Applications linéaires : exercices de maths sup corrigés en PDF.

Exercice 1 : Reconnaître une application linéaire

Dire si chacune des applications suivantes est linéaire. Justifier par une preuve ou par un contre-exemple.

1. \(f_1 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \((x, y) \mapsto (x + y, 2x – y)\).
2. \(f_2 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \((x, y) \mapsto (x + 1, y)\).
3. \(f_3 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \((x, y) \mapsto (|x|, y)\).
4. \(f_4 : \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}\), \(M \mapsto \det M\).
5. \(f_5 : \mathbb{R}[X] \to \mathbb{R}[X]\), \(P \mapsto P^{\prime} + XP\).
6. \(f_6 : \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R}) \to \mathbb{R}\), \(g \mapsto g(0) + \displaystyle\int_0^1 g(t)\, \mathrm{d}t\).
7. Parmi les applications linéaires trouvées, lesquelles sont injectives ?

Exercice 2 : Noyau et image dans R3

On considère l’application linéaire \(f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) définie par

\[f(x, y, z) = (x – y + z,\ 2x + y – z,\ x + 2y – 2z).\]

1. Déterminer une base de \(\ker f\).
2. Déterminer une base de \(\operatorname{Im} f\), puis une équation de ce sous-espace.
3. Vérifier le théorème du rang. L’application \(f\) est-elle injective ? surjective ?
4. Le vecteur \((1, 1, 0)\) a-t-il des antécédents par \(f\) ? Si oui, les déterminer tous.

Exercice 3 : Un endomorphisme de R2[X]

On note \(\varphi : \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}_2[X]\) l’application \(P \mapsto P – XP^{\prime}\).

1. Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_2[X]\).
2. Calculer \(\varphi(1)\), \(\varphi(X)\) et \(\varphi(X^2)\). En déduire \(\ker \varphi\), \(\operatorname{Im} \varphi\) et le rang de \(\varphi\).
3. A-t-on \(\mathbb{R}_2[X] = \ker \varphi \oplus \operatorname{Im} \varphi\) ?
4. L’application \(\varphi\) est-elle un projecteur ? Montrer que \(\varphi \circ \varphi\) est un projecteur et donner ses éléments caractéristiques.

Exercice 4 : Un projecteur du plan

Soit \(p : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) l’application linéaire \((x, y) \mapsto (2x – 2y,\ x – y)\).

1. Montrer que \(p\) est un projecteur.
2. Déterminer \(\ker p\) et \(\operatorname{Im} p\). Décrire géométriquement \(p\).
3. Calculer \(p(1, 0)\) et décomposer \((1, 0)\) sur \(\operatorname{Im} p \oplus \ker p\).
4. Déterminer l’expression du projecteur \(q = \mathrm{id} – p\) et donner ses éléments caractéristiques.

Exercice 5 : Une symétrie du plan

Soit \(s : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) l’application linéaire \((x, y) \mapsto (3x – 4y,\ 2x – 3y)\).

1. Montrer que \(s \circ s = \mathrm{id}\). Que peut-on en déduire sur \(s\) ?
2. Déterminer \(\ker(s – \mathrm{id})\) et \(\ker(s + \mathrm{id})\). Décrire géométriquement \(s\).
3. Comparer \(s\) avec le projecteur \(p\) de l’exercice 4. Calculer \(s(1, 0)\).

Exercice 6 : Espaces isomorphes et dimension

1. Donner la dimension de \(\mathbb{R}_3[X]\), \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) et \(\mathcal{L}(\mathbb{R}^2)\). Construire un isomorphisme explicite de \(\mathbb{R}_3[X]\) sur \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
2. Montrer que l’ensemble \(\mathcal{S}_2(\mathbb{R})\) des matrices symétriques d’ordre 2 est isomorphe à \(\mathbb{R}^3\).
3. Montrer qu’il n’existe aucune application linéaire injective de \(\mathbb{R}^3\) dans \(\mathbb{R}^2\), ni aucune application linéaire surjective de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}^3\).
4. Calculer la dimension de \(\mathcal{L}(\mathbb{R}_2[X], \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R}))\).

Exercice 7 : Projection sur un plan parallèlement à une droite

Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère le plan \(P\) d’équation \(x + y + z = 0\) et la droite \(D = \mathrm{Vect}(w)\), où \(w = (1, 2, 0)\). La figure ci-dessous représente ces deux sous-espaces.

1. Montrer que \(\mathbb{R}^3 = P \oplus D\).
2. Déterminer l’expression analytique de la projection \(p\) sur \(P\) parallèlement à \(D\).
3. En déduire l’expression de la symétrie \(s\) par rapport à \(P\) parallèlement à \(D\).
4. Vérifier les résultats sur les vecteurs \(w\) et \((1, -1, 0)\).

Exercice 8 : Construire une application linéaire par l’image d’une base

On note \((e_1, e_2, e_3)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^3\).

1. Justifier qu’il existe une unique \(u \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)\) telle que \(u(e_1) = (1, 1, 0)\), \(u(e_2) = (0, 1, 1)\) et \(u(e_3) = (1, 2, 1)\). Donner \(u(x, y, z)\), puis \(\ker u\) et \(\operatorname{Im} u\).
2. Existe-t-il \(v \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)\) telle que \(v(1, 1) = (1, 0)\), \(v(1, -1) = (0, 1)\) et \(v(2, 0) = (1, 2)\) ?
3. Construire \(w \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)\) dont le noyau est la droite \(\mathrm{Vect}\big((1, 1, 1)\big)\) et dont l’image est le plan d’équation \(z = 0\). Donner \(w(x, y, z)\).
4. Existe-t-il un endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) dont le noyau est égal à l’image ?

Exercice 9 : Image directe et image réciproque

Soit \(f \in \mathcal{L}(E, F)\). Soient \(A\) et \(A^{\prime}\) deux sous-espaces de \(E\), et \(B\) un sous-espace de \(F\).

1. Montrer que \(f(A + A^{\prime}) = f(A) + f(A^{\prime})\).
2. Montrer que \(f^{-1}\big(f(A)\big) = A + \ker f\).
3. Montrer que \(f\big(f^{-1}(B)\big) = B \cap \operatorname{Im} f\).
4. Application : \(f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\), \((x, y, z) \mapsto (x + y, y + z)\), et \(A = \mathrm{Vect}(e_1)\). Déterminer \(\ker f\), \(f(A)\) et \(f^{-1}\big(f(A)\big)\). Déterminer aussi \(f^{-1}(B)\) pour \(B = \mathrm{Vect}\big((1, 1)\big)\).

Exercice 10 : Noyaux et images sur les matrices carrées

1. Soit \(\varphi : \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), \(M \mapsto M – M^{T}\). Montrer que \(\varphi\) est linéaire. Déterminer son noyau, puis son image à l’aide du théorème du rang.
2. On pose \(A = \begin{pmatrix} 1 1 \\ 1 1 \end{pmatrix}\) et \(\psi : M \mapsto AM\) sur \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\). Déterminer \(\ker \psi\) et \(\operatorname{Im} \psi\), avec leurs dimensions.
3. Calculer \(A^2\). En déduire que \(\frac{1}{2}\psi\) est un projecteur, et donner ses éléments caractéristiques.

Exercice 11 : Dérivation et multiplication par X

Sur \(E = \mathbb{R}[X]\), on considère les endomorphismes \(D : P \mapsto P^{\prime}\) et \(T : P \mapsto XP\).

1. Montrer que \(D\) est surjective mais non injective.
2. Montrer que \(T\) est injective mais non surjective.
3. Montrer que \(D \circ T – T \circ D = \mathrm{id}_E\). L’anneau \(\mathcal{L}(E)\) est-il commutatif ?
4. Montrer que \(D \circ T\) est un automorphisme de \(E\) et calculer son inverse sur chaque \(X^k\).
5. Déterminer le noyau et l’image de \(T \circ D\). Pourquoi ces résultats ne contredisent-ils pas le cours sur la dimension finie ?

Exercice 12 : Injectivité et bijectivité sur les polynômes

Soit \(n \in \mathbb{N}\). On considère \(\varphi : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}_n[X]\), \(P \mapsto P(X) + P(X + 1)\).

1. Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[X]\).
2. Montrer que \(\varphi\) est injective, puis qu’elle est bijective.
3. Pour \(n = 2\), déterminer l’unique \(P \in \mathbb{R}_2[X]\) tel que \(P(X) + P(X + 1) = X^2\).
4. En déduire, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), une expression simple de \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (-1)^k k^2\).

Exercice 13 : Interpolation de Lagrange par un isomorphisme

Soient \(n \in \mathbb{N}\) et \(a_0, \ldots, a_n\) des réels deux à deux distincts. On pose \(\varphi : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}^{n+1}\), \(P \mapsto \big(P(a_0), \ldots, P(a_n)\big)\).

1. Montrer que \(\varphi\) est un isomorphisme.
2. En déduire que, pour tous réels \(b_0, \ldots, b_n\), il existe un unique \(P \in \mathbb{R}_n[X]\) tel que \(P(a_i) = b_i\) pour tout \(i\).
3. Déterminer le polynôme \(P\) de degré au plus 2 dont la courbe passe par les trois points de la figure ci-dessous : \((0, 1)\), \((1, 3)\) et \((2, 7)\).
4. Quelle est la dimension de \(\{P \in \mathbb{R}_n[X] \mid P(a_0) = 0\}\) ?

Exercice 14 : Supplémentaire du noyau et forme géométrique du rang

Soit \(g : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\), \((x, y, z) \mapsto (x + y + z,\ x – y)\).

1. Déterminer \(\ker g\) et le rang de \(g\). L’application \(g\) est-elle surjective ?
2. Montrer que \(S = \mathrm{Vect}(e_1, e_2)\) est un supplémentaire de \(\ker g\) dans \(\mathbb{R}^3\).
3. Montrer que la restriction de \(g\) à \(S\) est un isomorphisme de \(S\) sur \(\mathbb{R}^2\), et expliciter son inverse.
4. Même question avec \(S^{\prime} = \mathrm{Vect}(e_1, e_3)\). Que retenir de cet exemple ?

Exercice 15 : Endomorphisme de carré nul

Soit \(f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)\), non nul, tel que \(f \circ f = 0\).

1. Montrer que \(\operatorname{Im} f \subset \ker f\).
2. En déduire le rang de \(f\) et la dimension de \(\ker f\).
3. Vérifier ces résultats sur l’exemple \(f(x, y, z) = (z, 0, 0)\).
4. Dans le cas général, soit \(u \notin \ker f\). Montrer qu’il existe \(v \in \ker f\) tel que \((u, f(u), v)\) soit une base de \(\mathbb{R}^3\).

Exercice 16 : Anneau L(E) et polynôme annulateur

1. Dans \(\mathcal{L}(\mathbb{R}^2)\), trouver deux endomorphismes qui ne commutent pas, puis deux endomorphismes non nuls de composée nulle.
2. Soit \(E\) un espace vectoriel et \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(f^2 – 3f + 2\,\mathrm{id}_E = 0\). Montrer que \(f \in \mathrm{GL}(E)\) et exprimer \(f^{-1}\) en fonction de \(f\).
3. Montrer que \(f – \mathrm{id}_E\) est un projecteur.
4. Montrer que \(E = \ker(f – \mathrm{id}_E) \oplus \ker(f – 2\,\mathrm{id}_E)\).
5. Vérifier que \(f : (x, y) \mapsto (x, x + 2y)\) satisfait l’hypothèse, et déterminer les deux sous-espaces de la question 4.

Exercice 17 : Rang d’une composée

Soient \(E\), \(F\), \(G\) de dimension finie, \(f \in \mathcal{L}(E, F)\) et \(g \in \mathcal{L}(F, G)\).

1. Montrer que \(\operatorname{rg}(g \circ f) \leq\, \min(\operatorname{rg} f, \operatorname{rg} g)\).
2. Montrer que \(\operatorname{rg}(g \circ f) = \operatorname{rg} f\) si \(g\) est injective, et que \(\operatorname{rg}(g \circ f) = \operatorname{rg} g\) si \(f\) est surjective.
3. En appliquant le théorème du rang à la restriction de \(g\) à \(\operatorname{Im} f\), montrer que \(\operatorname{rg}(g \circ f) \geq\, \operatorname{rg} f + \operatorname{rg} g – \dim F\).
4. En déduire que si \(h \in \mathcal{L}(E)\) vérifie \(h \circ h = 0\), avec \(\dim E = n\), alors \(\operatorname{rg} h \leq\, \frac{n}{2}\).

Exercice 18 : Noyau et image de f et de f au carré

Soit \(E\) de dimension finie \(n\) et \(f \in \mathcal{L}(E)\).

1. Montrer que \(\ker f \subset \ker f^2\) et \(\operatorname{Im} f^2 \subset \operatorname{Im} f\).
2. Montrer que \(\ker f = \ker f^2\) si et seulement si \(\operatorname{Im} f = \operatorname{Im} f^2\).
3. Montrer que \(\ker f = \ker f^2\) si et seulement si \(\ker f \cap \operatorname{Im} f = \{0\}\).
4. En déduire que ces conditions équivalent à \(E = \ker f \oplus \operatorname{Im} f\).
5. Illustrer avec l’endomorphisme \(\varphi\) de l’exercice 3, puis avec la dérivation sur \(\mathbb{R}_1[X]\).

Exercice 19 : Somme de deux projecteurs

Soient \(p\) et \(q\) deux projecteurs d’un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\).

1. Montrer que si \(p \circ q = q \circ p = 0\), alors \(p + q\) est un projecteur.
2. Réciproquement, on suppose que \(p + q\) est un projecteur. Montrer que \(p \circ q + q \circ p = 0\). En composant à gauche puis à droite par \(p\), montrer que \(p \circ q = q \circ p\), puis que \(p \circ q = q \circ p = 0\).
3. Dans ce cas, montrer que \(\operatorname{Im}(p + q) = \operatorname{Im} p \oplus \operatorname{Im} q\) et que \(\ker(p + q) = \ker p \cap \ker q\).

Exercice 20 : Commutation avec un projecteur

Soit \(p\) un projecteur de \(E\) et \(f \in \mathcal{L}(E)\).

1. Montrer que \(f \circ p = p \circ f\) si et seulement si \(\operatorname{Im} p\) et \(\ker p\) sont stables par \(f\).
2. On reprend le projecteur \(p(x, y) = (2x – 2y,\ x – y)\) de l’exercice 4. Déterminer tous les \(f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)\) qui commutent avec \(p\), en donnant \(f(x, y)\).
3. Montrer que l’ensemble de ces endomorphismes est un sous-espace de \(\mathcal{L}(\mathbb{R}^2)\) de dimension 2, engendré par \(p\) et \(\mathrm{id} – p\).

Exercice 21 : Applications linéaires nulles sur un sous-espace

Soient \(E\) et \(F\) de dimensions respectives \(n\) et \(m\), et \(A\) un sous-espace de \(E\) de dimension \(k\). On pose \(W = \{f \in \mathcal{L}(E, F) \mid A \subset \ker f\}\), et on fixe un supplémentaire \(B\) de \(A\) dans \(E\).

1. Montrer que \(W\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{L}(E, F)\).
2. Montrer que \(\rho : W \to \mathcal{L}(B, F)\), \(f \mapsto f_{|B}\) est un isomorphisme.
3. En déduire \(\dim W\).
4. Application : quelle est la dimension de l’espace des \(f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3, \mathbb{R}^2)\) telles que \(f(1, 1, 1) = 0\) ? Donner une base de cet espace.

Exercice 22 : Problème : l’opérateur de différence et la somme des carrés

On note \(E = \mathbb{R}_3[X]\) et \(\Delta : E \to E\), \(P \mapsto P(X + 1) – P(X)\).

1. Montrer que \(\Delta\) est un endomorphisme de \(E\). Calculer \(\Delta(1)\), \(\Delta(X)\), \(\Delta(X^2)\) et \(\Delta(X^3)\).
2. Montrer que si \(\deg P = d \geq\, 1\), alors \(\deg \Delta(P) = d – 1\).
3. Montrer que \(\ker \Delta = \mathbb{R}_0[X]\), l’espace des polynômes constants.
4. En utilisant le théorème du rang, montrer que \(\operatorname{Im} \Delta = \mathbb{R}_2[X]\).
5. En déduire qu’il existe un unique \(P \in E\) tel que \(\Delta(P) = X^2\) et \(P(0) = 0\). Le calculer et le factoriser.
6. En déduire la valeur de \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2\) pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\).
7. Calculer \(\Delta^2(X^3)\), \(\Delta^3(X^3)\), puis montrer que \(\Delta^4 = 0\) et \(\Delta^3 \neq 0\). Déterminer le rang de \(\Delta^2\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths sup

• Le cours : applications linéaires, cours de maths sup
• À maîtriser avant : Espaces vectoriels de dimension finie
• Chapitre précédent : Espaces vectoriels de dimension finie
• Chapitre suivant : Formes linéaires, hyperplans et sous-espaces affines
• Le même thème en L1 : applications linéaires, exercices de maths en L1
• Tester vos connaissances : QCM de maths sup par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths sup et les chapitres de maths spé