Trigonométrie : exercices de maths sup corrigés en PDF.

Exercice 1 : Valeurs remarquables et angles associés

1. Calculez sans calculatrice \(\cos \frac{5\pi}{6}\), \(\sin(-\frac{2\pi}{3})\), \(\tan \frac{7\pi}{4}\), \(\cos \frac{11\pi}{3}\) et \(\sin \frac{29\pi}{6}\).
2. Simplifiez, pour tout réel \(x\), l’expression \(A(x) = \sin(\pi + x) + \cos(\frac{\pi}{2} – x) + 2\cos(\pi – x) + \cos(-x)\).
3. Simplifiez, pour tout réel \(x\) tel que \(x \not\equiv 0 \ [\frac{\pi}{2}]\), l’expression \(B(x) = \tan(\pi – x) + \tan(\pi + x) + \dfrac{1}{\tan(\frac{\pi}{2} – x)}\).
4. On sait que \(\sin x = \frac{3}{5}\) et que \(x \in [\frac{\pi}{2}, \pi]\). Calculez \(\cos x\), \(\tan x\), \(\cos(\pi – x)\) et \(\sin(\frac{\pi}{2} + x)\).

Exercice 2 : Mesures d’angles modulo 2π

1. Parmi les réels \(\frac{17\pi}{3}\), \(\frac{13\pi}{3}\), \(-\frac{7\pi}{3}\), \(\frac{5\pi}{3}\) et \(\frac{8\pi}{3}\), lesquels sont congrus à \(-\frac{\pi}{3}\) modulo \(2\pi\) ?
2. Déterminez la mesure principale, c’est-à-dire le représentant dans \(]-\pi, \pi]\), de \(\frac{37\pi}{6}\), de \(-\frac{25\pi}{4}\) et de \(\frac{2027\pi}{3}\).
3. Déterminez les réels \(x\) tels que \(3x \equiv \frac{\pi}{2} \ [2\pi]\). Combien de points distincts du cercle trigonométrique leur correspondent ? Placez-les.
4. Montrez par un contre-exemple que \(3x \equiv 3y \ [2\pi]\) n’implique pas \(x \equiv y \ [2\pi]\).

Exercice 3 : Retrouver les formules à partir de l’addition

On admet uniquement la formule \(\cos(a – b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\), valable pour tous réels \(a\) et \(b\), les valeurs \(\cos 0 = 1\), \(\sin 0 = 0\), \(\cos \frac{\pi}{2} = 0\) et \(\sin \frac{\pi}{2} = 1\), et l’imparité du sinus, qui se lit sur le cercle.

1. Montrez que \(\cos(\frac{\pi}{2} – x) = \sin x\) pour tout réel \(x\). Déduisez-en \(\sin(\frac{\pi}{2} – x) = \cos x\).
2. Montrez que \(\cos(-x) = \cos x\) pour tout réel \(x\).
3. Déduisez-en \(\cos(a + b)\) et \(\sin(a + b)\).
4. Retrouvez les trois expressions de \(\cos 2x\) et l’expression de \(\sin 2x\).
5. Montrez que \(\cos 3x = 4\cos^3 x – 3\cos x\) et \(\sin 3x = 3\sin x – 4\sin^3 x\).

Exercice 4 : Valeurs exactes par addition et duplication

1. En écrivant \(\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{4}\), calculez \(\cos \frac{\pi}{12}\) et \(\sin \frac{\pi}{12}\).
2. Déduisez-en \(\cos \frac{5\pi}{12}\) et \(\cos \frac{7\pi}{12}\).
3. Calculez \(\cos^2 \frac{\pi}{12}\) de deux façons : à partir de la question 1, puis grâce à la formule \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\). Vérifiez la cohérence.
4. Calculez \(\cos \frac{\pi}{8}\) et \(\sin \frac{\pi}{8}\).

Exercice 5 : Équations trigonométriques élémentaires

Résolvez dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.

1. \(\cos x = \frac{1}{2}\).
2. \(\sin 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).
3. \(\tan x = \sqrt{3}\).
4. \(\cos 3x = \cos(x + \frac{\pi}{4})\).
5. \(\sin x = \cos 2x\). Montrez que les solutions forment une seule famille, et placez-les sur le cercle.

Exercice 6 : Équations se ramenant à une équation élémentaire

1. Résolvez dans \([0, 2\pi[\) l’équation \(2\cos^2 x – 3\cos x + 1 = 0\).
2. Résolvez dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(2\sin^2 x + 3\cos x = 0\).
3. Résolvez dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\cos x + \sin x = 1\), en écrivant le premier membre sous la forme \(\sqrt{2}\cos(x – \alpha)\).
4. Résolvez dans \([0, 2\pi[\) l’équation \(\sin 2x = \cos x\).

Exercice 7 : Inéquations trigonométriques au cercle

Résolvez chaque inéquation sur l’intervalle indiqué, en vous aidant du cercle trigonométrique.

1. \(\cos x \geq\, \frac{1}{2}\) sur \(]-\pi, \pi]\).
2. \(\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}\) sur \([0, 2\pi[\).
3. \(2\sin^2 x \leq\, 1\) sur \([0, 2\pi[\).
4. \(\cos 2x > \frac{1}{2}\) sur \(]-\pi, \pi]\).
5. \(\tan x > 1\) sur \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\).

Exercice 8 : Transformation de a cos x + b sin x

1. Soient \(a\) et \(b\) deux réels non tous les deux nuls, et \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\). Justifiez l’existence d’un réel \(\varphi\) tel que \(a\cos x + b\sin x = r\cos(x – \varphi)\) pour tout réel \(x\).
2. Écrivez \(\cos x + \sqrt{3}\sin x\) sous cette forme, puis résolvez dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\cos x + \sqrt{3}\sin x = \sqrt{2}\).
3. Déterminez le maximum et le minimum sur \(\mathbb{R}\) de \(f : x \mapsto 3\cos x + 4\sin x\). Précisez en quels points ils sont atteints.
4. Résolvez sur \(]-\pi, \pi]\) l’inéquation \(\sqrt{3}\cos x – \sin x > 1\).

Exercice 9 : Linéarisation de produits

1. À partir des formules d’addition, établissez les expressions de \(\cos a \cos b\), \(\sin a \sin b\) et \(\sin a \cos b\) comme sommes de cosinus ou de sinus.
2. Linéarisez \(\cos 3x \cos x\), \(\sin 2x \sin 5x\) et \(\cos x \sin 4x\).
3. Linéarisez \(\cos^3 x\) et \(\sin^2 x \cos x\).
4. Calculez \(I = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^3 x \, \mathrm{d}x\) et \(J = \displaystyle\int_0^{\pi} \sin 2x \sin 5x \, \mathrm{d}x\).

Exercice 10 : Transformation de sommes en produits

1. En posant \(p = a + b\) et \(q = a – b\) dans les formules de l’exercice précédent, établissez les formules donnant \(\cos p + \cos q\), \(\cos p – \cos q\) et \(\sin p + \sin q\) sous forme de produits.
2. Résolvez dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\cos x + \cos 3x = 0\).
3. Résolvez dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0\).
4. Factorisez \(\cos x – \cos 5x\), puis résolvez dans \([0, \pi]\) l’équation \(\cos x = \cos 5x\).

Exercice 11 : Superposition de deux signaux et battements

On considère le signal \(s(t) = \cos(21t) + \cos(19t)\), où \(t\) désigne le temps. La figure ci-dessous représente \(s\) sur \([0, 2\pi]\) : son amplitude semble varier lentement.

1. Montrez que \(s(t) = 2\cos t \cos(20t)\) pour tout réel \(t\).
2. Déterminez les réels \(t \in [0, \pi]\) tels que \(s(t) = 0\). Combien y en a-t-il ?
3. Montrez que \(|s(t)| \leq\, 2|\cos t|\) pour tout réel \(t\), et déterminez les cas d’égalité. Interprétez la figure.
4. Deux diapasons émettent des sons de fréquences \(f_1 = 442\) Hz et \(f_2 = 438\) Hz. On modélise le son perçu par \(\cos(2\pi f_1 t) + \cos(2\pi f_2 t)\). Combien de fois par seconde l’intensité s’annule-t-elle ?

Exercice 12 : Fonction tangente et formule d’addition

1. Rappelez l’ensemble de définition \(D\) de la fonction \(\tan\), montrez qu’elle est impaire et \(\pi\)-périodique, et calculez sa dérivée.
2. Soient \(a, b \in D\) tels que \(a + b \in D\). Démontrez que \(\tan(a + b) = \dfrac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a \tan b}\).
3. Calculez \(\tan \frac{\pi}{12}\) et \(\tan \frac{5\pi}{12}\).
4. Établissez la formule de \(\tan 2x\), puis déduisez-en la valeur exacte de \(\tan \frac{\pi}{8}\).
5. Soient \(a\), \(b\), \(c\) trois éléments de \(D\) tels que \(a + b + c = \pi\). Montrez que \(\tan a + \tan b + \tan c = \tan a \tan b \tan c\).

Exercice 13 : L’inégalité |sin x| ≤ |x| et ses conséquences

1. En étudiant \(g : x \mapsto x – \sin x\) sur \(\mathbb{R}_+\), montrez que \(\sin x \leq\, x\) pour tout \(x \geq\, 0\).
2. Déduisez-en que \(|\sin x| \leq\, |x|\) pour tout réel \(x\).
3. Montrez que \(0 \leq\, 1 – \cos x \leq\, \frac{x^2}{2}\) pour tout réel \(x\).
4. À l’aide d’une formule somme-produit, montrez que \(|\sin a – \sin b| \leq\, |a – b|\) et \(|\cos a – \cos b| \leq\, |a – b|\) pour tous réels \(a\) et \(b\).
5. Déduisez-en que les fonctions \(\sin\) et \(\cos\) sont continues sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 14 : Étude de la fonction x ↦ sin x (1 + cos x)

On pose \(f(x) = \sin x \, (1 + \cos x)\) pour tout réel \(x\).

1. Montrez que \(f\) est \(2\pi\)-périodique et impaire. Sur quel intervalle suffit-il de l’étudier ?
2. Montrez que \(f^{\prime}(x) = (2\cos x – 1)(\cos x + 1)\) pour tout réel \(x\).
3. Dressez le tableau de variations de \(f\) sur \([0, \pi]\). Précisez les tangentes en \(0\) et en \(\pi\).
4. Tracez la courbe de \(f\) sur \([-2\pi, 2\pi]\), et donnez le maximum et le minimum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
5. Pour \(x \in \,]0, \pi[\), on considère les points \(A(-1, 0)\), \(P(\cos x, \sin x)\) et \(P^{\prime}(\cos x, -\sin x)\). Montrez que l’aire du triangle \(APP^{\prime}\) vaut \(f(x)\). Parmi ces triangles, lequel a la plus grande aire ? Quelle est sa nature ?

Exercice 15 : Substitution t = tan(x/2)

1. Soit \(x \not\equiv \pi \ [2\pi]\) et \(t = \tan \frac{x}{2}\). Démontrez que \(\cos x = \dfrac{1 – t^2}{1 + t^2}\) et \(\sin x = \dfrac{2t}{1 + t^2}\).
2. Résolvez dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\cos x + 2\sin x = 2\).
3. Montrez que \(\dfrac{1 – \cos x}{\sin x} = \tan \dfrac{x}{2}\) pour tout \(x \not\equiv 0 \ [\pi]\).
4. On pose \(g(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}\). Justifiez que \(g\) est définie sur \(\mathbb{R}\), exprimez \(g(x)\) en fonction de \(t\), puis déterminez l’ensemble des valeurs prises par \(g\).

Exercice 16 : Sommes trigonométriques par télescopage

Soient \(n \geq\, 1\) un entier et \(x\) un réel tel que \(x \not\equiv 0 \ [2\pi]\). On pose \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \sin(kx)\) et \(C_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos(kx)\).

1. Montrez que \(2\sin\frac{x}{2} \sin(kx) = \cos((k – \frac{1}{2})x) – \cos((k + \frac{1}{2})x)\) pour tout entier \(k\).
2. Déduisez-en que \(S_n = \dfrac{\sin\frac{nx}{2} \sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\).
3. Par une méthode analogue, montrez que \(C_n = \dfrac{\sin\frac{nx}{2} \cos\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\).
4. Montrez que \(|S_n| \leq\, \dfrac{1}{|\sin\frac{x}{2}|}\) pour tout \(n \geq\, 1\).
5. Calculez \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \sin\frac{k\pi}{n}\) pour \(n \geq\, 2\).

Exercice 17 : Un produit de cosinus et sa limite

Soit \(x \in \,]0, \pi]\). Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(P_n = \displaystyle\prod_{k=1}^{n} \cos\frac{x}{2^k}\).

1. Montrez par récurrence que \(2^n \sin\frac{x}{2^n} \, P_n = \sin x\) pour tout \(n \geq\, 1\).
2. Justifiez que \(\sin\frac{x}{2^n} \neq 0\), puis exprimez \(P_n\) en fonction de \(n\) et de \(x\).
3. En admettant que \(\frac{\sin u}{u} \to 1\) quand \(u \to 0\), déterminez la limite de \(P_n\).
4. Montrez que \(\cos\frac{y}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos y}{2}}\) pour \(y \in [0, \pi]\). Déduisez-en, avec \(x = \frac{\pi}{2}\), que le produit \(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{2} \cdots\) tend vers \(\frac{2}{\pi}\).

Exercice 18 : Inégalité de Jordan

On se propose de montrer que \(\dfrac{2x}{\pi} \leq\, \sin x \leq\, x\) pour tout \(x \in [0, \frac{\pi}{2}]\).

1. On pose \(h(x) = x\cos x – \sin x\). Étudiez le signe de \(h\) sur \([0, \frac{\pi}{2}]\).
2. Déduisez-en le sens de variation de \(g : x \mapsto \frac{\sin x}{x}\) sur \(]0, \frac{\pi}{2}]\).
3. Démontrez l’encadrement annoncé. Interprétez-le graphiquement à l’aide d’une corde.
4. Montrez que \(\cos x \geq\, 1 – \frac{2x}{\pi}\) pour tout \(x \in [0, \frac{\pi}{2}]\).
5. Montrez que \(\sin\frac{\pi}{n} \geq\, \frac{2}{n}\) pour tout entier \(n \geq\, 2\).

Exercice 19 : Problème : cos(2π/5) et le pentagone régulier

On note \(\theta = \frac{2\pi}{5}\) et \(c = \cos\theta\). Les points \(A_k(\cos k\theta, \sin k\theta)\), pour \(k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\), sont les sommets d’un pentagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique, représenté ci-dessous.

1. Montrez que \(\cos 3\theta = \cos 2\theta\).
2. Déduisez-en que \(c\) est racine du polynôme \(4X^3 – 2X^2 – 3X + 1\).
3. Factorisez ce polynôme par \(X – 1\).
4. Montrez que \(\cos\frac{2\pi}{5} = \dfrac{\sqrt{5} – 1}{4}\).
5. Déduisez-en \(\cos\frac{\pi}{5}\) et \(\cos\frac{4\pi}{5}\).
6. Vérifiez que la somme des abscisses des cinq sommets est nulle.
7. Calculez la longueur \(A_0A_1\) du côté du pentagone.

Exercice 20 : Problème : les polynômes de Tchebychev

On définit une suite de polynômes par \(T_0 = 1\), \(T_1 = X\) et, pour tout \(n \geq\, 1\), \(T_{n+1} = 2X T_n – T_{n-1}\).

1. Montrez que \(\cos((n+1)x) + \cos((n-1)x) = 2\cos x \cos(nx)\) pour tout entier \(n \geq\, 1\) et tout réel \(x\).
2. Montrez par récurrence que \(\cos(nx) = T_n(\cos x)\) pour tout entier \(n \geq\, 0\) et tout réel \(x\).
3. Calculez \(T_2\), \(T_3\) et \(T_4\). Comparez avec l’exercice 3.
4. Montrez que, pour \(n \geq\, 1\), \(T_n\) est de degré \(n\) et de coefficient dominant \(2^{n-1}\).
5. Soit \(n \geq\, 1\). Déterminez les réels \(x \in [0, \pi]\) tels que \(\cos(nx) = 0\). Déduisez-en \(n\) racines distinctes de \(T_n\) dans \([-1, 1]\). En a-t-il d’autres ?
6. Retrouvez ainsi la valeur de \(\cos\frac{\pi}{8}\) obtenue à l’exercice 4.

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths sup

• Le cours : trigonométrie, cours de maths sup
• À maîtriser avant : Calculs algébriques : sommes, produits, inégalités
• Chapitre précédent : Calculs algébriques : sommes, produits, inégalités
• Chapitre suivant : Nombres complexes et exponentielle complexe
• Tester vos connaissances : QCM de maths sup par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths sup et les chapitres de maths spé