Ce que vous trouverez dans ce livre
- Seize chapitres par semestre, dans l'ordre où ils se traitent habituellement en classe
- Résultats démontrés : Bolzano-Weierstrass, théorème du rang, formule de Stirling, Gram-Schmidt
- Encadrés Méthode qui rédigent chaque savoir-faire, et encadrés Attention contre les pièges
Le premier semestre pose les fondations : logique et raisonnements, sommes et coefficients binomiaux, trigonométrie, nombres complexes, fonctions usuelles, calcul de primitives, équations différentielles linéaires. Viennent ensuite la propriété de la borne supérieure, les suites récurrentes jusqu'à la méthode de Newton, la continuité et les accroissements finis. L'algèbre ferme la marche avec l'arithmétique dans Z et le petit théorème de Fermat, les groupes et anneaux, le pivot de Gauss, puis les polynômes et la décomposition en éléments simples.
Le second semestre commence par les équivalents et les développements limités, avant une longue partie d'algèbre linéaire : dimension finie, formule de Grassmann, théorème du rang, hyperplans, changements de base, trace et déterminants. L'analyse revient avec le théorème de Heine, les sommes de Riemann, les séries numériques et les familles sommables. Le dénombrement, les probabilités finies avec Bienaymé-Tchebychev, les espaces préhilbertiens puis le calcul différentiel à deux variables achèvent l'année. Des figures éclairent de nombreux passages.
Pour qui ?
Pour les étudiants de première année de classe préparatoire, en MPSI ou MP2I, qui cherchent un cours complet et démontré à reprendre le soir, avant une colle ou pendant les vacances.
Le programme, chapitre par chapitre
Les leçons du livre et leurs grandes parties, avec la page où commence chaque chapitre.
| Chapitre | Au programme | Début |
|---|---|---|
| Premier semestre | ||
| 1Logique, ensembles, applications et relations | Logique : propositions, connecteurs et quantificateurs · Les modes de raisonnement · Ensembles et opérations ensemblistes · Applications entre ensembles · Injections, surjections et bijections · Relations d'équivalence et relations d'ordre | p. 10 |
| 2Calculs algébriques : sommes, produits, inégalités | Sommes et produits : les symboles Σ et Π · Sommes usuelles et somme géométrique · Sommes doubles · Coefficients binomiaux et formule du binôme · Petits systèmes linéaires et méthode du pivot · Inégalités dans R | p. 23 |
| 3Trigonométrie et fonctions circulaires | Trigonométrie : le cercle et les congruences modulo 2π · Valeurs remarquables et angles associés · Formules d'addition et de duplication · Transformer un produit en somme, et réciproquement · Équations et inéquations trigonométriques · Les fonctions cosinus, sinus et tangente · Expression en fonction de tan(t/2) | p. 37 |
| 4Nombres complexes et exponentielle complexe | Forme algébrique des nombres complexes · Module et inégalité triangulaire · Nombres complexes de module 1 et trigonométrie · Forme trigonométrique et arguments · Équations algébriques dans les nombres complexes · Racines n-ièmes de l'unité et exponentielle complexe · Nombres complexes et géométrie plane | p. 52 |
| 5Fonctions usuelles et techniques de dérivation | Généralités sur les fonctions d'une variable réelle · Techniques de dérivation · Les fonctions usuelles : exponentielle, logarithme, puissances · Fonctions circulaires réciproques · Fonctions hyperboliques · Fonctions à valeurs complexes · Ce qu'il faut retenir | p. 65 |
| 6Primitives et calcul intégral | Primitives d'une fonction continue sur un intervalle · Lien entre intégrale et primitive · Catalogue des primitives usuelles · Intégration par parties · Changement de variable · Primitives de 1/(ax² + bx + c) · Exponentielles complexes et produits eaxcos(bx) | p. 79 |
| 7Équations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2 | Équations différentielles linéaires du premier ordre · Résolution de l'équation homogène · Solution générale et variation de la constante · Problème de Cauchy au premier ordre · Équations linéaires du second ordre à coefficients constants · Second membre usuel et problème de Cauchy au second ordre | p. 92 |
| 8Nombres réels et suites numériques | Des entiers aux nombres réels · La propriété de la borne supérieure · Intervalles, densité et droite achevée · Limite d'une suite numérique · Inégalités et limites : encadrement, monotonie, adjacence · Suites extraites et théorème de Bolzano-Weierstrass · Suites complexes · Ce qu'il faut retenir | p. 105 |
| 9Suites particulières et suites récurrentes | Suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques · Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 · Suites récurrentes u(n+1) = f(u(n)) et intervalles stables · Monotonie d'une suite récurrente · Limite d'une suite récurrente et points fixes · Vitesse de convergence et méthode de Newton | p. 119 |
| 10Limites et continuité des fonctions | Limite d'une fonction en un point · Caractérisation séquentielle, opérations et limite monotone · Continuité en un point et prolongement · Le théorème des valeurs intermédiaires · Continuité sur un segment : les bornes atteintes · Continuité, stricte monotonie et bijections · Fonctions à valeurs complexes | p. 132 |
| 11Dérivabilité et convexité | Dérivabilité en un point · Opérations et dérivée d'une réciproque · Théorème de Rolle et accroissements finis · Limite de la dérivée et fonctions de classe … · Extension aux fonctions à valeurs complexes · Fonctions convexes | p. 145 |
| 12Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs | Arithmétique dans Z : divisibilité et division euclidienne · PGCD, algorithme d'Euclide et PPCM · Relation de Bézout et entiers premiers entre eux · Nombres premiers · Décomposition en facteurs premiers et valuations · Congruences modulo n et petit théorème de Fermat | p. 158 |
| 13Structures algébriques usuelles : groupes, anneaux, corps | Lois de composition interne · Groupes : définition et exemples usuels · Sous-groupes · Morphismes de groupes · Anneaux · Corps | p. 172 |
| 14Calcul matriciel et systèmes linéaires | L'espace des matrices et le calcul matriciel de base · Systèmes linéaires et algorithme du pivot de Gauss · Opérations élémentaires et matrices élémentaires · L'anneau des matrices carrées · Matrices inversibles et groupe linéaire · Ce qu'il faut retenir | p. 186 |
| 15Polynômes : division euclidienne, racines, interpolation | L'anneau des polynômes à une indéterminée · Divisibilité et division euclidienne · Racines d'un polynôme · Dérivation formelle et formule de Taylor · Polynômes scindés et relations coefficients-racines · Interpolation de Lagrange | p. 198 |
| 16Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles | PGCD de deux polynômes et algorithme d'Euclide · Polynômes premiers entre eux, lemme de Gauss et PPCM · Factorisation dans C[X] et dans R[X] · Le corps des fractions rationnelles · Décomposition en éléments simples · Applications : primitives et dérivées successives | p. 210 |
| Second semestre | ||
| 17Relations de comparaison : domination, équivalents | Définition des relations de comparaison · Manipuler les symboles o et O · Équivalents : propriétés et calcul de limites · Adaptation aux suites · La formule de Stirling · Développements asymptotiques | p. 224 |
| 18Développements limités et étude locale | Définition des développements limités · Dérivabilité et formule de Taylor-Young · Opérations sur les développements limités · Limites et équivalents par les développements limités · Étude locale d'une courbe · Extremums et condition d'ordre 2 | p. 238 |
| 19Espaces vectoriels, familles libres et génératrices | Espaces vectoriels : définition et exemples fondamentaux · Sous-espaces vectoriels · Combinaisons linéaires et sous-espace engendré · Familles libres, familles génératrices et bases · Somme de deux sous-espaces, somme directe, supplémentaires | p. 250 |
| 20Espaces vectoriels de dimension finie | Espaces vectoriels de dimension finie et existence de bases · Dimension d'un espace vectoriel · Rang d'une famille de vecteurs · Sous-espaces vectoriels en dimension finie · Supplémentaires et bases adaptées · Dimension des espaces de solutions | p. 263 |
| 21Applications linéaires et théorème du rang | Applications linéaires : définitions et premiers exemples · Noyau, image et sous-espaces associés · Projecteurs et symétries · Applications linéaires en dimension finie · Le théorème du rang · Conséquences en dimension finie | p. 276 |
| 22Formes linéaires, hyperplans et sous-espaces affines | Formes linéaires sur un espace vectoriel · Hyperplans vectoriels · Intersections d'hyperplans et systèmes d'équations · Structure affine d'un espace vectoriel · Les équations linéaires u(x) = a | p. 288 |
| 23Matrices, changements de base, rang et trace | Matrice d'un vecteur, d'une famille et d'une application linéaire · Matrices et applications linéaires : isomorphismes et composée · Noyau, image et rang d'une matrice ; systèmes linéaires · Changements de base · Matrices équivalentes et calcul du rang · Matrices semblables et trace · Ce qu'il faut retenir | p. 301 |
| 24Groupe symétrique et déterminants | Le groupe symétrique · Transpositions et signature · Formes n-linéaires alternées · Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base · Déterminant d'un endomorphisme et d'une matrice · Techniques de calcul des déterminants · Comatrice et expression de l'inverse | p. 315 |
| 25Intégration sur un segment | Continuité uniforme et théorème de Heine · Intégrale sur un segment des fonctions continues par morceaux · Propriétés de l'intégrale · Valeur moyenne, parité et périodicité · Sommes de Riemann · Fonction définie par une intégrale · Formules de Taylor globales | p. 329 |
| 26Séries numériques | Définition des séries numériques · Séries de référence : géométriques et exponentielle · Séries à termes positifs · Comparaison série-intégrale et séries de Riemann · Séries absolument convergentes · Séries alternées | p. 342 |
| 27Familles sommables | Calculs dans [0, +∞] · Familles sommables de réels positifs · Sommation par paquets et Fubini pour les familles positives · Familles sommables de nombres complexes · Produit de familles sommables et produit de Cauchy · Application : l'exponentielle complexe | p. 355 |
| 28Dénombrement | Ensembles finis et cardinal · Principe additif : réunion, complémentaire, différence · Principe multiplicatif : produits, applications et parties · Listes, arrangements et permutations · Combinaisons : parties à p éléments · Démonstrations combinatoires des identités | p. 367 |
| 29Probabilités sur un univers fini et variables aléatoires | Univers, événements et variables aléatoires · Probabilités sur un univers fini · Probabilités conditionnelles · Loi d'une variable aléatoire et lois usuelles · Couples de variables aléatoires · Indépendance | p. 378 |
| 30Espérance, variance et inégalités probabilistes | Espérance d'une variable aléatoire · Propriétés de l'espérance et formule de transfert · Variance et écart type · Covariance et variance d'une somme · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Moyenne de variables indépendantes de même loi | p. 391 |
| 31Espaces préhilbertiens réels | Produit scalaire et espaces préhilbertiens réels · Norme associée et inégalité de Cauchy-Schwarz · Orthogonalité dans un espace préhilbertien · Bases orthonormées et procédé de Gram-Schmidt · Supplémentaire orthogonal et projection orthogonale · Problèmes de minimisation et moindres carrés | p. 404 |
| 32Fonctions de deux variables | Fonctions de deux variables : ouverts et continuité · Représentation graphique d'une fonction de deux variables · Dérivées partielles et fonctions de classe C1 · Gradient et direction de plus forte croissance · Règle de la chaîne et changements de variables · Extremums et points critiques | p. 418 |
Feuilleter deux pages
Deux pages du livre, telles qu'elles s'impriment. Cliquez sur une page pour l'agrandir.
Mode d'emploi en quatre temps
Viser l'objectif
Avant la leçon, lisez la liste « Savoir-faire du chapitre » : nier une proposition quantifiée, mener une récurrence forte, calculer un rang…
Démontrer soi-même
Masquez chaque encadré Démonstration et reconstruisez la preuve, par exemple celle du théorème de Rolle, avant de relire la version du livre.
Éviter les pièges
Notez les encadrés Attention : ils rappellent, entre autres, que la réciproque d'une implication n'a aucun lien logique avec elle.
Réviser vite
La veille d'une interrogation, contentez-vous de la synthèse qui clôt chacun des 32 chapitres : l'essentiel y tient en peu de lignes.
Questions des étudiants
Quelles notions ce cours de maths sup couvre-t-il ?
Trente-deux chapitres : fondements logiques, calculs algébriques, complexes, analyse réelle jusqu'aux développements limités, arithmétique, structures algébriques, polynômes, algèbre linéaire et déterminants, intégration, séries, familles sommables, probabilités finies, produit scalaire et fonctions de deux variables.
Comment l'année est-elle découpée dans le livre ?
En deux parties. Les chapitres 1 à 16 forment le premier semestre, de la logique aux fractions rationnelles. Les chapitres 17 à 32 constituent le second, des relations de comparaison jusqu'aux extremums des fonctions de deux variables.
Ce livre sert-il pour les colles et les devoirs surveillés ?
Oui. Les définitions sont à connaître mot pour mot, chaque théorème est suivi de sa preuve et les encadrés Méthode détaillent la rédaction attendue. Les synthèses de fin de chapitre permettent une révision rapide avant une colle.
Les probabilités et le dénombrement figurent-ils dans ce cours ?
Oui, trois chapitres du second semestre : le dénombrement, les probabilités sur un univers fini avec conditionnement et indépendance, puis l'espérance, la variance et les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.
Quand pourrai-je ouvrir le fichier ?
Dès que PayPal a validé le règlement : l'espace de téléchargement s'affiche aussitôt, et un courriel vous en donne l'adresse pour y revenir plus tard.
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