Bac de maths 2021 en Amérique du Nord : sujet et corrigé

Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2021
Mathématiques
Amérique du Nord — mai 2021
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Les probabilités demandées dans cet exercice seront arrondies à \(10^{-3}\).

Un laboratoire pharmaceutique vient d’élaborer un nouveau test anti-dopage.

Partie A

Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants :

• si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif est \(0{,}98\) (sensibilité du test) ;
• si un athlète n’est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit négatif est \(0{,}995\) (spécificité du test).

On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des participants à une compétition d’athlétisme.

On note \(D\) l’évènement « l’athlète est dopé » et \(T\) l’évènement « le test est positif ».

On admet que la probabilité de l’évènement \(D\) est égale à \(0{,}08\).

1. Traduire la situation sous la forme d’un arbre pondéré.

2. Démontrer que \(P(T)=0{,}083\).

3. a. Sachant qu’un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité qu’il soit dopé ?

b. Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de l’évènement « un athlète présentant un test positif est dopé » est supérieure ou égale à \(0{,}95\).

Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé ? Justifier.

Partie B

Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu’un athlète contrôlé présente un test positif est \(0{,}103\).

1. Dans cette question 1., on suppose que les organisateurs décident de contrôler 5 athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition.

On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre d’athlètes présentant un test positif parmi les 5 athlètes contrôlés.

a. Donner la loi suivie par la variable aléatoire \(X\). Préciser ses paramètres.

b. Calculer l’espérance \(E(X)\) et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

c. Quelle est la probabilité qu’au moins un des 5 athlètes contrôlés présente un test positif ?

2. Combien d’athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la probabilité de l’évènement « au moins un athlète contrôlé présente un test positif » soit supérieure ou égale à \(0{,}75\) ? Justifier.

Exercice 2 (5 points)

Un biologiste s’intéresse à l’évolution de la population d’une espèce animale sur une île du Pacifique.

Au début de l’année 2020, cette population comptait 600 individus. On considère que l’espèce sera menacée d’extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à 20 individus.

Le biologiste modélise le nombre d’individus par la suite \((u_n)\) définie par :

\[\{\begin{array}{l}u_0=0{,}6\\u_{n+1}=0{,}75\,u_n(1-0{,}15\,u_n)\end{array}.\]

où pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) désigne le nombre d’individus, en milliers, au début de l’année \(2020+n\).

1. Estimer, selon ce modèle, le nombre d’individus présents sur l’île au début de l’année 2021 puis au début de l’année 2022.

Soit \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \([0~;~1]\) par

\[f(x)=0{,}75x\,(1-0{,}15x).\]

2. Montrer que la fonction \(f\) est croissante sur l’intervalle \([0~;~1]\) et dresser son tableau de variations.

3. Résoudre dans l’intervalle \([0~;~1]\) l’équation \(f(x)=x\).

On remarquera pour la suite de l’exercice que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=f(u_n)\).

4. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(0\leq\, u_{n+1}\leq\, u_n\leq\, 1\).

b. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

c. Déterminer la limite \(\ell\) de la suite \((u_n)\).

5. Le biologiste a l’intuition que l’espèce sera tôt ou tard menacée d’extinction.

a. Justifier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.

b. Le biologiste a programmé en langage Python la fonction menace() ci-dessous :

def menace() :
    u = 0,6
    n = 0
    while u > 0,02 :
        u = 0,75*u*(1-0,15*u)
        n = n+1
    return n

Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu’on appelle la fonction menace().

Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Les questions 1. à 5. de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante

On considère un cube ABCDEFGH. Le point I est le milieu du segment [EF], le point J est le milieu du segment [BC] et le point K est le milieu du segment [AE].

1. Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé \((\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}},~\vec{\text{AE}})\).

2. a. Donner les coordonnées des points I et J.

b. Montrer que les vecteurs \(\vec{\text{IJ}}\), \(\vec{\text{AE}}\) et \(\vec{\text{AC}}\) sont coplanaires.

On considère le plan \(\mathcal{P}\) d’équation \(x+3y-2z+2=0\) ainsi que les droites \(d_1\) et \(d_2\) définies par les représentations paramétriques ci-dessous :

\[d_1 : \{\begin{array}{l}x=3+t\\y=8-2t\\z=-2+3t\end{array}.,\ t\in\mathbb{R}\quad\text{et}\quad d_2 : \{\begin{array}{l}x=4+t\\y=1+t\\z=8+2t\end{array}.,\ t\in\mathbb{R}.\]

3. Les droites \(d_1\) et \(d_2\) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

4. Montrer que la droite \(d_2\) est parallèle au plan \(\mathcal{P}\).

5. Montrer que le point \(\text{L}(4~;~0~;~3)\) est le projeté orthogonal du point \(\text{M}(5~;~3~;~1)\) sur le plan \(\mathcal{P}\).

Exercice au choix du candidat

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Exercice A (5 points)

Principaux domaines abordés : Fonction exponentielle. Convexité.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

On justifiera chaque réponse.

Affirmation 1 : Pour tous réels \(a\) et \(b\), \((\text{e}^{a+b})^2=\text{e}^{2a}+\text{e}^{2b}\).

Affirmation 2 : Dans le plan muni d’un repère, la tangente au point A d’abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-2+(3-x)\text{e}^x\) admet pour équation réduite \(y=2x+1\).

Affirmation 3 : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(\text{e}^{2x}-\text{e}^{x}+\dfrac{3}{x})=0\).

Affirmation 4 : L’équation \(1-x+\text{e}^{-x}=0\) admet une seule solution appartenant à l’intervalle \([0~;~2]\).

Affirmation 5 : La fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=x^2-5x+\text{e}^x\) est convexe.

Exercice B (5 points)

Principaux domaines abordés : Fonction logarithme népérien. Convexité.

Dans le plan muni d’un repère, on considère ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}_f\) représentative d’une fonction \(f\), deux fois dérivable sur l’intervalle \(]0~;~+\infty[\).

La courbe \(\mathcal{C}_f\) admet une tangente horizontale \(T\) au point \(\text{A}(1~;~4)\).

1. Préciser les valeurs \(f(1)\) et \(f^{\prime}(1)\).

On admet que la fonction \(f\) est définie pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0~;~+\infty[\) par :

\[f(x)=\dfrac{a+b\ln x}{x}\quad\text{où } a \text{ et } b \text{ sont deux nombres réels.}\]

2. Démontrer que, pour tout réel \(x\) strictement positif, on a :

\[f^{\prime}(x)=\dfrac{b-a-b\ln x}{x^2}.\]

3. En déduire les valeurs des réels \(a\) et \(b\).

Dans la suite de l’exercice, on admet que la fonction \(f\) est définie pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]0~;~+\infty[\) par :

\[f(x)=\dfrac{4+4\ln x}{x}.\]

4. Déterminer les limites de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).

5. Déterminer le tableau de variations de \(f\) sur l’intervalle \(]0~;~+\infty[\).

6. Démontrer que, pour tout réel \(x\) strictement positif, on a :

\[f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{-4+8\ln x}{x^3}.\]

7. Montrer que la courbe \(\mathcal{C}_f\) possède un unique point d’inflexion B dont on précisera les coordonnées.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. L’énoncé donne \(P(D)=0{,}08\), donc \(P(\overline{D})=1-0{,}08=0{,}92\). La sensibilité se traduit par \(P_D(T)=0{,}98\), d’où \(P_D(\overline{T})=0{,}02\). La spécificité se traduit par \(P_{\overline{D}}(\overline{T})=0{,}995\), d’où \(P_{\overline{D}}(T)=0{,}005\). On obtient l’arbre pondéré suivant :

2. Les évènements \(D\) et \(\overline{D}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[P(T)=P(D\cap T)+P(\overline{D}\cap T)=P(D)\times P_D(T)+P(\overline{D})\times P_{\overline{D}}(T)\]

\[P(T)=0{,}08\times 0{,}98+0{,}92\times 0{,}005=0{,}0784+0{,}0046=0{,}083.\]

On a bien \(P(T)=0{,}083\).

3. a. On cherche la probabilité conditionnelle \(P_T(D)\) :

\[P_T(D)=\dfrac{P(D\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0{,}0784}{0{,}083}\approx0{,}9446.\]

Sachant que son test est positif, un athlète est dopé avec une probabilité d’environ \(0{,}945\).

b. On vient de trouver \(P_T(D)\approx0{,}945\), et \(0{,}945\lt 0{,}95\) (la valeur exacte \(0{,}9446\ldots\) est elle aussi strictement inférieure à \(0{,}95\)). La condition fixée par le laboratoire n’est pas remplie : le test ne sera pas commercialisé.

Partie B

1. a. On répète 5 fois, de façon identique et indépendante (on admet que les athlètes sont choisis au hasard dans un effectif suffisamment grand), une épreuve de Bernoulli dont le succès « l’athlète présente un test positif » a pour probabilité \(p=0{,}103\). \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=5\) et \(p=0{,}103\).

b. Pour une loi binomiale, \(E(X)=np=5\times 0{,}103=\) \(0{,}515\).

Interprétation : si l’on répète un grand nombre de fois le contrôle de 5 athlètes, on obtiendra en moyenne un peu plus d’un demi test positif par groupe de 5 athlètes contrôlés (soit environ 52 tests positifs pour 100 groupes de 5 athlètes).

c. L’évènement « au moins un test positif » est le contraire de « aucun test positif », c’est-à-dire \(X=0\) :

\[P(X\geq\,1)=1-P(X=0)=1-(1-0{,}103)^5=1-0{,}897^5\approx1-0{,}581.\]

La probabilité qu’au moins un des 5 athlètes présente un test positif est environ \(0{,}419\).

2. Si l’on contrôle \(n\) athlètes, le nombre de tests positifs suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(0{,}103\), et comme ci-dessus la probabilité d’avoir au moins un test positif vaut \(1-0{,}897^n\). On cherche le plus petit entier \(n\) tel que :

\[1-0{,}897^n\geq\,0{,}75\iff0{,}897^n\leq\,0{,}25.\]

La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0~;~+\infty[\), donc cette inégalité équivaut à \(n\ln(0{,}897)\leq\,\ln(0{,}25)\). Comme \(0\lt 0{,}897\lt 1\), on a \(\ln(0{,}897)\lt 0\) et l’on change le sens de l’inégalité en divisant :

\[n\geq\,\dfrac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}897)}\approx12{,}75.\]

Vérification : \(1-0{,}897^{12}\approx0{,}729\lt 0{,}75\) et \(1-0{,}897^{13}\approx0{,}757\geq\,0{,}75\). Il faut donc contrôler au minimum 13 athlètes.

Exercice 2 :

1. Le début de l’année 2021 correspond à \(n=1\) :

\[u_1=0{,}75\times 0{,}6\times (1-0{,}15\times 0{,}6)=0{,}45\times 0{,}91=0{,}4095.\]

Le début de l’année 2022 correspond à \(n=2\) :

\[u_2=0{,}75\times 0{,}4095\times (1-0{,}15\times 0{,}4095)=0{,}307125\times 0{,}938575\approx0{,}2883.\]

Les nombres étant en milliers, le modèle prévoit environ 409 ou 410 individus au début de 2021 (\(409{,}5\) exactement) et environ 288 individus au début de 2022.

2. \(f\) est un polynôme, donc dérivable sur \([0~;~1]\). En développant, \(f(x)=0{,}75x-0{,}1125x^2\), d’où :

\[f^{\prime}(x)=0{,}75-0{,}225x.\]

Pour \(0\leq\, x\leq\,1\), on a \(0{,}225x\leq\,0{,}225\), donc \(f^{\prime}(x)\geq\,0{,}75-0{,}225=0{,}525\gt 0\). La dérivée est strictement positive, donc \(f\) est strictement croissante sur \([0~;~1]\). Avec \(f(0)=0\) et \(f(1)=0{,}75\times 0{,}85=0{,}6375\), on obtient le tableau :

3. Pour \(x\in[0~;~1]\) :

\[f(x)=x\iff0{,}75x-0{,}1125x^2-x=0\iff x(-0{,}25-0{,}1125x)=0.\]

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(x=0\) ou \(x=-\dfrac{0{,}25}{0{,}1125}=-\dfrac{20}{9}\). Cette seconde valeur est négative, donc n’appartient pas à \([0~;~1]\). L’équation a pour unique solution \(x=0\) dans \([0~;~1]\).

4. a. Notons \(\mathcal{P}_n\) la propriété « \(0\leq\, u_{n+1}\leq\, u_n\leq\,1\) ».

Initialisation : \(u_0=0{,}6\) et \(u_1=0{,}4095\), donc \(0\leq\, u_1\leq\, u_0\leq\,1\) : \(\mathcal{P}_0\) est vraie.

Hérédité : supposons \(\mathcal{P}_n\) vraie pour un entier \(n\) quelconque, c’est-à-dire \(0\leq\, u_{n+1}\leq\, u_n\leq\,1\). Tous ces nombres sont dans \([0~;~1]\), où \(f\) est croissante : appliquer \(f\) conserve donc l’ordre, et \(f(0)\leq\, f(u_{n+1})\leq\, f(u_n)\leq\, f(1)\), soit \(0\leq\, u_{n+2}\leq\, u_{n+1}\leq\,0{,}6375\leq\,1\). \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie.

Conclusion : par le principe de récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(0\leq\, u_{n+1}\leq\, u_n\leq\,1\).

b. D’après la question précédente, la suite \((u_n)\) est décroissante (\(u_{n+1}\leq\, u_n\)) et minorée par 0. D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) converge.

c. Soit \(\ell\) sa limite. Tous les termes sont dans \([0~;~1]\), donc \(\ell\in[0~;~1]\). La fonction \(f\) est continue sur \([0~;~1]\) (c’est un polynôme) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) : en passant à la limite, \(\ell=f(\ell)\). D’après la question 3, la seule solution de cette équation dans \([0~;~1]\) est 0, donc \(\ell=0\).

5. a. Puisque \((u_n)\) tend vers 0, tout intervalle ouvert contenant 0 contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. En particulier, avec l’intervalle \(]-0{,}02~;~0{,}02[\), il existe un rang à partir duquel \(u_n\lt 0{,}02\), c’est-à-dire moins de 20 individus. Selon ce modèle, l’espèce sera tôt ou tard menacée d’extinction : le biologiste a raison.

b. La fonction calcule les termes successifs de la suite tant que \(u\) reste strictement supérieur à \(0{,}02\), en comptant les étapes dans \(n\) ; elle renvoie donc le premier indice \(n\) tel que \(u_n\leq\,0{,}02\). (Dans un vrai programme Python, les nombres s’écrivent avec un point : 0.6, 0.02, 0.75, 0.15.) Les valeurs successives, arrondies à \(10^{-4}\), sont :

Comme \(u_{10}\approx0{,}0249\gt 0{,}02\) et \(u_{11}\approx0{,}0186\leq\,0{,}02\), l’appel menace() renvoie 11.

Interprétation : \(n=11\) correspond à l’année \(2020+11=2031\). Selon ce modèle, la population passe pour la première fois à 20 individus ou moins au début de l’année 2031 (environ 19 individus) : c’est à partir de cette date que l’espèce sera menacée d’extinction sur l’île.

Exercice 3 :

1. Utilisons les milieux. I est le milieu de [EF] et K celui de [AE]. Travaillons avec des vecteurs : \(\vec{\text{AI}}=\vec{\text{AE}}+\vec{\text{EI}}=\vec{\text{AE}}+\dfrac{1}{2}\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{KH}}=\vec{\text{KE}}+\vec{\text{EH}}=\dfrac{1}{2}\vec{\text{AE}}+\vec{\text{AD}}\).

Le vecteur \(\vec{\text{AI}}\) s’écrit sans \(\vec{\text{AD}}\) alors que \(\vec{\text{KH}}\) en contient ; comme \(\vec{\text{AB}}\), \(\vec{\text{AD}}\), \(\vec{\text{AE}}\) ne sont pas coplanaires, ces deux vecteurs ne peuvent pas être colinéaires. Autre façon de le voir : la droite (AI) est contenue dans le plan (ABF) de la face avant, la droite (KH) coupe ce plan uniquement au point K (H n’y est pas), et K n’est pas sur (AI) ; si les droites étaient parallèles, (KH) serait parallèle à un plan qu’elle coupe en un seul point, ce qui est impossible. Les droites (AI) et (KH) ne sont pas parallèles.

2. a. Dans le repère \((\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}},~\vec{\text{AE}})\) : \(\text{A}(0~;~0~;~0)\), \(\text{B}(1~;~0~;~0)\), \(\text{C}(1~;~1~;~0)\), \(\text{E}(0~;~0~;~1)\), \(\text{F}(1~;~0~;~1)\). En prenant les moyennes des coordonnées des extrémités :

\[\text{I}(\dfrac{1}{2}~;~0~;~1)\quad\text{et}\quad\text{J}(1~;~\dfrac{1}{2}~;~0).\]

b. On a \(\vec{\text{IJ}}(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~-1)\), \(\vec{\text{AE}}(0~;~0~;~1)\) et \(\vec{\text{AC}}(1~;~1~;~0)\). On remarque que

\[\dfrac{1}{2}\vec{\text{AC}}-\vec{\text{AE}}=(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~0)-(0~;~0~;~1)=(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~-1)=\vec{\text{IJ}}.\]

\(\vec{\text{IJ}}\) est une combinaison linéaire de \(\vec{\text{AE}}\) et \(\vec{\text{AC}}\) : les trois vecteurs sont coplanaires.

3. Un vecteur directeur de \(d_1\) est \(\vec{u_1}(1~;~-2~;~3)\) et un vecteur directeur de \(d_2\) est \(\vec{u_2}(1~;~1~;~2)\). Les premières coordonnées sont égales (1 et 1) mais pas les deuxièmes (\(-2\) et 1) : s’il existait un réel \(k\) avec \(\vec{u_2}=k\vec{u_1}\), on aurait \(k=1\) puis \(1=-2\), ce qui est faux. Les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires : \(d_1\) et \(d_2\) ne sont pas parallèles.

4. D’après son équation, le plan \(\mathcal{P}\) a pour vecteur normal \(\vec{n}(1~;~3~;~-2)\). Calculons :

\[\vec{u_2}\cdot\vec{n}=1\times 1+1\times 3+2\times (-2)=1+3-4=0.\]

Le vecteur directeur de \(d_2\) est orthogonal à un vecteur normal du plan, donc \(d_2\) est parallèle au plan \(\mathcal{P}\). On peut préciser : le point \((4~;~1~;~8)\) de \(d_2\) vérifie \(4+3-16+2=-7\neq0\), il n’est pas dans \(\mathcal{P}\), donc \(d_2\) est strictement parallèle à \(\mathcal{P}\).

5. Deux conditions sont à vérifier : L appartient à \(\mathcal{P}\), et la droite (ML) est orthogonale à \(\mathcal{P}\).

• \(4+3\times 0-2\times 3+2=4-6+2=0\) : les coordonnées de L vérifient l’équation, donc \(\text{L}\in\mathcal{P}\).
• \(\vec{\text{LM}}(5-4~;~3-0~;~1-3)=(1~;~3~;~-2)=\vec{n}\) : le vecteur \(\vec{\text{LM}}\) est normal au plan, donc (LM) est orthogonale à \(\mathcal{P}\).

L est donc le projeté orthogonal de M sur le plan \(\mathcal{P}\).

Exercice A :

Affirmation 1 : fausse. Par les propriétés de l’exponentielle, \((\text{e}^{a+b})^2=\text{e}^{2(a+b)}=\text{e}^{2a}\times \text{e}^{2b}\), un produit et non une somme. Contre-exemple : avec \(a=b=0\), le membre de gauche vaut \((\text{e}^0)^2=1\) et celui de droite \(\text{e}^0+\text{e}^0=2\).

Affirmation 2 : vraie. \(f(0)=-2+3\times \text{e}^0=1\). Par la formule \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\), \(f^{\prime}(x)=-\text{e}^x+(3-x)\text{e}^x=(2-x)\text{e}^x\), donc \(f^{\prime}(0)=2\). La tangente en A a pour équation \(y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)\), soit \(y=2x+1\).

Affirmation 3 : fausse. On factorise : \(\text{e}^{2x}-\text{e}^x=\text{e}^x(\text{e}^x-1)\). Quand \(x\to+\infty\), \(\text{e}^x\to+\infty\) et \(\text{e}^x-1\to+\infty\), donc le produit tend vers \(+\infty\) ; de plus \(\dfrac{3}{x}\to0\). Par somme, la limite vaut \(+\infty\), et non 0.

Affirmation 4 : vraie. Soit \(h(x)=1-x+\text{e}^{-x}\) sur \([0~;~2]\). \(h\) est dérivable et \(h^{\prime}(x)=-1-\text{e}^{-x}\lt 0\) : \(h\) est continue et strictement décroissante. De plus \(h(0)=1-0+1=2\gt 0\) et \(h(2)=-1+\text{e}^{-2}\approx-0{,}865\lt 0\). Comme 0 est compris entre \(h(2)\) et \(h(0)\), le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que l’équation \(h(x)=0\) admet une unique solution sur \([0~;~2]\).

Affirmation 5 : vraie. \(g\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(g^{\prime}(x)=2x-5+\text{e}^x\) et \(g^{\prime\prime}(x)=2+\text{e}^x\). Comme \(\text{e}^x\gt 0\), on a \(g^{\prime\prime}(x)\gt 2\gt 0\) pour tout réel \(x\) : \(g\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

Exercice B :

1. Le point A(1 ; 4) appartient à \(\mathcal{C}_f\), donc \(f(1)=4\). La tangente en A est horizontale, son coefficient directeur est nul : \(f^{\prime}(1)=0\).

2. On écrit \(f=\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x)=a+b\ln x\), \(u^{\prime}(x)=\dfrac{b}{x}\), \(v(x)=x\), \(v^{\prime}(x)=1\). Alors, pour \(x\gt 0\) :

\[f^{\prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}(x)v(x)-u(x)v^{\prime}(x)}{v(x)^2}=\dfrac{\dfrac{b}{x}\times x-(a+b\ln x)}{x^2}=\dfrac{b-a-b\ln x}{x^2}.\]

3. Avec \(\ln1=0\) : \(f(1)=\dfrac{a+0}{1}=a\), donc \(a=4\). Et \(f^{\prime}(1)=\dfrac{b-a-0}{1}=b-a\), donc \(b-a=0\), soit \(b=a=4\). Ainsi \(a=4\) et \(b=4\).

4. En 0 : \(\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\), donc \(\lim\limits_{x\to0^+}(4+4\ln x)=-\infty\) ; et \(\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty\). Par produit, \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty\) (l’axe des ordonnées est asymptote verticale).

En \(+\infty\) : on écrit \(f(x)=\dfrac{4}{x}+4\times \dfrac{\ln x}{x}\). On a \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{4}{x}=0\) et, par croissance comparée, \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\). Donc \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\) (l’axe des abscisses est asymptote horizontale).

5. D’après la question 2 avec \(a=b=4\) : \(f^{\prime}(x)=\dfrac{4-4-4\ln x}{x^2}=\dfrac{-4\ln x}{x^2}\). Comme \(x^2\gt 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(-4\ln x\) : positif si \(0\lt x\lt 1\) (car \(\ln x\lt 0\)), nul en 1, négatif si \(x\gt 1\). Le maximum est \(f(1)=4\).

6. On dérive \(f^{\prime}(x)=\dfrac{-4\ln x}{x^2}\) comme un quotient, avec \(u(x)=-4\ln x\), \(u^{\prime}(x)=-\dfrac{4}{x}\), \(v(x)=x^2\), \(v^{\prime}(x)=2x\) :

\[f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{-\dfrac{4}{x}\times x^2-(-4\ln x)\times 2x}{x^4}=\dfrac{-4x+8x\ln x}{x^4}=\dfrac{x(-4+8\ln x)}{x^4}=\dfrac{-4+8\ln x}{x^3}.\]

7. Pour \(x\gt 0\), \(x^3\gt 0\), donc \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(-4+8\ln x\). Or \(-4+8\ln x\gt 0\iff\ln x\gt \dfrac{1}{2}\iff x\gt \text{e}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\text{e}}\) (la fonction exponentielle est strictement croissante).

Ainsi \(f^{\prime\prime}\) est strictement négative sur \(]0~;~\sqrt{\text{e}}[\) (\(f\) concave) et strictement positive sur \(]\sqrt{\text{e}}~;~+\infty[\) (\(f\) convexe). \(f^{\prime\prime}\) s’annule en changeant de signe uniquement en \(x=\sqrt{\text{e}}\) : la courbe possède donc un unique point d’inflexion, d’abscisse \(\sqrt{\text{e}}\approx1{,}649\). Son ordonnée vaut

\[f(\sqrt{\text{e}})=\dfrac{4+4\times \dfrac{1}{2}}{\sqrt{\text{e}}}=\dfrac{6}{\sqrt{\text{e}}}\approx3{,}639.\]

Le point d’inflexion est \(\text{B}(\sqrt{\text{e}}~;~\dfrac{6}{\sqrt{\text{e}}})\), soit environ \((1{,}649~;~3{,}639)\).

Les autres sujets du bac de maths 2021

• Bac Maths 2021 : sujet et corrigé du baccalauréat Maths 2021
• Bac Maths 2021: Sujet blanc pour réviser le baccalauréat de mathématiques
• Bac de maths 2021 aux centres étrangers (jour 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2021 aux centres étrangers (jour 2) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2021 en Asie (jour 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2021 en Asie (jour 2) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2021 en France (jour 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2021 en France (jour 2) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2021 en France (mars, sujet 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2021 en France (mars, sujet 2) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2021 en France (septembre, jour 1) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2021 en France (septembre, jour 2) : sujet et corrigé
• Bac de maths 2021 en Polynésie : sujet et corrigé