Espaces vectoriels : exercices de maths sup corrigés en PDF.

Exercice 1 : Reconnaître des sous-espaces de R³

Pour chacune des parties suivantes de \(\mathbb{R}^3\), dites si c’est un sous-espace vectoriel. Justifiez chaque réponse.

1. \(F_1 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + y – z = 0\}\).
2. \(F_2 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + y = 1\}\).
3. \(F_3 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : xy = 0\}\).
4. \(F_4 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x = 2y \text{ et } z = 0\}\).
5. \(F_5 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x \geq\, 0\}\).

Exercice 2 : Sous-espaces de polynômes et de suites

Dites si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de l’espace indiqué.

1. \(A = \{P \in \mathbb{R}[X] : P(1) = 0\}\) dans \(\mathbb{R}[X]\).
2. \(B = \{P \in \mathbb{R}[X] : \deg P = 3\}\) dans \(\mathbb{R}[X]\).
3. \(C = \{P \in \mathbb{R}[X] : P(0) = P(1)\}\) dans \(\mathbb{R}[X]\).
4. L’ensemble des suites réelles convergentes, dans \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\).
5. L’ensemble des suites réelles \((u_n)\) telles que \(u_{n+1} = u_n + 1\) pour tout \(n\), dans \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\).

Exercice 3 : Sous-espaces de fonctions

On se place dans \(E = \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\). Dites si les parties suivantes sont des sous-espaces vectoriels de \(E\).

1. L’ensemble des fonctions paires.
2. L’ensemble des fonctions \(f\) telles que \(f(0) = 1\).
3. L’ensemble des fonctions bornées.
4. L’ensemble des fonctions dérivables \(f\) telles que \(f^{\prime} = 3f\).
5. L’ensemble des fonctions croissantes.

Exercice 4 : Appartenance à un sous-espace engendré

Dans \(\mathbb{R}^3\), on pose \(u = (1, 0, 1)\), \(v = (0, 1, 1)\) et \(F = \mathrm{Vect}(u, v)\).

1. Le vecteur \(a = (1, 2, 3)\) appartient-il à \(F\) ? Si oui, donnez ses coordonnées dans la famille \((u, v)\).
2. Le vecteur \(b = (1, 1, 1)\) appartient-il à \(F\) ?
3. Déterminez une équation cartésienne de \(F\), c’est-à-dire une condition nécessaire et suffisante sur \((x, y, z)\) pour que \((x, y, z) \in F\).

Exercice 5 : Familles libres ou liées de R³

Dites si les familles suivantes de \(\mathbb{R}^3\) sont libres. Lorsqu’une famille est liée, donnez une relation de dépendance linéaire.

1. \(\big((1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)\big)\).
2. \(\big((1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)\big)\).
3. \(\big((1, -1, 2), (-2, 2, -4)\big)\).
4. \(\big((1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1), (0, 0, 1)\big)\).

Exercice 6 : Famille dépendant d’un paramètre

Soit \(m\) un réel. On considère les vecteurs \(u_1 = (1, 1, m)\), \(u_2 = (1, m, 1)\) et \(u_3 = (m, 1, 1)\) de \(\mathbb{R}^3\).

1. Déterminez les valeurs de \(m\) pour lesquelles la famille \((u_1, u_2, u_3)\) est liée.
2. Pour chacune de ces valeurs, donnez une relation de dépendance linéaire non triviale.

Exercice 7 : Base de polynômes à degrés échelonnés

On pose \(P_0 = 1\), \(P_1 = X – 1\) et \(P_2 = (X – 1)^2\).

1. Montrez que \((P_0, P_1, P_2)\) est une base de \(\mathbb{R}_2[X]\).
2. Déterminez les coordonnées de \(Q = X^2 + X + 1\) dans cette base.
3. Plus généralement, exprimez les coordonnées de \(Q = aX^2 + bX + c\) dans cette base en fonction de \(Q(1)\), \(Q^{\prime}(1)\) et \(Q^{\prime\prime}(1)\).

Exercice 8 : Somme directe d’une droite et d’un plan

Dans \(\mathbb{R}^3\), on note \(D = \mathrm{Vect}((1, 1, 1))\) et \(P = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 0\}\). La figure ci-dessous représente la droite \(D\) et le plan \(P\).

1. Montrez que \(P\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\) et donnez-en une base.
2. Montrez que \(D\) et \(P\) sont supplémentaires dans \(\mathbb{R}^3\).
3. Décomposez le vecteur \((3, 0, 0)\), puis un vecteur quelconque \((x, y, z)\), sur la somme directe \(D \oplus P\).

Exercice 9 : Égalité de deux sous-espaces engendrés

Dans \(\mathbb{R}^3\), on pose \(a = (1, 2, -1)\), \(b = (2, 1, 1)\), \(c = (1, -1, 2)\) et \(d = (3, 3, 0)\).

1. Rappelez pourquoi l’inclusion \(\{c, d\} \subset \mathrm{Vect}(a, b)\) entraîne \(\mathrm{Vect}(c, d) \subset \mathrm{Vect}(a, b)\).
2. Montrez que \(\mathrm{Vect}(a, b) = \mathrm{Vect}(c, d)\).
3. Déterminez une équation cartésienne de ce plan.

Exercice 10 : Base d’un sous-espace de R⁴ défini par équations

On considère \(F = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 : x + y + z + t = 0 \text{ et } x – y + 2z = 0\}\).

1. Justifiez que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\).
2. Écrivez \(F\) sous la forme \(\mathrm{Vect}(w_1, w_2)\) pour deux vecteurs \(w_1, w_2\) à déterminer.
3. Montrez que \((w_1, w_2)\) est une base de \(F\).
4. Le vecteur \((-1, 3, 2, -4)\) appartient-il à \(F\) ? Si oui, donnez ses coordonnées dans cette base.

Exercice 11 : Matrices qui commutent avec une matrice donnée

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 1 \\ 0 1 \end{pmatrix}\). On note \(\mathcal{C}(A) = \{M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) : AM = MA\}\).

1. Montrez que \(\mathcal{C}(A)\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
2. Déterminez une base de \(\mathcal{C}(A)\).
3. Déterminez de même une base du sous-espace \(\mathcal{S}_2(\mathbb{R})\) des matrices symétriques de taille \(2\).

Exercice 12 : Polynômes admettant une racine double imposée

On pose \(F = \{P \in \mathbb{R}_3[X] : P(1) = 0 \text{ et } P^{\prime}(1) = 0\}\).

1. Montrez que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}_3[X]\).
2. Montrez que \(F = \{(X – 1)^2 (aX + b) : a, b \in \mathbb{R}\}\).
3. En déduire une base de \(F\).

Exercice 13 : Familles libres de fonctions

Les familles suivantes sont formées de fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\). Dites si elles sont libres.

1. \((f_1, f_2, f_3)\) avec \(f_1(x) = e^x\), \(f_2(x) = e^{2x}\) et \(f_3(x) = e^{3x}\).
2. \((g_1, g_2, g_3)\) avec \(g_1 = \cos\), \(g_2 = \sin\) et \(g_3(x) = \cos(x + \frac{\pi}{3})\).
3. \((h_1, h_2, h_3)\) avec \(h_1(x) = 1\), \(h_2(x) = x\) et \(h_3(x) = |x|\).
4. \((k_1, k_2, k_3)\) avec \(k_1(x) = 1\), \(k_2(x) = \cos^2 x\) et \(k_3(x) = \cos(2x)\).

Exercice 14 : Fonctions paires et fonctions impaires

Dans \(E = \mathbb{R}^{\mathbb{R}}\), on note \(\mathcal{P}\) l’ensemble des fonctions paires et \(\mathcal{I}\) l’ensemble des fonctions impaires.

1. Montrez que \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{I}\) sont des sous-espaces vectoriels de \(E\).
2. Montrez que \(\mathcal{P} \cap \mathcal{I} = \{0\}\).
3. Par analyse-synthèse, montrez que \(E = \mathcal{P} \oplus \mathcal{I}\).
4. Décomposez la fonction \(f : x \mapsto e^x + x^3 + 2x^2\) sur cette somme directe.

Exercice 15 : Matrices symétriques et antisymétriques

Soit \(n \geq\, 1\). On note \(\mathcal{S}_n\) et \(\mathcal{A}_n\) les ensembles des matrices symétriques et antisymétriques de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

1. Montrez que \(\mathcal{S}_n\) et \(\mathcal{A}_n\) sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
2. Montrez que \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = \mathcal{S}_n \oplus \mathcal{A}_n\).
3. Décomposez la matrice \(M = \begin{pmatrix} 1 2 0 \\ 4 5 6 \\ 2 0 3 \end{pmatrix}\) sur cette somme directe.
4. Donnez une base de \(\mathcal{A}_3\).

Exercice 16 : Une suite récurrente linéaire d’ordre deux

On note \(E\) l’ensemble des suites réelles \((u_n)\) telles que \(u_{n+2} = u_{n+1} + 2u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. Montrez que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\).
2. Déterminez les réels \(r\) tels que la suite géométrique \((r^n)\) appartienne à \(E\).
3. On pose \(a = (2^n)_{n \in \mathbb{N}}\) et \(b = ((-1)^n)_{n \in \mathbb{N}}\). Montrez que \((a, b)\) est une famille libre de \(E\).
4. Montrez que \((a, b)\) est une base de \(E\). On pourra observer qu’une suite de \(E\) est entièrement déterminée par \(u_0\) et \(u_1\).
5. Exprimez le terme général de la suite de \(E\) telle que \(u_0 = 0\) et \(u_1 = 3\).

Exercice 17 : Sous-espace d’un produit d’espaces

On considère l’espace produit \(E = \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}_2[X]\) et la partie

\[G = \{((s, t), P) \in E : P(0) = s \text{ et } P(1) = t\}.\]

1. Rappelez la structure d’espace vectoriel de \(E\) et donnez son vecteur nul.
2. Montrez que \(G\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
3. Montrez que la famille \(\big(((1, 1), 1), ((0, 1), X), ((0, 1), X^2)\big)\) est une base de \(G\).
4. Donnez les coordonnées de \(((2, 7), 2 + 3X + 2X^2)\) dans cette base, après avoir vérifié que ce vecteur est dans \(G\).

Exercice 18 : Intersection et somme de deux plans de R⁴

Dans \(\mathbb{R}^4\), on pose \(u_1 = (1, 0, 1, 0)\), \(u_2 = (0, 1, 0, 1)\), \(v_1 = (1, 1, 1, 1)\), \(v_2 = (1, 0, 0, -1)\) et \(w = (0, 0, 1, 0)\). On note \(F = \mathrm{Vect}(u_1, u_2)\), \(G = \mathrm{Vect}(v_1, v_2)\) et \(H = \mathrm{Vect}(v_2, w)\).

1. Déterminez \(F \cap G\). La somme \(F + G\) est-elle directe ?
2. Montrez que \(F \cap H = \{0\}\).
3. Montrez que \(F \oplus H = \mathbb{R}^4\) en décomposant un vecteur quelconque \((x, y, z, t)\).

Exercice 19 : Réunion de deux sous-espaces

Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\).

1. Montrez que \(F \cup G\) est un sous-espace de \(E\) si et seulement si \(F \subset G\) ou \(G \subset F\).
2. Montrez que \(\mathrm{Vect}(F \cup G) = F + G\).
3. Application : dans \(\mathbb{R}^2\), on pose \(F = \mathrm{Vect}((1, 0))\) et \(G = \mathrm{Vect}((0, 1))\). Donnez deux vecteurs de \(F \cup G\) dont la somme n’est pas dans \(F \cup G\), puis déterminez \(F + G\).

Exercice 20 : Supplémentaires dans K[X] par division euclidienne

On note \(F = \{P \in \mathbb{K}[X] : P(0) = P(1) = 0\}\).

1. Montrez que \(F\) est un sous-espace de \(\mathbb{K}[X]\) et que \(F = \{X(X – 1)Q : Q \in \mathbb{K}[X]\}\).
2. À l’aide de la division euclidienne par \(X(X – 1)\), montrez que \(\mathbb{K}[X] = F \oplus \mathbb{K}_1[X]\).
3. Décomposez \(X^3\) sur cette somme directe.
4. Pour un polynôme \(P\) quelconque, exprimez sa composante sur \(\mathbb{K}_1[X]\) en fonction de \(P(0)\) et \(P(1)\).

Exercice 21 : Supplémentaires dans un espace de fonctions continues

Soit \(E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})\). On définit les parties suivantes de \(E\) : \(F = \{f \in E : \int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x = 0\}\), \(G\) l’ensemble des fonctions constantes, \(H = \{f \in E : f(0) = f(1) = 0\}\) et \(A\) l’ensemble des fonctions affines \(x \mapsto \alpha x + \beta\).

1. Montrez que \(F\), \(G\), \(H\) et \(A\) sont des sous-espaces vectoriels de \(E\).
2. Montrez que \(E = F \oplus G\) et décomposez la fonction \(x \mapsto x^2\).
3. Montrez que \(E = H \oplus A\). La figure ci-dessous représente une fonction \(f\) et la fonction affine \(L\) qui prend les mêmes valeurs en \(0\) et en \(1\).
4. Décomposez la fonction exponentielle sur \(H \oplus A\).
5. La somme \(F + H\) est-elle directe ?

Exercice 22 : Une famille infinie libre de fonctions

Pour tout réel \(a\), on définit \(f_a : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) par \(f_a(x) = |x – a|\), et \(\delta_a : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) par \(\delta_a(a) = 1\) et \(\delta_a(x) = 0\) si \(x \neq a\).

1. Rappelez ce que signifie « la famille infinie \((f_a)_{a \in \mathbb{R}}\) est libre ».
2. Montrez que \((f_a)_{a \in \mathbb{R}}\) est libre. On pourra étudier la dérivabilité d’une combinaison linéaire en chaque point \(a_j\).
3. Montrez que \((\delta_a)_{a \in \mathbb{R}}\) est une famille libre de \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\).
4. Déterminez \(\mathrm{Vect}(\delta_a)_{a \in \mathbb{R}}\). La famille \((\delta_a)_{a \in \mathbb{R}}\) est-elle génératrice de \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\) ?

Exercice 23 : Problème, polynômes de Newton et sommes de puissances

On pose \(H_0 = 1\) et, pour \(k \geq\, 1\), \(H_k = \dfrac{X(X – 1) \cdots (X – k + 1)}{k!}\). Pour \(P \in \mathbb{R}[X]\), on note \(\Delta(P) = P(X + 1) – P(X)\).

1. Montrez que \((H_0, H_1, \ldots, H_n)\) est une base de \(\mathbb{R}_n[X]\) pour tout \(n\), puis que \((H_k)_{k \in \mathbb{N}}\) est une base de \(\mathbb{R}[X]\).
2. Déterminez les coordonnées de \(X^2\) et de \(X^3\) dans la base \((H_0, H_1, H_2, H_3)\).
3. Montrez que \(\Delta(H_k) = H_{k-1}\) pour tout \(k \geq\, 1\), et que \(\Delta(H_0) = 0\).
4. Montrez que \(N = \{P \in \mathbb{R}[X] : \Delta(P) = 0\}\) est un sous-espace de \(\mathbb{R}[X]\), égal à l’ensemble des polynômes constants \(\mathbb{R}_0[X]\).
5. Montrez que \(\mathbb{R}[X] = \mathbb{R}_0[X] \oplus Z\), où \(Z = \{P \in \mathbb{R}[X] : P(0) = 0\}\), et que \((H_k)_{k \geq\, 1}\) est une base de \(Z\).
6. Pour \(n \geq\, 1\), établissez \(\sum_{k=0}^{n-1} H_j(k) = H_{j+1}(n)\) pour tout \(j \in \mathbb{N}\). En déduire une expression factorisée de \(\sum_{k=0}^{n-1} k^2\), puis de \(\sum_{k=0}^{n-1} k^3\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths sup

• Le cours : espaces vectoriels, cours de maths sup
• À maîtriser avant : Calcul matriciel et systèmes linéaires, Polynômes : division euclidienne, racines, interpolation
• Chapitre précédent : Développements limités et étude locale
• Chapitre suivant : Espaces vectoriels de dimension finie
• Le même thème en L1 : espaces vectoriels, exercices de maths en L1
• Tester vos connaissances : QCM de maths sup par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths sup et les chapitres de maths spé