Polynômes : exercices de maths sup corrigés en PDF.

Exercice 1 : Degré, coefficient dominant et composition

Dans cet exercice, \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\).

1. Déterminer le degré et le coefficient dominant de \(A = (X^2+1)^3 – (X^3-1)^2\).
2. Soit \(P\) un polynôme de degré \(n \geq\, 1\) et de coefficient dominant \(a\). Déterminer le degré et le coefficient dominant de \(P(X+1) – P(X)\).
3. Soient \(P\) et \(Q\) de degrés \(p \geq\, 1\) et \(q \geq\, 1\), de coefficients dominants \(a\) et \(b\). Montrer que \(\deg(P \circ Q) = pq\) et préciser le coefficient dominant de \(P \circ Q\).
4. Existe-t-il \(P \in \mathbb{C}[X]\) tel que \(P^2 = X^3 + 1\) ? Tel que \(P \circ P = X^2 + 1\) ?

Exercice 2 : Deux divisions euclidiennes

1. Effectuer la division euclidienne de \(A = X^5 – X^3 + 2X^2 + 1\) par \(B = X^2 – X + 1\) dans \(\mathbb{R}[X]\).
2. Effectuer la division euclidienne de \(2X^3 – 3X^2 + 4X – 1\) par \(2X – 1\). Contrôler le reste par une évaluation.
3. Déterminer le réel \(a\) pour lequel \(X^2 – X + 1\) divise \(X^4 + aX^2 + 1\).

Exercice 3 : Restes par évaluation

Soit \(n \in \mathbb{N}\) avec \(n \geq\, 2\). Sans effectuer de division posée, déterminer :

1. le reste de la division de \(X^n\) par \((X-1)(X-2)\) ;
2. le reste de la division de \(X^n\) par \((X-1)^2\) ;
3. le reste de la division de \(X^{2027}\) par \(X^2 + 1\) ;
4. le reste de la division de \(X^n\) par \(X^3 – X\).

Exercice 4 : Racine évidente et factorisation

1. Soit \(P = 2X^3 – 3X^2 – 3X + 2\). Vérifier que \(2\) est racine de \(P\), puis factoriser \(P\) en produit de polynômes de degré \(1\).
2. Soit \(Q = X^4 – X^3 – 7X^2 + X + 6\). Chercher deux racines évidentes, puis factoriser complètement \(Q\) dans \(\mathbb{R}[X]\).
3. En déduire les solutions réelles de l’inéquation \(2x^3 – 3x^2 – 3x + 2 \geq\, 0\).

Exercice 5 : Méthode de Horner et changement de variable

Soit \(P = 2X^4 – 5X^3 + X^2 + 3X – 1\).

1. Calculer \(P(1)\) et \(P(-1)\) par la méthode de Horner. En déduire le quotient de \(P\) par \(X – 1\).
2. Combien de multiplications la méthode de Horner utilise-t-elle pour un polynôme de degré \(n\) ? Comparer avec le calcul direct de \(\sum a_k \alpha^k\), où chaque puissance est calculée séparément.
3. En appliquant plusieurs fois la méthode de Horner en \(1\), déterminer les coefficients de \(P(X+1)\).
4. Retrouver le résultat précédent à l’aide de la formule de Taylor en \(1\).

Exercice 6 : Multiplicité d’une racine par les dérivées

1. Soit \(P = X^5 – 6X^4 + 13X^3 – 14X^2 + 12X – 8\). Déterminer la multiplicité de la racine \(2\). Factoriser \(P\) dans \(\mathbb{R}[X]\), puis dans \(\mathbb{C}[X]\).
2. Soit \(n \geq\, 2\) et \(Q = X^{2n} – nX^{n+1} + nX^{n-1} – 1\). Déterminer la multiplicité de \(1\) comme racine de \(Q\).

Exercice 7 : Racine double imposée

Soit \(n \in \mathbb{N}^*\).

1. Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que \((X-1)^2\) divise \(P = aX^{n+1} + bX^n + 1\).
2. Pour ces valeurs, montrer que \(1\) est exactement racine double de \(P\).
3. Déterminer le réel \(\lambda\) pour lequel \(X^3 – 3X + \lambda\) admet une racine double, puis factoriser le polynôme obtenu (on trouvera deux valeurs de \(\lambda\)).

Exercice 8 : Divisibilité, polynômes associés et racines de l’unité

1. Soient \(A\) et \(B\) deux polynômes unitaires tels que \(A \mid B\) et \(B \mid A\). Montrer que \(A = B\).
2. On note \(j = e^{2i\pi/3}\). Montrer que, pour tous \(n, m \in \mathbb{N}\), le polynôme \(X^2 + X + 1\) divise \(X^{3n+1} + X^{3m+2} + 1\).
3. Soient \(a, b \in \mathbb{N}^*\) avec \(a \mid b\). Montrer que \(X^a – 1\) divise \(X^b – 1\).
4. Plus généralement, on écrit \(b = aq + r\) avec \(0 \leq\, r < a\). Déterminer le reste de la division de \(X^b – 1\) par \(X^a – 1\).

Exercice 9 : Relations coefficients-racines en degré 3

On note \(x_1, x_2, x_3\) les racines complexes, comptées avec multiplicité, de \(P = X^3 – 2X^2 + 3X – 5\).

1. Donner \(\sigma_1 = x_1 + x_2 + x_3\), \(\sigma_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3\) et \(\sigma_3 = x_1x_2x_3\).
2. Calculer \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2\). Les trois racines peuvent-elles être réelles ?
3. Calculer \(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{x_3}\).
4. Calculer \(x_1^3 + x_2^3 + x_3^3\).
5. Calculer \((1 + x_1)(1 + x_2)(1 + x_3)\).

Exercice 10 : Systèmes symétriques et racines liées

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}^3\) le système
   \[\begin{cases} x + y + z = 2 \\ xy + yz + zx = -1 \\ xyz = -2 \end{cases}\]
2. Déterminer les réels \(\lambda\) pour lesquels le polynôme \(X^3 – 7X + \lambda\) possède deux racines dont l’une est le double de l’autre. Donner alors ses trois racines.

Exercice 11 : Produit de sinus par les racines de l’unité

Soit \(n \geq\, 2\) et \(\omega = e^{2i\pi/n}\).

1. Justifier que \(X^n – 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X – \omega^k)\). En déduire \(\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k\) et \(\prod_{k=0}^{n-1} \omega^k\).
2. Montrer que \(1 + X + \cdots + X^{n-1} = \prod_{k=1}^{n-1}(X – \omega^k)\). En déduire la valeur de \(\prod_{k=1}^{n-1}(1 – \omega^k)\).
3. Montrer que, pour tout réel \(\theta\), \(|1 – e^{i\theta}| = 2|\sin\frac{\theta}{2}|\).
4. En déduire que \(\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}\). Vérifier directement la formule pour \(n = 4\).

Exercice 12 : Formule de Leibniz et somme des carrés des coefficients binomiaux

1. Soient \(n, k \in \mathbb{N}\). Calculer la dérivée \(k\)-ième de \(X^n\).
2. En appliquant la formule de Leibniz à \(X^{2n} = X^n \times X^n\), montrer que \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom\,{n}{k}^2 = \binom\,{2n}{n}\).
3. Soit \(P = (X – \alpha)^m Q\) avec \(m \geq\, 1\) et \(Q(\alpha) \neq 0\). Calculer \(P^{\prime}\) et en déduire que \(\alpha\) est racine de multiplicité exactement \(m – 1\) de \(P^{\prime}\).
4. Calculer la dérivée \(n\)-ième de \(X^2(1+X)^n\), puis sa valeur en \(-1\).

Exercice 13 : Formule de Taylor polynomiale

1. Écrire \(P = X^3 + X^2 – 4\) comme combinaison des puissances de \((X+1)\).
2. En déduire, sans division posée, le reste de la division de \(P\) par \((X+1)^2\).
3. Déterminer le polynôme \(Q \in \mathbb{R}_3[X]\) tel que \(Q(1) = 2\), \(Q^{\prime}(1) = -1\), \(Q^{\prime\prime}(1) = 4\) et \(Q^{\prime\prime\prime}(1) = 6\). L’écrire en puissances de \(X\).

Exercice 14 : Racines simples de l’exponentielle tronquée

Soit \(n \geq\, 1\) et \(P_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{X^k}{k!}\).

1. Calculer \(P_n – P_n^{\prime}\).
2. Montrer que toutes les racines complexes de \(P_n\) sont simples.
3. On suppose \(n\) pair. Montrer que \(P_n(x) > 0\) pour tout réel \(x\). On pourra étudier le minimum de la fonction \(x \mapsto P_n(x)\) sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 15 : Montrer qu’un polynôme est nul

1. Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\) tel que \(P(x+1) = P(x)\) pour tout réel \(x\). Montrer que \(P\) est constant.
2. Montrer que la fonction cosinus n’est pas une fonction polynomiale sur \(\mathbb{R}\).
3. Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\) tel que \(P(-x) = P(x)\) pour tout \(x \in [0,1]\). Montrer que \(P\) est pair, c’est-à-dire que ses coefficients d’indice impair sont nuls.
4. Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\) tel que \(P(k) = k^2\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\). Déterminer \(P\).

Exercice 16 : Équations polynomiales fonctionnelles

Déterminer tous les polynômes \(P \in \mathbb{C}[X]\) qui vérifient :

1. \(P(2X) = 2P(X)\) ;
2. \(P \circ P = P\) ;
3. \(P(X^2) = (X^2 + 1)P(X)\).

Exercice 17 : Polynômes de degré au plus n et polynôme réciproque

Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). Pour \(P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k \in \mathbb{K}_n[X]\), on pose \(P^{*} = \sum_{k=0}^{n} a_{n-k} X^k\). Pour tout \(x \neq 0\), on a donc \(P^{*}(x) = x^n P(\frac{1}{x})\).

1. Montrer que \(\mathbb{K}_n[X]\) est stable par dérivation et par \(P \mapsto P(X+1)\), mais pas par \(P \mapsto XP\).
2. Montrer que \((P^{*})^{*} = P\) et que \((\lambda P + Q)^{*} = \lambda P^{*} + Q^{*}\) pour \(P, Q \in \mathbb{K}_n[X]\) et \(\lambda \in \mathbb{K}\).
3. Soit \(\alpha \neq 0\) une racine de \(P\). Montrer que \(\frac{1}{\alpha}\) est racine de \(P^{*}\).
4. On dit que \(P\) est réciproque si \(P^{*} = P\). Montrer que si \(n\) est impair et \(P\) réciproque, alors \(-1\) est racine de \(P\).
5. Application : factoriser \(2X^3 + 3X^2 + 3X + 2\) dans \(\mathbb{C}[X]\) et vérifier que ses racines non réelles sont de module \(1\).

Exercice 18 : Interpolation de Lagrange sur trois points

On cherche une courbe polynomiale passant par les trois points représentés ci-dessous.

1. Écrire les polynômes de Lagrange \(L_0, L_1, L_2\) associés aux points \(-1\), \(1\) et \(2\).
2. En déduire l’unique \(P \in \mathbb{R}_2[X]\) tel que \(P(-1) = 6\), \(P(1) = 2\) et \(P(2) = 3\). Le développer.
3. Décrire tous les polynômes \(Q \in \mathbb{R}[X]\) qui prennent les mêmes valeurs en \(-1\), \(1\) et \(2\).
4. Déterminer l’unique \(Q \in \mathbb{R}_3[X]\) qui vérifie ces trois conditions et \(Q(0) = 0\).

Exercice 19 : Interpolation d’une fonction et propriétés des L_i

1. Déterminer le polynôme \(P \in \mathbb{R}_2[X]\) qui coïncide avec la fonction sinus en \(0\), \(\frac{\pi}{2}\) et \(\pi\). Comparer \(P(\frac{\pi}{6})\) et \(\sin\frac{\pi}{6}\).

Dans la suite, \(n \geq\, 1\), les réels \(x_0, \ldots, x_n\) sont deux à deux distincts, \(L_0, \ldots, L_n\) sont les polynômes de Lagrange associés et \(W = \prod_{j=0}^{n}(X – x_j)\).

2. Montrer que \(\sum_{i=0}^{n} L_i = 1\) et que \(\sum_{i=0}^{n} x_i L_i = X\).
3. Montrer que \(W^{\prime}(x_i) = \prod_{j \neq i}(x_i – x_j)\), puis que \(L_i = \dfrac{W}{(X – x_i)W^{\prime}(x_i)}\).
4. En déduire que \(\displaystyle\sum_{i=0}^{n} \frac{1}{W^{\prime}(x_i)} = 0\).

Exercice 20 : Polynômes de Tchebychev

On définit la suite \((T_n)\) de \(\mathbb{R}[X]\) par \(T_0 = 1\), \(T_1 = X\) et \(T_{n+2} = 2XT_{n+1} – T_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). La figure montre \(T_1\) à \(T_4\) sur \([-1,1]\).

1. Calculer \(T_2\), \(T_3\) et \(T_4\).
2. Montrer que, pour \(n \geq\, 1\), \(T_n\) est de degré \(n\) et de coefficient dominant \(2^{n-1}\).
3. Montrer que \(T_n(\cos t) = \cos(nt)\) pour tout réel \(t\) et tout \(n \in \mathbb{N}\).
4. Montrer que \(T_n\) est l’unique polynôme vérifiant la propriété de la question 3.
5. Montrer que \(T_n(-X) = (-1)^n T_n\).
6. Pour \(n \geq\, 1\), déterminer les racines de \(T_n\) dans \([-1,1]\). En déduire que \(T_n\) est scindé à racines simples sur \(\mathbb{R}\), et écrire sa factorisation.
7. Pour \(n = 2p\) pair, en déduire la valeur de \(\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}\).

Exercice 21 : Problème : polynômes de Legendre

Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(U_n = (X^2 – 1)^n\) et \(L_n = U_n^{(n)}\). La figure illustre le cas \(n = 3\) : chaque dérivée de \(U_3\) a une racine de plus dans \(]-1,1[\).

1. Montrer que \(L_n\) est de degré \(n\) et de coefficient dominant \(\dfrac{(2n)!}{n!}\).
2. Montrer que \(L_n(-X) = (-1)^n L_n\).
3. En écrivant \(U_n = (X-1)^n(X+1)^n\), calculer \(L_n(1)\) et \(L_n(-1)\).
4. Montrer que, pour \(0 \leq\, k \leq\, n-1\), \(U_n^{(k)}(1) = U_n^{(k)}(-1) = 0\).
5. Montrer par récurrence que, pour \(1 \leq\, k \leq\, n\), \(U_n^{(k)}\) admet au moins \(k\) racines distinctes dans \(]-1,1[\).
6. En déduire que \(L_n\) est scindé sur \(\mathbb{R}\), à racines simples, toutes situées dans \(]-1,1[\).
7. Soit \(Q \in \mathbb{R}_{n-1}[X]\). Montrer que \(\displaystyle\int_{-1}^{1} L_n(x)Q(x)\,\mathrm{d}x = 0\).

Exercice 22 : Factorisation de X^4+1 et de X^6-1

1. Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\) et \(z \in \mathbb{C}\) une racine de \(P\) de multiplicité \(m\). Montrer que \(\overline{z}\) est aussi racine de \(P\), de même multiplicité.
2. Déterminer les racines complexes de \(X^4 + 1\). Factoriser \(X^4 + 1\) dans \(\mathbb{C}[X]\), puis dans \(\mathbb{R}[X]\) en produit de deux polynômes de degré \(2\).
3. Factoriser \(X^6 – 1\) dans \(\mathbb{C}[X]\), puis dans \(\mathbb{R}[X]\).
4. En déduire une factorisation de \(X^4 + X^2 + 1\) dans \(\mathbb{R}[X]\).

Exercice 23 : Problème : interpolation d’Hermite

1. Montrer qu’il existe au plus un polynôme \(P \in \mathbb{R}_3[X]\) tel que \(P(0) = 0\), \(P^{\prime}(0) = 1\), \(P(1) = 1\) et \(P^{\prime}(1) = 0\).
2. Déterminer ce polynôme.

Soient maintenant \(n \geq\, 1\), des réels \(x_0, \ldots, x_n\) deux à deux distincts, et \(L_0, \ldots, L_n\) les polynômes de Lagrange associés. On pose, pour \(0 \leq\, i \leq\, n\),

\[H_i = \big(1 – 2L_i^{\prime}(x_i)(X – x_i)\big)L_i^2 \quad \text{et} \quad K_i = (X – x_i)L_i^2.\]

3. Calculer \(H_i(x_j)\), \(H_i^{\prime}(x_j)\), \(K_i(x_j)\) et \(K_i^{\prime}(x_j)\) pour tous \(i, j\).
4. Soient des réels \(y_0, \ldots, y_n\) et \(z_0, \ldots, z_n\). Montrer qu’il existe un unique \(P \in \mathbb{R}_{2n+1}[X]\) tel que \(P(x_i) = y_i\) et \(P^{\prime}(x_i) = z_i\) pour tout \(i\), et l’exprimer à l’aide des \(H_i\) et \(K_i\).
5. Retrouver le résultat de la question 2 avec \(n = 1\), \(x_0 = 0\) et \(x_1 = 1\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths sup

• Le cours : polynômes, cours de maths sup
• À maîtriser avant : Nombres complexes et exponentielle complexe, Structures algébriques usuelles : groupes, anneaux, corps
• Chapitre précédent : Calcul matriciel et systèmes linéaires
• Chapitre suivant : Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles
• Le même thème en L1 : polynômes, exercices de maths en L1
• Tester vos connaissances : QCM de maths sup par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths sup et les chapitres de maths spé