Espaces préhilbertiens réels : exercices de maths sup corrigés en PDF.

Exercice 1 : Produits scalaires sur R²

Pour \(x = (x_1, x_2)\) et \(y = (y_1, y_2)\) dans \(\mathbb{R}^2\), on pose

\[\varphi(x,y) = x_1y_1 + x_1y_2 + x_2y_1 + 3x_2y_2, \qquad \psi(x,y) = x_1y_1 + 2x_1y_2 + 2x_2y_1 + x_2y_2.\]

1. Montrer que \(\varphi\) est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}^2\).
2. Montrer que \(\psi\) n’est pas un produit scalaire.
3. On note \(\|\cdot\|_{\varphi}\) la norme associée à \(\varphi\). Calculer \(\|u\|_{\varphi}\) pour \(u = (1,-1)\).
4. Déterminer les vecteurs \(\varphi\)-orthogonaux à \((1,0)\), puis une base orthonormée de \(\mathbb{R}^2\) pour \(\varphi\).

Exercice 2 : Un produit scalaire intégral sur les polynômes

Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Sur \(\mathbb{R}_n[X]\), on pose \(\langle P, Q \rangle = \int_0^1 P(t)Q(t) \, \mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}_n[X]\).
2. Calculer \(\langle 1, X \rangle\), \(\|1\|\) et \(\|X\|\). En déduire l’angle entre les polynômes \(1\) et \(X\).
3. Déterminer le réel \(a\) tel que \(X – a\) soit orthogonal à \(1\).
4. On pose \(\beta(P,Q) = \int_0^1 P^{\prime}(t)Q^{\prime}(t) \, \mathrm{d}t\). Montrer que \(\beta\) n’est pas un produit scalaire sur \(\mathbb{R}_n[X]\), mais que c’en est un sur le sous-espace \(F = \{ P \in \mathbb{R}_n[X] \mid P(0) = 0 \}\).

Exercice 3 : Produit scalaire canonique sur les matrices

Soit \(n \geq\, 2\). Pour \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on pose \(\langle A, B \rangle = \operatorname{tr}(A^{T}B)\). On note \(\mathcal{S}_n\) et \(\mathcal{A}_n\) les sous-espaces des matrices symétriques et antisymétriques.

1. Montrer que \(\operatorname{tr}(A^{T}B) = \sum_{1 \leq\, i,j \leq\, n} a_{ij}b_{ij}\), puis que \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) est un produit scalaire.
2. Pour \(n = 2\), calculer \(\langle A, B \rangle\) et \(\|A\|\) avec \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\).
3. Montrer que toute matrice symétrique est orthogonale à toute matrice antisymétrique.
4. En utilisant les dimensions \(\dim \mathcal{S}_n = \frac{n(n+1)}{2}\) et \(\dim \mathcal{A}_n = \frac{n(n-1)}{2}\), montrer que \(\mathcal{A}_n = \mathcal{S}_n^{\perp}\).

Exercice 4 : Identités de polarisation et du parallélogramme

Dans un espace préhilbertien réel \(E\), on considère deux vecteurs \(x\) et \(y\) tels que \(\|x\| = 3\), \(\|y\| = 2\) et \(\|x + y\| = 4\), comme sur la figure ci-dessous.

1. Calculer \(\langle x, y \rangle\).
2. Calculer \(\|x – y\|\), puis vérifier l’identité du parallélogramme.
3. Calculer \(\|2x – 3y\|\).
4. Déterminer le cosinus de l’angle entre \(x\) et \(y\).
5. Sur \(\mathbb{R}^2\), on pose \(N(x) = |x_1| + |x_2|\). Montrer que la norme \(N\) ne provient d’aucun produit scalaire.

Exercice 5 : Inégalité de Cauchy-Schwarz dans R^n

Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). On munit \(\mathbb{R}^n\) de son produit scalaire canonique.

1. Montrer que pour tous réels \(a_1, \ldots, a_n\), on a \((\sum_{k=1}^{n} a_k)^2 \leq\, n \sum_{k=1}^{n} a_k^2\). Préciser le cas d’égalité.
2. Soient \(a_1, \ldots, a_n\) des réels strictement positifs tels que \(\sum_{k=1}^{n} a_k = 1\). Montrer que \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k} \geq\, n^2\), et préciser le cas d’égalité.
3. Montrer que \(\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k} \leq\, n\sqrt{\dfrac{n+1}{2}}\).

Exercice 6 : Inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales

1. Soit \(f\) continue et strictement positive sur \([a,b]\), avec \(a < b\). Montrer que \((\int_a^b f)(\int_a^b \frac{1}{f}) \geq\, (b-a)^2\), et étudier le cas d’égalité.
2. Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([0,1]\) telle que \(f(0) = 0\). Montrer que pour tout \(x \in [0,1]\), \(f(x)^2 \leq\, x \int_0^1 f^{\prime}(t)^2 \, \mathrm{d}t\).
3. En déduire que \(\int_0^1 f(x)^2 \, \mathrm{d}x \leq\, \frac{1}{2} \int_0^1 f^{\prime}(t)^2 \, \mathrm{d}t\).
4. Vérifier cette inégalité pour \(f(x) = x\) et pour \(f(x) = \sin(\frac{\pi x}{2})\).

Exercice 7 : Extremums sous contrainte par Cauchy-Schwarz

On travaille dans \(\mathbb{R}^3\) muni du produit scalaire canonique.

1. Déterminer le maximum et le minimum de \(x + 2y + 2z\) lorsque \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\), ainsi que les points où ils sont atteints.
2. Déterminer le minimum de \(x^2 + y^2 + z^2\) lorsque \(x + 2y + 2z = 6\), et le point où il est atteint.
3. Interpréter le résultat de la question 2 comme une distance.

Exercice 8 : Orthogonal d’une partie

Soit \(E\) un espace préhilbertien réel.

1. Soient \(A \subset B\) deux parties de \(E\). Montrer que \(B^{\perp} \subset A^{\perp}\).
2. Montrer que \(A^{\perp} = \operatorname{Vect}(A)^{\perp}\) et que \(A \subset (A^{\perp})^{\perp}\).
3. Dans \(\mathbb{R}^4\) canonique, on pose \(a = (1,1,1,1)\), \(b = (1,-1,0,0)\) et \(F = \operatorname{Vect}(a,b)\). Déterminer une base de \(F^{\perp}\).
4. Vérifier sur cet exemple que \(\dim F + \dim F^{\perp} = 4\).

Exercice 9 : Famille orthogonale de fonctions sinus

On munit \(E = \mathcal{C}([0,\pi], \mathbb{R})\) du produit scalaire \(\langle f, g \rangle = \int_0^{\pi} f(t)g(t) \, \mathrm{d}t\). Pour \(k \in \mathbb{N}^{*}\), on pose \(s_k(t) = \sin(kt)\).

1. Montrer que \(\langle s_k, s_l \rangle = 0\) pour \(k \neq l\), et calculer \(\|s_k\|\).
2. En déduire que pour tout \(n\), la famille \((s_1, \ldots, s_n)\) est libre, et construire une famille orthonormée à partir d’elle.
3. Calculer \(\|s_1 + 2s_2 + 3s_3\|^2\) sans calculer d’intégrale supplémentaire.

Exercice 10 : Un sous-espace sans supplémentaire orthogonal

On munit \(E = \mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})\) du produit scalaire \(\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(t)g(t) \, \mathrm{d}t\), et l’on pose \(F = \{ f \in E \mid f(0) = 0 \}\).

1. Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), distinct de \(E\).
2. Soit \(g \in F^{\perp}\). En considérant la fonction \(f : t \mapsto t\,g(t)\), montrer que \(g = 0\).
3. En déduire que \(F \oplus F^{\perp} \neq E\) et que \((F^{\perp})^{\perp} \neq F\). Quelle hypothèse du théorème du supplémentaire orthogonal n’est pas satisfaite ?

Exercice 11 : Orthonormalisation de Gram-Schmidt dans R^3

Dans \(\mathbb{R}^3\) canonique, on pose \(v_1 = (1,1,0)\), \(v_2 = (1,0,1)\) et \(v_3 = (0,1,1)\).

1. Montrer que \((v_1, v_2, v_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).
2. Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à cette base.
3. Donner les coordonnées de \(v_3\) dans la base orthonormée obtenue, et vérifier le résultat avec \(\|v_3\|^2\).

Exercice 12 : Polynômes orthogonaux sur [-1,1]

On munit \(\mathbb{R}_2[X]\) du produit scalaire \(\langle P, Q \rangle = \int_{-1}^{1} P(t)Q(t) \, \mathrm{d}t\).

1. Orthonormaliser la base \((1, X, X^2)\) par le procédé de Gram-Schmidt.
2. En déduire le projeté orthogonal de \(X^2\) sur \(\mathbb{R}_1[X]\) et la distance \(d(X^2, \mathbb{R}_1[X])\).
3. Déterminer \(\displaystyle \inf_{(a,b) \in \mathbb{R}^2} \int_{-1}^{1} (t^2 – at – b)^2 \, \mathrm{d}t\).

Exercice 13 : Coordonnées dans une base orthonormée

Dans \(\mathbb{R}^3\) canonique, on pose \(u_1 = \frac{1}{3}(1,2,2)\), \(u_2 = \frac{1}{3}(2,1,-2)\) et \(u_3 = \frac{1}{3}(2,-2,1)\).

1. Montrer que \((u_1, u_2, u_3)\) est une base orthonormée de \(\mathbb{R}^3\).
2. Déterminer les coordonnées de \(x = (3,0,3)\) et de \(y = (0,3,0)\) dans cette base.
3. Retrouver \(\|x\|^2\) et \(\langle x, y \rangle\) à partir des coordonnées.
4. Déterminer le projeté orthogonal de \(x\) sur \(P = \operatorname{Vect}(u_1, u_2)\) et la distance de \(x\) à \(P\).

Exercice 14 : Projection orthogonale sur un plan de R^3

Dans \(\mathbb{R}^3\) canonique, on note \(P\) le plan d’équation \(x + y + z = 0\) et \(p\) la projection orthogonale sur \(P\).

1. Déterminer un vecteur normal \(n\) à \(P\) et exprimer \(p(v)\) pour tout \(v \in \mathbb{R}^3\).
2. Écrire la matrice \(M\) de \(p\) dans la base canonique. Vérifier que \(M^2 = M\) et \(M^{T} = M\).
3. Calculer le projeté de \(v = (1,2,3)\) sur \(P\) et la distance de \(v\) à \(P\).
4. Écrire la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à \(P\).

Exercice 15 : Projeté orthogonal dans R^4 par le système normal

Dans \(\mathbb{R}^4\) canonique, on pose \(a = (1,0,1,0)\), \(b = (1,1,1,1)\), \(F = \operatorname{Vect}(a,b)\) et \(x = (1,2,3,4)\).

1. Justifier que \((a,b)\) est une base de \(F\) et écrire le système normal vérifié par les coordonnées \((\lambda, \mu)\) de \(p_F(x)\) dans cette base.
2. Calculer \(p_F(x)\) et vérifier que \(x – p_F(x)\) est orthogonal à \(a\) et à \(b\).
3. En déduire \(d(x, F)\), et vérifier la relation de Pythagore entre \(\|x\|\), \(\|p_F(x)\|\) et \(d(x,F)\).

Exercice 16 : Matrices de trace nulle et matrices symétriques

On munit \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) du produit scalaire \(\langle A, B \rangle = \operatorname{tr}(A^{T}B)\). On note \(H\) l’ensemble des matrices de trace nulle. On admet le résultat de l’exercice 3 : \(\mathcal{A}_n = \mathcal{S}_n^{\perp}\).

1. Montrer que \(H = \{I_n\}^{\perp}\). Quelle est la dimension de \(H\) ?
2. Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), déterminer le projeté orthogonal de \(A\) sur \(H\) et montrer que \(d(A, H) = \dfrac{|\operatorname{tr} A|}{\sqrt{n}}\).
3. En déduire que \((\operatorname{tr} A)^2 \leq\, n \operatorname{tr}(A^{T}A)\), avec égalité si et seulement si \(A\) est une matrice scalaire.
4. Montrer que le projeté orthogonal de \(A\) sur \(\mathcal{S}_n\) est \(\frac{1}{2}(A + A^{T})\).
5. Pour \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\), calculer \(d(A, \mathcal{S}_2)\) et \(d(A, H)\).

Exercice 17 : Meilleure approximation affine de x³ sur [0,1]

On munit \(E = \mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})\) du produit scalaire \(\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(t)g(t) \, \mathrm{d}t\). On note \(h\) la fonction \(t \mapsto t^3\).

1. Déterminer la constante \(c\) qui minimise \(\int_0^1 (t^3 – c)^2 \, \mathrm{d}t\), ainsi que ce minimum.
2. Déterminer le couple \((a,b)\) qui minimise \(\int_0^1 (t^3 – at – b)^2 \, \mathrm{d}t\).
3. Calculer ce minimum et le comparer à celui de la question 1.

Exercice 18 : Droite des moindres carrés

On a relevé les quatre points \((0,1)\), \((1,2)\), \((2,2)\) et \((3,4)\), représentés ci-dessous. On cherche la droite d’équation \(y = ax + b\) qui minimise \(S(a,b) = \sum_{i=1}^{4} (y_i – ax_i – b)^2\).

1. Écrire \(S(a,b)\) comme le carré d’une distance dans \(\mathbb{R}^4\) à un sous-espace \(F\) de dimension 2.
2. Écrire le système normal et le résoudre.
3. Calculer les résidus \(r_i = y_i – ax_i – b\) et la valeur minimale de \(S\).
4. Vérifier que le vecteur des résidus est orthogonal à \(F\).

Exercice 19 : Caractérisation des projecteurs orthogonaux

Soit \(E\) un espace euclidien et \(p\) un projecteur de \(E\), c’est-à-dire un endomorphisme tel que \(p \circ p = p\). On rappelle que \(E = \operatorname{Im} p \oplus \ker p\).

1. On suppose que \(p\) est une projection orthogonale. Montrer que \(\|p(x)\| \leq\, \|x\|\) pour tout \(x \in E\).
2. Réciproquement, on suppose que \(\|p(x)\| \leq\, \|x\|\) pour tout \(x\). Soient \(a \in \operatorname{Im} p\) et \(b \in \ker p\). Montrer que \(\|a\|^2 \leq\, \|a + tb\|^2\) pour tout réel \(t\), puis que \(\langle a, b \rangle = 0\).
3. En déduire que \(p\) est la projection orthogonale sur \(\operatorname{Im} p\).
4. Dans \(\mathbb{R}^2\) canonique, soit \(q\) la projection sur \(\operatorname{Vect}((1,0))\) parallèlement à \(\operatorname{Vect}((1,1))\). Expliciter \(q(x,y)\) et trouver un vecteur \(v\) tel que \(\|q(v)\| > \|v\|\).

Exercice 20 : Matrice de Gram et distance à une droite

Soit \(E\) un espace préhilbertien réel et \((x_1, \ldots, x_p)\) une famille de vecteurs de \(E\). Sa matrice de Gram est \(G = (\langle x_i, x_j \rangle)_{1 \leq\, i,j \leq\, p}\).

1. Pour \(\Lambda = (\lambda_1, \ldots, \lambda_p)^{T} \in \mathbb{R}^p\), montrer que \(\Lambda^{T} G \Lambda = \| \sum_{j=1}^{p} \lambda_j x_j \|^2\).
2. Montrer que \(G\) est inversible si et seulement si la famille \((x_1, \ldots, x_p)\) est libre.
3. Soit \(F = \operatorname{Vect}(x_1, \ldots, x_p)\), de dimension \(m\), et \((e_1, \ldots, e_m)\) une base orthonormée de \(F\). On note \(A \in \mathcal{M}_{m,p}(\mathbb{R})\) la matrice dont la colonne \(j\) contient les coordonnées de \(x_j\) dans cette base. Montrer que \(G = A^{T}A\), puis que \(\det G \geq\, 0\).
4. Pour \(p = 2\), écrire \(\det G\) et retrouver l’inégalité de Cauchy-Schwarz avec son cas d’égalité.
5. Soit \(u \neq 0\) et \(D = \operatorname{Vect}(u)\). Montrer que \(d(x, D)^2 = \dfrac{\det G(u, x)}{\|u\|^2}\), où \(G(u,x)\) est la matrice de Gram de \((u, x)\). Application : \(u = (1,1,1)\) et \(x = (1,2,3)\) dans \(\mathbb{R}^3\).

Exercice 21 : Problème : inégalité de Bessel et somme des inverses des carrés

On note \(E = \mathcal{C}([-\pi, \pi], \mathbb{R})\) et l’on pose \(\langle f, g \rangle = \dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)g(t) \, \mathrm{d}t\). Pour \(k \in \mathbb{N}^{*}\), on définit \(c_0(t) = \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(c_k(t) = \cos(kt)\) et \(s_k(t) = \sin(kt)\). Pour \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on note \(T_n = \operatorname{Vect}(c_0, c_1, \ldots, c_n, s_1, \ldots, s_n)\).

Partie A : une famille orthonormée.

1. Montrer que \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) est un produit scalaire sur \(E\).
2. Montrer que la famille \((c_0, c_1, \ldots, c_n, s_1, \ldots, s_n)\) est orthonormée. En déduire \(\dim T_n\).

Partie B : projection de la fonction identité. On note \(f\) la fonction \(t \mapsto t\).

1. Calculer \(\langle f, c_k \rangle\) pour \(0 \leq\, k \leq\, n\), puis montrer que \(\langle f, s_k \rangle = \dfrac{2(-1)^{k+1}}{k}\) pour \(k \geq\, 1\).
2. En déduire le projeté orthogonal \(p_n(f)\) de \(f\) sur \(T_n\).
3. Calculer \(\|f\|^2\), puis exprimer \(d(f, T_n)^2\) en fonction de \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}\).

Partie C : conséquence sur une série.

1. Établir l’inégalité de Bessel \(\sum_{k=1}^{n} \langle f, s_k \rangle^2 \leq\, \|f\|^2\) pour cette fonction.
2. En déduire que la série \(\sum \frac{1}{k^2}\) converge et que sa somme est inférieure ou égale à \(\frac{\pi^2}{6}\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths sup

• Le cours : espaces préhilbertiens réels, cours de maths sup
• À maîtriser avant : Espaces vectoriels de dimension finie, Applications linéaires et théorème du rang
• Chapitre précédent : Espérance, variance et inégalités probabilistes
• Chapitre suivant : Fonctions de deux variables
• Tester vos connaissances : QCM de maths sup par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths sup et les chapitres de maths spé