1 + u) < u\).

Partie B : étude de \(f\).

1. On pose \(g(x) = \ln f(x)\). Calculez \(g^{\prime}(x)\) et montrez que \(g^{\prime}(x) > 0\).
2. Déterminez les limites de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

Partie C : étude de \(k\) et encadrement de e.

1. Montrez que \(k\) est strictement décroissante sur \(]0, +\infty[\) et déterminez ses limites en \(0^+\) et en \(+\infty\).
2. En déduire que, pour tout \(x > 0\), \((1 + \dfrac{1}{x})^x < \mathrm{e} < (1 + \dfrac{1}{x})^{x+1}\).
3. Montrez que, pour tout entier \(n \geq\, 1\), \(0 < \mathrm{e} – (1 + \dfrac{1}{n})^n < \dfrac{3}{n}\).
4. Sachant que \(1{,}1^{10} \approx 2{,}59374\) et \(1{,}1^{11} \approx 2{,}85312\), donnez un encadrement de \(\mathrm{e}\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths sup

• Le cours : fonctions usuelles, cours de maths sup
• À maîtriser avant : Trigonométrie et fonctions circulaires
• Chapitre précédent : Nombres complexes et exponentielle complexe
• Chapitre suivant : Primitives et calcul intégral
• Le même thème en L1 : fonctions usuelles, exercices de maths en L1
• Tester vos connaissances : QCM de maths sup par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths sup et les chapitres de maths spé