Trigonométrie : cours de maths sup en PDF.

Pour tout réel \(t\), on enroule la droite réelle sur \(\mathcal{C}\) à partir de \(I\), dans le sens direct. Le point \(M(t)\) atteint après un parcours de longueur \(|t|\) a pour coordonnées \((\cos t, \sin t)\). L’application \(t \mapsto (\cos t, \sin t)\) est la paramétrisation du cercle trigonométrique.

Pour tout réel \(t\), on a \(\cos^2 t + \sin^2 t = 1\), donc \(-1 \leq\, \cos t \leq\, 1\) et \(-1 \leq\, \sin t \leq\, 1\). Réciproquement, pour tout couple \((a, b)\) tel que \(a^2 + b^2 = 1\), il existe un réel \(t\) tel que \(a = \cos t\) et \(b = \sin t\).

Soit \(a\) un réel non nul. Deux réels \(x\) et \(y\) sont congrus modulo \(a\) s’il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(x = y + ka\). On note alors \(x \equiv y \ [a]\).

Pour tous réels \(x\) et \(y\) :

• \(\cos x = \cos y \Leftrightarrow x \equiv y \ [2\pi]\) ou \(x \equiv -y \ [2\pi]\) ;
• \(\sin x = \sin y \Leftrightarrow x \equiv y \ [2\pi]\) ou \(x \equiv \pi – y \ [2\pi]\) ;
• \(\cos x = \cos y\) et \(\sin x = \sin y\) \(\Leftrightarrow x \equiv y \ [2\pi]\).

On a \(\frac{47\pi}{6} = 8\pi – \frac{\pi}{6}\). Donc \(\frac{47\pi}{6} \equiv -\frac{\pi}{6} \ [2\pi]\), et \(\cos \frac{47\pi}{6} = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

On peut ajouter deux congruences modulo \(2\pi\), ou les multiplier par un entier. En revanche, on ne peut pas les diviser sans précaution. Par exemple, \(3x \equiv 0 \ [2\pi]\) donne \(x \equiv 0 \ [\frac{2\pi}{3}]\), et non \(x \equiv 0 \ [2\pi]\).

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline x 0 \frac{\pi}{6} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{2} \\
\hline \cos x 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} 0 \\
\hline \sin x 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1 \\
\hline \tan x 0 \frac{\sqrt{3}}{3} 1 \sqrt{3} \text{non défini} \\
\hline \end{array}\]

Pour tout réel \(x\) :

\[\begin{aligned}
\cos(-x) = \cos x, \quad \sin(-x) = -\sin x, \quad \cos(\pi – x) = -\cos x, \quad \sin(\pi – x) = \sin x,\\
\cos(\pi + x) = -\cos x, \quad \sin(\pi + x) = -\sin x, \quad \cos(\tfrac{\pi}{2} – x) = \sin x, \quad \sin(\tfrac{\pi}{2} – x) = \cos x,\\
\cos(\tfrac{\pi}{2} + x) = -\sin x, \quad \sin(\tfrac{\pi}{2} + x) = \cos x.
\end{aligned}\]

On a \(\frac{2\pi}{3} = \pi – \frac{\pi}{3}\). Donc \(\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}\) et \(\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). De même, \(\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}\) donne \(\cos \frac{5\pi}{4} = \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Pour tous réels \(a\) et \(b\) :

\[\begin{aligned}
\cos(a – b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b, \cos(a + b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b,\\
\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b, \sin(a – b) = \sin a \cos b – \cos a \sin b.
\end{aligned}\]

On considère les vecteurs unitaires \(\vec{u} = (\cos a, \sin a)\) et \(\vec{v} = (\cos b, \sin b)\). L’angle orienté de \(\vec{v}\) vers \(\vec{u}\) mesure \(a – b\). D’une part, le produit scalaire vaut \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\| \cos(a – b) = \cos(a – b)\). D’autre part, en coordonnées, \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \cos a \cos b + \sin a \sin b\). On obtient ainsi la première formule.

Ensuite, on remplace \(b\) par \(-b\) : la parité du cosinus et l’imparité du sinus donnent \(\cos(a + b)\). Enfin, \(\sin(a + b) = \cos(\frac{\pi}{2} – a – b) = \cos((\frac{\pi}{2} – a) – b)\). On développe avec la première formule, puis on utilise \(\cos(\frac{\pi}{2} – a) = \sin a\) et \(\sin(\frac{\pi}{2} – a) = \cos a\).

Pour retrouver une formule oubliée, partez toujours de \(\cos(a – b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\). Changez \(b\) en \(-b\) pour obtenir \(\cos(a + b)\). Remplacez \(a\) par \(\frac{\pi}{2} – a\) pour passer au sinus. Enfin, vérifiez le signe avec une valeur simple, par exemple \(a = b = \frac{\pi}{2}\).

Puisque \(\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{4}\), on obtient :

\[\cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}.\]

Pour tout réel \(x\) :

\[\sin 2x = 2 \sin x \cos x, \qquad \cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x = 2\cos^2 x – 1 = 1 – 2\sin^2 x.\]

Par conséquent, \(\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}\) et \(\sin^2 x = \dfrac{1 – \cos 2x}{2}\).

On a \(\cos^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1 + \cos \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}\). Or \(\cos \frac{\pi}{8} > 0\), donc \(\cos \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\).

Pour tous réels \(a\) et \(b\) :

\[\begin{aligned}
\cos a \cos b = \tfrac{1}{2}[\cos(a + b) + \cos(a – b)],\\
\sin a \sin b = \tfrac{1}{2}[\cos(a – b) – \cos(a + b)],\\
\sin a \cos b = \tfrac{1}{2}[\sin(a + b) + \sin(a – b)].
\end{aligned}\]

Pour \(\cos a \sin b\), on échange les rôles : \(\cos a \sin b = \frac{1}{2}[\sin(a + b) – \sin(a – b)]\).

On ajoute \(\cos(a + b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b\) et \(\cos(a – b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\). Les termes en sinus disparaissent, d’où la première ligne. Ensuite, en soustrayant ces deux égalités, on obtient la deuxième. Enfin, la somme de \(\sin(a + b)\) et \(\sin(a – b)\) donne la troisième.

On a \(\cos 3x \cos x = \frac{1}{2}(\cos 4x + \cos 2x)\). Ainsi, une primitive de \(x \mapsto \cos 3x \cos x\) est \(x \mapsto \frac{\sin 4x}{8} + \frac{\sin 2x}{4}\).

Pour tous réels \(p\) et \(q\) :

\[\begin{aligned}
\cos p + \cos q = 2 \cos \tfrac{p + q}{2} \cos \tfrac{p – q}{2}, \cos p – \cos q = -2 \sin \tfrac{p + q}{2} \sin \tfrac{p – q}{2},\\
\sin p + \sin q = 2 \sin \tfrac{p + q}{2} \cos \tfrac{p – q}{2}, \sin p – \sin q = 2 \cos \tfrac{p + q}{2} \sin \tfrac{p – q}{2}.
\end{aligned}\]

Pour résoudre une équation du type \(\cos(\alpha x) + \cos(\beta x) = 0\), transformez la somme en produit. Ensuite, un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul. Vous obtenez ainsi deux équations élémentaires.

Il est inutile d’apprendre ces huit formules. Retenez plutôt le calcul qui les produit : additionner deux formules d’addition, puis poser \(p = a + b\) et \(q = a – b\). En physique, la formule \(\cos p + \cos q\) explique le phénomène de battements entre deux sons de fréquences voisines.

Soit \(\alpha\) un réel. Alors, pour tout réel \(x\) :

\[\begin{aligned}
\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + 2k\pi \ \text{ou} \ x = -\alpha + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z},\\
\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + 2k\pi \ \text{ou} \ x = \pi – \alpha + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z},\\
\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \quad (\alpha \not\equiv \tfrac{\pi}{2} \ [\pi]).
\end{aligned}\]

Résolvons \(\sin 2x = \frac{1}{2}\). Comme \(\frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}\), on obtient \(2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\). Donc \(x = \frac{\pi}{12} + k\pi\) ou \(x = \frac{5\pi}{12} + k\pi\), avec \(k \in \mathbb{Z}\). On divise bien la période par \(2\) en même temps que \(x\).

Ne divisez jamais les deux membres par \(\cos x\) ou par \(\sin x\) : vous perdriez les solutions qui annulent ce facteur. Par exemple, \(\sin 2x = \cos x\) s’écrit \(\cos x \, (2 \sin x – 1) = 0\). Ainsi, les solutions sont celles de \(\cos x = 0\) et celles de \(\sin x = \frac{1}{2}\). De plus, quand deux familles de solutions apparaissent, placez-les sur le cercle : l’une peut contenir l’autre.

Pour résoudre une inéquation au cercle sur un intervalle de longueur \(2\pi\) :

1. résolvez d’abord l’équation associée et placez les points obtenus sur le cercle ;
2. tracez la droite verticale (pour \(\cos\)) ou horizontale (pour \(\sin\)) passant par ces points ;
3. repérez l’arc qui convient, puis parcourez-le dans le sens direct pour écrire l’intervalle, en respectant l’intervalle d’étude.

Sur \(]-\pi, \pi]\), l’inéquation \(\cos x \geq\, \frac{1}{2}\) a pour ensemble de solutions \([-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]\). Sur \([0, 2\pi[\), en revanche, l’ensemble devient \([0, \frac{\pi}{3}] \cup [\frac{5\pi}{3}, 2\pi[\). L’arc est le même, mais sa description dépend de l’intervalle choisi.

Soient \((a, b) \neq (0, 0)\) et \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\). Il existe un réel \(\varphi\) tel que \(\cos \varphi = \frac{a}{r}\) et \(\sin \varphi = \frac{b}{r}\). Alors, pour tout réel \(x\), \(a \cos x + b \sin x = r \cos(x – \varphi)\).

Le couple \((\frac{a}{r}, \frac{b}{r})\) vérifie \(\frac{a^2}{r^2} + \frac{b^2}{r^2} = 1\). D’après le paragraphe I, il existe donc \(\varphi\) tel que \(\frac{a}{r} = \cos \varphi\) et \(\frac{b}{r} = \sin \varphi\). Ensuite, \(r \cos(x – \varphi) = r(\cos x \cos \varphi + \sin x \sin \varphi) = a \cos x + b \sin x\).

Ici \(a = 1\), \(b = 1\) et \(r = \sqrt{2}\). Donc \(\cos x + \sin x = \sqrt{2} \cos(x – \frac{\pi}{4})\). En particulier, la fonction \(x \mapsto \cos x + \sin x\) a pour maximum \(\sqrt{2}\), atteint en \(x = \frac{\pi}{4}\).

Les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont définies sur \(\mathbb{R}\) et \(2\pi\)-périodiques. La fonction \(\cos\) est paire, la fonction \(\sin\) est impaire. Elles sont dérivables, avec \(\cos^{\prime} = -\sin\) et \(\sin^{\prime} = \cos\). Enfin, pour tout réel \(x\), \(\cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})\).

Pour tout réel \(x\), on a \(|\sin x| \leq\, |x|\), avec égalité si et seulement si \(x = 0\).

Par imparité, il suffit de traiter \(x \geq\, 0\). Si \(x > 1\), alors \(|\sin x| \leq\, 1 < x\). Supposons donc \(0 \leq\, x \leq\, 1\). Posons \(g(t) = t – \sin t\) sur \([0, 1]\). Alors \(g^{\prime}(t) = 1 – \cos t > 0\) sur \(]0, 1]\), donc \(g\) est strictement croissante. Comme \(g(0) = 0\), on a \(g(x) > 0\) pour \(x \in \,]0, 1]\). Or \(\sin x \geq\, 0\) sur \([0, 1]\), puisque \(1 < \pi\). Par conséquent, \(|\sin x| = \sin x < x\) pour \(x \in \,]0, 1]\).

La fonction tangente est définie sur \(D = \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, \ k \in \mathbb{Z}\}\) par \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\).

La fonction \(\tan\) est impaire et \(\pi\)-périodique. Elle est dérivable sur \(D\), avec \(\tan^{\prime} x = 1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}\). Elle est donc strictement croissante sur \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\), et ses limites en \(\pm \frac{\pi}{2}\) sont \(\pm \infty\).

Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a\), \(b\) et \(a + b\) appartiennent à \(D\). Alors :

\[\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a \tan b}, \qquad \tan(a – b) = \frac{\tan a – \tan b}{1 + \tan a \tan b} \ \text{(si } a – b \in D\text{)}.\]

On écrit \(\tan(a + b) = \frac{\sin a \cos b + \cos a \sin b}{\cos a \cos b – \sin a \sin b}\). Ensuite, on divise le numérateur et le dénominateur par \(\cos a \cos b\), qui est non nul puisque \(a, b \in D\). Le dénominateur devient \(1 – \tan a \tan b\) ; il est non nul, car \(\cos(a + b) \neq 0\). Enfin, on change \(b\) en \(-b\) pour la seconde formule.

Avec \(a = b = x\), on obtient \(\tan 2x = \dfrac{2 \tan x}{1 – \tan^2 x}\). Par exemple, \(\tan \frac{\pi}{12} = \tan(\frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3} – 1}{1 + \sqrt{3}} = 2 – \sqrt{3}\).

Pour étudier et tracer une fonction trigonométrique \(f\) :

1. cherchez une période \(T\), puis une parité : l’étude se ramène alors à \([0, \frac{T}{2}]\) ;
2. dérivez, puis factorisez \(f^{\prime}(x)\) à l’aide des formules de duplication ou des formules somme-produit ;
3. étudiez le signe de chaque facteur au cercle, dressez le tableau de variations et calculez les valeurs aux points remarquables ;
4. enfin, tracez la courbe sur \([0, \frac{T}{2}]\), complétez par symétrie, puis par translations de \(T\).

Soit \(f(x) = \cos x + \frac{1}{2}\cos 2x\). D’abord, \(f\) est \(2\pi\)-périodique et paire : on l’étudie sur \([0, \pi]\). Ensuite, \(f^{\prime}(x) = -\sin x – \sin 2x = -\sin x \, (1 + 2\cos x)\), grâce à \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\). Sur \([0, \pi]\), on a \(\sin x \geq\, 0\). De plus, \(1 + 2\cos x > 0\) sur \([0, \frac{2\pi}{3}[\) et \(1 + 2\cos x < 0\) sur \(]\frac{2\pi}{3}, \pi]\). Par conséquent, \(f\) décroît sur \([0, \frac{2\pi}{3}]\), puis croît sur \([\frac{2\pi}{3}, \pi]\). Enfin, \(f(0) = \frac{3}{2}\), \(f(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} – \frac{1}{4} = -\frac{3}{4}\) et \(f(\pi) = -\frac{1}{2}\). Le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) vaut donc \(-\frac{3}{4}\), et son maximum \(\frac{3}{2}\).

Soit \(t \in \mathbb{R}\) tel que \(t \not\equiv \pi \ [2\pi]\). On pose \(u = \tan \frac{t}{2}\). Alors :

\[\cos t = \frac{1 – u^2}{1 + u^2}, \qquad \sin t = \frac{2u}{1 + u^2}, \qquad \tan t = \frac{2u}{1 – u^2} \ \text{(si } u^2 \neq 1\text{)}.\]

Comme \(\frac{t}{2} \not\equiv \frac{\pi}{2} \ [\pi]\), on a \(\cos \frac{t}{2} \neq 0\) et \(\cos^2 \frac{t}{2} = \frac{1}{1 + u^2}\). D’une part, la duplication donne \(\cos t = \cos^2 \frac{t}{2} – \sin^2 \frac{t}{2} = \cos^2 \frac{t}{2} (1 – u^2)\). D’autre part, \(\sin t = 2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2} = 2u \cos^2 \frac{t}{2}\). On remplace \(\cos^2 \frac{t}{2}\) par \(\frac{1}{1 + u^2}\), puis on fait le quotient.

Pour résoudre \(a \cos x + b \sin x = c\) par la substitution \(u = \tan \frac{x}{2}\) :

1. testez à part les réels \(x \equiv \pi \ [2\pi]\), pour lesquels \(u\) n’est pas défini ;
2. pour les autres, remplacez \(\cos x\) et \(\sin x\), puis multipliez par \(1 + u^2\) : vous obtenez une équation du second degré en \(u\) ;
3. enfin, revenez à \(x\) grâce à \(\tan \frac{x}{2} = u\), en tenant compte de la \(\pi\)-périodicité de la tangente.

Résolvons \(\cos x + \sin x = 1\). Pour \(x \equiv \pi \ [2\pi]\), on trouve \(-1 \neq 1\). Sinon, avec \(u = \tan \frac{x}{2}\), on obtient \(1 – u^2 + 2u = 1 + u^2\), soit \(2u(1 – u) = 0\). Ainsi \(u = 0\) ou \(u = 1\), c’est-à-dire \(x = 2k\pi\) ou \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), avec \(k \in \mathbb{Z}\).