Corrigé des exercices
Exercice 1 (exercices sinus cosinus)
On utilise \((\sin)^{\prime}=\cos\) et \((\cos)^{\prime}=-\sin\).
- \(f\) est une somme de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\) : \(f^{\prime}(x)=1-\sin(x)\).
- \(g=uv\) avec \(u(x)=x\), \(v(x)=\cos(x)\), \(u^{\prime}(x)=1\), \(v^{\prime}(x)=-\sin(x)\). Donc \(g^{\prime}(x)=1\times \cos(x)+x\times (-\sin(x))\), soit \(g^{\prime}(x)=\cos(x)-x\sin(x)\).
Application 2 :
- \(f^{\prime}(x)=\cos(x)+(-\sin(x))\), soit \(f^{\prime}(x)=\cos(x)-\sin(x)\).
- \(g^{\prime}(x)=\cos(x)-(-\sin(x))\), soit \(g^{\prime}(x)=\cos(x)+\sin(x)\).
Exercice 3 (exercices sinus cosinus)
- Sur le cercle trigonométrique, les points d’abscisse \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) sont associés à \(\dfrac{\pi}{4}\) et \(-\dfrac{\pi}{4}\), qui appartiennent tous deux à \([-\pi\,;\pi]\). \(S=\{-\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{\pi}{4}\}\).
- On cherche les points du cercle dont l’abscisse est inférieure ou égale à \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) : ce sont ceux de l’arc situé « à gauche » de la droite verticale d’équation \(x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), qui va de \(\dfrac{\pi}{4}\) à \(\pi\) puis de \(-\pi\) à \(-\dfrac{\pi}{4}\). \(S=[-\pi\,;-\dfrac{\pi}{4}]\cup[\dfrac{\pi}{4}\,;\pi]\).
Application 4 :
- \(\cos(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}\) et \(\cos(\pi-x)=-\cos(x)\), donc \(\cos(\dfrac{2\pi}{3})=-\dfrac{1}{2}\). Par parité, \(\cos(-\dfrac{2\pi}{3})=-\dfrac{1}{2}\) aussi. \(S=\{-\dfrac{2\pi}{3}\,;\dfrac{2\pi}{3}\}\).
- Les points du cercle d’abscisse supérieure ou égale à \(-\dfrac{1}{2}\) sont ceux de l’arc situé à droite de la droite d’équation \(x=-\dfrac{1}{2}\), entre \(-\dfrac{2\pi}{3}\) et \(\dfrac{2\pi}{3}\) en passant par 0. \(S=[-\dfrac{2\pi}{3}\,;\dfrac{2\pi}{3}]\).
Exercice 5 (exercices sinus cosinus)
1. On pose \(g(x)=\cos(x)-x\) sur \([0\,;\dfrac{\pi}{2}]\) : l’équation \(\cos(x)=x\) équivaut à \(g(x)=0\).
- \(g\) est dérivable et \(g^{\prime}(x)=-\sin(x)-1\). Sur \([0\,;\dfrac{\pi}{2}]\), \(\sin(x)\geq\,0\), donc \(g^{\prime}(x)\leq\,-1\lt 0\) : \(g\) est continue et strictement décroissante.
- \(g(0)=1\gt 0\) et \(g(\dfrac{\pi}{2})=0-\dfrac{\pi}{2}\lt 0\).
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(\cos(x)=x\) admet une unique solution \(x_0\) dans \([0\,;\dfrac{\pi}{2}]\).
2. a) Tableau de suivi pour p = 0,1 (valeurs arrondies au centième) :
| a | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 |
| \(\cos(a)\) | 1 | 1,00 | 0,98 | 0,96 | 0,92 | 0,88 | 0,83 | 0,76 | 0,70 |
| \(\cos(a)\gt a\) ? | oui | oui | oui | oui | oui | oui | oui | oui | non |
La boucle s’arrête pour a = 0,8 et la fonction renvoie (0,7 ; 0,8).
b) Tant que \(\cos(a)\gt a\), c’est-à-dire \(g(a)\gt 0\), on est à gauche de \(x_0\) et on avance d’un pas p. Ensuite, la boucle s’arrête dès que \(\cos(a)\leq\, a\), donc au premier a qui dépasse (ou atteint) \(x_0\). Par ailleurs, le programme renvoie ainsi un encadrement de \(x_0\) d’amplitude p : \(a-p\lt x_0\leq\, a\). Ici \(0{,}7\lt x_0\leq\, 0{,}8\).
c) Avec \(p=0{,}0001\), le programme renvoie environ (0,739 0 ; 0,739 1). Puis on en déduit \(0{,}7390\lt x_0\leq\, 0{,}7391\), donc \(x_0\approx0{,}739\) à \(10^{-3}\) près. (L’ordinateur peut afficher des valeurs comme 0,7389999999 à cause des erreurs d’arrondi sur les nombres à virgule.)
Application 6 :
\(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\), qui est symétrique par rapport à 0. Ensuite, pour tout réel x, \(f(-x)=2\sin(-x)=-2\sin(x)=-f(x)\), car la fonction sinus est impaire.
L’affirmation (2) est exacte : f est impaire. Elle n’est pas paire car, par exemple, \(f(\dfrac{\pi}{2})=2\) et \(f(-\dfrac{\pi}{2})=-2\).
Exercice 7 (exercices sinus cosinus)
- La fonction sinus est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l’origine O. On trace le symétrique par rapport à O de l’arc donné sur \([-\pi\,;0]\) : on obtient la courbe sur \([0\,;\pi]\) (une « bosse » qui monte jusqu’à 1 en \(\dfrac{\pi}{2}\)).
- La fonction sinus est périodique de période \(2\pi\) : sa courbe est invariante par la translation de vecteur \(2\pi\vec{i}\). On translate l’arc donné sur \([-\pi\,;0]\) de \(2\pi\) vers la droite : on obtient la courbe sur \([\pi\,;2\pi]\).
On obtient ainsi la courbe sur \([-\pi\,;2\pi]\) par une symétrie centrale puis une translation.
Application 8 :
1. a) La courbe semble symétrique par rapport à l’origine du repère : on conjecture que g est impaire.
b) Pour tout réel x (\(\mathbb{R}\) est symétrique par rapport à 0), \(g(-x)=2\sin(-2x)=-2\sin(2x)=-g(x)\), car sinus est impaire. g est donc impaire : la conjecture est démontrée.
2. Pour tout réel x, \(g(x+\pi)=2\sin(2(x+\pi))=2\sin(2x+2\pi)=2\sin(2x)=g(x)\), car sinus est \(2\pi\)-périodique. g est périodique de période \(\pi\).
Exercice 9 :
a) h est définie sur \(\mathbb{R}\), symétrique par rapport à 0, et pour tout réel x :
\(h(-x)=\sin(-x)+\sin(-2x)=-\sin(x)-\sin(2x)=-(\sin(x)+\sin(2x))=-h(x)\).
La fonction h est impaire.
b) On en déduit que la courbe \((\varphi)\) est symétrique par rapport à l’origine O du repère.
c) À la calculatrice (par exemple sur \([-2\pi\,;2\pi]\)), on constate que la partie de la courbe située à gauche de l’axe des ordonnées est l’image de la partie de droite par la symétrie de centre O : la conjecture est vérifiée.
Application 10 :
a) \(g=\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x)=\sin(x)\), \(v(x)=x\) (qui ne s’annule pas sur \(]0\,;+\infty[\)), \(u^{\prime}(x)=\cos(x)\), \(v^{\prime}(x)=1\).
\(g^{\prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}\), donc \(g^{\prime}(x)=\dfrac{x\cos(x)-\sin(x)}{x^2}\).
b) Sur \(]0\,;\pi[\), \(\sin(x)\gt 0\), donc \(\sin(x)\neq0\). Puis on utilise \((\dfrac{1}{v})^{\prime}=-\dfrac{v^{\prime}}{v^2}\) avec \(v(x)=\sin(x)\) : \(h^{\prime}(x)=-\dfrac{\cos(x)}{\sin^2(x)}\).
Exercice 11 :
1. \(\sin^2(x)=(\sin(x))^2\) est de la forme \(u^2\), de dérivée \(2u^{\prime}u\). Donc \(f^{\prime}(x)=2\cos(x)\sin(x)+2\cos(x)\). De plus, en factorisant par \(2\cos(x)\) : \(f^{\prime}(x)=2(\sin(x)+1)\cos(x)\).
2. a) Sur \([0\,;\pi]\), \(\sin(x)\geq\,0\), donc \(\sin(x)+1\geq\,1\gt 0\) et \(2(\sin(x)+1)\gt 0\). Ainsi \(f^{\prime}(x)\) est du signe de \(\cos(x)\).
Or sur \([0\,;\pi]\), \(\cos(x)\geq\,0\) sur \([0\,;\dfrac{\pi}{2}]\) et \(\cos(x)\leq\,0\) sur \([\dfrac{\pi}{2}\,;\pi]\). Donc \(f^{\prime}(x)\geq\,0\) sur \([0\,;\dfrac{\pi}{2}]\) et \(f^{\prime}(x)\leq\,0\) sur \([\dfrac{\pi}{2}\,;\pi]\), avec \(f^{\prime}(\dfrac{\pi}{2})=0\).
b) \(f(0)=0\), \(f(\dfrac{\pi}{2})=1^2+2\times 1=3\) et \(f(\pi)=0\).
| x | 0 | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) |
| signe de \(f^{\prime}(x)\) | + | 0 | − |
| variations de f | 0 ↗ | 3 | ↘ 0 |
f est croissante sur \([0\,;\dfrac{\pi}{2}]\), décroissante sur \([\dfrac{\pi}{2}\,;\pi]\), et atteint son maximum 3 en \(\dfrac{\pi}{2}\).
Application 12 :
- La fonction cosinus est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. On trace le symétrique de l’arc donné sur \([0\,;\pi]\) par rapport à cet axe : on obtient la courbe sur \([-\pi\,;0]\).
- La fonction cosinus est périodique de période \(2\pi\). On translate de \(2\pi\) vers la droite l’arc obtenu sur \([-\pi\,;0]\) : on obtient la courbe sur \([\pi\,;2\pi]\), qui remonte de −1 à 1.
On obtient ainsi la courbe sur \([-\pi\,;2\pi]\) par une symétrie axiale puis une translation de vecteur \(2\pi\vec{i}\).
Exercice 13 :
a) La fonction cosinus est paire, donc pour tout réel x :
\(f(-x)=\cos(-2x)+\cos(-3x)=\cos(2x)+\cos(3x)=f(x)\).
La fonction cosinus est \(2\pi\)-périodique, donc :
\(f(x+2\pi)=\cos(2x+4\pi)+\cos(3x+6\pi)=\cos(2x)+\cos(3x)=f(x)\), car \(4\pi=2\times 2\pi\) et \(6\pi=3\times 2\pi\).
Les résultats affichés par le logiciel sont exacts.
b) On observe que f est paire (\(f(-x)=f(x)\) sur \(\mathbb{R}\)) et que f est périodique de période \(2\pi\).
c) La courbe de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et invariante par la translation de vecteur \(2\pi\vec{i}\). Ensuite, il suffit donc de la tracer sur \([0\,;\pi]\), de compléter par symétrie sur \([-\pi\,;0]\), puis par translations.
Application 14 :
- Sur le cercle, les points d’abscisse \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) sont associés à \(\dfrac{\pi}{6}\) et \(-\dfrac{\pi}{6}\), tous deux dans \([-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}]\). \(S=\{-\dfrac{\pi}{6}\,;\dfrac{\pi}{6}\}\).
- Les points d’ordonnée \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) sont associés à \(\dfrac{\pi}{4}\) et \(\dfrac{3\pi}{4}\) ; seul \(\dfrac{\pi}{4}\) appartient à \([-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}]\) (le demi-cercle de droite). \(S=\{\dfrac{\pi}{4}\}\).
Exercice 15 :
1. Pour tout t, \(-1\leq\,\cos(\dfrac{\pi}{2}t)\leq\,1\), donc \(48{,}5\leq\, d(t)\leq\,51{,}5\). Par ailleurs, le centre de flottaison oscille de part et d’autre de 50 m : l’amplitude du mouvement est de 1,5 m (le flotteur parcourt 3 m entre sa position la plus basse et sa position la plus haute).
2. a) La dérivée de \(t\mapsto \cos(at)\) est \(t\mapsto -a\sin(at)\). Avec \(a=\dfrac{\pi}{2}\) : \(d^{\prime}(t)=1{,}5\times (-\dfrac{\pi}{2})\sin(\dfrac{\pi}{2}t)\), soit \(d^{\prime}(t)=-\dfrac{3\pi}{4}\sin(\dfrac{\pi}{2}t)\).
b) Si \(t\in[0\,;2]\), alors \(\dfrac{\pi}{2}t\in[0\,;\pi]\), donc \(\sin(\dfrac{\pi}{2}t)\geq\,0\) et \(d^{\prime}(t)\leq\,0\). Si \(t\in[2\,;4]\), alors \(\dfrac{\pi}{2}t\in[\pi\,;2\pi]\), donc \(\sin(\dfrac{\pi}{2}t)\leq\,0\) et \(d^{\prime}(t)\geq\,0\).
c) \(d(0)=1{,}5\times 1+50=51{,}5\), \(d(2)=1{,}5\times (-1)+50=48{,}5\), \(d(4)=51{,}5\).
| t | 0 | 2 | 4 |
| signe de \(d^{\prime}(t)\) | 0 − | 0 | + 0 |
| variations de d | 51,5 ↘ | 48,5 | ↗ 51,5 |
d) Le flotteur monte quand d augmente : sur l’intervalle de temps [2 ; 4] (en secondes).
3. a) \(d^{\prime\prime}(t)=-\dfrac{3\pi}{4}\times \dfrac{\pi}{2}\cos(\dfrac{\pi}{2}t)\), soit \(d^{\prime\prime}(t)=-\dfrac{3\pi^2}{8}\cos(\dfrac{\pi}{2}t)\).
b) Si \(0\leq\, t\leq\,4\), alors \(0\leq\,\dfrac{\pi}{2}t\leq\,2\pi\). Sur \([0\,;2\pi]\), \(\cos(X)=0\) pour \(X=\dfrac{\pi}{2}\) ou \(X=\dfrac{3\pi}{2}\). Donc \(\dfrac{\pi}{2}t=\dfrac{\pi}{2}\) ou \(\dfrac{\pi}{2}t=\dfrac{3\pi}{2}\), c’est-à-dire t = 1 ou t = 3.
c) Comme \(-\dfrac{3\pi^2}{8}\lt 0\), \(d^{\prime\prime}(t)\) est du signe contraire de \(\cos(\dfrac{\pi}{2}t)\) : le cosinus est positif pour \(\dfrac{\pi}{2}t\in[0\,;\dfrac{\pi}{2}[\cup]\dfrac{3\pi}{2}\,;2\pi]\) (t dans [0 ; 1[ ou ]3 ; 4]) et négatif entre les deux (t dans ]1 ; 3[).
Valeurs de la vitesse : \(v(0)=0\), \(v(1)=-\dfrac{3\pi}{4}\sin(\dfrac{\pi}{2})=-\dfrac{3\pi}{4}\), \(v(3)=-\dfrac{3\pi}{4}\sin(\dfrac{3\pi}{2})=\dfrac{3\pi}{4}\), \(v(4)=0\).
| t | 0 | 1 | 3 | 4 |
| signe de \(v^{\prime}(t)=d^{\prime\prime}(t)\) | − | 0 + | 0 − | |
| variations de v | 0 ↘ | \(-\dfrac{3\pi}{4}\) ↗ | \(\dfrac{3\pi}{4}\) ↘ | 0 |
La vitesse est donc maximale à l’instant t = 3 s, où \(v(3)=\dfrac{3\pi}{4}\approx2{,}36\text{ m/s}\) (le flotteur monte alors le plus vite). À t = 1 s, la vitesse est minimale (\(-\dfrac{3\pi}{4}\)) : le flotteur descend alors le plus vite, avec la même valeur absolue.
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