Calcul matriciel : exercices de maths sup corrigés en PDF.

Exercice 1 : Produits de matrices et non-commutativité

On pose

\[A = \begin{pmatrix} 2 0 -1 \\ 1 3 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 2 \\ -1 0 \\ 4 1 \end{pmatrix}, \qquad X = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}.\]

1. Donnez le format de \(AB\) et celui de \(BA\), puis calculez ces deux produits.
2. Calculez \(BX\), puis \(A(BX)\). Calculez ensuite \((AB)X\). Quelle propriété du produit retrouvez-vous ?
3. Soient \(D = \begin{pmatrix} 1 1 \\ 0 1 \end{pmatrix}\) et \(E = \begin{pmatrix} 1 0 \\ 1 1 \end{pmatrix}\). Calculez \(DE\) et \(ED\). Conclusion ?

Exercice 2 : Produits de matrices élémentaires

On travaille dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) et on note \(E_{ij}\) les matrices élémentaires.

1. Démontrez la formule \(E_{ij}E_{kl} = \delta_{jk}E_{il}\) en calculant le coefficient d’indice \((r, s)\) du produit.
2. Pour \(n = 3\), calculez \(E_{12}E_{23}\), \(E_{23}E_{12}\), \(E_{12}^2\) et \(E_{21}E_{12}\).
3. On pose \(N = E_{12} + E_{23}\). Calculez \(N^2\) et \(N^3\), puis écrivez \(N\) et \(N^2\) sous forme de tableaux.
4. Déduisez des questions précédentes deux matrices de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{K})\) qui ne commutent pas, et une matrice non nulle de carré nul.

Exercice 3 : Transposée d’un produit

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 2 0 \\ -1 1 3 \end{pmatrix}\).

1. Calculez \(AA^{T}\) et \(A^{T}A\). Que remarquez-vous ?
2. Démontrez que \((MN)^{T} = N^{T}M^{T}\) pour \(M \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) et \(N \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})\).
3. Déduisez-en que \(MM^{T}\) et \(M^{T}M\) sont symétriques pour toute matrice \(M \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\).
4. On suppose \(M\) à coefficients réels. Exprimez le coefficient diagonal \((M^{T}M)_{jj}\) à l’aide des \(m_{ij}\). Déduisez-en que \(M^{T}M = 0\) entraîne \(M = 0\).

Exercice 4 : Système de Cramer par le pivot de Gauss

On considère le système

\[\begin{cases} x + y + 2z = 3 \\ 2x + 3y + z = 2 \\ -x + y + 4z = 1 \end{cases}\]

1. Écrivez le système sous la forme \(AX = B\).
2. Échelonnez-le par la méthode du pivot, en indiquant chaque opération.
3. Déterminez son unique solution et vérifiez-la.

Exercice 5 : Système homogène associé et compatibilité

On considère le système d’inconnues réelles \(x\), \(y\), \(z\), \(t\) :

\[\begin{cases} x – y + 2z + t = 2 \\ 2x – 2y + 5z + 4t = 7 \\ 3x – 3y + 7z + 5t = 9 \end{cases}\]

1. Écrivez-le sous la forme \(AX = B\) en précisant le format de \(A\).
2. Résolvez le système homogène associé \(AX = 0\).
3. Trouvez une solution particulière, puis décrivez toutes les solutions du système.
4. Pour \((a, b, c) \in \mathbb{R}^3\), donnez une condition nécessaire et suffisante pour que le système de même matrice et de second membre \((a, b, c)\) soit compatible.

Exercice 6 : Système linéaire à paramètre

Soit \(\lambda\) un réel. On considère le système

\[\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y + \lambda z = 2 \\ x + 4y + \lambda^2 z = 5 \end{cases}\]

1. Échelonnez le système en choisissant des pivots indépendants de \(\lambda\).
2. Pour quelles valeurs de \(\lambda\) le système admet-il une unique solution ? Donnez-la.
3. Que se passe-t-il pour les autres valeurs de \(\lambda\) ?
4. On prend \(\lambda = 1\) et on remplace le second membre par \((1, 2, 4)\). Résolvez ce nouveau système.

Exercice 7 : Cercle passant par trois points

Dans un repère orthonormé, on cherche un cercle d’équation \(x^2 + y^2 + ax + by + c = 0\) passant par les points \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,0)\) et \(C(3\,;\,3)\), représentés ci-dessous.

1. Traduisez les trois conditions par un système linéaire d’inconnues \(a\), \(b\), \(c\).
2. Résolvez ce système par le pivot de Gauss.
3. Déterminez le centre et le rayon du cercle. Le point \(D(1\,;\,3)\) est-il sur ce cercle ?
4. Montrez qu’aucun cercle ne passe par \(A\), \(B\) et \(F(2\,;\,0)\). Interprétez.

Exercice 8 : Opérations élémentaires et matrices de transvection

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 4 5 6 \\ 7 8 10 \end{pmatrix}\). On note \(T_{ij}(\lambda) = I_3 + \lambda E_{ij}\) pour \(i \neq j\).

1. Écrivez \(T_{21}(-4)\) et calculez \(T_{21}(-4)A\). Quelle opération sur les lignes a-t-on effectuée ?
2. On effectue ensuite \(L_3 arrow L_3 – 7L_1\), puis \(L_3 arrow L_3 – 2L_2\). Donnez la matrice triangulaire \(U\) obtenue et les matrices de transvection correspondantes.
3. À l’aide de la règle \(E_{ij}E_{kl} = \delta_{jk}E_{il}\), calculez \(G = T_{32}(-2)\,T_{31}(-7)\,T_{21}(-4)\) et vérifiez que \(GA = U\).
4. Calculez \(L = T_{21}(4)\,T_{31}(7)\,T_{32}(2)\), justifiez que \(L = G^{-1}\), et vérifiez que \(A = LU\).
5. Déduisez-en que \(A\) est inversible.
6. Calculez \(AP_{13}\), où \(P_{13}\) échange les lignes 1 et 3 de \(I_3\). Quelle opération sur les colonnes obtient-on ?

Exercice 9 : Inverse par opérations élémentaires

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 0 2 \\ 2 -1 3 \\ 4 1 8 \end{pmatrix}\).

1. Appliquez la méthode de Gauss-Jordan au tableau \((A \mid I_3)\). Montrez que \(A\) est inversible et calculez \(A^{-1}\).
2. Vérifiez le résultat par un produit.
3. Déduisez-en la solution du système \(x + 2z = 1\), \(2x – y + 3z = 0\), \(4x + y + 8z = 2\).

Exercice 10 : Inverse par résolution de AX = Y

1. Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 1 0 \\ 1 0 1 \\ 0 1 1 \end{pmatrix}\). Résolvez le système \(AX = Y\) pour \(Y = (a, b, c)^{T}\) quelconque. Déduisez-en que \(A\) est inversible et donnez \(A^{-1}\).
2. Soit \(\lambda \in \mathbb{R}\) et \(B_\lambda = \begin{pmatrix} 1 \lambda \\ \lambda 1 \end{pmatrix}\). Pour quelles valeurs de \(\lambda\) la matrice \(B_\lambda\) est-elle inversible ? Donnez alors son inverse en résolvant \(B_\lambda X = Y\).
3. Soit \(C = \begin{pmatrix} 1 2 3 \\ 2 4 6 \\ 1 0 1 \end{pmatrix}\). Trouvez une colonne \(X \neq 0\) telle que \(CX = 0\). Pourquoi \(C\) n’est-elle pas inversible ?

Exercice 11 : Matrices triangulaires inversibles

1. Montrez que le produit de deux matrices triangulaires supérieures de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est triangulaire supérieur, et précisez sa diagonale.
2. Soit \(T = \begin{pmatrix} 1 2 -1 \\ 0 2 4 \\ 0 0 -1 \end{pmatrix}\). Justifiez que \(T\) est inversible, puis calculez \(T^{-1}\) en résolvant \(TX = Y\) de bas en haut.
3. Soit \(U = \begin{pmatrix} 2 1 -3 \\ 0 0 1 \\ 0 0 7 \end{pmatrix}\). Trouvez \(X \neq 0\) tel que \(UX = 0\).
4. Plus généralement, soit \(T\) triangulaire supérieure de taille \(n\) dont un coefficient diagonal est nul. Montrez que \(T\) n’est pas inversible. On pourra considérer le plus petit indice \(k\) tel que \(t_{kk} = 0\).

Exercice 12 : Symétriques et antisymétriques

On note \(\mathcal{S}_n\) l’ensemble des matrices symétriques et \(\mathcal{A}_n\) celui des matrices antisymétriques de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

1. Montrez que toute \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) s’écrit de manière unique \(M = S + A\) avec \(S \in \mathcal{S}_n\) et \(A \in \mathcal{A}_n\).
2. Calculez \(S\) et \(A\) pour \(M = \begin{pmatrix} 2 -1 3 \\ 5 0 1 \\ -1 7 4 \end{pmatrix}\).
3. Montrez que les coefficients diagonaux d’une matrice antisymétrique sont nuls, et que le carré d’une matrice antisymétrique est symétrique.
4. Soient \(S, S^{\prime} \in \mathcal{S}_n\). Montrez que \(SS^{\prime}\) est symétrique si et seulement si \(SS^{\prime} = S^{\prime}S\). Donnez un exemple en taille \(2\) où \(SS^{\prime}\) n’est pas symétrique.

Exercice 13 : Commutant d’une matrice diagonale

1. Soient \(D = \mathrm{diag}(d_1, \ldots, d_n)\) et \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Calculez les coefficients de \(DM\) et de \(MD\).
2. On suppose les \(d_i\) deux à deux distincts. Montrez que \(DM = MD\) si et seulement si \(M\) est diagonale.
3. Soit \(\Delta = \mathrm{diag}(1, 1, 2)\). Déterminez toutes les matrices \(M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{K})\) qui commutent avec \(\Delta\).
4. Calculez \(\Delta^m\) pour \(m \in \mathbb{N}\), puis trouvez deux réels \(\alpha_m\) et \(\beta_m\) tels que \(\Delta^m = \alpha_m I_3 + \beta_m \Delta\).

Exercice 14 : Puissance d’une matrice triangulaire par le binôme

Soit \(A = \begin{pmatrix} -1 2 0 \\ 0 -1 3 \\ 0 0 -1 \end{pmatrix}\) et \(N = A + I_3\).

1. Calculez \(N\), \(N^2\) et \(N^3\).
2. Justifiez l’emploi de la formule du binôme pour \(A = -I_3 + N\).
3. Calculez \(A^m\) pour tout entier \(m \geq\, 0\) sous forme d’un tableau explicite.
4. Vérifiez votre formule pour \(m = 2\) par un calcul direct.

Exercice 15 : Puissances de 2I + J et inverse

Soit \(J \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) la matrice dont tous les coefficients valent \(1\), et \(M = \begin{pmatrix} 3 1 1 \\ 1 3 1 \\ 1 1 3 \end{pmatrix}\).

1. Calculez \(J^2\), puis \(J^k\) pour tout \(k \geq\, 1\).
2. Écrivez \(M\) à l’aide de \(I_3\) et \(J\). Montrez que, pour tout \(p \in \mathbb{N}\), \(M^p = 2^p I_3 + \dfrac{5^p – 2^p}{3} J\).
3. Vérifiez que \(M^2 = 7M – 10I_3\). Déduisez-en que \(M\) est inversible et calculez \(M^{-1}\).
4. La formule de la question 2 reste-t-elle vraie pour \(p = -1\) ?

Exercice 16 : Diviseurs de zéro et nilpotents

1. Trouvez deux matrices élémentaires \(A\) et \(B\) de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{K})\) telles que \(AB = 0\) et \(BA \neq 0\).
2. Montrez qu’une matrice \(A \neq 0\) pour laquelle il existe \(B \neq 0\) avec \(AB = 0\) n’est pas inversible.
3. Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 1 \\ 1 1 \end{pmatrix}\). Calculez \(A^2\) et déduisez-en une matrice \(B \neq 0\) telle que \(AB = 0\).
4. Soit \(N = \begin{pmatrix} 0 1 2 \\ 0 0 3 \\ 0 0 0 \end{pmatrix}\). Calculez \(N^2\) et \(N^3\). Montrez que \(I_3 – N\) est inversible et calculez son inverse.

Exercice 17 : Matrices nilpotentes de taille 2

Soit \(M = \begin{pmatrix} a b \\ c d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})\).

1. Vérifiez que \(M^2 – (a + d)M + (ad – bc)I_2 = 0\).
2. On suppose \(M\) nilpotente. Montrez que \(ad – bc = 0\), puis que \(M^k = (a + d)^{k-1}M\) pour tout \(k \geq\, 1\).
3. Déduisez-en que \(M\) est nilpotente si et seulement si \(a + d = 0\) et \(ad – bc = 0\), et qu’alors \(M^2 = 0\).
4. Vérifiez que \(N = \begin{pmatrix} 2 4 \\ -1 -2 \end{pmatrix}\) est nilpotente et calculez \((I_2 + N)^m\) pour \(m \in \mathbb{N}\).

Exercice 18 : Chemins dans un graphe orienté

On considère le graphe orienté ci-dessous, à quatre sommets. On lui associe la matrice d’adjacence \(A \in \mathcal{M}_4(\mathbb{R})\) : \(a_{ij} = 1\) s’il existe une flèche de \(i\) vers \(j\), et \(a_{ij} = 0\) sinon. Un chemin de longueur \(k\) est une suite de \(k\) flèches consécutives.

1. Écrivez la matrice \(A\).
2. Montrez par récurrence sur \(k \geq\, 1\) que \((A^k)_{ij}\) est le nombre de chemins de longueur \(k\) allant de \(i\) à \(j\).
3. Calculez \(A^2\) et \(A^3\).
4. Combien existe-t-il de chemins de longueur 3 de 1 vers 2 ? Décrivez-les. Combien de chemins de longueur 3 partent de 3 et y reviennent ?
5. Combien le graphe possède-t-il de chemins de longueur 2 au total ?

Exercice 19 : Suites récurrentes couplées

On définit deux suites par \(u_0 = 1\), \(v_0 = 0\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} = 3u_n + v_n\) et \(v_{n+1} = -u_n + v_n\).

1. Trouvez \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) telle que \(X_{n+1} = AX_n\), où \(X_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}\). Exprimez \(X_n\) en fonction de \(A\), \(n\) et \(X_0\).
2. On pose \(N = A – 2I_2\). Calculez \(N^2\).
3. Déduisez-en \(A^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
4. Donnez \(u_n\) et \(v_n\) en fonction de \(n\), puis vérifiez pour \(n = 2\).

Exercice 20 : Matrices de rotation du plan

Pour \(\theta \in \mathbb{R}\), on pose \(R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta -\sin \theta \\ \sin \theta \cos \theta \end{pmatrix}\).

1. Montrez que \(R(\alpha)R(\beta) = R(\alpha + \beta)\) pour tous réels \(\alpha\) et \(\beta\). Les matrices \(R(\alpha)\) et \(R(\beta)\) commutent-elles ?
2. Déduisez-en \(R(\theta)^m\) pour \(m \in \mathbb{N}\). Montrez que \(R(\theta)\) est inversible, d’inverse \(R(-\theta) = R(\theta)^{T}\).
3. Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} 1 \end{pmatrix}\). Écrivez \(A = rR(\theta)\) avec \(r > 0\). Calculez \(A^6\), puis \(A^{2026}\).
4. On note \(e_1 = (1, 0)^{T}\). Décrivez les points \(R(\pi/3)^k e_1\) pour \(0 \leq\, k \leq\, 6\).

Exercice 21 : Centre de l’anneau des matrices carrées

On cherche les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), avec \(n \geq\, 2\), qui commutent avec toutes les matrices de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).

1. Cas \(n = 2\) : déterminez les matrices qui commutent avec \(E_{12}\), puis celles qui commutent à la fois avec \(E_{12}\) et \(E_{21}\).
2. Cas général : pour \(A = (a_{kl})\), exprimez \(AE_{ij}\) et \(E_{ij}A\) comme combinaisons de matrices élémentaires.
3. Déduisez-en que \(A\) commute avec toutes les matrices si et seulement si \(A = \lambda I_n\) avec \(\lambda \in \mathbb{K}\).
4. Montrez que chaque \(E_{ij}\) est la différence de deux matrices inversibles. Déduisez-en les matrices qui commutent avec toutes les matrices de \(GL_n(\mathbb{K})\).

Exercice 22 : Problème : la matrice de Pascal

On numérote lignes et colonnes de \(0\) à \(3\). On définit \(P \in \mathcal{M}_4(\mathbb{R})\) par \(p_{ij} = \binom\,{i}{j}\), avec la convention \(\binom\,{i}{j} = 0\) si \(j > i\).

1. Écrivez \(P\) et justifiez qu’elle est inversible.
2. Calculez \(P^{-1}\) en résolvant \(PX = Y\). Quelle formule simple semble donner ses coefficients ?
3. On pose \(N = P – I_4\). Calculez \(N^2\), \(N^3\) et \(N^4\). Retrouvez \(P^{-1}\) à partir de \(I_4 – N + N^2 – N^3\).
4. Calculez \(P^2\) et comparez ses coefficients à \(2^{i-j}\binom\,{i}{j}\).
5. On se place maintenant en taille \(n + 1\), avec les mêmes définitions. Établissez l’identité \(\binom\,{i}{k}\binom\,{k}{j} = \binom\,{i}{j}\binom\,{i-j}{k-j}\) pour \(j \leq\, k \leq\, i\). Déduisez-en les coefficients de \(P^2\), puis prouvez que \(P^{-1}\) a pour coefficients \((-1)^{i-j}\binom\,{i}{j}\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths sup

• Le cours : calcul matriciel, cours de maths sup
• À maîtriser avant : Calculs algébriques : sommes, produits, inégalités, Structures algébriques usuelles : groupes, anneaux, corps
• Chapitre précédent : Structures algébriques usuelles : groupes, anneaux, corps
• Chapitre suivant : Polynômes : division euclidienne, racines, interpolation
• Tester vos connaissances : QCM de maths sup par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths sup et les chapitres de maths spé