Fonctions usuelles : cours de maths sup en PDF.

Soit \(D\) une partie de \(\mathbb{R}\) symétrique par rapport à 0, c’est-à-dire telle que \(x \in D \Rightarrow -x \in D\). La fonction \(f\) est paire si \(f(-x) = f(x)\) pour tout \(x \in D\), et impaire si \(f(-x) = -f(x)\) pour tout \(x \in D\).

Soit \(T > 0\). La fonction \(f\) est \(T\)-périodique si, pour tout \(x \in D\), on a \(x + T \in D\), \(x – T \in D\) et \(f(x + T) = f(x)\).

La fonction \(x \mapsto \ln(\dfrac{1+x}{1-x})\) est définie lorsque \(\dfrac{1+x}{1-x} > 0\), soit sur \(]-1, 1[\). Cet intervalle est symétrique et \(f(-x) = \ln(\dfrac{1-x}{1+x}) = -f(x)\). Ainsi, \(f\) est impaire.

• \(x \mapsto f(x – a) + b\) : translation de vecteur \(\vec{u}(a\,; b)\).
• \(x \mapsto f(-x)\) : symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
• \(x \mapsto -f(x)\) : symétrie par rapport à l’axe des abscisses.
• \(x \mapsto f(\lambda x)\), avec \(\lambda > 0\) : affinité horizontale de rapport \(1/\lambda\).
• \(x \mapsto \lambda f(x)\), avec \(\lambda > 0\) : affinité verticale de rapport \(\lambda\).
• \(x \mapsto |f(x)|\) : la partie située sous l’axe des abscisses est remplacée par sa symétrique.

La fonction \(f\) est croissante sur \(I\) si, pour tous \(x \leq\, y\) de \(I\), \(f(x) \leq\, f(y)\). Elle est strictement croissante si \(x < y\) entraîne \(f(x) < f(y)\). On définit de même la décroissance.

La fonction \(f\) est majorée sur \(D\) s’il existe \(M\) tel que \(f(x) \leq\, M\) pour tout \(x \in D\). Elle est minorée s’il existe \(m\) tel que \(f(x) \geq\, m\). Enfin, elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, ce qui équivaut à l’existence de \(K\) tel que \(|f(x)| \leq\, K\) sur \(D\).

Pour tout réel \(x\), on a \((|x| – 1)^2 \geq\, 0\), donc \(1 + x^2 \geq\, 2|x|\). Par conséquent, \(|\dfrac{x}{1+x^2}| \leq\, \dfrac{1}{2}\) : la fonction \(x \mapsto \dfrac{x}{1+x^2}\) est bornée sur \(\mathbb{R}\).

La somme de deux fonctions croissantes est croissante. En revanche, leur produit ne l’est pas toujours : \(x \mapsto x\) est croissante sur \(\mathbb{R}\), mais son carré ne l’est pas. Le produit reste croissant si les deux fonctions sont croissantes et positives.

Soient \(u\) et \(v\) dérivables sur un intervalle \(I\) et \(\lambda\) un réel. Alors \(u + v\), \(\lambda u\) et \(uv\) sont dérivables sur \(I\), et :

\[(u+v)^{\prime} = u^{\prime} + v^{\prime}, \qquad (\lambda u)^{\prime} = \lambda u^{\prime}, \qquad (uv)^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime}.\]

Si de plus \(v\) ne s’annule pas sur \(I\), alors \(\dfrac{u}{v}\) est dérivable et \((\dfrac{u}{v})^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}v – uv^{\prime}}{v^2}\).

Dérivée d’une composée. Soient \(u\) dérivable sur \(I\) et \(g\) dérivable sur un intervalle \(J\) contenant \(u(I)\). Alors \(g \circ u\) est dérivable sur \(I\) et

\[(g \circ u)^{\prime}(x) = u^{\prime}(x)\, g^{\prime}\big(u(x)\big).\]

Pour \(f(x) = \cos^3(2x)\), on pose \(u(x) = \cos(2x)\) et \(g(y) = y^3\). D’abord \(u^{\prime}(x) = -2\sin(2x)\). Ensuite \(f^{\prime}(x) = 3\cos^2(2x) \times \big(-2\sin(2x)\big) = -6\cos^2(2x)\sin(2x)\).

Soit \(f\) une bijection continue strictement monotone de \(I\) sur \(J\), dérivable en \(a \in I\). Si \(f^{\prime}(a) \neq 0\), alors \(f^{-1}\) est dérivable en \(b = f(a)\) et

\[(f^{-1})^{\prime}(b) = \frac{1}{f^{\prime}\big(f^{-1}(b)\big)}.\]

Si \(f^{\prime}(a) = 0\), la courbe de \(f^{-1}\) admet une tangente verticale au point d’abscisse \(b\).

Étude complète d’une fonction.

1. Déterminer l’ensemble de définition \(D\).
2. Réduire le domaine d’étude grâce à la parité et à la périodicité.
3. Justifier la dérivabilité, calculer \(f^{\prime}\) et étudier son signe.
4. Calculer les limites aux bornes de \(D\) et chercher les asymptotes.
5. Dresser le tableau de variations, puis tracer la courbe avec ses tangentes remarquables.

Démontrer une inégalité par étude de fonction. Pour prouver \(g(x) \leq\, h(x)\) sur un intervalle \(I\), on étudie \(\varphi = h – g\). On calcule \(\varphi^{\prime}\), on en déduit les variations de \(\varphi\), puis on montre que son minimum sur \(I\) est positif. Souvent, le minimum est atteint en un point où \(\varphi\) est nulle.

Résoudre un problème d’optimisation. D’abord, on choisit une variable et on exprime la grandeur à optimiser comme une fonction de cette variable. Ensuite, on précise l’intervalle des valeurs admissibles. Enfin, l’étude des variations fournit l’extremum, sans oublier de comparer avec les valeurs aux bornes.

Le logarithme népérien \(\ln\) est l’unique primitive sur \(]0, +\infty[\) de \(x \mapsto 1/x\) qui s’annule en 1. Il réalise une bijection strictement croissante de \(]0, +\infty[\) sur \(\mathbb{R}\). Sa réciproque est l’exponentielle \(\exp\), définie sur \(\mathbb{R}\) à valeurs dans \(]0, +\infty[\). On note \(\mathrm{e} = \exp(1)\).

Pour tous \(a, b > 0\) et tous réels \(x, y\) :

\[\ln(ab) = \ln a + \ln b, \qquad \exp(x + y) = \exp(x)\exp(y), \qquad \exp^{\prime} = \exp.\]

Fixons \(b > 0\) et posons \(\varphi(x) = \ln(bx) – \ln x\) sur \(]0, +\infty[\). Par dérivation d’une composée, \(\varphi^{\prime}(x) = \dfrac{b}{bx} – \dfrac{1}{x} = 0\). Donc \(\varphi\) est constante sur cet intervalle, égale à \(\varphi(1) = \ln b\). Ensuite, la dérivée de la réciproque donne \(\exp^{\prime}(y) = \dfrac{1}{\ln^{\prime}(\exp y)} = \exp y\).

Pour \(x > 0\) et \(\alpha\) réel, on pose \(x^{\alpha} = \mathrm{e}^{\alpha \ln x}\). Plus généralement, pour \(a > 0\), \(a^x = \mathrm{e}^{x \ln a}\).

Une expression comme \(x^x\) ou \(u(x)^{v(x)}\) se dérive toujours après l’avoir écrite \(\mathrm{e}^{v(x)\ln u(x)}\). Par exemple, \((x^x)^{\prime} = (\ln x + 1)\,x^x\) sur \(]0, +\infty[\).

Croissances comparées. Pour tous \(\alpha > 0\) et \(\beta > 0\) :

\[\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^{\alpha}}{x^{\beta}} = 0, \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{\alpha}}{\mathrm{e}^{\beta x}} = 0, \qquad \lim_{x \to 0^+} x^{\beta} |\ln x|^{\alpha} = 0.\]

Pour tout réel \(x\), \(\mathrm{e}^x \geq\, 1 + x\). Pour tout \(x > -1\), \(\ln(1 + x) \leq\, x\). Dans les deux cas, l’égalité n’a lieu que pour \(x = 0\).

Posons \(\varphi(x) = \mathrm{e}^x – 1 – x\). Alors \(\varphi^{\prime}(x) = \mathrm{e}^x – 1\), négative sur \(]-\infty, 0]\) et positive sur \([0, +\infty[\). Par conséquent, \(\varphi\) atteint son minimum en 0, où elle vaut 0. Pour la seconde inégalité, on applique la première au réel \(\ln(1+x)\) : \(1 + x = \mathrm{e}^{\ln(1+x)} \geq\, 1 + \ln(1+x)\).

La restriction de \(\sin\) à \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) est une bijection strictement croissante sur \([-1, 1]\). Sa réciproque est la fonction Arcsin : pour \(x \in [-1, 1]\), \(\mathrm{Arcsin}\, x\) est l’unique \(\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) tel que \(\sin\theta = x\).

La restriction de \(\cos\) à \([0, \pi]\) est une bijection strictement décroissante sur \([-1, 1]\). Sa réciproque est la fonction Arccos, à valeurs dans \([0, \pi]\).

On a toujours \(\sin(\mathrm{Arcsin}\, x) = x\) pour \(x \in [-1, 1]\). En revanche, \(\mathrm{Arcsin}(\sin \theta) = \theta\) seulement si \(\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\). Par exemple, \(\mathrm{Arcsin}(\sin 3) = \pi – 3\), car \(\pi – 3\) appartient à cet intervalle et \(\sin(\pi – 3) = \sin 3\).

Arcsin est impaire. Pour tout \(x \in [-1, 1]\) :

\[\cos(\mathrm{Arcsin}\, x) = \sqrt{1 – x^2}, \qquad \sin(\mathrm{Arccos}\, x) = \sqrt{1 – x^2}, \qquad \mathrm{Arcsin}\, x + \mathrm{Arccos}\, x = \frac{\pi}{2}.\]

Arcsin et Arccos sont dérivables sur \(]-1, 1[\), et \(\mathrm{Arcsin}^{\prime}(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\), \(\mathrm{Arccos}^{\prime}(x) = -\dfrac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\).

Soit \(\theta = \mathrm{Arcsin}\, x\). Comme \(\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\), on a \(\cos\theta \geq\, 0\). Donc \(\cos\theta = \sqrt{1 – \sin^2\theta} = \sqrt{1 – x^2}\). Ensuite, pour \(x \in ]-1, 1[\), \(\sin^{\prime}(\theta) = \cos\theta = \sqrt{1-x^2} \neq 0\). Le théorème de la dérivée réciproque donne alors \(\mathrm{Arcsin}^{\prime}(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\). Enfin, la fonction \(x \mapsto \mathrm{Arcsin}\, x + \mathrm{Arccos}\, x\) a une dérivée nulle sur \(]-1, 1[\) et vaut \(\frac{\pi}{2}\) en 0. Elle est donc constante, et l’égalité s’étend à \(\pm 1\) par calcul direct.

La restriction de \(\tan\) à \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\) est une bijection strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Sa réciproque est la fonction Arctan, à valeurs dans \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\).

Arctan est impaire, dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(\mathrm{Arctan}^{\prime}(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}\). De plus, \(\lim_{x \to \pm\infty} \mathrm{Arctan}\, x = \pm\dfrac{\pi}{2}\) et, pour tout \(x \neq 0\),

\[\mathrm{Arctan}\, x + \mathrm{Arctan}\,\frac{1}{x} = \begin{cases} \pi/2 \text{si } x > 0, \\ -\pi/2 \text{si } x < 0. \end{cases}\]

Simplifier une expression avec Arcsin, Arccos, Arctan. Deux voies sont possibles. Première voie : dériver l’expression, reconnaître une dérivée simple sur chaque intervalle, puis fixer la constante par une valeur particulière. Seconde voie : poser \(x = \sin\theta\), \(x = \cos\theta\) ou \(x = \tan\theta\), puis ramener l’angle obtenu dans le bon intervalle avant d’appliquer la réciproque.

Montrons que \(\mathrm{Arctan}\,\frac{1}{2} + \mathrm{Arctan}\,\frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}\). Posons \(S\) cette somme. Chaque terme est dans \(]0, \frac{\pi}{4}[\), donc \(S \in ]0, \frac{\pi}{2}[\). Par ailleurs, la formule d’addition donne \(\tan S = \dfrac{1/2 + 1/3}{1 – 1/6} = 1\). Or le seul angle de \(]0, \frac{\pi}{2}[\) de tangente 1 est \(\frac{\pi}{4}\).

Pour tout réel \(x\), on définit le cosinus, le sinus et la tangente hyperboliques par

\[\mathrm{ch}\, x = \frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{2}, \qquad \mathrm{sh}\, x = \frac{\mathrm{e}^x – \mathrm{e}^{-x}}{2}, \qquad \mathrm{th}\, x = \frac{\mathrm{sh}\, x}{\mathrm{ch}\, x}.\]

Pour tous réels \(a\) et \(b\) :

\[\mathrm{ch}^2 a – \mathrm{sh}^2 a = 1, \qquad \mathrm{ch}(a + b) = \mathrm{ch}\, a\, \mathrm{ch}\, b + \mathrm{sh}\, a\, \mathrm{sh}\, b, \qquad \mathrm{sh}(a + b) = \mathrm{sh}\, a\, \mathrm{ch}\, b + \mathrm{ch}\, a\, \mathrm{sh}\, b.\]

Les fonctions sont dérivables et \(\mathrm{ch}^{\prime} = \mathrm{sh}\), \(\mathrm{sh}^{\prime} = \mathrm{ch}\), \(\mathrm{th}^{\prime} = \dfrac{1}{\mathrm{ch}^2} = 1 – \mathrm{th}^2\).

On factorise une différence de carrés : \(\mathrm{ch}^2 a – \mathrm{sh}^2 a = (\mathrm{ch}\, a – \mathrm{sh}\, a)(\mathrm{ch}\, a + \mathrm{sh}\, a) = \mathrm{e}^{-a}\mathrm{e}^{a} = 1\). Pour la dérivée de th, la formule du quotient donne \(\mathrm{th}^{\prime} = \dfrac{\mathrm{ch}^2 – \mathrm{sh}^2}{\mathrm{ch}^2} = \dfrac{1}{\mathrm{ch}^2}\).

Les formules hyperboliques ressemblent aux formules trigonométriques, au signe près. Par exemple, \(\cos^2 + \sin^2 = 1\) devient \(\mathrm{ch}^2 – \mathrm{sh}^2 = 1\). C’est pourquoi le point \((\mathrm{ch}\, t\,; \mathrm{sh}\, t)\) décrit une branche de l’hyperbole \(x^2 – y^2 = 1\), comme le montre la figure ci-dessous.

Résolvons \(\mathrm{sh}\, x = \frac{3}{4}\). On pose \(t = \mathrm{e}^x > 0\). L’équation devient \(t – \frac{1}{t} = \frac{3}{2}\), soit \(2t^2 – 3t – 2 = 0\). Les racines sont \(2\) et \(-\frac{1}{2}\). Seule la racine positive convient, donc \(x = \ln 2\).

La fonction \(f = u + iv\) est dérivable sur \(I\) si \(u\) et \(v\) le sont. On pose alors \(f^{\prime} = u^{\prime} + i v^{\prime}\).

Soit \(\varphi : I \to \mathbb{C}\) dérivable. Alors \(t \mapsto \mathrm{e}^{\varphi(t)}\) est dérivable sur \(I\) et \((\mathrm{e}^{\varphi})^{\prime} = \varphi^{\prime}\, \mathrm{e}^{\varphi}\). En particulier, pour \(\lambda \in \mathbb{C}\), la dérivée de \(t \mapsto \mathrm{e}^{\lambda t}\) est \(t \mapsto \lambda\, \mathrm{e}^{\lambda t}\).

Écrivons \(\varphi = a + ib\), avec \(a\) et \(b\) réelles. Alors \(\mathrm{e}^{\varphi} = \mathrm{e}^{a}\cos b + i\,\mathrm{e}^{a}\sin b\). On dérive chaque partie comme un produit réel. On obtient \(\mathrm{e}^a\big(a^{\prime}\cos b – b^{\prime}\sin b\big) + i\,\mathrm{e}^a\big(a^{\prime}\sin b + b^{\prime}\cos b\big)\). Or cette expression vaut exactement \((a^{\prime} + ib^{\prime})\,\mathrm{e}^{a}(\cos b + i\sin b)\), c’est-à-dire \(\varphi^{\prime}\mathrm{e}^{\varphi}\).

Cherchons une primitive de \(t \mapsto \mathrm{e}^{t}\cos t\). On remarque que \(\mathrm{e}^t\cos t = \mathrm{Re}(\mathrm{e}^{(1+i)t})\). Or \(\dfrac{\mathrm{e}^{(1+i)t}}{1+i}\) a pour dérivée \(\mathrm{e}^{(1+i)t}\). De plus, \(\dfrac{1}{1+i} = \dfrac{1-i}{2}\). En prenant la partie réelle, on obtient la primitive \(t \mapsto \dfrac{\mathrm{e}^t(\cos t + \sin t)}{2}\).

Le théorème de Rolle ne s’étend pas aux fonctions complexes. Par exemple, \(f(t) = \mathrm{e}^{it}\) vérifie \(f(0) = f(2\pi)\), mais \(|f^{\prime}(t)| = 1\) : sa dérivée ne s’annule jamais.