Limites et continuité : exercices de maths sup corrigés en PDF.

Exercice 1 : Limites par encadrement et par composition

Déterminez les limites suivantes, en justifiant chaque étape.

1. \(\lim_{x \to 0} x \sin(\dfrac{1}{x})\).
2. \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x + \sin x}{x + 2}\).
3. \(\lim_{x \to 0} x \lfloor \dfrac{1}{x} \rfloor\), en étudiant séparément \(x > 0\) et \(x < 0\).
4. \(\lim_{x \to 0^+} (1 + x)^{1/x}\), en utilisant \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + x)}{x} = 1\).
5. Montrez, à l’aide de la définition, que \(\lim_{x \to 2} \dfrac{x + 1}{(x – 2)^2} = +\infty\) : pour \(A > 0\), trouvez un \(\eta\) explicite.
6. Soit \(f\) définie sur \(D\) et \(a\) adhérent à \(D\). Démontrez que si \(f\) tend vers \(\ell\) et vers \(\ell^{\prime}\) en \(a\), avec \(\ell\) et \(\ell^{\prime}\) réels, alors \(\ell = \ell^{\prime}\).

Exercice 2 : Limites à gauche et à droite

On considère la fonction \(f : x \mapsto x \lfloor x \rfloor\) sur \(\mathbb{R}\), représentée ci-dessous.

1. Pour \(n \in \mathbb{Z}\), calculez \(f(n)\), \(\lim_{x \to n^-} f(x)\) et \(\lim_{x \to n^+} f(x)\).
2. En déduire l’ensemble des points où \(f\) est continue. Est-elle continue à droite partout ?
3. Étudiez les limites à gauche et à droite en 1 de \(g : x \mapsto \dfrac{x^2 – 1}{|x – 1|}\). La fonction \(g\) admet-elle une limite en 1 ?
4. Étudiez les limites à gauche et à droite en 0 de \(h : x \mapsto e^{1/x}\).

Exercice 3 : Absence de limite par la caractérisation séquentielle

La figure ci-dessous représente \(x \mapsto \sin(1/x)\) au voisinage de 0, avec deux suites de points.

1. Montrez que \(x \mapsto \sin(1/x)\) n’a pas de limite en 0.
2. Montrez que \(x \mapsto \cos x\) n’a pas de limite en \(+\infty\).
3. Montrez que \(x \mapsto x – \lfloor x \rfloor\) n’a pas de limite en \(+\infty\).
4. Soit \(\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\) la fonction qui vaut 1 sur \(\mathbb{Q}\) et 0 sur \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\). Montrez qu’elle n’a de limite en aucun point \(a \in \mathbb{R}\), puis qu’elle n’est continue en aucun point.
5. La fonction \(x \mapsto x \, \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)\) est-elle continue en 0 ? En un point \(a \neq 0\) ?

Exercice 4 : Prolongements par continuité

Dites si chacune des fonctions suivantes, définie sur \(\mathbb{R}^*\), est prolongeable par continuité en 0. Le cas échéant, donnez la valeur du prolongement.

1. \(f_1(x) = \dfrac{e^{2x} – 1}{x}\).
2. \(f_2(x) = x \ln|x|\).
3. \(f_3(x) = \dfrac{1 – \cos x}{x^2}\).
4. \(f_4(x) = \dfrac{\sin x}{|x|}\).
5. Déterminez les réels \(a\) et \(b\) pour lesquels la fonction \(\varphi\) suivante est continue sur \(\mathbb{R}\) : \(\varphi(x) = e^x\) si \(x \leq\, 0\), \(\varphi(x) = ax + b\) si \(0 < x < 1\), et \(\varphi(x) = 3 + \ln x\) si \(x \geq\, 1\).

Exercice 5 : Fonctions croissantes et sauts

Soit \(f : [0, 1] \to \mathbb{R}\) une fonction croissante.

1. Justifiez que, pour tout \(x \in \,]0, 1[\), les limites \(f(x^-)\) et \(f(x^+)\) existent, et que \(f(x^-) \leq\, f(x) \leq\, f(x^+)\). Montrez aussi que \(f(x^+) \leq\, f(y^-)\) pour \(0 < x < y < 1\).
2. On pose \(s(x) = f(x^+) – f(x^-)\), le saut de \(f\) en \(x\). Montrez que \(f\) est continue en \(x\) si et seulement si \(s(x) = 0\).
3. Soit \(x_1 < x_2 < \cdots < x_p\) des points de \(]0, 1[\). Montrez que \(\sum_{i=1}^{p} s(x_i) \leq\, f(1) – f(0)\).
4. En déduire que, pour tout entier \(n \geq\, 1\), l’ensemble des \(x \in \,]0, 1[\) tels que \(s(x) \geq\, 1/n\) est fini, de cardinal au plus \(n(f(1) – f(0))\).
5. On définit \(g\) sur \([0, 1]\) par \(g(0) = 0\) et \(g(x) = \dfrac{1}{\lfloor 1/x \rfloor}\) pour \(x > 0\). Montrez que \(g\) est croissante, continue en 0, et discontinue en chaque point \(1/k\) avec \(k \geq\, 2\) entier. Calculez le saut en \(1/k\).

Exercice 6 : Équation fonctionnelle de Cauchy

On cherche les fonctions \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continues telles que \(f(x + y) = f(x) + f(y)\) pour tous réels \(x\) et \(y\). On pose \(a = f(1)\).

1. Montrez que \(f(0) = 0\) et que \(f\) est impaire.
2. Montrez que \(f(nx) = nf(x)\) pour tout \(n \in \mathbb{Z}\) et tout réel \(x\).
3. En déduire que \(f(r) = ar\) pour tout rationnel \(r\).
4. Conclure, à l’aide de la densité de \(\mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{R}\) et de la caractérisation séquentielle, que \(f(x) = ax\) pour tout réel \(x\).
5. Montrez que, pour une fonction vérifiant l’équation, la continuité en 0 suffit à entraîner la continuité sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 7 : Fonctions invariantes par dilatation

1. Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continue en 0 telle que \(f(2x) = f(x)\) pour tout réel \(x\). Montrez que \(f\) est constante.
2. Donnez une fonction non constante qui vérifie \(f(2x) = f(x)\) pour tout \(x\). Où n’est-elle pas continue ?
3. Déterminez toutes les fonctions \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continues en 0 telles que \(g(2x) = g(x) + x\) pour tout réel \(x\). On pourra étudier \(x \mapsto g(x) – x\).

Exercice 8 : Existence de solutions par le TVI

1. Soit \(P(x) = x^3 – 3x + 1\). Calculez \(P(-2)\), \(P(0)\), \(P(1)\) et \(P(2)\). En déduire que \(P\) admet exactement trois racines réelles, et localisez chacune entre deux entiers consécutifs.
2. Montrez que l’équation \(\cos x = x\) admet une unique solution dans \([0, \pi/2]\).
3. Montrez que tout polynôme réel de degré impair admet au moins une racine réelle.

Exercice 9 : Points fixes et intersections de courbes

1. Soit \(f : [a, b] \to [a, b]\) continue. Montrez que \(f\) admet un point fixe, c’est-à-dire un \(c \in [a, b]\) tel que \(f(c) = c\).
2. Montrez que ce résultat tombe en défaut sur \([0, 1[\) et sur \(\mathbb{R}\), à l’aide de contre-exemples.
3. Soit \(f\) et \(g\) continues sur \([a, b]\) telles que \(f(a) \leq\, g(a)\) et \(f(b) \geq\, g(b)\). Montrez que les courbes de \(f\) et \(g\) se coupent.
4. Soit \(f : [0, 1] \to [0, 1]\) continue et décroissante. Montrez que le point fixe de \(f\) est unique.

Exercice 10 : Méthode de dichotomie

On pose \(f(x) = x^3 + x – 1\).

1. Montrez que l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution réelle \(\alpha\), et que \(\alpha \in \,]0, 1[\).
2. On pose \(a_0 = 0\), \(b_0 = 1\) puis, pour \(m_n = (a_n + b_n)/2\) : si \(f(m_n) < 0\), \(a_{n+1} = m_n\) et \(b_{n+1} = b_n\) ; sinon, \(a_{n+1} = a_n\) et \(b_{n+1} = m_n\). Montrez que \(a_n \leq\, \alpha \leq\, b_n\) et \(b_n – a_n = 2^{-n}\) pour tout \(n\).
3. Montrez que \((a_n)\) et \((b_n)\) sont adjacentes et convergent vers \(\alpha\).
4. Calculez \(a_n\) et \(b_n\) pour \(n \leq\, 4\).
5. Combien d’étapes suffisent pour que \(m_n\) approche \(\alpha\) à \(10^{-3}\) près ?

Exercice 11 : Fonctions continues et bornes atteintes

1. Soit \(f\) continue sur \([a, b]\) telle que \(f(x) > 0\) pour tout \(x\). Montrez qu’il existe \(m > 0\) tel que \(f(x) \geq\, m\) pour tout \(x \in [a, b]\). Le résultat subsiste-t-il sur \(]0, 1]\) ?
2. Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continue telle que \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\). Montrez que \(f\) admet un minimum sur \(\mathbb{R}\).
3. Soit \(f : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}\) continue telle que \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\). Montrez que \(f\) est bornée. Montrez ensuite que, s’il existe \(x_0\) tel que \(f(x_0) > 0\), alors \(f\) admet un maximum.
4. Appliquez la question précédente à \(x \mapsto x e^{-x}\) et calculez ce maximum.

Exercice 12 : Images d’intervalles

1. Déterminez l’image de \([-1, 2]\) par \(x \mapsto x^2 – 2x\).
2. Déterminez l’image de \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto \dfrac{x}{1 + x^2}\).
3. Déterminez \(\sin(]0, 2\pi[)\) et \(\varphi(]0, 1])\) pour \(\varphi(x) = 1/x\). Quelles propriétés de l’intervalle de départ ne sont pas conservées ?
4. Existe-t-il une fonction continue sur \([0, 1]\) dont l’image est \(]0, 1]\) ? Et une fonction continue sur \(]0, 1]\) dont l’image est \(]0, 1]\) ?

Exercice 13 : Une bijection et sa réciproque

On pose \(f(x) = x + e^x\) pour \(x\) réel.

1. Montrez que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\). On note \(g\) sa réciproque.
2. Justifiez que \(g\) est continue et strictement croissante. Calculez \(g(1)\) et \(g(1 + e)\).
3. Déterminez les limites de \(g\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
4. Montrez que \(\lim_{y \to +\infty} \dfrac{g(y)}{\ln y} = 1\).
5. Montrez que \(\lim_{y \to -\infty} (g(y) – y) = 0\).

Exercice 14 : Réciproque de la tangente hyperbolique

On rappelle que \(\mathrm{th}(x) = \dfrac{\mathrm{sh}(x)}{\mathrm{ch}(x)} = \dfrac{e^{2x} – 1}{e^{2x} + 1}\).

1. Montrez que \(\mathrm{th}\) est impaire, continue, strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et calculez ses limites en \(\pm\infty\).
2. En déduire que \(\mathrm{th}\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur un intervalle \(J\) à préciser.
3. Résolvez \(\mathrm{th}(x) = y\) pour \(y \in J\) et donnez une expression explicite de la réciproque \(\mathrm{argth}\).
4. Vérifiez sur cette formule que \(\mathrm{argth}\) est continue, strictement croissante, impaire, et calculez ses limites aux bornes de \(J\).

Exercice 15 : Injections continues

1. Soit \(f\) continue et injective sur un intervalle \(I\). Soit \(x < y\) et \(x^{\prime} < y^{\prime}\) dans \(I\). On pose, pour \(t \in [0, 1]\), \(x_t = (1 – t)x + tx^{\prime}\), \(y_t = (1 – t)y + ty^{\prime}\) et \(\varphi(t) = f(y_t) – f(x_t)\). Montrez que \(\varphi\) ne s’annule pas sur \([0, 1]\). En déduire que \(f(y) – f(x)\) et \(f(y^{\prime}) – f(x^{\prime})\) ont le même signe, puis que \(f\) est strictement monotone.
2. Montrez qu’il n’existe aucune fonction continue \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) telle que \(f \circ f = -\mathrm{id}_{\mathbb{R}}\).
3. Montrez qu’il n’existe pas de bijection continue de \([0, 1]\) sur \(]0, 1[\), ni de \(]0, 1[\) sur \([0, 1]\).
4. Vérifiez que \(x \mapsto \dfrac{1 + \sin(2\pi x)}{2}\) est une surjection continue de \(]0, 1[\) sur \([0, 1]\).

Exercice 16 : Fonctions à valeurs complexes

1. Montrez que \(t \mapsto e^{it}\) n’a pas de limite en \(+\infty\), mais que \(t \mapsto \dfrac{e^{it}}{t}\) tend vers 0 en \(+\infty\).
2. Montrez que \(h : t \mapsto \dfrac{e^{it} – 1}{t}\) est prolongeable par continuité en 0 et donnez la valeur du prolongement.
3. Soit \(\varphi(t) = e^{i\pi t}\) sur \([0, 1]\), dont l’image est tracée ci-dessous. Calculez \(\varphi(0)\), \(\varphi(1)\) et \(|\varphi(t)|\). Que peut-on dire du théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions à valeurs complexes ?
4. Soit \(f : [a, b] \to \mathbb{C}\) continue. Montrez que \(f\) est bornée et qu’il existe \(c \in [a, b]\) tel que \(|f(c)| = \max_{[a, b]} |f|\).

Exercice 17 : Théorème de la corde universelle

Soit \(f : [0, 1] \to \mathbb{R}\) continue telle que \(f(0) = f(1)\).

1. Soit \(n \geq\, 1\) un entier. On pose \(g(x) = f(x + \frac{1}{n}) – f(x)\) pour \(x \in [0, 1 – \frac{1}{n}]\). Calculez \(\sum_{k=0}^{n-1} g(\frac{k}{n})\).
2. En déduire qu’il existe \(c \in [0, 1 – \frac{1}{n}]\) tel que \(f(c + \frac{1}{n}) = f(c)\). Interprétez ce résultat en termes de corde horizontale.
3. Soit \(a \in \,]0, 1[\) tel que \(1/a\) ne soit pas entier. On pose \(f(x) = \sin^2(\frac{\pi x}{a}) – x \sin^2(\frac{\pi}{a})\). Montrez que \(f(0) = f(1)\) et que \(f(x + a) \neq f(x)\) pour tout \(x \in [0, 1 – a]\).
4. Conclure : pour quelles longueurs \(a \in \,]0, 1[\) toute fonction continue avec \(f(0) = f(1)\) admet-elle une corde horizontale de longueur \(a\) ?

Exercice 18 : Fonctions continues périodiques

Soit \(T > 0\) et \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continue et \(T\)-périodique.

1. Montrez que \(f(\mathbb{R}) = f([0, T])\). En déduire que \(f\) est bornée et atteint ses bornes.
2. On suppose de plus que \(f\) admet une limite finie \(\ell\) en \(+\infty\). Montrez que \(f\) est constante.
3. Soit \(f\) et \(g\) continues et \(T\)-périodiques telles que \(\lim_{x \to +\infty} (f(x) – g(x)) = 0\). Montrez que \(f = g\).
4. La fonction \(x \mapsto x – \lfloor x \rfloor\) est 1-périodique. Est-elle bornée ? Atteint-elle ses bornes ? Commentez.

Exercice 19 : Problème : une suite définie par des racines

Pour tout entier \(n \geq\, 1\), on pose \(f_n(x) = x^n + x – 1\) pour \(x \geq\, 0\).

1. Montrez que \(f_n\) s’annule en un unique point \(u_n\) de \([0, +\infty[\), et que \(u_n \in \,]0, 1[\).
2. Calculez \(u_1\) et \(u_2\).
3. Calculez \(f_{n+1}(u_n)\) en fonction de \(u_n\) et en déduire que la suite \((u_n)\) est strictement croissante.
4. Montrez que \((u_n)\) converge vers une limite \(\ell \in \,]0, 1]\).
5. En raisonnant par l’absurde, montrez que \(\ell = 1\).
6. À l’aide de l’inégalité de Bernoulli \((1 – \varepsilon)^n \geq\, 1 – n\varepsilon\) pour \(\varepsilon \in [0, 1]\), montrez que \(u_n \leq\, \dfrac{n}{n + 1}\). Vérifiez cette inégalité pour \(n = 1\) et \(n = 2\).

Exercice 20 : Monotonie et image d’un intervalle

Soit \(I\) un intervalle et \(f : I \to \mathbb{R}\) croissante telle que \(f(I)\) soit un intervalle.

1. Soit \(a\) un point intérieur à \(I\). On suppose \(f(a^-) < f(a^+)\). Montrez qu’il existe un réel \(y\) de \(]f(a^-), f(a^+)[\), distinct de \(f(a)\), qui n’appartient pas à \(f(I)\). En déduire une contradiction, puis que \(f\) est continue en \(a\).
2. Adaptez l’argument lorsque \(a\) est une extrémité de \(I\) appartenant à \(I\). Conclure que \(f\) est continue sur \(I\).
3. En déduire une nouvelle preuve de la continuité de la réciproque d’une bijection continue strictement croissante d’un intervalle \(I\) sur un intervalle \(J\).
4. Soit \(f\) définie sur \([0, 2]\) par \(f(x) = x\) si \(x \leq\, 1\) et \(f(x) = x + 1\) si \(x > 1\). Vérifiez que \(f\) est strictement croissante et discontinue, et déterminez \(f([0, 2])\).
5. On pose \(h(0) = 0\) et \(h(x) = \sin(1/x)\) pour \(x \in \,]0, 1]\). Montrez que \(h\) transforme tout intervalle en intervalle, mais n’est pas continue. Quelle hypothèse manque ?

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths sup

• Le cours : limites et continuité, cours de maths sup
• À maîtriser avant : Nombres réels et suites numériques
• Chapitre précédent : Suites particulières et suites récurrentes
• Chapitre suivant : Dérivabilité et convexité
• Le même thème en L1 : limites et continuité, exercices de maths en L1
• Tester vos connaissances : QCM de maths sup par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths sup et les chapitres de maths spé