Suites récurrentes : exercices de maths sup corrigés en PDF.

Exercice 1 : Suites arithmétiques et géométriques

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique telle que \(u_3 = 7\) et \(u_{10} = 28\). Soit \((v_n)\) une suite géométrique de raison réelle telle que \(v_2 = 12\) et \(v_5 = 96\).

1. Déterminez la raison \(r\) et le premier terme \(u_0\) de \((u_n)\).
2. Calculez \(S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{20}\).
3. Déterminez la raison \(q\) et le premier terme \(v_0\) de \((v_n)\).
4. Calculez \(T = v_0 + v_1 + \cdots + v_9\).

Exercice 2 : Terme général d’une suite arithmético-géométrique

On considère la suite définie par \(u_0 = 5\) et \(u_{n+1} = 3u_n – 4\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. Déterminez le réel \(\ell\) tel que \(\ell = 3\ell – 4\).
2. Montrez que la suite \(v_n = u_n – \ell\) est géométrique, puis donnez \(u_n\) en fonction de \(n\).
3. Calculez \(S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k\).
4. Pour quelles valeurs de \(u_0\) la suite \((u_n)\) converge-t-elle ?

Exercice 3 : Évolution d’un stock

Un entrepôt contient 1 000 pièces au début de l’année 0. Chaque année, 20 % des pièces présentes sont expédiées, puis 300 pièces neuves sont livrées. On note \(u_n\) le nombre de pièces au début de l’année \(n\), sans se soucier de l’arrondi à l’entier.

1. Justifiez que \(u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 300\).
2. Exprimez \(u_n\) en fonction de \(n\), puis étudiez la monotonie et la limite de \((u_n)\).
3. À partir de quelle année le stock dépasse-t-il 1 490 pièces ?

Exercice 4 : Nombre d’itérations pour une précision donnée

Soit \(f(x) = \frac{x}{2} + 3\), et la suite définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\). La courbe de \(f\) et la droite \(y = x\) sont tracées ci-dessous.

1. Construisez sur la figure les termes \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\). Que conjecturez-vous ?
2. Déterminez \(u_n\) en fonction de \(n\) et démontrez la conjecture.
3. Déterminez le plus petit entier \(n\) tel que \(|u_n – 6| < 10^{-3}\).

Exercice 5 : Récurrence linéaire à racines distinctes

On considère la suite définie par \(u_0 = 1\), \(u_1 = 8\) et \(u_{n+2} = u_{n+1} + 6u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. Écrivez l’équation caractéristique et résolvez-la.
2. Déterminez \(u_n\) en fonction de \(n\). Vérifiez le résultat sur \(u_2\).
3. Donnez un équivalent simple de \(u_n\) quand \(n \to +\infty\).
4. Plus généralement, on garde la relation de récurrence mais on laisse \(u_0\) et \(u_1\) quelconques. À quelle condition sur \(u_0\) et \(u_1\) a-t-on \(\frac{u_n}{3^n} \to 0\) ?

Exercice 6 : Récurrence linéaire à racine double

On considère la suite définie par \(u_0 = 1\), \(u_1 = 4\) et \(u_{n+2} = 4u_{n+1} – 4u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. Résolvez l’équation caractéristique.
2. Déterminez \(u_n\) en fonction de \(n\).
3. Vérifiez directement, par récurrence double, la formule obtenue.
4. Déterminez la limite de \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\).

Exercice 7 : Récurrence linéaire à racines complexes

On considère la suite réelle définie par \(u_0 = 0\), \(u_1 = 1\) et \(u_{n+2} = 2u_{n+1} – 2u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. Résolvez l’équation caractéristique dans \(\mathbb{C}\) et écrivez ses racines sous forme exponentielle.
2. Montrez que \(u_n = 2^{n/2} \sin\frac{n\pi}{4}\) pour tout \(n\).
3. Pour quels entiers \(n\) a-t-on \(u_n = 0\) ?
4. La suite \((u_n)\) est-elle bornée ? A-t-elle une limite ?

Exercice 8 : Suite de Fibonacci et nombre d’or

La suite de Fibonacci est définie par \(F_0 = 0\), \(F_1 = 1\) et \(F_{n+2} = F_{n+1} + F_n\). On note \(\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) et \(\psi = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}\).

1. Démontrez la formule de Binet : \(F_n = \frac{\varphi^n – \psi^n}{\sqrt{5}}\).
2. Montrez que \(F_n \sim \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\) et que \(\frac{F_{n+1}}{F_n} \to \varphi\).
3. Montrez que \(F_n\) est l’entier le plus proche de \(\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\) pour tout \(n \geq\, 0\).
4. Démontrez l’identité de Cassini : \(F_{n+1}F_{n-1} – F_n^2 = (-1)^n\) pour tout \(n \geq\, 1\).

Exercice 9 : Récurrence d’ordre 2 avec second membre constant

On considère la suite définie par \(u_0 = 3\), \(u_1 = 6\) et \(u_{n+2} = 5u_{n+1} – 6u_n + 4\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. Déterminez la suite constante \(c\) qui vérifie la relation de récurrence.
2. Montrez que \(v_n = u_n – c\) vérifie une récurrence linéaire homogène d’ordre 2.
3. Déduisez-en \(u_n\) en fonction de \(n\), puis vérifiez sur \(u_2\).

Exercice 10 : Continuité et point fixe, un contre-exemple

On définit \(f : [0, 1] \to [0, 1]\) par \(f(0) = 1\) et \(f(x) = \frac{x}{2}\) pour \(x \in \,]0, 1]\). On pose \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. Calculez \(u_n\) pour tout \(n\) et déterminez la limite \(\ell\) de la suite.
2. Comparez \(f(\ell)\) et \(\ell\). Quelle hypothèse du théorème du point fixe n’est pas satisfaite ?
3. On considère maintenant \(g : \,]0, 1] \to \,]0, 1]\), \(g(x) = \frac{x}{2}\), et \(v_0 = 1\), \(v_{n+1} = g(v_n)\). La fonction \(g\) est continue. Pourquoi la limite de \((v_n)\) n’est-elle pas un point fixe de \(g\) ?

Exercice 11 : Suite définie par une racine carrée

Soit \(f(x) = \sqrt{2 + x}\) sur \([-2, +\infty[\), et la suite définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. Déterminez les points fixes de \(f\).
2. On suppose \(u_0 = 0\). Montrez que \([0, 2]\) est stable par \(f\), puis que \((u_n)\) est croissante. Concluez sur sa limite.
3. On suppose \(u_0 = 7\). Trouvez un intervalle stable contenant \(u_0\) et étudiez la suite.
4. Dans le cas \(u_0 = 0\), montrez que \(|u_{n+1} – 2| \leq\, \frac{1}{3}|u_n – 2|\), puis que \(|u_n – 2| \leq\, \frac{2}{3^n}\).

Exercice 12 : Discussion selon le premier terme

Soit \(f(x) = x^2 + \frac{1}{4}\) et la suite définie par \(u_0 \in \mathbb{R}\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. Étudiez le signe de \(f(x) – x\). Déduisez-en la monotonie de \((u_n)\), quel que soit \(u_0\).
2. Déterminez les points fixes de \(f\).
3. On suppose \(|u_0| \leq\, \frac{1}{2}\). Montrez que \(u_n \in [0, \frac{1}{2}]\) pour tout \(n \geq\, 1\), puis déterminez la limite.
4. On suppose \(|u_0| > \frac{1}{2}\). Montrez que \(u_n \to +\infty\).

Exercice 13 : Une suite en escargot

Soit \(f(x) = \frac{1}{1 + x}\) sur \([0, +\infty[\), et la suite définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\). La figure ci-dessous représente \(f\) et la droite \(y = x\).

1. Montrez que \([\frac{1}{2}, 1]\) est stable par \(f\) et que \(f\) admet un unique point fixe \(\ell\) dans cet intervalle. Donnez sa valeur exacte.
2. Montrez que \(|u_{n+1} – \ell| \leq\, \frac{4}{9}|u_n – \ell|\) pour tout \(n\). Déduisez-en que \((u_n)\) converge vers \(\ell\).
3. Déterminez un rang \(N\) à partir duquel \(|u_n – \ell| \leq\, 10^{-6}\).
4. Étudiez la monotonie des suites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\).
5. Avec la suite de Fibonacci \((F_n)\), montrez que \(u_n = \frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}\).

Exercice 14 : Suite logistique de paramètre 2

Soit \(f(x) = 2x(1 – x)\) et la suite définie par \(u_0 \in \mathbb{R}\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. Déterminez les points fixes de \(f\).
2. On pose \(v_n = 1 – 2u_n\). Montrez que \(v_{n+1} = v_n^2\), puis exprimez \(u_n\) en fonction de \(u_0\) et de \(n\).
3. Discutez la limite de \((u_n)\) selon la valeur de \(u_0\).
4. On prend \(u_0 = \frac{1}{4}\). Déterminez le plus petit \(n\) tel que \(|u_n – \frac{1}{2}| \leq\, 10^{-10}\). Commentez la vitesse de convergence.

Exercice 15 : Convergence lente vers zéro

Soit \(f(x) = x – x^2\) et la suite définie par \(u_0 = \frac{1}{2}\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. Montrez que \(]0, \frac{1}{2}]\) est stable par \(f\), puis que \((u_n)\) est décroissante et converge vers 0.
2. Montrez que \(\frac{1}{u_{n+1}} = \frac{1}{u_n} + \frac{1}{1 – u_n}\) pour tout \(n\).
3. Déduisez-en que \(\frac{1}{2n + 2} \leq\, u_n \leq\, \frac{1}{n + 2}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
4. On veut \(u_n \leq\, 10^{-3}\). Donnez un rang qui convient et un rang en dessous duquel c’est impossible. Comparez avec l’exercice 4.

Exercice 16 : Point fixe du cosinus

On considère la suite définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \cos u_n\).

1. Montrez que \([0, 1]\) est stable par la fonction cosinus.
2. Montrez que l’équation \(\cos x = x\) a une unique solution \(\alpha\) dans \([0, 1]\).
3. À l’aide de la formule \(\cos a – \cos b = -2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}\), montrez que \(|\cos a – \cos b| \leq\, \sin(1)\,|a – b|\) pour tous \(a, b \in [0, 1]\).
4. Déduisez-en que \(u_n \to \alpha\), puis un rang \(N\) qui garantit \(|u_n – \alpha| \leq\, 10^{-6}\) pour \(n \geq\, N\). On donne \(\ln(\sin 1) \approx -0{,}1726\) et \(\ln 10 \approx 2{,}3026\).

Exercice 17 : Méthode de Newton pour racine de deux

On applique la méthode de Newton à \(g(x) = x^2 – 2\) avec \(u_0 = 2\).

1. Montrez que la suite obtenue vérifie \(u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n + \frac{2}{u_n})\). Calculez \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\) sous forme de fractions.
2. Montrez que \(u_{n+1} – \sqrt{2} = \frac{(u_n – \sqrt{2})^2}{2u_n}\). Déduisez-en que \(u_n \geq\, \sqrt{2}\) pour tout \(n\), puis que \((u_n)\) est décroissante.
3. On pose \(e_n = \frac{u_n – \sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\). Montrez que \(0 \leq\, e_{n+1} \leq\, e_n^2\), puis que \(e_n \leq\, e_0^{2^n}\).
4. Déterminez un rang \(n\) qui garantit \(u_n – \sqrt{2} \leq\, 10^{-10}\). Comparez avec la dichotomie sur \([1, 2]\).

Exercice 18 : Suites bornées d’une récurrence à paramètre

Soit \(a\) un réel. On note \(E_a\) l’ensemble des suites réelles vérifiant \(u_{n+2} = 2a\,u_{n+1} – u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. On suppose \(|a| < 1\) et on pose \(a = \cos\theta\) avec \(\theta \in \,]0, \pi[\). Décrivez \(E_a\) et montrez que toutes ses suites sont bornées.
2. Décrivez \(E_1\) et \(E_{-1}\). Toutes leurs suites sont-elles bornées ?
3. On suppose \(|a| > 1\). Montrez que l’équation caractéristique a deux racines réelles \(r_1\), \(r_2\) avec \(|r_1| > 1 > |r_2|\). Quelles suites de \(E_a\) sont bornées ?
4. Déterminez l’ensemble des réels \(a\) pour lesquels toutes les suites de \(E_a\) sont bornées.
5. Montrez que toutes les suites de \(E_{1/2}\) sont périodiques de période 6.

Exercice 19 : Comportement asymptotique de u(n+1) = u(n) + 1/u(n)

On considère la suite définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}\).

1. Montrez que la suite est bien définie, que \(u_n \geq\, 1\) et que \((u_n)\) est croissante.
2. Montrez par l’absurde que \(u_n \to +\infty\).
3. Montrez que \(u_n^2 = 2n + 1 + \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{u_k^2}\) pour tout \(n \geq\, 1\). Déduisez-en que \(u_n^2 \geq\, 2n + 1\).
4. Montrez que \(\frac{1}{\sqrt{k}} \leq\, 2(\sqrt{k} – \sqrt{k-1})\) pour \(k \geq\, 1\). Déduisez-en que \(u_n^2 \leq\, 2n + 2 + \sqrt{n-1}\) pour \(n \geq\, 1\).
5. Concluez que \(u_n \sim \sqrt{2n}\).

Exercice 20 : Problème, étude complète d’une suite récurrente

Soit \(f(x) = \frac{x^2 + 2}{3}\) et la suite définie par \(u_0 \in \mathbb{R}\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\). La courbe de \(f\) est tracée ci-dessous avec la droite \(y = x\).

Partie A : étude de f.

1. Donnez les variations de \(f\) et le signe de \(f(x) – x\). Quels sont les points fixes de \(f\) ?
2. Montrez que les intervalles \([0, 1]\), \([1, 2]\) et \([2, +\infty[\) sont stables par \(f\).

Partie B : étude selon u(0).

1. On suppose \(u_0 \in [0, 1[\). Montrez que \((u_n)\) converge et déterminez sa limite.
2. Même question lorsque \(u_0 \in \,]1, 2[\).
3. On suppose \(u_0 > 2\). Montrez que \(u_n \to +\infty\).
4. Traitez le cas \(u_0 < 0\), puis résumez le comportement de la suite selon \(|u_0|\).

Partie C : vitesse de convergence. On prend \(u_0 = \frac{3}{2}\).

1. Montrez que \(u_{n+1} – 1 = \frac{(u_n – 1)(u_n + 1)}{3}\), puis que \(0 \leq\, u_n – 1 \leq\, \frac{1}{2}(\frac{5}{6})^n\).
2. Déterminez un rang qui garantit \(u_n – 1 \leq\, 10^{-4}\).
3. Montrez que \(\frac{u_{n+1} – 1}{u_n – 1} \to \frac{2}{3}\). Comparez avec \(f^{\prime}(1)\) et \(f^{\prime}(2)\), et interprétez sur la figure.

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths sup

• Le cours : suites récurrentes, cours de maths sup
• À maîtriser avant : Nombres réels et suites numériques, Fonctions usuelles et techniques de dérivation
• Chapitre précédent : Nombres réels et suites numériques
• Chapitre suivant : Limites et continuité des fonctions
• Tester vos connaissances : QCM de maths sup par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths sup et les chapitres de maths spé