Corrigé du contrôle de maths Terminale : étude d’une fonction trigonométrique

Exercice 1 : Parité et périodicité (3 points)

1. D’abord, l’ensemble de définition \(\mathbb{R}\) est symétrique par rapport à 0. Ensuite, pour tout réel \(x\), comme la fonction sinus est impaire :
   
   \(h(-x) = (-x)\sin(-x) = (-x)\times (-\sin x) = x\sin x = h(x)\).
   
   Donc \(h\) est paire.
2. Pour tout réel \(x\) :
   
   \(k(x + \pi) = \sin(2x + 2\pi) + \cos(4x + 4\pi)\).
   
   Or sinus et cosinus sont \(2\pi\)-périodiques, donc \(\sin(2x + 2\pi) = \sin(2x)\) et \(\cos(4x + 4\pi) = \cos(4x + 2 \times 2\pi) = \cos(4x)\).
   
   Donc \(k(x + \pi) = k(x)\) : \(k\) est périodique de période \(\pi\).
3. Pour tout réel \(x\), \(\cos x \geq\, -1\), donc \(2 + \cos x \geq\, 1 > 0\). Ainsi, le dénominateur ne s’annule jamais et \(m\) est définie sur \(\mathbb{R}\), symétrique par rapport à 0.
   
   Ensuite, pour tout réel \(x\) : \(m(-x) = \dfrac{\sin(-x)}{2 + \cos(-x)} = \dfrac{-\sin x}{2 + \cos x} = -m(x)\), car sinus est impaire et cosinus est paire.
   
   Donc \(m\) est impaire.

Erreur fréquente : oublier de vérifier que l’ensemble de définition est symétrique par rapport à 0 avant de calculer \(f(-x)\).

Barème : a) 1 point (0,5 pour l’usage de l’imparité de sinus, 0,5 pour la conclusion) ; b) 1 point (0,5 pour le calcul de \(k(x + \pi)\), 0,5 pour la justification par la \(2\pi\)-périodicité) ; c) 0,5 point pour l’ensemble de définition, 0,5 point pour l’imparité.

Exercice 2 : Dériver des fonctions trigonométriques (3 points)

1. La dérivée de \(x \mapsto \sin(ax + b)\) est \(x \mapsto a\cos(ax + b)\). Ainsi, avec \(a = 2\) :
   
   \(f_1^{\prime}(x) = 3 \times 2\cos(2x – \dfrac{\pi}{4}) = 6\cos(2x – \dfrac{\pi}{4})\).
2. \(f_2 = u^2\) avec \(u = \cos\), donc \(f_2^{\prime} = 2u^{\prime}u\) :
   
   \(f_2^{\prime}(x) = 2 \times (-\sin x) \times \cos x = -2\sin x\cos x = -\sin(2x)\).
3. Ici, \(m = \dfrac{u}{v}\) avec \(u(x) = \sin x\), \(u^{\prime}(x) = \cos x\), \(v(x) = 2 + \cos x\), \(v^{\prime}(x) = -\sin x\).
   
   Alors \(m^{\prime}(x) = \dfrac{\cos x\,(2 + \cos x) – \sin x \times (-\sin x)}{(2 + \cos x)^2} = \dfrac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2 + \cos x)^2}\).
   
   Enfin, comme \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) : \(m^{\prime}(x) = \dfrac{2\cos x + 1}{(2 + \cos x)^2}\).

Barème : a) 1 point (0,5 si le facteur 2 est oublié) ; b) 1 point (0,5 pour la formule \(2u^{\prime}u\), 0,5 pour le résultat) ; c) 0,5 point pour la formule du quotient correctement appliquée, 0,5 point pour la simplification par \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\).

Exercice 3 : Étude complète d’une fonction (8 points)

1. Périodicité. Pour tout réel \(x\) : \(f(x + 2\pi) = \cos(2x + 4\pi) + 2\cos(x + 2\pi) = \cos(2x) + 2\cos x = f(x)\), car cosinus est \(2\pi\)-périodique. Donc \(f\) est \(2\pi\)-périodique.
   
   Parité. \(\mathbb{R}\) est symétrique par rapport à 0 et, cosinus étant paire, \(f(-x) = \cos(-2x) + 2\cos(-x) = \cos(2x) + 2\cos x = f(x)\). Donc \(f\) est paire.
   
   Comme \(f\) est \(2\pi\)-périodique, il suffit de l’étudier sur un intervalle de longueur \(2\pi\), par exemple \([-\pi \,;\, \pi]\). De plus, elle est paire, donc sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Ainsi, il suffit de l’étudier sur \([0 \,;\, \pi]\), puis de compléter par symétrie et par translations.
2. \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). On utilise alors la dérivée de \(\cos(ax + b)\), qui est \(-a\sin(ax + b)\) :
   
   \(f^{\prime}(x) = -2\sin(2x) – 2\sin x = -2 \times 2\sin x\cos x – 2\sin x = -4\sin x\cos x – 2\sin x\).
   
   Enfin, en factorisant par \(-2\sin x\) : \(f^{\prime}(x) = -2\sin x\,(2\cos x + 1)\).
3. Sur \([0 \,;\, \pi]\), \(\sin x \geq\, 0\), et \(\sin x = 0\) seulement pour \(x = 0\) et \(x = \pi\). Donc \(-2\sin x \leq\, 0\).
   
   Ensuite, \(2\cos x + 1 > 0 \iff \cos x > -\dfrac{1}{2}\). Sur le cercle trigonométrique, pour \(x \in [0 \,;\, \pi]\), le point associé est sur le demi-cercle supérieur. Son abscisse est supérieure à \(-\dfrac{1}{2}\) lorsque \(x \in [0 \,;\, \dfrac{2\pi}{3}[\), car \(\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\). Ainsi \(2\cos x + 1 > 0\) sur \([0 \,;\, \dfrac{2\pi}{3}[\), s’annule en \(\dfrac{2\pi}{3}\) et est négatif sur \(]\dfrac{2\pi}{3} \,;\, \pi]\).
   
   Par conséquent, avec la règle des signes : \(f^{\prime}(x) < 0\) sur \(]0 \,;\, \dfrac{2\pi}{3}[\) et \(f^{\prime}(x) > 0\) sur \(]\dfrac{2\pi}{3} \,;\, \pi[\).
   
   Valeurs : \(f(0) = \cos 0 + 2\cos 0 = 1 + 2 = 3\) ; \(f(\dfrac{2\pi}{3}) = \cos\dfrac{4\pi}{3} + 2\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} – 1 = -\dfrac{3}{2}\) ; \(f(\pi) = \cos(2\pi) + 2\cos\pi = 1 – 2 = -1\).

   \(x\)	\(0\)		\(\dfrac{2\pi}{3}\)		\(\pi\)
   \(-2\sin x\)	\(0\)	\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(0\)
   \(2\cos x + 1\)	\(+\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(-\)
   \(f^{\prime}(x)\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)
   \(f\)	\(3\)	décroissante	\(-\dfrac{3}{2}\)	croissante	\(-1\)

   Donc \(f\) est décroissante sur \([0 \,;\, \dfrac{2\pi}{3}]\) et croissante sur \([\dfrac{2\pi}{3} \,;\, \pi]\). Son minimum sur \([0 \,;\, \pi]\) est \(-\dfrac{3}{2}\), atteint en \(\dfrac{2\pi}{3}\).

Questions d à f : tangente et équation f(x) = 0

4. D’abord, \(f(\dfrac{\pi}{2}) = \cos\pi + 2\cos\dfrac{\pi}{2} = -1 + 0 = -1\) et \(f^{\prime}(\dfrac{\pi}{2}) = -2 \times 1 \times (2 \times 0 + 1) = -2\).
   
   Ensuite, \(T : y = f^{\prime}(\dfrac{\pi}{2})(x – \dfrac{\pi}{2}) + f(\dfrac{\pi}{2}) = -2(x – \dfrac{\pi}{2}) – 1\).
   
   Ainsi, \(T : y = -2x + \pi – 1\).
5. Sur \([0 \,;\, \dfrac{2\pi}{3}]\), \(f\) est continue et strictement décroissante, avec \(f(0) = 3 > 0\) et \(f(\dfrac{2\pi}{3}) = -\dfrac{3}{2} < 0\). Alors, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans cet intervalle.
   
   Cependant, sur \([\dfrac{2\pi}{3} \,;\, \pi]\), \(f\) est croissante donc \(f(x) \leq\, f(\pi) = -1 < 0\) : pas de solution.
   
   L’équation admet donc une unique solution \(\alpha\) dans \([0 \,;\, \pi]\). De plus, comme \(f\) est paire, \(f(-\alpha) = f(\alpha) = 0\) et \(-\alpha \neq \alpha\) car \(\alpha \neq 0\). Il y a donc exactement deux solutions dans \([-\pi \,;\, \pi]\), \(\alpha\) et \(-\alpha\).
6. Avec \(\cos(2x) = 2\cos^2 x – 1\) : \(f(x) = 2\cos^2 x + 2\cos x – 1\). Puis, en posant \(X = \cos x\), \(f(x) = 0 \iff 2X^2 + 2X – 1 = 0\).
   
   \(\Delta = 2^2 – 4 \times 2 \times (-1) = 12\), \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) ; \(X_1 = \dfrac{-2 – 2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{-1 – \sqrt{3}}{2} \approx -1{,}37\) et \(X_2 = \dfrac{-1 + \sqrt{3}}{2} \approx 0{,}37\).
   
   Or \(-1 \leq\, \cos x \leq\, 1\), donc la valeur \(X_1 < -1\) est impossible. Donc \(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3} – 1}{2}\).
   
   Enfin, à la calculatrice : \(f(1{,}19) \approx 0{,}020 > 0\) et \(f(1{,}20) \approx -0{,}013 < 0\). Donc \(1{,}19 < \alpha < 1{,}20\).

Erreur fréquente : écrire que \(\cos x > -\dfrac{1}{2}\) sur tout \([0 \,;\, \pi]\) sans regarder le cercle. En effet, le signe de \(2\cos x + 1\) change en \(\dfrac{2\pi}{3}\), pas en \(\dfrac{\pi}{2}\).

Barème : a) 1,5 point (0,5 pour la périodicité, 0,5 pour la parité, 0,5 pour la réduction à \([0 \,;\, \pi]\)) ; b) 1,5 point (0,5 pour la dérivée de \(\cos(2x)\), 0,5 pour l’usage de \(\sin(2x) = 2\sin x\cos x\), 0,5 pour la factorisation) ; c) 2 points (1 pour le signe justifié, 0,5 pour les valeurs exactes, 0,5 pour le tableau) ; d) 1 point (0,5 pour les deux valeurs, 0,5 pour l’équation) ; e) 1 point (0,5 pour le corollaire avec ses hypothèses, 0,5 pour les deux solutions par parité) ; f) 1 point (0,5 pour la valeur exacte, 0,5 pour l’encadrement).

Exercice 4 : Oscillation d’un ressort (6 points)

1. Pour tout réel \(t\) : \(6\cos(\pi(t + 2) – \dfrac{\pi}{3}) = 6\cos(\pi t – \dfrac{\pi}{3} + 2\pi) = 6\cos(\pi t – \dfrac{\pi}{3})\), car cosinus est \(2\pi\)-périodique.
   
   Ainsi, la fonction est 2-périodique : la masse repasse au même endroit, avec la même vitesse, toutes les 2 secondes. C’est donc la durée d’une oscillation complète (aller-retour).
2. \(x(0) = 6\cos(-\dfrac{\pi}{3}) = 6\cos\dfrac{\pi}{3} = 6 \times \dfrac{1}{2} = 3\).
   
   Donc, à \(t = 0\), la masse est à 3 cm de sa position d’équilibre (du côté positif).
3. La dérivée de \(t \mapsto \cos(at + b)\) est \(t \mapsto -a\sin(at + b)\). Ainsi, avec \(a = \pi\) :
   
   \(v(t) = -6\pi\sin(\pi t – \dfrac{\pi}{3})\).

Questions d à f : équilibre, vitesse et élongation

4. D’abord, on pose \(u = \pi t – \dfrac{\pi}{3}\). Pour \(t \in [0 \,;\, 2]\), \(u \in [-\dfrac{\pi}{3} \,;\, \dfrac{5\pi}{3}]\).
   
   Ensuite, \(x(t) = 0 \iff \cos u = 0\). Dans \([-\dfrac{\pi}{3} \,;\, \dfrac{5\pi}{3}]\), les solutions sont \(u = \dfrac{\pi}{2}\) et \(u = \dfrac{3\pi}{2}\) (la valeur \(-\dfrac{\pi}{2}\) est hors de l’intervalle).
   
   Puis \(\pi t – \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} \iff \pi t = \dfrac{5\pi}{6} \iff t = \dfrac{5}{6}\) ; \(\pi t – \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{3\pi}{2} \iff \pi t = \dfrac{11\pi}{6} \iff t = \dfrac{11}{6}\).
   
   Ainsi, la masse passe par sa position d’équilibre aux instants \(t = \dfrac{5}{6}\) s et \(t = \dfrac{11}{6}\) s.
5. Pour tout \(t\), \(|\sin(\pi t – \dfrac{\pi}{3})| \leq\, 1\), donc \(|v(t)| \leq\, 6\pi\).
   
   L’égalité a lieu lorsque \(\sin u = \pm 1\), c’est-à-dire \(\cos u = 0\). Ce sont donc les instants \(t = \dfrac{5}{6}\) s et \(t = \dfrac{11}{6}\) s de la question d).
   
   La vitesse maximale vaut \(6\pi \approx 18{,}8\) cm/s ; elle est atteinte quand la masse passe par sa position d’équilibre.
6. \(v(t)\) est du signe de \(-\sin u\). Sur \([-\dfrac{\pi}{3} \,;\, 0[\), \(\sin u < 0\) ; sur \(]0 \,;\, \pi[\), \(\sin u > 0\) ; sur \(]\pi \,;\, \dfrac{5\pi}{3}]\), \(\sin u < 0\).
   
   Or \(u = 0 \iff t = \dfrac{1}{3}\) et \(u = \pi \iff t = \dfrac{4}{3}\). Donc \(v(t) > 0\) sur \([0 \,;\, \dfrac{1}{3}[\), \(v(t) < 0\) sur \(]\dfrac{1}{3} \,;\, \dfrac{4}{3}[\), \(v(t) > 0\) sur \(]\dfrac{4}{3} \,;\, 2]\).
   
   Enfin, \(x(\dfrac{1}{3}) = 6\cos 0 = 6\) ; \(x(\dfrac{4}{3}) = 6\cos\pi = -6\) ; \(x(2) = 6\cos\dfrac{5\pi}{3} = 6 \times \dfrac{1}{2} = 3\).

   \(t\)	\(0\)		\(\dfrac{1}{3}\)		\(\dfrac{4}{3}\)		\(2\)
   \(v(t)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
   \(x\)	\(3\)	croissante	\(6\)	décroissante	\(-6\)	croissante	\(3\)

   L’élongation maximale est donc de 6 cm de chaque côté de la position d’équilibre (atteinte en \(t = \dfrac{1}{3}\) s et \(t = \dfrac{4}{3}\) s).

Barème : a) 1 point (0,5 pour le calcul, 0,5 pour l’interprétation) ; b) 0,5 point ; c) 1 point (0,5 si le facteur \(\pi\) manque) ; d) 1,5 point (0,5 pour l’intervalle de \(u\), 0,5 pour les solutions en \(u\), 0,5 pour les instants) ; e) 1 point (0,5 pour l’inégalité, 0,5 pour les instants et la valeur) ; f) 1 point (0,5 pour le signe de \(v\), 0,5 pour le tableau et l’élongation).

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Après le corrigé du contrôle : étude d’une fonction trigonométrique

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