Corrigé du contrôle de maths Terminale : limites de fonctions et asymptotes

Exercice 1 : Limites en l’infini (4 points)

1. Forme indéterminée en \(+\infty\) (« \(-\infty + \infty\) »). Pour \(x \neq 0\), \(f(x) = x^3(-2 + \dfrac{5}{x} – \dfrac{1}{x^3})\). Ainsi, la parenthèse tend vers \(-2\) en \(+\infty\) comme en \(-\infty\).

   En \(+\infty\) : \(x^3 \to +\infty\), donc par produit \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\).

   En \(-\infty\) : \(x^3 \to -\infty\), donc par produit \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\).

2. Pour \(x \neq 0\), \(g(x) = \dfrac{x^2(3 – \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2})}{x^2(1 + \frac{1}{x^2})} = \dfrac{3 – \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}}\). Le numérateur tend vers 3 et le dénominateur vers 1, donc \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = 3\).
3. Pour \(x \neq 0\) et \(x \neq 3\), \(h(x) = \dfrac{x^2(2 + \frac{1}{x^2})}{x(1 – \frac{3}{x})} = x \times \dfrac{2 + \frac{1}{x^2}}{1 – \frac{3}{x}}\). En \(-\infty\), le quotient tend vers \(\frac{2}{1} = 2\) et \(x \to -\infty\). Par produit, on obtient donc \(\lim_{x \to -\infty} h(x) = -\infty\).
4. Forme indéterminée « \(+\infty – \infty\) ». On multiplie alors par l’expression conjuguée :

   \(k(x) = \dfrac{(\sqrt{x^2 + 1} – x)(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \dfrac{x^2 + 1 – x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}\).

   En \(+\infty\), le dénominateur tend vers \(+\infty\), donc \(\lim_{x \to +\infty} k(x) = 0\).

Barème : 1 point par question, dont 0,5 point pour la transformation qui lève l’indétermination (ou les limites des facteurs) et 0,5 point pour le résultat. En a), 0,5 point par limite.

Exercice 2 : Limites en un réel (4 points)

1. \(\lim_{x \to 3} (x + 4) = 7 > 0\) et \(\lim_{x \to 3} (x – 3) = 0\). Si \(x > 3\), \(x – 3 > 0\) ; si \(x < 3\), \(x – 3 < 0\). Ainsi, par quotient :

   \(\lim_{x \to 3,\, x > 3} p(x) = +\infty\) et \(\lim_{x \to 3,\, x < 3} p(x) = -\infty\).

   La droite d’équation \(x = 3\) est donc asymptote verticale à la courbe de \(p\).

2. Forme indéterminée « \(\frac{0}{0}\) ». Pour \(x \neq 2\), \(q(x) = \dfrac{(x – 2)(x + 2)}{x – 2} = x + 2\). Donc \(\lim_{x \to 2} q(x) = 2 + 2 = 4\).
3. Forme indéterminée « \(\frac{0}{0}\) » car \(\sqrt{3 + 1} – 2 = 0\). On multiplie alors par l’expression conjuguée du numérateur :

   \(r(x) = \dfrac{(\sqrt{x + 1} – 2)(\sqrt{x + 1} + 2)}{(x – 3)(\sqrt{x + 1} + 2)} = \dfrac{x + 1 – 4}{(x – 3)(\sqrt{x + 1} + 2)} = \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + 2}\).

   Quand \(x\) tend vers 3, \(\sqrt{x + 1} + 2\) tend vers \(2 + 2 = 4\). Donc \(\lim_{x \to 3} r(x) = \dfrac{1}{4}\).

Erreur fréquente : en a), écrire « \(\frac{7}{0} = +\infty\) » sans étudier le signe du dénominateur. En effet, la limite n’est pas la même des deux côtés.

Barème : a) 0,5 point par limite avec l’étude du signe, 0,5 point pour l’asymptote. b) 0,5 point pour la factorisation, 0,5 point pour le résultat. c) 1 point pour l’expression conjuguée et la simplification, 0,5 point pour le résultat.

Exercice 3 : Lecture graphique et asymptotes (4 points)

1. La courbe se rapproche de la droite horizontale d’ordonnée 2 aux deux extrémités. De plus, elle part vers le bas à gauche de 1, puis vers le haut à droite de 1 :

   \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2\), \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2\), \(\lim_{x \to 1,\, x < 1} f(x) = -\infty\) et \(\lim_{x \to 1,\, x > 1} f(x) = +\infty\).

2. La droite d’équation \(y = 2\) est asymptote horizontale en \(-\infty\) et en \(+\infty\) ; la droite d’équation \(x = 1\) est asymptote verticale.
3. \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{b}{x – 1} = 0\), donc \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = a\). Comme cette limite vaut 2, on a alors \(a = 2\). Ensuite, le point \(A(0\,;-1)\) est sur la courbe : \(f(0) = 2 + \dfrac{b}{-1} = 2 – b = -1\), donc \(b = 3\).

   Vérification : \(f(4) = 2 + \dfrac{3}{4 – 1} = 2 + 1 = 3\), donc \(B(4\,;3)\) appartient bien à \(\mathcal{C}_f\). \(a = 2\) et \(b = 3\) : \(f(x) = 2 + \dfrac{3}{x – 1}\).

Barème : a) 0,5 point par limite ; b) 0,5 point par asymptote ; c) 0,25 point pour \(a\), 0,5 point pour \(b\), 0,25 point pour la vérification avec \(B\).

Exercice 4 : Étude d’une fonction rationnelle (8 points)

1. \(x^2 – 4 = 0\) équivaut à \(x = 2\) ou \(x = -2\), donc \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2\,;2\}\). Cet ensemble est symétrique par rapport à 0. De plus, pour tout \(x\) de \(D\), \(f(-x) = \dfrac{3(-x)^2 – 2}{(-x)^2 – 4} = \dfrac{3x^2 – 2}{x^2 – 4} = f(x)\). La fonction \(f\) est paire, donc \(\mathcal{C}_f\) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
2. Pour \(x \neq 0\) de \(D\), \(f(x) = \dfrac{x^2(3 – \frac{2}{x^2})}{x^2(1 – \frac{4}{x^2})} = \dfrac{3 – \frac{2}{x^2}}{1 – \frac{4}{x^2}}\). Or, quand \(x\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\), \(\frac{2}{x^2}\) et \(\frac{4}{x^2}\) tendent vers 0.

   \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = 3\) : la droite d’équation \(y = 3\) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

3. Quand \(x\) tend vers 2 ou vers \(-2\), le numérateur tend vers \(3 \times 4 – 2 = 10 > 0\) et le dénominateur tend vers 0. Le trinôme \(x^2 – 4\) a pour racines \(-2\) et 2 et un coefficient de \(x^2\) positif. Il est donc strictement positif si \(x < -2\) ou \(x > 2\), strictement négatif si \(-2 < x < 2\).
   

   Question c : signe du dénominateur et asymptotes verticales

   \(x\)	\(-\infty\)		\(-2\)		2		\(+\infty\)
   signe de \(x^2 – 4\)		\(+\)	0	\(-\)	0	\(+\)

   Ainsi, par quotient :

   \(\lim_{x \to 2,\, x > 2} f(x) = +\infty\) ; \(\lim_{x \to 2,\, x < 2} f(x) = -\infty\) ; \(\lim_{x \to -2,\, x < -2} f(x) = +\infty\) ; \(\lim_{x \to -2,\, x > -2} f(x) = -\infty\).

   Les droites d’équations \(x = 2\) et \(x = -2\) sont donc asymptotes verticales à \(\mathcal{C}_f\) (ce qui est cohérent avec la symétrie de la courbe).

4. Pour tout \(x\) de \(D\) : \(f(x) – 3 = \dfrac{3x^2 – 2 – 3(x^2 – 4)}{x^2 – 4} = \dfrac{3x^2 – 2 – 3x^2 + 12}{x^2 – 4} = \dfrac{10}{x^2 – 4}\).

   Le numérateur 10 est positif, donc \(f(x) – 3\) a le signe de \(x^2 – 4\) (tableau de c)).

   Sur \(]-\infty\,;-2[\) et sur \(]2\,;+\infty[\), \(f(x) – 3 > 0\) : \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de la droite d’équation \(y = 3\). Sur \(]-2\,;2[\), \(f(x) – 3 < 0\) : \(\mathcal{C}_f\) est au-dessous de cette droite. Enfin, la courbe ne coupe jamais l’asymptote, car \(\frac{10}{x^2 – 4}\) ne s’annule pas.

5. \(f(0) = \dfrac{-2}{-4} = \dfrac{1}{2}\), donc \(f(0) = 0{,}5\). Allure de la courbe :

   

Erreur fréquente : en c), oublier que la limite en \(-2\) par valeurs inférieures correspond à \(x < -2\), où \(x^2 – 4\) est positif. Ainsi, les signes ne sont pas les mêmes qu’en 2 du même côté.

Barème : a) 0,5 point pour \(D\), 0,5 point pour la parité et la symétrie. b) 1 point pour la limite justifiée, 0,5 point pour l’asymptote. c) 1 point pour le signe du dénominateur, 1 point pour les quatre limites (0,25 point chacune), 0,5 point pour les asymptotes. d) 1 point pour le calcul, 1 point pour la position relative. e) 0,25 point pour \(f(0)\), 0,75 point pour une allure cohérente avec les limites et les asymptotes.

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