Fonctions de deux variables : exercices de maths sup corrigés en PDF.

Exercice 1 : Calcul de dérivées partielles et de gradients

Pour chacune des fonctions suivantes, justifiez qu’elle est de classe \(C^1\) sur l’ouvert indiqué. Calculez ensuite ses dérivées partielles, puis son gradient au point donné.

1. \(f(x, y) = x^2 y^3 + \mathrm{e}^{xy}\) sur \(\mathbb{R}^2\), au point \((1, 0)\).
2. \(g(x, y) = \ln(1 + x^2 + y^2)\) sur \(\mathbb{R}^2\), au point \((1, 1)\).
3. \(h(x, y) = \arctan(\dfrac{y}{x})\) sur \(U = \{(x, y) : x > 0\}\), au point \((1, 1)\).
4. \(k(x, y) = x^y = \mathrm{e}^{y \ln x}\) sur \(U = \{(x, y) : x > 0\}\), au point \((\mathrm{e}, 1)\).

Exercice 2 : Ouverts du plan

On munit \(\mathbb{R}^2\) de la norme euclidienne. Pour chaque partie, dites si elle est ouverte et justifiez votre réponse. La figure donne une indication pour la première partie.

1. \(A = \{(x, y) : x > 0 \text{ et } y > 0\}\). On pourra poser \(r = \min(a_1, a_2)\) pour \(a = (a_1, a_2) \in A\).
2. \(B = \{(x, y) : y \geq\, 0\}\).
3. \(C = \{(x, y) : x^2 + y^2 < 4\}\). On pourra utiliser l’inégalité triangulaire.
4. \(D = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}\).

Exercice 3 : Continuité en l’origine

On pose, pour \((x, y) \neq (0, 0)\),

\[f_1(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}, \qquad f_2(x, y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}, \qquad f_3(x, y) = \frac{x y^2}{x^2 + y^4},\]

et \(f_1(0, 0) = f_2(0, 0) = f_3(0, 0) = 0\).

1. Calculez \(f_1(x, mx)\) pour \(x \neq 0\) et \(m \in \mathbb{R}\). La fonction \(f_1\) est-elle continue en \((0, 0)\) ?
2. Montrez que \(f_1\) admet des dérivées partielles en \((0, 0)\) et calculez-les. Que retenez-vous ?
3. Montrez que \(f_2\) est continue en \((0, 0)\).
4. Montrez que \(f_3\) tend vers \(0\) le long de toute droite passant par l’origine. Calculez ensuite \(f_3(y^2, y)\) pour \(y \neq 0\) et concluez sur la continuité de \(f_3\) en \((0, 0)\).

Exercice 4 : Lignes de niveau et surface en selle

On considère \(f(x, y) = x^2 – y^2\) sur \(\mathbb{R}^2\). Sa surface représentative est dessinée ci-dessous, avec quelques lignes de niveau projetées sur le plan horizontal.

1. Décrivez la ligne de niveau \(c\) de \(f\) selon que \(c > 0\), \(c = 0\) ou \(c < 0\).
2. Décrivez les sections de la surface par les plans \(y = 0\) et \(x = 0\).
3. Calculez \(\nabla f(0, 0)\). L’origine est-elle un extremum local de \(f\) ?
4. On pose \(x = \frac{u – v}{\sqrt{2}}\) et \(y = \frac{u + v}{\sqrt{2}}\). Exprimez \(xy\) en fonction de \(u\) et \(v\). Qu’en déduisez-vous pour la surface \(z = 2xy\) ?

Exercice 5 : Plan tangent et approximation affine

1. Soit \(f(x, y) = x\,\mathrm{e}^{y}\). Écrivez le développement limité à l’ordre 1 de \(f\) en \((2, 0)\), puis l’équation du plan tangent à la surface \(z = f(x, y)\) au point \((2, 0, 2)\).
2. Déduisez-en une valeur approchée de \(2{,}01\,\mathrm{e}^{-0{,}02}\).
3. Soit \(g(x, y) = x^2 + 2y^2\). Déterminez l’équation du plan tangent \(P\) à la surface \(z = g(x, y)\) au point d’abscisse \(1\) et d’ordonnée \(1\).
4. Montrez que la surface \(z = g(x, y)\) est entièrement située au-dessus de \(P\). En quels points touche-t-elle \(P\) ?

Exercice 6 : Dérivée selon un vecteur

Soit \(f(x, y) = x^2 – xy + 3y^2\) et \(a = (1, 2)\).

1. Calculez directement, à partir de la définition, la dérivée de \(f\) en \(a\) selon le vecteur \(w = (1, 1)\).
2. Calculez \(\nabla f(a)\) et retrouvez le résultat précédent.
3. Calculez la dérivée de \(f\) en \(a\) selon le vecteur unitaire \(v = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})\).
4. Dans quelle direction unitaire la dérivée de \(f\) en \(a\) est-elle maximale ? Quelle est cette valeur maximale ? Dans quelles directions unitaires est-elle nulle ?

Exercice 7 : Dérivation le long d’un cercle

Soit \(f(x, y) = x^2 y\) et \(\gamma(t) = (\cos t, \sin t)\) pour \(t \in [0, 2\pi]\). On pose \(g = f \circ \gamma\).

1. Calculez \(g^{\prime}(t)\) à l’aide de la règle de la chaîne, puis vérifiez le résultat en dérivant directement \(g(t)\).
2. Déterminez les valeurs de \(t\) pour lesquelles \(g^{\prime}(t) = 0\).
3. Déduisez-en la plus grande et la plus petite valeur de \(x^2 y\) lorsque le point \((x, y)\) décrit le cercle unité. Précisez les points où elles sont atteintes.

Exercice 8 : Un minimum global par complétion du carré

Soit \(f(x, y) = 2x^2 + 2xy + y^2 – 2x\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Déterminez les points critiques de \(f\).
2. Pour le point critique \(a\) trouvé, calculez \(f(a_1 + h, a_2 + k) – f(a)\).
3. Montrez que \(f\) admet en \(a\) un minimum global. Ce minimum est-il atteint en un seul point ?
4. La fonction \(f\) admet-elle un maximum global ?

Exercice 9 : Dérivées partielles de composées

Dans cet exercice, \(\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) et \(g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) sont de classe \(C^1\).

1. Soit \(F(x, y) = \varphi(x^2 + y^2)\). Calculez \(\nabla F(x, y)\). Montrez qu’il est colinéaire au vecteur \((x, y)\).
2. Soit \(G(x, y) = \varphi(\dfrac{y}{x})\) sur \(U = \{x > 0\}\). Montrez que \(x \frac{\partial G}{\partial x} + y \frac{\partial G}{\partial y} = 0\) sur \(U\).
3. Soit \(H(x, y) = g(x + y, xy)\). Exprimez \(\frac{\partial H}{\partial x}\) et \(\frac{\partial H}{\partial y}\) à l’aide des dérivées partielles de \(g\).
4. Vérifiez ces formules lorsque \(g(u, v) = u^2 – 2v\), en calculant \(H\) explicitement.

Exercice 10 : Gradient orthogonal aux lignes de niveau

Soit \(f(x, y) = x^2 + 4y^2\) et \(E\) la ligne de niveau \(4\) de \(f\).

1. Montrez que \(E\) est une ellipse, paramétrée par \(\gamma(t) = (2\cos t, \sin t)\), \(t \in [0, 2\pi]\).
2. À l’aide de la règle de la chaîne, montrez que \(\langle \nabla f(\gamma(t)), \gamma^{\prime}(t) \rangle = 0\) pour tout \(t\).
3. Vérifiez que \(M = (\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\) appartient à \(E\). Déterminez une équation de la tangente à \(E\) en \(M\) en utilisant le gradient.
4. Plus généralement, soit \(f\) de classe \(C^1\) et \(\gamma\) un arc \(C^1\) tracé sur une ligne de niveau de \(f\). Montrez que \(\nabla f(\gamma(t))\) est orthogonal à \(\gamma^{\prime}(t)\).

Exercice 11 : Équation de transport et changement de variables linéaire

On cherche les fonctions \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) telles que

\[\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = 2\,\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \quad \text{pour tout } (x, y) \in \mathbb{R}^2. \qquad (E)\]

1. Montrez que \(\Phi : (x, y) \mapsto (x + 2y, y)\) est une bijection de \(\mathbb{R}^2\) sur \(\mathbb{R}^2\) et donnez sa réciproque.
2. Pour \(f\) de classe \(C^1\), on pose \(g(u, v) = f(u – 2v, v)\), de sorte que \(f(x, y) = g(x + 2y, y)\). Exprimez \(\frac{\partial f}{\partial x}\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}\) à l’aide des dérivées partielles de \(g\).
3. Résolvez \((E)\).
4. Déterminez la solution de \((E)\) qui vérifie \(f(x, 0) = \sin x\) pour tout réel \(x\).

Exercice 12 : Coordonnées polaires et équations aux dérivées partielles

Soit \(U = \{(x, y) : x > 0\}\) et \(V = ]0, +\infty[ \times ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\). On admet que \((r, \theta) \mapsto (r\cos\theta, r\sin\theta)\) est une bijection de \(V\) sur \(U\), de réciproque \((x, y) \mapsto (\sqrt{x^2 + y^2}, \arctan\frac{y}{x})\). Pour \(f\) de classe \(C^1\) sur \(U\), on pose \(g(r, \theta) = f(r\cos\theta, r\sin\theta)\).

1. Exprimez \(\frac{\partial g}{\partial r}\) et \(\frac{\partial g}{\partial \theta}\) à l’aide de \(\frac{\partial f}{\partial x}\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}\).
2. Montrez que \(r\,\frac{\partial g}{\partial r}(r, \theta) = (x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y})(x, y)\) et que \(\frac{\partial g}{\partial \theta}(r, \theta) = (x \frac{\partial f}{\partial y} – y \frac{\partial f}{\partial x})(x, y)\), où \((x, y) = (r\cos\theta, r\sin\theta)\).
3. Déterminez les fonctions \(f\) de classe \(C^1\) sur \(U\) telles que \(x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = 0\).
4. Déterminez les fonctions \(f\) de classe \(C^1\) sur \(U\) telles que \(x \frac{\partial f}{\partial y} – y \frac{\partial f}{\partial x} = 0\).
5. Déterminez les fonctions \(f\) de classe \(C^1\) sur \(U\) telles que \(x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = \sqrt{x^2 + y^2}\).

Exercice 13 : Points critiques d’une fonction cubique

Soit \(f(x, y) = x^3 + y^3 – 3xy\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Déterminez les points critiques de \(f\).
2. En étudiant \(f(t, 0)\), montrez que \(f\) n’admet pas d’extremum local en \((0, 0)\).
3. Montrez que \(f(1 + h, 1 + k) + 1 = 3(h^2 – hk + k^2) + h^3 + k^3\).
4. Établissez \(h^2 – hk + k^2 \geq\, \frac{1}{2}(h^2 + k^2)\), puis \(|h^3 + k^3| \leq\, \rho\,(h^2 + k^2)\) lorsque \(h^2 + k^2 \leq\, \rho^2\).
5. Concluez : \(f\) admet-elle un minimum local en \((1, 1)\) ? Ce minimum est-il global ?

Exercice 14 : Extremums sur un disque fermé

Soit \(D = \{(x, y) : x^2 + y^2 \leq\, 1\}\) et \(f(x, y) = x^2 + 2y^2 – x\).

1. Déterminez les points critiques de \(f\) sur \(\mathbb{R}^2\). Lequel appartient à l’intérieur de \(D\) ?
2. Montrez que \(f(x, y) \geq\, -\frac{1}{4}\) sur \(\mathbb{R}^2\). Précisez le cas d’égalité.
3. Montrez que \(f(x, y) \leq\, 2 – x^2 – x\) sur \(D\), puis que \(f \leq\, \frac{9}{4}\) sur \(D\). Déterminez les points de \(D\) où \(f\) vaut \(\frac{9}{4}\).
4. Calculez le gradient de \(f\) en ces points. Pourquoi cela ne contredit-il pas le théorème sur les points critiques ?

Exercice 15 : Droite des moindres carrés

On dispose des quatre points \((0, 1)\), \((1, 2)\), \((2, 2)\) et \((3, 4)\), notés \((x_i, y_i)\) pour \(1 \leq\, i \leq\, 4\). On cherche la droite \(y = ax + b\) qui minimise

\[F(a, b) = \sum_{i=1}^{4} \big(y_i – a x_i – b\big)^2.\]

1. Calculez les dérivées partielles de \(F\) et montrez que tout point critique vérifie \(14a + 6b = 18\) et \(6a + 4b = 9\).
2. Déterminez l’unique point critique \((a_0, b_0)\).
3. Montrez que \(F(a_0 + h, b_0 + k) = F(a_0, b_0) + \sum_{i=1}^{4} (h x_i + k)^2\). Concluez.
4. Calculez la valeur minimale de \(F\).

Exercice 16 : Boîte sans couvercle de volume imposé

On fabrique une boîte parallélépipédique sans couvercle, de volume \(32\ \mathrm{dm}^3\). Sa base mesure \(x\) sur \(y\), et sa hauteur vaut \(z\), en décimètres. On veut minimiser l’aire totale \(S\) de carton.

1. Montrez que \(S = xy + \dfrac{64}{x} + \dfrac{64}{y}\), où \((x, y)\) décrit l’ouvert \(]0, +\infty[^2\).
2. Déterminez les points critiques de \(S\).
3. À l’aide de l’inégalité arithmético-géométrique \(\frac{p + q + s}{3} \geq\, \sqrt[3]{pqs}\), valable pour \(p, q, s > 0\), montrez que \(S \geq\, 48\).
4. Donnez les dimensions de la boîte optimale.

Exercice 17 : Dérivées selon un vecteur sans classe C1

Soit \(f(x, y) = \dfrac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}\) si \((x, y) \neq (0, 0)\), et \(f(0, 0) = 0\).

1. Montrez que \(|x^3 + y^3| \leq\, (|x| + |y|)(x^2 + y^2)\), puis que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^2\).
2. Calculez \(\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0)\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}(0, 0)\).
3. Soit \(v = (\cos\alpha, \sin\alpha)\). Montrez que \(D_v f(0, 0)\) existe et vaut \(\cos^3\alpha + \sin^3\alpha\).
4. Comparez \(D_v f(0, 0)\) et \(\langle \nabla f(0, 0), v \rangle\) pour \(\alpha = \frac{\pi}{4}\). Que peut-on en conclure sur \(f\) ?

Exercice 18 : Relation d’Euler pour les fonctions homogènes

Soit \(U = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}\) et \(\alpha \in \mathbb{R}\). Une fonction \(f : U \to \mathbb{R}\) est dite homogène de degré \(\alpha\) si \(f(tx, ty) = t^{\alpha} f(x, y)\) pour tout \(t > 0\) et tout \((x, y) \in U\).

1. Soit \(f\) de classe \(C^1\), homogène de degré \(\alpha\). En dérivant \(t \mapsto f(tx, ty)\), montrez la relation d’Euler : \(x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = \alpha f\) sur \(U\).
2. Montrez que \(f(x, y) = \dfrac{x^2 y}{x^2 + y^2}\) est homogène de degré \(1\). Vérifiez la relation d’Euler par un calcul direct.
3. Réciproquement, soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(U\) vérifiant la relation d’Euler. Pour \((x, y) \in U\) fixé, on pose \(\varphi(t) = f(tx, ty)\) sur \(]0, +\infty[\). Montrez que \(t\varphi^{\prime}(t) = \alpha\,\varphi(t)\).
4. Étudiez la dérivée de \(t \mapsto t^{-\alpha}\varphi(t)\) et concluez que \(f\) est homogène de degré \(\alpha\).

Exercice 19 : Minimum global d’une fonction quartique

Soit \(f(x, y) = x^4 + y^4 – 2(x – y)^2\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Montrez que les points critiques de \(f\) vérifient \(x^3 + y^3 = 0\), puis \(y = -x\). Déterminez-les tous.
2. En étudiant \(f(t, t)\) et \(f(t, 0)\), montrez que \((0, 0)\) n’est pas un extremum local.
3. Montrez que \((x – y)^2 \leq\, 2(x^2 + y^2)\) et que \(x^4 + y^4 \geq\, \frac{1}{2}(x^2 + y^2)^2\).
4. En posant \(s = x^2 + y^2\), déduisez-en que \(f(x, y) \geq\, -8\) sur \(\mathbb{R}^2\). Déterminez le minimum global de \(f\) et les points où il est atteint.
5. La fonction \(f\) admet-elle un maximum global ?

Exercice 20 : Chemin de plus forte pente

La température d’une plaque est donnée par \(T(x, y) = 100 – x^2 – 2y^2\). Un insecte part du point \(P = (2, 1)\) et cherche à se réchauffer le plus vite possible. La figure montre quelques isothermes, c’est-à-dire des lignes de niveau de \(T\).

1. Calculez \(\nabla T(P)\). Dans quelle direction unitaire l’insecte doit-il partir ? Quel est alors le taux de variation de la température ?
2. Dans quelles directions unitaires la température ne varie-t-elle pas au premier ordre ? Quelle est l’équation de l’isotherme passant par \(P\) ?
3. L’insecte suit un arc \(\gamma(t) = (x(t), y(t))\) tel que \(\gamma(0) = P\) et \(\gamma^{\prime}(t) = \nabla T(\gamma(t))\) pour tout \(t \geq\, 0\). Déterminez \(x(t)\) et \(y(t)\).
4. Montrez que la trajectoire est portée par la parabole \(y = \frac{x^2}{4}\). Vers quel point l’insecte se dirige-t-il ?
5. Montrez que \(t \mapsto T(\gamma(t))\) est croissante.

Exercice 21 : Problème : étude complète d’une fonction à cinq points critiques

Soit \(f(x, y) = (x^2 – y^2)\,\mathrm{e}^{-(x^2 + y^2)}\) sur \(\mathbb{R}^2\).

1. Justifiez que \(f\) est de classe \(C^1\). Comparez \(f(-x, y)\), \(f(x, -y)\) et \(f(y, x)\) avec \(f(x, y)\).
2. Calculez les dérivées partielles de \(f\). Mettez-les sous forme factorisée.
3. Montrez que \(f\) possède exactement cinq points critiques.
4. Déterminez l’équation du plan tangent à la surface \(z = f(x, y)\) au point d’abscisse \(1\) et d’ordonnée \(1\), puis au point d’abscisse \(1\) et d’ordonnée \(0\).
5. En passant en coordonnées polaires, montrez que \(|f(x, y)| \leq\, (x^2 + y^2)\,\mathrm{e}^{-(x^2 + y^2)} \leq\, \frac{1}{\mathrm{e}}\).
6. Déduisez-en le maximum et le minimum globaux de \(f\) et les points où ils sont atteints.
7. L’origine est-elle un extremum local ? Déterminez la limite de \(f(x, y)\) lorsque \(\|(x, y)\| \to +\infty\).
8. Donnez la direction unitaire de plus forte croissance de \(f\) au point \((1, 1)\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths sup

• Le cours : fonctions de deux variables, cours de maths sup
• À maîtriser avant : Dérivabilité et convexité, Espaces préhilbertiens réels
• Chapitre précédent : Espaces préhilbertiens réels
• Tester vos connaissances : QCM de maths sup par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths sup et les chapitres de maths spé