Relations de comparaison : exercices de maths sup corrigés en PDF.

Exercice 1 : Limites par équivalents usuels

À l’aide des équivalents usuels, calculez les limites suivantes.

1. \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{\sin(2x)}\).
2. \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} – 1}{1 – \cos x}\).
3. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 (1 – \cos\frac{1}{x})\).
4. \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n(2^{1/n} – 1)\).
5. \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} – 1}{\tan x}\).

Exercice 2 : Croissances comparées écrites avec o

1. Justifiez les relations suivantes :
   1. \((\ln x)^3 = o(\sqrt{x})\) en \(+\infty\) ;
   2. \(x^5 e^{-x} = o(\dfrac{1}{x^2})\) en \(+\infty\) ;
   3. \(\ln x = o(\dfrac{1}{\sqrt{x}})\) en \(0^{+}\) ;
   4. \(e^{-1/x} = o(x^{10})\) en \(0^{+}\).
2. On considère, pour \(x > 1\), les fonctions \(f_1(x) = x \ln x\), \(f_2(x) = x^{3/2}\), \(f_3(x) = x (\ln x)^5\), \(f_4(x) = e^{\sqrt{x}}\) et \(f_5(x) = \dfrac{x^2}{\ln x}\). Rangez-les de sorte que chacune soit négligeable devant la suivante en \(+\infty\), en justifiant chaque comparaison.

Exercice 3 : Équivalents de polynômes et de fractions rationnelles

1. Soit \(f(x) = \dfrac{3x^4 – x + 2}{x^2 + 5x}\). Donnez un équivalent simple de \(f\) en \(+\infty\), puis en \(0\). Déduisez-en les limites de \(f\) en \(+\infty\), en \(0^{+}\) et en \(0^{-}\).
2. Soit \(g(x) = x^3 – 2x^2 + x\). Donnez un équivalent simple de \(g\) en \(0\), en \(+\infty\), puis en \(1\).
3. Soit \(h(x) = \dfrac{x^2 – 1}{x^3 – 1}\). Pourquoi ne peut-on pas remplacer numérateur et dénominateur par leurs termes de plus bas degré en \(1\) ? Calculez la limite de \(h\) en \(1\).

Exercice 4 : Comparer des suites avec o et O

1. Justifiez les relations suivantes et dites, dans chaque cas, si l’on a aussi un \(o\) ou un équivalent :
   1. \(n^2 + 3n = O(n^2)\) ;
   2. \((-1)^n n = O(n)\) ;
   3. \(n^2 \sin\dfrac{1}{n} \sim n\) ;
   4. \(\dfrac{1}{n+1} – \dfrac{1}{n} = O(\dfrac{1}{n^2})\).
2. Rangez les suites suivantes de sorte que chacune soit négligeable devant la suivante : \(n^{10}\), \(1{,}1^{n}\), \(n!\), \((\ln n)^{100}\), \(n^{n}\), \(\sqrt{n}\,\ln n\).

Exercice 5 : Vrai ou faux sur les règles de calcul

Les suites \((u_n)\), \((v_n)\), \((w_n)\) et \((t_n)\) sont strictement positives. Pour chaque affirmation, donnez une démonstration si elle est vraie et un contre-exemple si elle est fausse.

1. Si \(u_n \sim v_n\), alors \(u_n^2 \sim v_n^2\).
2. Si \(u_n \sim v_n\) et \(w_n \sim t_n\), alors \(u_n + w_n \sim v_n + t_n\).
3. Si \(u_n \sim v_n\), alors \(e^{u_n} \sim e^{v_n}\).
4. Si \(u_n \sim v_n\), alors \(u_n – v_n \to 0\).
5. Si \(u_n = o(v_n)\) et \(v_n = O(w_n)\), alors \(u_n = o(w_n)\).
6. Si \(u_n = o(v_n)\), alors \(u_n + v_n \sim v_n\).
7. Si \(u_n – v_n \to 0\), alors \(u_n \sim v_n\).

Exercice 6 : Différences, factoriser avant d’utiliser les équivalents

1. Un étudiant écrit : « \(\sqrt{n+1} \sim \sqrt{n}\), donc \(\sqrt{n+1} – \sqrt{n} \sim 0\) ». Relevez les deux erreurs.
2. Montrez que \(\sqrt{n+1} – \sqrt{n} \sim \dfrac{1}{2\sqrt{n}}\).
3. Montrez que \(\ln(n+1) – \ln n \sim \dfrac{1}{n}\).
4. Montrez que \(e^{1/n} – e^{1/(n+1)} \sim \dfrac{1}{n^2}\).
5. Calculez \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + x} – x)\).

Exercice 7 : Signe et limite par équivalents

1. Soit \(f(x) = \dfrac{(1 – \cos x)(e^x – 1)}{\ln(1 + x^2)}\) pour \(x \neq 0\) voisin de \(0\). Trouvez un équivalent simple de \(f\) en \(0\). Déduisez-en la limite de \(f\) en \(0\) et son signe au voisinage de \(0\).
2. Calculez \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} – 1}{\sqrt{1+x} – 1}\).
3. Soit \(u_n = \dfrac{n^2 – 3n\ln n + 1}{n^3 – 100n^2}\) pour \(n \geq\, 101\). Donnez un équivalent de \(u_n\), sa limite, et montrez que \(u_n > 0\) à partir d’un certain rang.
4. Soit \(v_n = \ln(\cos\dfrac{1}{n})\) pour \(n \geq\, 1\). Donnez un équivalent de \(v_n\) et le signe de \(v_n\). Calculez \(\displaystyle\lim n^2 v_n\).

Exercice 8 : Domination et symbole O

1. Soit \(f(x) = x(2 + \sin x)\) pour \(x > 0\). Montrez qu’en \(+\infty\), \(f(x) = O(x)\) et \(x = O(f(x))\), mais que \(f(x)\) n’est pas équivalent à \(x\).
2. Montrez que \(\sin\dfrac{1}{x} = O(1)\) en \(0\), mais que ce n’est pas un \(o(1)\).
3. Montrez que si \(f = O(g)\) en \(a\) et si \(g \to 0\) en \(a\), alors \(f \to 0\) en \(a\).
4. Montrez que si \(u_n = O(\dfrac{1}{n^2})\), alors \(n u_n \to 0\). Est-ce encore vrai si l’on suppose seulement \(u_n = O(\dfrac{1}{n})\) ?

Exercice 9 : Équivalent de ln(n!) par encadrement

1. En utilisant la croissance de \(\ln\), montrez que pour tout entier \(k \geq\, 2\) :
   \[\int_{k-1}^{k} \ln t\,dt \leq\, \ln k \leq\, \int_{k}^{k+1} \ln t\,dt.\]
2. Déduisez-en que, pour \(n \geq\, 2\), \(n\ln n – n + 1 \leq\, \ln(n!) \leq\, (n+1)\ln(n+1) – n\).
3. Montrez que \(\ln(n!) \sim n \ln n\), sans utiliser la formule de Stirling.
4. A-t-on \(n! \sim n^{n}\) ? Commentez.

Exercice 10 : Sommes de puissances d’entiers

1. Soit \(\alpha > 0\) et \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^{\alpha}\). Montrez que
   \[\frac{n^{\alpha+1}}{\alpha+1} \leq\, S_n \leq\, \frac{(n+1)^{\alpha+1}}{\alpha+1},\]
   puis que \(S_n \sim \dfrac{n^{\alpha+1}}{\alpha+1}\).
2. Vérifiez ce résultat pour \(\alpha = 2\) à l’aide de la formule exacte de \(\sum_{k=1}^{n} k^2\).
3. Soit \(T_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}\). Montrez que \(2\sqrt{n+1} – 2 \leq\, T_n \leq\, 2\sqrt{n} – 1\), puis que \(T_n \sim 2\sqrt{n}\).

Exercice 11 : Logarithme d’un équivalent

1. Soient \(f\) et \(g\) strictement positives au voisinage de \(a\), avec \(f \sim g\) en \(a\). On suppose que \(g\) tend vers \(\ell \in [0, +\infty]\) avec \(\ell \neq 1\). Montrez que \(\ln f \sim \ln g\) en \(a\).
2. Déduisez-en un équivalent simple de \(\ln(n^2 + n + 1)\), de \(\ln(\sin x)\) en \(0^{+}\), et de \(\ln(x + \sqrt{x^2 + 1})\) en \(+\infty\).
3. Montrez par un contre-exemple que l’hypothèse \(\ell \neq 1\) ne peut pas être supprimée.

Exercice 12 : Limites de puissances, les pièges de la composition

1. Calculez \(\displaystyle\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}\).
2. Calculez \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (\frac{\ln(x+1)}{\ln x})^{x \ln x}\).
3. On admet que \(\sin u = u – \dfrac{u^3}{6} + o(u^3)\) en \(0\). Calculez \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (n \sin\frac{1}{n})^{n^2}\).
4. On admet que \(\ln(1+u) = u – \dfrac{u^2}{2} + o(u^2)\) en \(0\). Montrez que \(x^2 \ln(1 + \frac{1}{x}) \sim x\) en \(+\infty\), puis calculez la limite de \((1 + \frac{1}{x})^{x^2} e^{-x}\). A-t-on \((1 + \frac{1}{x})^{x^2} \sim e^{x}\) ?

Exercice 13 : Formule de Stirling et coefficients binomiaux

1. Montrez que \(\dfrac{n^n}{n!\,e^{n}} \sim \dfrac{1}{\sqrt{2\pi n}}\).
2. Montrez que \(\dbinom{3n}{n} \sim \dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{\pi n}} (\dfrac{27}{4})^{n}\).
3. On lance \(2n\) fois une pièce équilibrée. On note \(p_n\) la probabilité d’obtenir exactement \(n\) fois pile. Exprimez \(p_n\), donnez-en un équivalent et sa limite.
4. Montrez que \(\sqrt{n}\,p_n\) a une limite finie non nulle. Que vaut-elle ?

Exercice 14 : Formule de Stirling et racine n-ième de n!

1. Montrez que \((n!)^{1/n} \sim \dfrac{n}{e}\). Expliquez pourquoi on ne peut pas se contenter d’élever la formule de Stirling à la puissance \(\frac{1}{n}\) sans justification.
2. Déduisez-en \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n}(\frac{(2n)!}{n!})^{1/n}\).
3. Comparez \(n!\) et \(n^{n/2}\) au sens de \(o\).

Exercice 15 : Une suite récurrente qui tend vers 0

Soit \(u_0 \in \, ]0, 1[\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} = u_n – u_n^2\).

1. Montrez que \(u_n \in \, ]0, 1[\) pour tout \(n\), que \((u_n)\) est décroissante et qu’elle tend vers \(0\).
2. Montrez que \(\dfrac{1}{u_{n+1}} – \dfrac{1}{u_n} = \dfrac{1}{1 – u_n}\) pour tout \(n\). Déduisez-en que \(u_n < \dfrac{1}{n}\) pour tout \(n \geq\, 1\).
3. À l’aide du lemme de Cesàro, montrez que \(u_n \sim \dfrac{1}{n}\).

Exercice 16 : Racine d’une équation à paramètre

Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(f_n(x) = x^5 + nx – 1\). La figure ci-dessous représente \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\) et \(f_4\) sur \([0, 1]\).

1. Montrez que \(f_n\) admet une unique racine \(x_n\) dans \([0, +\infty[\), et que \(0 < x_n < \dfrac{1}{n}\).
2. Montrez que \(x_n \sim \dfrac{1}{n}\).
3. Montrez que \(x_n = \dfrac{1}{n} – \dfrac{1}{n^6} + o(\dfrac{1}{n^6})\).
4. Poussez le développement d’un terme : montrez que \(x_n = \dfrac{1}{n} – \dfrac{1}{n^6} + \dfrac{5}{n^{11}} + o(\dfrac{1}{n^{11}})\).

Exercice 17 : Les solutions de tan x = x

La figure ci-dessous montre les intersections de la courbe de la tangente avec la droite \(y = x\).

1. Soit \(n \geq\, 1\). Montrez que l’équation \(\tan x = x\) admet une unique solution \(x_n\) dans \(]n\pi – \frac{\pi}{2}, n\pi + \frac{\pi}{2}[\), et que \(x_n \in ]n\pi, n\pi + \frac{\pi}{2}[\).
2. Montrez que \(x_n \sim n\pi\).
3. Justifiez que \(x_n = n\pi + \arctan(x_n)\), puis que \(x_n = n\pi + \dfrac{\pi}{2} + o(1)\).
4. En utilisant \(\arctan y + \arctan\dfrac{1}{y} = \dfrac{\pi}{2}\) pour \(y > 0\), montrez que
   \[x_n = n\pi + \frac{\pi}{2} – \frac{1}{n\pi} + o(\frac{1}{n}).\]

Exercice 18 : Une suite d’intégrales

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}\,dx\). La figure ci-dessous montre les fonctions intégrées pour quelques valeurs de \(n\).

1. Calculez \(I_0\). Montrez que \((I_n)\) est positive, décroissante, que \(I_n \leq\, \dfrac{1}{n+1}\), et que \(I_n \to 0\).
2. Montrez que \(I_n + I_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}\) pour tout \(n\).
3. Montrez que \(\dfrac{1}{2(n+1)} \leq\, I_n \leq\, \dfrac{1}{2n}\) pour \(n \geq\, 1\). Déduisez-en que \(I_n \sim \dfrac{1}{2n}\).
4. Montrez que \(I_n = \dfrac{1}{2n} + O(\dfrac{1}{n^2})\).

Exercice 19 : Intégrales de Wallis et constante de Stirling

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(W_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n t\,dt\).

1. Calculez \(W_0\) et \(W_1\). Montrez que \(W_n > 0\) et que \((W_n)\) est décroissante.
2. Par une intégration par parties, montrez que \((n+2)W_{n+2} = (n+1)W_n\).
3. Montrez que la suite \(((n+1)W_{n+1}W_n)\) est constante égale à \(\dfrac{\pi}{2}\).
4. Montrez que \(W_{n+1} \sim W_n\), puis que \(W_n \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}\).
5. Montrez que \(W_{2p} = \dfrac{(2p)!}{4^{p}(p!)^2} \cdot \dfrac{\pi}{2}\). On admet qu’il existe \(C > 0\) tel que \(n! \sim C\sqrt{n}(\frac{n}{e})^{n}\). Montrez que \(C = \sqrt{2\pi}\).

Exercice 20 : Série harmonique et constante d’Euler

Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(H_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\), \(v_n = H_n – \ln n\) et \(w_n = H_n – \ln(n+1)\). On rappelle que \(\dfrac{x}{1+x} \leq\, \ln(1+x) \leq\, x\) pour tout \(x > -1\).

1. Montrez que les suites \((v_n)\) et \((w_n)\) sont adjacentes. On note \(\gamma\) leur limite commune.
2. Déduisez-en que \(H_n = \ln n + \gamma + o(1)\), et que \(1 – \ln 2 \leq\, \gamma \leq\, 1\).
3. Montrez que \(0 \leq\, H_n – \ln n – \gamma \leq\, \dfrac{1}{n}\), c’est-à-dire \(H_n = \ln n + \gamma + O(\dfrac{1}{n})\).
4. Calculez \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}\).

Exercice 21 : Problème, itérées du sinus

Soit \(u_0 \in ]0, \frac{\pi}{2}]\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} = \sin(u_n)\). On admet que \(\sin x = x – \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)\) en \(0\).

1. Montrez que \(u_n \in ]0, \frac{\pi}{2}]\) pour tout \(n\), que \((u_n)\) est décroissante, et qu’elle converge vers \(0\).
2. Montrez que \(\sin^2 x = x^2 – \dfrac{x^4}{3} + o(x^4)\) en \(0\), puis que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} (\frac{1}{\sin^2 x} – \frac{1}{x^2}) = \frac{1}{3}\).
3. Déduisez-en que \(\dfrac{1}{u_{n+1}^2} – \dfrac{1}{u_n^2} \to \dfrac{1}{3}\), puis que \(u_n \sim \sqrt{\dfrac{3}{n}}\).
4. Montrez que \(u_n = o(\dfrac{1}{n^{1/3}})\), mais que \((n u_n)\) tend vers \(+\infty\). Comparez ainsi \((u_n)\) à \((\dfrac{1}{n})\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths sup

• Le cours : relations de comparaison, cours de maths sup
• À maîtriser avant : Limites et continuité des fonctions, Suites particulières et suites récurrentes
• Chapitre précédent : Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles
• Chapitre suivant : Développements limités et étude locale
• Tester vos connaissances : QCM de maths sup par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths sup et les chapitres de maths spé