De plus, Voici le corrigé complet du bac S de mathématiques passé en Nouvelle-Calédonie en mars 2019 (épreuve obligatoire, quatre exercices communs à tous les candidats non spécialistes). Ensuite, le premier exercice mêle un arbre pondéré et la formule des probabilités totales, une espérance pour juger un budget d’entretien, un intervalle de fluctuation asymptotique et des calculs avec la loi normale. Ainsi, le deuxième étudie une fonction auxiliaire avec l’exponentielle, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, un maximum exprimé en fonction de \(\alpha\) et une aire calculée par intégrale. En outre, le troisième est un vrai/faux sur les nombres complexes et une équation trigonométrique. Puis le dernier porte sur une suite homographique : conjectures au tableur, raisonnement par récurrence, suite géométrique auxiliaire et recherche d’un seuil à l’aide du logarithme népérien. Par ailleurs, chaque réponse est justifiée comme on l’attend le jour de l’examen.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Bac S Nouvelle Calédonie mars 2019 : sujet et corrigé : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé Calédonie 2019 : organisation du corrigé
Tout d’abord, ce corrigé Calédonie 2019 porte sur le bac S de mathématiques 2019 en Nouvelle-Calédonie, dont chaque question est corrigée et justifiée. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants. De plus, on y mobilise surtout les probabilités conditionnelles, l’espérance d’une variable aléatoire, la loi normale et le théorème des valeurs intermédiaires. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 60 minutes par exercice, relecture comprise. Ainsi, chaque étape de calcul reste visible, ce qui permet de repérer précisément l’endroit où un raisonnement a dévié.
Corrigé du sujet
Exercice 1 : la solution du corrigé Calédonie 2019
Probabilités, fluctuation et loi normale, 5 points
Partie A
Dans le parc d’une société de location, 20 % des voitures sont sous garantie ; 1 % des voitures sous garantie et 10 % des autres ont besoin d’une réparation. On note \(G\) : « la voiture est sous garantie » et \(R\) : « une réparation est nécessaire ».
1. a. On traduit l’énoncé : \(P(G)=0{,}2\), \(P_G(R)=0{,}01\) et \(P_{\overline{G}}(R)=0{,}1\). Les autres branches s’obtiennent par complément à 1.
1. b. On cherche la probabilité que la voiture soit sous garantie et nécessite une réparation :
\[P(G\cap R)=P(G)\times P_G(R)=0{,}2\times 0{,}01=0{,}002.\]
1. c. Il faut justifier que \(P(R)=0{,}082\). On calcule d’abord \(P(\overline{G}\cap R)=0{,}8\times 0{,}1=0{,}08\). Les événements \(G\) et \(\overline{G}\) forment une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales :
\[P(R)=P(G\cap R)+P(\overline{G}\cap R)=0{,}002+0{,}08=0{,}082.\]
1. d. La voiture nécessite une réparation ; on veut la probabilité qu’elle soit sous garantie :
\[P_R(G)=\frac{P(G\cap R)}{P(R)}=\frac{0{,}002}{0{,}082}=\frac{1}{41}\approx 0{,}024.\]
2. L’entretien est gratuit sous garantie ; sinon la révision coûte 100 € et une réparation éventuelle ajoute 400 €. Le parc compte 2 500 voitures : un budget annuel de 250 000 € est-il raisonnable ?
Soit \(X\) le coût d’entretien d’une voiture choisie au hasard. Trois cas se présentent :
- la voiture est sous garantie (\(G\)) : coût 0 €, probabilité \(0{,}2\) ;
- elle n’est plus sous garantie et n’a pas besoin de réparation (\(\overline{G}\cap\overline{R}\)) : coût 100 €, probabilité \(0{,}8\times 0{,}9=0{,}72\) ;
- elle n’est plus sous garantie et doit être réparée (\(\overline{G}\cap R\)) : coût 500 €, probabilité \(0{,}08\).
| \(x_i\) (en €) | 0 | 100 | 500 |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | 0,2 | 0,72 | 0,08 |
\[E(X)=0\times 0{,}2+100\times 0{,}72+500\times 0{,}08=72+40=112.\]
Une voiture coûte donc en moyenne 112 € d’entretien par an, soit pour tout le parc \(112\times 2\,500=280\,000\) €. Un budget de 250 000 € n’est pas raisonnable : il sera en moyenne insuffisant.
Partie B
La directrice affirme que 80 % des clients choisissent un contrat de courte durée. Sur les 600 derniers contrats, 550 étaient de courte durée.
1. On demande l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des contrats courts, en supposant l’affirmation exacte. Ici \(n=600\) et \(p=0{,}8\). Les conditions sont remplies : \(n=600\geq\, 30\), \(np=480\geq\, 5\) et \(n(1-p)=120\geq\, 5\). L’intervalle est :
\[I=[p-1{,}96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\;;\;p+1{,}96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}]=[0{,}8-1{,}96\sqrt{\frac{0{,}16}{600}}\;;\;0{,}8+1{,}96\sqrt{\frac{0{,}16}{600}}].\]
Les bornes valent environ \(0{,}76799\) et \(0{,}83201\). En arrondissant la borne inférieure par défaut et la borne supérieure par excès : \(I\approx[0{,}767\;;\;0{,}833]\).
2. Que penser de l’affirmation ? La fréquence observée est \(f=\dfrac{550}{600}\approx 0{,}917\). Comme \(f\notin I\), on rejette l’affirmation de la directrice au risque de 5 % : la proportion de contrats courts semble supérieure à 80 %.
Partie C
Le nombre de kilomètres parcourus en une semaine est modélisé par une variable \(Y\) de loi normale \(\mathcal{N}(450\,;\,100^2)\).
1. On cherche la probabilité que le client roule entre 500 km et 600 km. À la calculatrice (normalFRép(500, 600, 450, 100) ou équivalent) :
\[P(500\leq\, Y\leq\, 600)\approx 0{,}242.\]
2. L’offre concerne les 15 % de clients qui roulent le moins. On cherche le réel \(u\) tel que \(P(Y\leq\, u)=0{,}15\). La fonction inverse de la loi normale (FracNormale(0,15 ; 450 ; 100) ou invNorm) donne \(u\approx 346{,}36\).
Un client est concerné par l’offre s’il parcourt moins de 346 km dans la semaine.
Exercice 2 : correction du corrigé Calédonie 2019
Fonction exponentielle et intégrale, 6 points
Partie A : étude d’une fonction auxiliaire
On étudie \(g(x)=(x+2)\mathrm{e}^{x-4}-2\) sur \(\mathbb{R}\).
1. Limite en \(+\infty\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}(x+2)=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{x-4}=+\infty\), donc par produit puis par somme \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\).
2. Il faut montrer que la limite en \(-\infty\) vaut \(-2\). On développe :
\[g(x)=\mathrm{e}^{-4}\,x\mathrm{e}^{x}+2\mathrm{e}^{x-4}-2.\]
Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x\to-\infty}x\mathrm{e}^{x}=0\) ; de plus \(\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{x-4}=0\). Par somme, \(\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=-2\).
3. On calcule la dérivée (forme \(uv\)) :
\[g^{\prime}(x)=1\times \mathrm{e}^{x-4}+(x+2)\mathrm{e}^{x-4}=(x+3)\mathrm{e}^{x-4}.\]
Comme \(\mathrm{e}^{x-4}\gt 0\), \(g^{\prime}(x)\) a le signe de \(x+3\) : négatif avant \(-3\), nul en \(-3\), positif après. Avec \(g(-3)=(-1)\mathrm{e}^{-7}-2=-2-\mathrm{e}^{-7}\approx-2{,}001\) :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-3\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(g^{\prime}(x)\) | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| \(g\) | \(-2\) | décroissante | \(-2-\mathrm{e}^{-7}\) | croissante | \(+\infty\) |
4. On montre que \(g(x)=0\) a une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\).
- Sur \(]-\infty\,;\,-3]\), \(g\) est décroissante de limite \(-2\) en \(-\infty\), donc \(g(x)\lt -2\lt 0\) : aucune solution.
- Sur \([-3\,;\,+\infty[\), \(g\) est continue (car dérivable) et strictement croissante, avec \(g(-3)\lt 0\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\). D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(g(x)=0\) y admet une unique solution.
L’équation \(g(x)=0\) admet donc une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\), et \(\alpha\gt -3\).
5. Signe de \(g\) : d’après ce qui précède, \(g(x)\lt 0\) pour \(x\lt\alpha\), \(g(\alpha)=0\) et \(g(x)\gt 0\) pour \(x\gt\alpha\).
6. Encadrement d’amplitude \(10^{-3}\) : avec le tableau de valeurs de la calculatrice (pas de 0,001), \(g(3{,}069)\approx-0{,}0020\lt 0\) et \(g(3{,}070)\approx 0{,}0004\gt 0\), donc \(3{,}069\lt\alpha\lt 3{,}070\).
Partie B : étude de la fonction \(f\)
On pose \(f(x)=x^2-x^2\mathrm{e}^{x-4}\) sur \(\mathbb{R}\).
1. Résolution de \(f(x)=0\) : \(f(x)=x^2(1-\mathrm{e}^{x-4})\). Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs l’est : \(x^2=0\) donne \(x=0\) ; \(\mathrm{e}^{x-4}=1\) donne \(x-4=0\), soit \(x=4\). Les solutions sont 0 et 4.
2. On admet que \(f^{\prime}(x)=-x\,g(x)\). Le signe de \(-x\) est évident et celui de \(g(x)\) vient de la partie A (avec \(0\lt\alpha\)).
Limites : en \(-\infty\), \(\lim x^2\mathrm{e}^{x-4}=0\) (croissances comparées) et \(\lim x^2=+\infty\), donc \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\). En \(+\infty\), \(\lim(1-\mathrm{e}^{x-4})=-\infty\) et \(\lim x^2=+\infty\), donc par produit \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\).
| \(x\) | \(-\infty\) | 0 | \(\alpha\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(-x\) | \(+\) | 0 | \(-\) | \(-\) | |||
| \(g(x)\) | \(-\) | \(-\) | 0 | \(+\) | |||
| \(f^{\prime}(x)\) | \(-\) | 0 | \(+\) | 0 | \(-\) | ||
| \(f\) | \(+\infty\) | décroissante | 0 | croissante | \(f(\alpha)\) | décroissante | \(-\infty\) |
\(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), croissante sur \([0\,;\,\alpha]\) et décroissante sur \([\alpha\,;\,+\infty[\).
3. Il faut montrer que le maximum de \(f\) sur \([0\,;\,+\infty[\) vaut \(\dfrac{\alpha^3}{\alpha+2}\). D’après le tableau, ce maximum est \(f(\alpha)\). Or \(g(\alpha)=0\) donne \((\alpha+2)\mathrm{e}^{\alpha-4}=2\), c’est-à-dire \(\mathrm{e}^{\alpha-4}=\dfrac{2}{\alpha+2}\). Donc :
\[f(\alpha)=\alpha^2(1-\frac{2}{\alpha+2})=\alpha^2\times \frac{\alpha}{\alpha+2}=\frac{\alpha^3}{\alpha+2}\approx 5{,}71.\]
Partie C : aire d’un domaine
\(\mathcal{D}\) est le domaine compris entre \(\mathcal{C}_f\), la parabole \(\mathcal{P}\) d’équation \(y=x^2\) et les droites \(x=0\) et \(x=4\).
1. Position relative : on étudie la différence
\[x^2-f(x)=x^2\mathrm{e}^{x-4}.\]
Ce produit est positif ou nul pour tout réel \(x\) et ne s’annule qu’en \(x=0\). La parabole \(\mathcal{P}\) est donc au-dessus de \(\mathcal{C}_f\), les deux courbes n’ayant que l’origine en commun.
2. On admet que \(F(x)=\dfrac{x^3}{3}-(x^2-2x+2)\mathrm{e}^{x-4}\) est une primitive de \(f\). Sur \([0\,;\,4]\), \(\mathcal{P}\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_f\), donc l’aire de \(\mathcal{D}\), en unités d’aire, est :
\[\mathcal{A}=\int_0^4(x^2-f(x))\mathrm{d}x=[\frac{x^3}{3}-F(x)]_0^4=[(x^2-2x+2)\mathrm{e}^{x-4}]_0^4.\]
\[\mathcal{A}=(16-8+2)\mathrm{e}^{0}-2\mathrm{e}^{-4}=10-2\mathrm{e}^{-4}.\]
L’aire de \(\mathcal{D}\) vaut \(10-2\mathrm{e}^{-4}\approx 9{,}96\) unités d’aire.
Exercice 3 : correction du corrigé Calédonie 2019
Vrai ou faux sur les complexes et la trigonométrie, 4 points
Affirmation 1 : les points dont les affixes sont les solutions de \(z(z^2-8z+32)=0\) forment un triangle d’aire 16.
On a \(z=0\) ou \(z^2-8z+32=0\). Pour ce trinôme, \(\Delta=64-128=-64=(8\mathrm{i})^2\), d’où deux solutions complexes conjuguées :
\[z_1=\frac{8+8\mathrm{i}}{2}=4+4\mathrm{i},\qquad z_2=4-4\mathrm{i}.\]
Soient \(A(4+4\mathrm{i})\) et \(B(4-4\mathrm{i})\). Ces points sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses, donc \(OAB\) est isocèle en \(O\) ; le milieu \(H\) de \([AB]\) a pour affixe 4, donc \(OH=4\) est la hauteur issue de \(O\). De plus \(AB=|8\mathrm{i}|=8\). L’aire vaut \(\dfrac{4\times 8}{2}=16\). Affirmation 1 vraie.
Affirmation 2 : l’ensemble \(E\) des points d’affixe \(z\) tels que \(|z-3|=|z+3|\) est le cercle de centre \(O\) de rayon 3.
Avec \(M(z)\), \(A(3)\) et \(B(-3)\), la condition s’écrit \(MA=MB\). \(E\) est donc la médiatrice de \([AB]\), c’est-à-dire l’axe des imaginaires purs, et non un cercle. Affirmation 2 fausse.
Affirmation 3 : avec \(z_n=(1-\mathrm{i}\sqrt{3})^n\) et \(M_n\) le point d’affixe \(z_n\), les points \(M_n\), \(O\) et \(M_{n+3}\) sont alignés pour tout \(n\).
On calcule \((1-\mathrm{i}\sqrt{3})^2=1-2\mathrm{i}\sqrt{3}-3=-2-2\mathrm{i}\sqrt{3}\), puis
\[(1-\mathrm{i}\sqrt{3})^3=(-2-2\mathrm{i}\sqrt{3})(1-\mathrm{i}\sqrt{3})=-2+2\mathrm{i}\sqrt{3}-2\mathrm{i}\sqrt{3}-6=-8.\]
Donc \(z_{n+3}=-8z_n\), soit \(\vec{OM_{n+3}}=-8\,\vec{OM_n}\) : les vecteurs sont colinéaires. Affirmation 3 vraie.
Affirmation 4 : l’équation \(\sin(x)(2\cos^2(x)-1)=0\) a exactement quatre solutions sur \(]-\pi\,;\,\pi]\), à savoir \(-\frac{\pi}{4}\), 0, \(\frac{\pi}{4}\) et \(\pi\).
Un produit est nul si l’un des facteurs l’est :
- \(\sin x=0\) avec \(x\in\,]-\pi\,;\,\pi]\) donne \(x=0\) ou \(x=\pi\) ;
- \(2\cos^2 x-1=0\) équivaut à \(\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) ou \(\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\), soit \(x=\pm\frac{\pi}{4}\) ou \(x=\pm\frac{3\pi}{4}\).
L’équation a donc six solutions : \(-\frac{3\pi}{4}\), \(-\frac{\pi}{4}\), 0, \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{3\pi}{4}\) et \(\pi\). Affirmation 4 fausse.
Exercice 4 : réponses détaillées du corrigé Calédonie 2019
Suites, candidats n’ayant pas suivi la spécialité, 5 points
On étudie la suite définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+8}\).
Partie A : conjectures
1. Dans le tableur, \(u_0\) est en B2 ; la formule à saisir en B3 puis à recopier vers le bas est =B2/(B2+8).
2. Les valeurs affichées (1 ; 0,111 ; 0,0137 ; 0,0017 ; …) diminuent : la suite semble décroissante.
3. Les termes deviennent très proches de 0 (environ \(8\times 10^{-10}\) pour \(n=10\)) : la suite semble converger vers 0.
4. Algorithme complété pour calculer \(u_{30}\) :
u ← 1
Pour i allant de 1 à 30
u ← u / (u + 8)
Fin Pour
Afficher u
Partie B : étude générale
1. On démontre par récurrence que \(u_n\gt 0\) pour tout entier naturel \(n\).
- Initialisation : \(u_0=1\gt 0\).
- Hérédité : supposons \(u_n\gt 0\) pour un entier \(n\). Alors \(u_n+8\gt 0\) et le quotient \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+8}\) de deux nombres strictement positifs est strictement positif.
- Conclusion : par récurrence, \(u_n\gt 0\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
2. Variations : pour tout \(n\),
\[u_{n+1}-u_n=\frac{u_n}{u_n+8}-u_n=\frac{u_n-u_n^2-8u_n}{u_n+8}=\frac{-u_n(u_n+7)}{u_n+8}.\]
Comme \(u_n\gt 0\), le numérateur est strictement négatif et le dénominateur strictement positif, donc \(u_{n+1}-u_n\lt 0\). La suite \((u_n)\) est strictement décroissante.
3. La suite est décroissante et minorée par 0 : d’après le théorème de convergence monotone, elle est convergente.
Partie C : expression du terme général
On pose \(v_n=1+\dfrac{7}{u_n}\), ce qui donne \(u_n=\dfrac{7}{v_n-1}\).
1. On montre que \((v_n)\) est géométrique de raison 8. Pour tout \(n\) :
\[v_{n+1}=1+\frac{7}{u_{n+1}}=1+\frac{7(u_n+8)}{u_n}=1+7+\frac{56}{u_n}=8+8\times \frac{7}{u_n}=8(1+\frac{7}{u_n})=8v_n.\]
\((v_n)\) est géométrique de raison 8 et de premier terme \(v_0=1+\frac{7}{1}=8\).
2. On en déduit \(v_n=8\times 8^n=8^{n+1}\), puis
\[u_n=\frac{7}{v_n-1}=\frac{7}{8^{n+1}-1}.\]
3. Limite : comme \(8\gt 1\), \(\lim\limits_{n\to+\infty}8^{n+1}=+\infty\), donc par quotient \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0\).
4. On cherche le plus petit entier \(n_0\) tel que \(u_n\lt 10^{-18}\) pour tout \(n\geq\, n_0\).
Existence : la suite tend vers 0, donc l’intervalle ouvert \(]-10^{-18}\,;\,10^{-18}[\) contient tous les termes à partir d’un certain rang. Comme de plus la suite est décroissante, dès qu’un terme passe sous \(10^{-18}\), tous les suivants aussi.
Valeur : on résout, en utilisant la croissance de \(\ln\) :
\[u_n\lt 10^{-18}\iff 7\lt 10^{-18}(8^{n+1}-1)\iff 8^{n+1}\gt 7\times 10^{18}+1\iff (n+1)\ln 8\gt\ln(7\times 10^{18}+1)\]
\[\iff n\gt\frac{\ln(7\times 10^{18}+1)}{\ln 8}-1\approx 19{,}87.\]
Le plus petit entier cherché est \(n_0=20\). Vérification : \(u_{19}\approx 6{,}1\times 10^{-18}\) et \(u_{20}\approx 7{,}6\times 10^{-19}\).
Comment réviser avec ce corrigé Calédonie 2019
Pour commencer, reprenez l’énoncé du sujet et cherchez chaque exercice seul, au brouillon puis au propre. Ensuite, relisez la correction question par question et soulignez les arguments qui manquaient dans votre copie. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur les probabilités conditionnelles ou l’espérance d’une variable aléatoire. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à probabilités conditionnelles propose un rappel complet.
Les pièges classiques
- En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
- Pour une espérance, vérifiez que les probabilités de la loi somment à 1 avant de calculer.
- Avec une loi normale, vérifiez à la calculatrice que vous avez bien saisi l’écart-type et non la variance.
Questions fréquentes sur ce corrigé Calédonie 2019
Où trouver l’énoncé complet ? Il se trouve sur la page du sujet ; ainsi, vous pouvez chercher chaque exercice avant de lire la correction.
Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, les probabilités conditionnelles, l’espérance d’une variable aléatoire et la loi normale, mais aussi le théorème des valeurs intermédiaires.
Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.
