Voici le corrigé du contrôle de maths de Terminale sur le thème : dérivation et calcul intégral.
Voici la correction rédigée des quatre exercices. D’abord, un tableau de variations et de convexité résume l’étude de f. Il donne le signe de f′, le signe de f″, les limites et le point d’inflexion.
Ensuite, l’intégration par parties est posée avec le choix de u et v′ écrit en clair. Puis un second calcul la vérifie. Tu verras aussi comment convertir une aire en cm² quand les unités graphiques diffèrent sur les deux axes. Enfin, tu apprendras à rédiger le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Le barème sous chaque exercice indique où se trouvent les points de méthode.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths terminale : dérivation et calcul intégral.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Dérivée, primitive et intégrale | 3 points |
| Exercice 2 : Étude d’une fonction exponentielle | 7 points |
| Exercice 3 : Aire sous la courbe | 5 points |
| Exercice 4 : Un domaine qui s’étend à l’infini | 5 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Dérivée, primitive et intégrale (3 points)
- g est le produit de \(u(x) = 3x – 1\) et \(v(x) = \text{e}^{2x}\). De plus, \(u^{\prime}(x) = 3\) et \(v^{\prime}(x) = 2\,\text{e}^{2x}\).
Donc \(g^{\prime}(x) = 3\,\text{e}^{2x} + (3x – 1) \times 2\,\text{e}^{2x} = (3 + 6x – 2)\,\text{e}^{2x}\).
\(g^{\prime}(x) = (6x + 1)\,\text{e}^{2x}\). - k est de la forme \(\frac{1}{2}\, u^{\prime}\,\text{e}^{u}\) avec \(u(x) = x^2\) et \(u^{\prime}(x) = 2x\). Or une primitive de \(u^{\prime}\,\text{e}^{u}\) est \(\text{e}^{u}\).
Une primitive de k sur \(\mathbb{R}\) est \(K(x) = \dfrac{1}{2}\,\text{e}^{x^2}\). (Contrôle : \(K^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \times 2x\,\text{e}^{x^2} = x\,\text{e}^{x^2}\).) - D’abord, une primitive de \(x \mapsto \text{e}^{2x} + 3\) est \(x \mapsto \dfrac{1}{2}\,\text{e}^{2x} + 3x\).
Ainsi, \(I = (\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{2} + 3) – (\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{0} + 0) = \dfrac{1}{2}\,\text{e}^{2} + 3 – \dfrac{1}{2} = \dfrac{\text{e}^{2} + 5}{2}\).
\(I = \dfrac{\text{e}^{2} + 5}{2} \approx 6{,}19\).
Barème : a) 0,5 point pour la formule du produit, 0,5 point pour la forme factorisée ; b) 1 point (0,5 point si le coefficient \(\frac{1}{2}\) est oublié) ; c) 0,5 point pour la primitive, 0,5 point pour la valeur exacte et l’arrondi.
Exercice 2 : Étude d’une fonction exponentielle (7 points)
- En \(-\infty\) : \(\lim_{x \to -\infty} (x + 1) = -\infty\) et \(\lim_{x \to -\infty} \text{e}^{-x} = +\infty\). Donc, par produit, \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).
En \(+\infty\) : \(f(x) = x\,\text{e}^{-x} + \text{e}^{-x} = \dfrac{x}{\text{e}^{x}} + \text{e}^{-x}\). Par croissances comparées, \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\text{e}^{x}} = 0\), et \(\lim_{x \to +\infty} \text{e}^{-x} = 0\). Donc \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\). Par conséquent, l’axe des abscisses (droite \(y = 0\)) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\).
Question b : dérivée et variations de f
- f est le produit de \(u(x) = x + 1\) et \(v(x) = \text{e}^{-x}\). De plus, \(u^{\prime}(x) = 1\) et \(v^{\prime}(x) = -\text{e}^{-x}\).
Alors \(f^{\prime}(x) = \text{e}^{-x} – (x + 1)\,\text{e}^{-x} = (1 – x – 1)\,\text{e}^{-x} = -x\,\text{e}^{-x}\).
Comme \(\text{e}^{-x} > 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(-x\). Elle est donc positive sur \(]-\infty\,;0]\), puis négative sur \([0\,;+\infty[\). De plus, \(f(0) = 1 \times \text{e}^{0} = 1\).
Ainsi, f est croissante sur \(]-\infty\,;0]\), décroissante sur \([0\,;+\infty[\), de maximum \(f(0) = 1\). Le tableau complet est donné à la question c.
Questions c et d : convexité, point d’inflexion et tangente
- \(f^{\prime}(x) = -x\,\text{e}^{-x}\) est le produit de \(-x\) et \(\text{e}^{-x}\) :
\(f^{\prime\prime}(x) = -\text{e}^{-x} + (-x) \times (-\text{e}^{-x}) = (x – 1)\,\text{e}^{-x}\).
Ensuite, \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(x – 1\) : négative sur \(]-\infty\,;1]\), positive sur \([1\,;+\infty[\).
Donc f est concave sur \(]-\infty\,;1]\) et convexe sur \([1\,;+\infty[\). La dérivée seconde s’annule en changeant de signe en 1. Par conséquent, \(\mathcal{C}_f\) admet un point d’inflexion d’abscisse 1 ; \(f(1) = 2\,\text{e}^{-1} = \dfrac{2}{\text{e}}\).
Le point d’inflexion est \(A(1\,;\dfrac{2}{\text{e}})\).
- \(f^{\prime}(1) = -1 \times \text{e}^{-1} = -\dfrac{1}{\text{e}}\). La tangente T a pour équation \(y = f^{\prime}(1)(x – 1) + f(1)\) :
Donc \(y = -\dfrac{1}{\text{e}}(x – 1) + \dfrac{2}{\text{e}}\).
T : \(y = -\dfrac{1}{\text{e}}\,x + \dfrac{3}{\text{e}}\).
Or une courbe est au-dessus de ses tangentes là où la fonction est convexe. De même, elle est en dessous là où la fonction est concave. Ainsi, \(\mathcal{C}_f\) est en dessous de T sur \(]-\infty\,;1]\) et au-dessus de T sur \([1\,;+\infty[\) : elle traverse donc sa tangente au point d’inflexion A.
Barème : a) 0,5 point pour la limite en \(-\infty\), 0,5 point pour la limite en \(+\infty\) (croissances comparées citées), 0,5 point pour l’asymptote ; b) 1 point pour le calcul de \(f^{\prime}\), 1 point pour le signe et le tableau avec limites et maximum ; c) 0,5 point pour \(f^{\prime\prime}\), 0,5 point pour le signe, 0,5 point pour la convexité, 0,5 point pour A ; d) 1 point pour l’équation, 0,5 point pour la position.
Erreur fréquente : oublier la dérivée de \(-x\) dans \(\text{e}^{-x}\). En effet, la dérivée de \(\text{e}^{-x}\) est \(-\text{e}^{-x}\), pas \(\text{e}^{-x}\).
Exercice 3 : Aire sous la courbe (5 points)
- Pour tout \(x \in [0\,;2]\), \(x + 1 \geq\, 1 > 0\) et \(\text{e}^{-x} > 0\). Donc \(f(x) > 0\) sur \([0\,;2]\). Ainsi, l’aire de \(\mathcal{D}\) en unités d’aire est \(\int_0^2 f(x)\, dx\).
- On pose d’abord \(u(x) = x + 1\) et \(v^{\prime}(x) = \text{e}^{-x}\), d’où \(u^{\prime}(x) = 1\) et \(v(x) = -\text{e}^{-x}\). De plus, les fonctions u et v sont dérivables à dérivées continues sur \([0\,;2]\). Alors, par intégration par parties :
\(\displaystyle\int_0^2 (x + 1)\,\text{e}^{-x}\, dx = [-(x + 1)\,\text{e}^{-x}]_0^2 – \int_0^2 -\text{e}^{-x}\, dx\).
D’une part, \([-(x + 1)\,\text{e}^{-x}]_0^2 = -3\,\text{e}^{-2} – (-1) = 1 – 3\,\text{e}^{-2}\).
D’autre part, \(\displaystyle\int_0^2 \text{e}^{-x}\, dx = [-\text{e}^{-x}]_0^2 = -\text{e}^{-2} + 1\).
Donc \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\, dx = 1 – 3\,\text{e}^{-2} + 1 – \text{e}^{-2}\).
\(\displaystyle\int_0^2 f(x)\, dx = 2 – 4\,\text{e}^{-2}\). - Une unité d’aire correspond à un rectangle de 2 cm sur 4 cm, soit \(8\text{ cm}^2\).
Alors \(\mathcal{A} = 8 \times (2 – 4\,\text{e}^{-2}) = 16 – 32\,\text{e}^{-2} \approx 11{,}67\).
L’aire du domaine \(\mathcal{D}\) est environ \(11{,}67\text{ cm}^2\). - Enfin, \(m = \dfrac{1}{2 – 0}\displaystyle\int_0^2 f(x)\, dx = \dfrac{2 – 4\,\text{e}^{-2}}{2} = 1 – 2\,\text{e}^{-2}\).
La valeur moyenne de f sur \([0\,;2]\) est \(1 – 2\,\text{e}^{-2} \approx 0{,}729\).
Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point pour le choix de u et v′, 0,5 point pour la formule écrite, 0,5 point pour le crochet, 0,5 point pour l’intégrale restante, 0,5 point pour le résultat ; c) 0,5 point pour l’unité d’aire, 0,5 point pour le résultat ; d) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour le résultat.
Erreur fréquente : prendre 1 u.a. = \(4\text{ cm}^2\) comme dans un repère orthonormé d’unité 2 cm. Or ici l’unité d’aire vaut \(2 \times 4 = 8\text{ cm}^2\).
Exercice 4 : Un domaine qui s’étend à l’infini (5 points)
- f est continue sur \([0\,;+\infty[\). Donc F, primitive de f s’annulant en 0, est dérivable sur \([0\,;+\infty[\) et \(F^{\prime}(x) = f(x)\). De plus, pour \(x \geq\, 0\), \(f(x) = (x + 1)\,\text{e}^{-x} > 0\), donc F est strictement croissante sur \([0\,;+\infty[\).
- Soit \(G(x) = 2 – (x + 2)\,\text{e}^{-x}\). G est dérivable et :
\(G^{\prime}(x) = -(\text{e}^{-x} – (x + 2)\,\text{e}^{-x}) = -(1 – x – 2)\,\text{e}^{-x} = (x + 1)\,\text{e}^{-x} = f(x)\).
De plus \(G(0) = 2 – 2 = 0\). G est donc la primitive de f qui s’annule en 0 : c’est F. Pour tout \(x \geq\, 0\), \(F(x) = 2 – (x + 2)\,\text{e}^{-x}\).
(On peut aussi refaire l’intégration par parties de l’exercice 3 entre 0 et x.)
Cohérence : \(F(2) = 2 – 4\,\text{e}^{-2}\), on retrouve donc l’intégrale de l’exercice 3.
Questions c et d : limite de F et partage de l’aire
- \((x + 2)\,\text{e}^{-x} = \dfrac{x}{\text{e}^{x}} + 2\,\text{e}^{-x}\). Or, par croissances comparées \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\text{e}^{x}} = 0\), et \(\lim_{x \to +\infty} \text{e}^{-x} = 0\). Donc \(\lim_{x \to +\infty} F(x) = 2\).
F(x) est l’aire, en unités d’aire, du domaine sous \(\mathcal{C}_f\) entre 0 et x. Ainsi, quand x devient très grand, cette aire se rapproche de 2 u.a. sans jamais la dépasser, bien que le domaine soit illimité. - F est continue et strictement croissante sur \([0\,;+\infty[\), avec \(F(0) = 0\) et \(\lim_{x \to +\infty} F(x) = 2\). Comme \(1 \in\, ]0\,;2[\), alors, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(F(x) = 1\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([0\,;+\infty[\).
À la calculatrice : \(F(1{,}14) \approx 0{,}996 < 1\) et \(F(1{,}15) \approx 1{,}003 > 1\), donc \(1{,}14 < \alpha < 1{,}15\).
Interprétation : la droite d’équation \(x = \alpha\) partage donc le domaine illimité situé sous \(\mathcal{C}_f\), pour \(x \geq\, 0\), en deux parties de même aire (1 u.a. chacune).
Barème : a) 0,5 point pour \(F^{\prime} = f\), 0,5 point pour le sens de variation ; b) 1 point pour la dérivée et G(0), 0,5 point pour la cohérence ; c) 0,5 point pour la limite, 0,5 point pour l’interprétation ; d) 0,5 point pour les hypothèses du théorème, 0,5 point pour l’encadrement, 0,5 point pour l’interprétation.
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Après le corrigé du contrôle : dérivation et calcul intégral
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