Bac de maths 2021 en France (jour 2) : sujet et corrigé

Ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le bac de maths 2027 : tous les sujets de spécialité y sont classés par session.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2021
Mathématiques — Candidats libres, sujet 2
France métropolitaine — 8 juin 2021
Durée de l’épreuve : 4 heures

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1 (4 points)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})\).

On considère :

• La droite \(\mathcal{D}\) passant par les points \(\text{A}(1\,;\,1\,;\,-2)\) et \(\text{B}(-1\,;\,3\,;\,2)\).
• La droite \(\mathcal{D}^{\prime}\) de représentation paramétrique : \(\{\begin{array}{l}x = -4 + 3t\\ y = 6 – 3t\\ z = 8 – 6t\end{array}.\) avec \(t \in \mathbb{R}\).
• Le plan \(\mathcal{P}\) d’équation cartésienne \(x + my – 2z + 8 = 0\) où \(m\) est un nombre réel.

Question 1 : Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite \(\mathcal{D}^{\prime}\) ?

Question 2 : Un vecteur directeur de la droite \(\mathcal{D}^{\prime}\) est :

Question 3 : Les droites \(\mathcal{D}\) et \(\mathcal{D}^{\prime}\) sont :

Question 4 : La valeur du réel \(m\) pour laquelle la droite \(\mathcal{D}\) est parallèle au plan \(\mathcal{P}\) est :

Exercice 2 (6 points)

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.

La leucose féline est une maladie touchant les chats ; elle est provoquée par un virus.

Dans un grand centre vétérinaire, on estime à 40 % la proportion de chats porteurs de la maladie.

On réalise un test de dépistage de la maladie parmi les chats présents dans ce centre vétérinaire.

Ce test possède les caractéristiques suivantes.

• Lorsque le chat est porteur de la maladie, son test est positif dans 90 % des cas.
• Lorsque le chat n’est pas porteur de la maladie, son test est négatif dans 85 % des cas.

On choisit un chat au hasard dans le centre vétérinaire et on considère les évènements suivants :

• \(M\) : « Le chat est porteur de la maladie » ;
• \(T\) : « Le test du chat est positif » ;
• \(\overline{M}\) et \(\overline{T}\) désignent les évènements contraires des évènements \(M\) et \(T\) respectivement.

1. a. Traduire la situation par un arbre pondéré.

b. Calculer la probabilité que le chat soit porteur de la maladie et que son test soit positif.

c. Montrer que la probabilité que le test du chat soit positif est égale à \(0{,}45\).

d. On choisit un chat parmi ceux dont le test est positif. Calculer la probabilité qu’il soit porteur de la maladie.

2. On choisit dans le centre vétérinaire un échantillon de 20 chats au hasard. On admet que l’on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de chats présentant un test positif dans l’échantillon choisi.

a. Déterminer, en justifiant, la loi suivie par la variable aléatoire \(X\).

b. Calculer la probabilité qu’il y ait dans l’échantillon exactement 5 chats présentant un test positif.

c. Calculer la probabilité qu’il y ait dans l’échantillon au plus 8 chats présentant un test positif.

d. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire \(X\) et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

3. Dans cette question, on choisit un échantillon de \(n\) chats dans le centre, qu’on assimile encore à un tirage avec remise. On note \(p_n\) la probabilité qu’il y ait au moins un chat présentant un test positif dans cet échantillon.

a. Montrer que \(p_n = 1 – 0{,}55^n\).

b. Décrire le rôle du programme ci-dessous écrit en langage Python, dans lequel la variable \(n\) est un entier naturel et la variable \(P\) un nombre réel.

def seuil():
    n = 0
    P = 0
    while P < 0.99 :
        n = n+1
        P = 1 - 0.55**n
    return n

c. Déterminer, en précisant la méthode employée, la valeur renvoyée par ce programme.

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0 = 1\) et, pour tout entier naturel \(n\),

\[u_{n+1} = \dfrac{4u_n}{u_n + 4}.\]

1. La copie d’écran ci-dessous présente les valeurs, calculées à l’aide d’un tableur, des termes de la suite \((u_n)\) pour \(n\) variant de 0 à 12, ainsi que celles du quotient \(\dfrac{4}{u_n}\) (avec, pour les valeurs de \(u_n\), affichage de deux chiffres pour les parties décimales).

À l’aide de ces valeurs, conjecturer l’expression de \(\dfrac{4}{u_n}\) en fonction de \(n\).

Le but de cet exercice est de démontrer cette conjecture (question 5.), et d’en déduire la limite de la suite \((u_n)\) (question 6.).

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_n \gt 0\).

3. Démontrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.

4. Que peut-on conclure des questions 2. et 3. concernant la suite \((u_n)\) ?

5. On considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par : \(v_n = \dfrac{4}{u_n}\).

Démontrer que \((v_n)\) est une suite arithmétique.

Préciser sa raison et son premier terme.

En déduire, pour tout entier naturel \(n\), l’expression de \(v_n\) en fonction de \(n\).

6. Déterminer, pour tout entier naturel \(n\), l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).

En déduire la limite de la suite \((u_n)\).

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés dans chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

Exercice A

Principaux domaines abordés : Fonction logarithme ; dérivation.

Partie 1

On désigne par \(h\) la fonction définie sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[h(x) = 1 + \dfrac{\ln(x)}{x^2}.\]

On admet que la fonction \(h\) est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\) et on note \(h^{\prime}\) sa fonction dérivée.

1. Déterminez les limites de \(h\) en 0 et en \(+\infty\).

2. Montrer que, pour tout nombre réel \(x\) de \(]0\,;\,+\infty[\), \(h^{\prime}(x) = \dfrac{1 – 2\ln(x)}{x^3}\).

3. En déduire les variations de la fonction \(h\) sur l’intervalle \(]0\,;\,+\infty[\).

4. Montrer que l’équation \(h(x) = 0\) admet une solution unique \(\alpha\) appartenant à \(]0\,;\,+\infty[\) et vérifier que : \(\dfrac{1}{2} \lt \alpha \lt 1\).

5. Déterminer le signe de \(h(x)\) pour \(x\) appartenant à \(]0\,;\,+\infty[\).

Partie 2

On désigne par \(f_1\) et \(f_2\) les fonctions définies sur \(]0\,;\,+\infty[\) par :

\[f_1(x) = x – 1 – \dfrac{\ln(x)}{x^2} \qquad \text{et} \qquad f_2(x) = x – 2 – \dfrac{2\ln(x)}{x^2}.\]

On note \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\) les représentations graphiques respectives de \(f_1\) et \(f_2\) dans un repère \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\).

1. Montrer que, pour tout nombre réel \(x\) appartenant à \(]0\,;\,+\infty[\), on a :

\[f_1(x) – f_2(x) = h(x).\]

2. Déduire des résultats de la Partie 1 la position relative des courbes \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\).

On justifiera que leur unique point d’intersection a pour coordonnées \((\alpha\,;\,\alpha)\).

On rappelle que \(\alpha\) est l’unique solution de l’équation \(h(x) = 0\).

Exercice B

Principaux domaines abordés : Fonction exponentielle ; dérivation ; convexité.

Partie 1

On donne ci-dessous, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la courbe représentant la fonction dérivée \(f^{\prime}\) d’une fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\).

À l’aide de cette courbe, conjecturer, en justifiant les réponses :

1. Le sens de variation de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

2. La convexité de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

Partie 2

On admet que la fonction \(f\) mentionnée dans la Partie 1 est définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}.\]

On note \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé \((\text{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})\).

On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\), et on note \(f^{\prime}\) et \(f^{\prime\prime}\) les fonctions dérivées première et seconde de \(f\) respectivement.

1. Montrer que, pour tout nombre réel \(x\),

\[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^{x}} + 2\text{e}^{-x}.\]

En déduire la limite de \(f\) en \(+\infty\).

Justifier que la courbe \(\mathcal{C}\) admet une asymptote que l’on précisera.

On admet que \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).

2. a. Montrer que, pour tout nombre réel \(x\), \(f^{\prime}(x) = (-x – 1)\text{e}^{-x}\).

b. Étudier les variations sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(f\) et dresser son tableau de variations.

c. Montrer que l’équation \(f(x) = 2\) admet une unique solution \(\alpha\) sur l’intervalle \([-2\,;\,-1]\) dont on donnera une valeur approchée à \(10^{-1}\) près.

3. Déterminer, pour tout nombre réel \(x\), l’expression de \(f^{\prime\prime}(x)\) et étudier la convexité de la fonction \(f\).

Que représente pour la courbe \(\mathcal{C}\) son point A d’abscisse 0 ?

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Question 1. Un point appartient à \(\mathcal{D}^{\prime}\) s’il existe une même valeur de \(t\) qui donne ses trois coordonnées. On déduit \(t\) de la première équation, puis on contrôle les deux autres.

Pour \(\text{M}_1\) : \(-4 + 3t = -1\) donne \(t = 1\), puis \(y = 3\) (correct) mais \(z = 8 – 6 = 2 \neq -2\). Pour \(\text{M}_2\) : \(-4 + 3t = 11\) donne \(t = 5\), puis \(y = 6 – 15 = -9\) et \(z = 8 – 30 = -22\) : les trois coordonnées concordent. Pour \(\text{M}_3\) : \(t = -1\) donne \(y = 9\) mais \(z = 14 \neq 2\). Pour \(\text{M}_4\) : \(t = \dfrac{2}{3}\) donne \(y = 4 \neq 3\).

Réponse b : \(\text{M}_2(11\,;\,-9\,;\,-22)\) est le point de \(\mathcal{D}^{\prime}\) de paramètre \(t = 5\).

Question 2. Dans une représentation paramétrique, les coefficients de \(t\) donnent un vecteur directeur : ici \((3\,;\,-3\,;\,-6)\), c’est exactement \(\vec{u_3}\). Les autres vecteurs ne lui sont pas colinéaires (par exemple \(\vec{u_2}\) a ses deux premières coordonnées égales, alors que celles de \(\vec{u_3}\) sont opposées).

Réponse c.

Question 3. Un vecteur directeur de \(\mathcal{D}\) est \(\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}-2\\2\\4\end{pmatrix}\). On remarque que \(\vec{u_3} = -\dfrac{3}{2}\,\vec{\text{AB}}\) : les deux vecteurs sont colinéaires, donc les droites sont parallèles (strictement ou confondues).

Pour trancher, on regarde si le point A appartient à \(\mathcal{D}^{\prime}\) : \(-4 + 3t = 1\) donne \(t = \dfrac{5}{3}\), puis \(y = 6 – 5 = 1\) et \(z = 8 – 10 = -2\). On retrouve bien \(\text{A}(1\,;\,1\,;\,-2)\).

Les deux droites sont parallèles et ont un point commun : elles sont confondues, réponse d.

Question 4. Un vecteur normal au plan \(\mathcal{P}\) est \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\m\\-2\end{pmatrix}\). La droite \(\mathcal{D}\) est parallèle à \(\mathcal{P}\) si et seulement si son vecteur directeur est orthogonal à \(\vec{n}\) :

\[\vec{\text{AB}} \cdot \vec{n} = -2 \times 1 + 2 \times m + 4 \times (-2) = 2m – 10.\]

Ce produit scalaire est nul si et seulement si \(m = 5\). (On peut ajouter que, pour \(m = 5\), le point A vérifie \(1 + 5 + 4 + 8 = 18 \neq 0\) : il n’est pas dans le plan, la droite est donc strictement parallèle à \(\mathcal{P}\).)

Réponse c : \(m = 5\). (Dans le sujet, les deux premières propositions portent toutes deux la lettre a.)

Exercice 2 :

1. a. L’énoncé donne \(P(M) = 0{,}4\), \(P_M(T) = 0{,}9\) et \(P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}85\). On complète chaque paire de branches issue d’un même nœud pour que la somme vaille 1 : \(P(\overline{M}) = 0{,}6\), \(P_M(\overline{T}) = 0{,}1\) et \(P_{\overline{M}}(T) = 0{,}15\).

b. On cherche la probabilité de l’intersection, obtenue en multipliant les probabilités le long du chemin \(M\) puis \(T\) :

\[P(M \cap T) = P(M) \times P_M(T) = 0{,}4 \times 0{,}9 = 0{,}36.\]

La probabilité que le chat soit malade et testé positif est \(0{,}36\).

c. Les évènements \(M\) et \(\overline{M}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

\[P(T) = P(M \cap T) + P(\overline{M} \cap T) = 0{,}36 + 0{,}6 \times 0{,}15 = 0{,}36 + 0{,}09 = 0{,}45.\]

On a bien \(P(T) = 0{,}45\).

d. On sait que le test est positif : on calcule une probabilité conditionnelle sachant \(T\).

\[P_T(M) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}36}{0{,}45} = \dfrac{36}{45} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8.\]

Un chat testé positif est porteur de la maladie avec une probabilité de \(0{,}8\).

2. a. Pour chacun des 20 chats, on observe une épreuve à deux issues : « test positif » (succès) de probabilité \(p = 0{,}45\), ou « test négatif ». Le choix étant assimilé à un tirage avec remise, ces 20 épreuves sont identiques et indépendantes. \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 20\) et \(p = 0{,}45\).

b. Avec la formule de la loi binomiale :

\[P(X = 5) = \binom\,{20}{5} \times 0{,}45^5 \times 0{,}55^{15} = 15\,504 \times 0{,}45^5 \times 0{,}55^{15} \approx 0{,}036\,47.\]

Le chiffre des dix-millièmes étant 4, l’arrondi au millième donne \(P(X = 5) \approx 0{,}036\).

c. « Au plus 8 » signifie \(X \leq\, 8\). On utilise la fonction de répartition de la calculatrice (binomFRép ou équivalent) :

\[P(X \leq\, 8) = \sum_{k=0}^{8} \binom\,{20}{k}\, 0{,}45^k\, 0{,}55^{20-k} \approx 0{,}414.\]

La probabilité d’avoir au plus 8 chats positifs est d’environ \(0{,}414\).

d. Pour une loi binomiale, \(E(X) = np = 20 \times 0{,}45 = 9\).

\(E(X) = 9\) : si l’on prélevait un très grand nombre d’échantillons de 20 chats, on observerait en moyenne 9 chats testés positifs par échantillon.

3. a. Le raisonnement de la question 2 s’applique avec \(n\) chats : le nombre \(Y\) de chats positifs suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(0{,}45\). L’évènement « au moins un chat positif » est le contraire de « aucun chat positif », c’est-à-dire \(Y = 0\). Or \(P(Y = 0) = \binom\,{n}{0} \times 0{,}45^0 \times 0{,}55^n = 0{,}55^n\) (chacun des \(n\) chats est négatif avec probabilité \(0{,}55\)). Donc :

\[p_n = 1 – P(Y = 0) = 1 – 0{,}55^n.\]

b. Le programme part de \(n = 0\) et \(P = 0\). Tant que \(P\) est strictement inférieur à \(0{,}99\), il augmente \(n\) de 1 et calcule \(P = 1 – 0{,}55^n\), c’est-à-dire \(p_n\). La boucle s’arrête dès que \(p_n \geq\, 0{,}99\). Le programme renvoie donc le plus petit entier \(n\) tel que \(p_n \geq\, 0{,}99\) : la taille minimale de l’échantillon pour laquelle la probabilité d’avoir au moins un chat positif atteint 99 %.

c. On résout l’inéquation \(1 – 0{,}55^n \geq\, 0{,}99\), qui équivaut à \(0{,}55^n \leq\, 0{,}01\). La fonction \(\ln\) étant strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) :

\[n \ln(0{,}55) \leq\, \ln(0{,}01).\]

Comme \(\ln(0{,}55) \lt 0\), on divise en changeant le sens de l’inégalité :

\[n \geq\, \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}55)} \approx 7{,}70.\]

Le plus petit entier qui convient est 8. Contrôle : \(p_7 = 1 – 0{,}55^7 \approx 0{,}985 \lt 0{,}99\) et \(p_8 = 1 – 0{,}55^8 \approx 0{,}992 \geq\, 0{,}99\). Le programme renvoie 8.

Exercice 3 :

1. Dans la dernière colonne, les valeurs augmentent de 1 à chaque ligne en partant de 4 pour \(n = 0\). On conjecture que, pour tout entier naturel \(n\), \(\dfrac{4}{u_n} = n + 4\).

2. Notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(u_n \gt 0\) ».

Initialisation. \(u_0 = 1 \gt 0\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(u_n \gt 0\). Alors le numérateur \(4u_n\) est strictement positif, et le dénominateur \(u_n + 4\) est strictement supérieur à 4, donc strictement positif. Un quotient de deux nombres strictement positifs est strictement positif : \(u_{n+1} = \dfrac{4u_n}{u_n + 4} \gt 0\). Ainsi \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire ; d’après le principe de récurrence, \(u_n \gt 0\) pour tout entier naturel \(n\).

3. On étudie le signe de la différence de deux termes consécutifs. Pour tout entier naturel \(n\), en réduisant au même dénominateur :

\[u_{n+1} – u_n = \dfrac{4u_n}{u_n + 4} – \dfrac{u_n(u_n + 4)}{u_n + 4} = \dfrac{4u_n – u_n^2 – 4u_n}{u_n + 4} = \dfrac{-u_n^2}{u_n + 4}.\]

D’après la question 2, \(u_n \gt 0\), donc \(u_n^2 \gt 0\) et \(u_n + 4 \gt 0\). La différence est donc strictement négative : \(u_{n+1} \lt u_n\) pour tout \(n\). La suite \((u_n)\) est (strictement) décroissante.

4. La suite \((u_n)\) est décroissante (question 3) et minorée par 0 (question 2). D’après le théorème de la convergence monotone, la suite \((u_n)\) converge vers une limite \(\ell\) qui vérifie \(\ell \geq\, 0\).

5. La suite \((v_n)\) est bien définie car \(u_n \neq 0\). Pour tout entier naturel \(n\), l’inverse de \(u_{n+1}\) vaut \(\dfrac{u_n + 4}{4u_n}\), donc :

\[v_{n+1} = \dfrac{4}{u_{n+1}} = 4 \times \dfrac{u_n + 4}{4u_n} = \dfrac{u_n + 4}{u_n} = 1 + \dfrac{4}{u_n} = 1 + v_n.\]

On passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours 1 : \((v_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r = 1\), de premier terme \(v_0 = \dfrac{4}{u_0} = 4\).

Le terme général d’une suite arithmétique est \(v_n = v_0 + nr\), d’où \(v_n = n + 4\) pour tout entier naturel \(n\) : la conjecture de la question 1 est démontrée.

6. De \(v_n = \dfrac{4}{u_n}\) on tire \(u_n = \dfrac{4}{v_n}\), soit, pour tout entier naturel \(n\) :

\[u_n = \dfrac{4}{n + 4}.\]

Quand \(n\) tend vers \(+\infty\), le dénominateur \(n + 4\) tend vers \(+\infty\) tandis que le numérateur reste égal à 4 ; par quotient, \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0\). On retrouve une limite positive ou nulle, conformément à la question 4.

Exercice A :

Partie 1

1. Limite en 0. On a \(\lim\limits_{x \to 0} \ln(x) = -\infty\) et \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = +\infty\). Par produit, \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(x)}{x^2} = -\infty\), et en ajoutant 1 : \(\lim\limits_{x \to 0} h(x) = -\infty\).

Limite en \(+\infty\). On écrit \(\dfrac{\ln(x)}{x^2} = \dfrac{\ln(x)}{x} \times \dfrac{1}{x}\). Par croissance comparée, \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0\), et \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0\). Le produit tend vers 0, donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} h(x) = 1\) : la droite d’équation \(y = 1\) est asymptote horizontale à la courbe de \(h\) en \(+\infty\).

2. On dérive le quotient \(\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x) = \ln(x)\), \(u^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x}\), \(v(x) = x^2\), \(v^{\prime}(x) = 2x\) :

\[h^{\prime}(x) = \dfrac{\dfrac{1}{x} \times x^2 – \ln(x) \times 2x}{x^4} = \dfrac{x – 2x\ln(x)}{x^4} = \dfrac{x\,(1 – 2\ln(x))}{x^4} = \dfrac{1 – 2\ln(x)}{x^3}.\]

On obtient bien \(h^{\prime}(x) = \dfrac{1 – 2\ln(x)}{x^3}\) pour tout \(x \gt 0\).

3. Sur \(]0\,;\,+\infty[\), \(x^3 \gt 0\), donc \(h^{\prime}(x)\) a le signe de \(1 – 2\ln(x)\). Or :

\[1 – 2\ln(x) \gt 0 \iff \ln(x) \lt \dfrac{1}{2} \iff x \lt \text{e}^{1/2} = \sqrt{\text{e}}.\]

Donc \(h^{\prime}(x) \gt 0\) sur \(]0\,;\,\sqrt{\text{e}}[\), \(h^{\prime}(\sqrt{\text{e}}) = 0\) et \(h^{\prime}(x) \lt 0\) sur \(]\sqrt{\text{e}}\,;\,+\infty[\). La fonction \(h\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,\sqrt{\text{e}}]\) et strictement décroissante sur \([\sqrt{\text{e}}\,;\,+\infty[\).

Son maximum vaut \(h(\sqrt{\text{e}}) = 1 + \dfrac{1/2}{\text{e}} = 1 + \dfrac{1}{2\text{e}} \approx 1{,}18\).

4. Sur \([\sqrt{\text{e}}\,;\,+\infty[\), \(h\) décroît de \(1 + \dfrac{1}{2\text{e}}\) vers sa limite 1 sans l’atteindre : pour tout \(x\) de cet intervalle, \(h(x) \gt 1 \gt 0\). L’équation \(h(x) = 0\) n’y a donc aucune solution.

Sur \(]0\,;\,\sqrt{\text{e}}]\), \(h\) est continue (car dérivable) et strictement croissante, avec \(\lim\limits_{x \to 0} h(x) = -\infty\) et \(h(\sqrt{\text{e}}) \approx 1{,}18 \gt 0\). Comme 0 est compris entre ces deux valeurs, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que l’équation \(h(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans cet intervalle.

Au total, l’équation \(h(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).

Encadrement : \(h(\dfrac{1}{2}) = 1 + \dfrac{\ln(1/2)}{1/4} = 1 – 4\ln(2) \approx -1{,}77 \lt 0\) et \(h(1) = 1 + 0 = 1 \gt 0\). Comme \(\dfrac{1}{2}\) et 1 sont dans \(]0\,;\,\sqrt{\text{e}}]\) (car \(\sqrt{\text{e}} \approx 1{,}65\)) où \(h\) est strictement croissante, on a \(h(\dfrac{1}{2}) \lt h(\alpha) \lt h(1)\) donc \(\dfrac{1}{2} \lt \alpha \lt 1\) (à la calculatrice, \(\alpha \approx 0{,}65\)).

5. Sur \(]0\,;\,\sqrt{\text{e}}]\), \(h\) est strictement croissante et s’annule en \(\alpha\) : \(h(x) \lt 0\) pour \(x \lt \alpha\) et \(h(x) \gt 0\) pour \(\alpha \lt x \leq\, \sqrt{\text{e}}\). Sur \([\sqrt{\text{e}}\,;\,+\infty[\), on a vu que \(h(x) \gt 1 \gt 0\).

Conclusion : \(h(x) \lt 0\) sur \(]0\,;\,\alpha[\), \(h(\alpha) = 0\) et \(h(x) \gt 0\) sur \(]\alpha\,;\,+\infty[\).

Partie 2

1. Pour tout \(x \gt 0\), en faisant attention au signe devant la parenthèse :

\[f_1(x) – f_2(x) = x – 1 – \dfrac{\ln(x)}{x^2} – x + 2 + \dfrac{2\ln(x)}{x^2} = 1 + \dfrac{2\ln(x) – \ln(x)}{x^2} = 1 + \dfrac{\ln(x)}{x^2}.\]

On retrouve \(f_1(x) – f_2(x) = h(x)\).

2. La position relative de deux courbes se lit sur le signe de la différence \(f_1(x) – f_2(x) = h(x)\), étudié à la question 5 de la Partie 1 :

• sur \(]0\,;\,\alpha[\), \(h(x) \lt 0\), donc \(f_1(x) \lt f_2(x)\) : \(\mathcal{C}_1\) est en dessous de \(\mathcal{C}_2\) ;
• sur \(]\alpha\,;\,+\infty[\), \(h(x) \gt 0\), donc \(f_1(x) \gt f_2(x)\) : \(\mathcal{C}_1\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_2\) ;
• les courbes se coupent exactement aux abscisses où \(h(x) = 0\), c’est-à-dire en \(x = \alpha\) seulement : elles ont donc un unique point d’intersection.

Ordonnée de ce point : on utilise \(h(\alpha) = 0\), c’est-à-dire \(\dfrac{\ln(\alpha)}{\alpha^2} = -1\). Alors :

\[f_1(\alpha) = \alpha – 1 – \dfrac{\ln(\alpha)}{\alpha^2} = \alpha – 1 – (-1) = \alpha.\]

L’unique point d’intersection de \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\) a pour coordonnées \((\alpha\,;\,\alpha)\) : il est situé sur la droite d’équation \(y = x\).

Exercice B :

Partie 1

1. Le sens de variation de \(f\) est donné par le signe de \(f^{\prime}\), c’est-à-dire par la position de la courbe tracée par rapport à l’axe des abscisses. La courbe est au-dessus de l’axe pour \(x \lt -1\), le coupe en \(x = -1\), puis reste en dessous pour \(x \gt -1\) (elle se rapproche de l’axe sans le rejoindre). On conjecture que \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,-1]\) et décroissante sur \([-1\,;\,+\infty[\), avec un maximum en \(x = -1\).

2. La convexité de \(f\) est liée aux variations de \(f^{\prime}\) : \(f\) est convexe là où \(f^{\prime}\) est croissante et concave là où \(f^{\prime}\) est décroissante. La courbe de \(f^{\prime}\) descend jusqu’à son minimum \(-1\) atteint en \(x = 0\), puis remonte. On conjecture que \(f\) est concave sur \(]-\infty\,;\,0]\) et convexe sur \([0\,;\,+\infty[\), avec un point d’inflexion d’abscisse 0.

Partie 2

1. En développant et en utilisant \(\text{e}^{-x} = \dfrac{1}{\text{e}^{x}}\) :

\[f(x) = x\,\text{e}^{-x} + 2\text{e}^{-x} = \dfrac{x}{\text{e}^{x}} + 2\text{e}^{-x}.\]

Par croissance comparée, \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^{x}}{x} = +\infty\), donc son inverse vérifie \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\text{e}^{x}} = 0\). Par ailleurs \(\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-x} = 0\). Par somme, \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0\).

On en déduit que la droite d’équation \(y = 0\) (l’axe des abscisses) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}\) en \(+\infty\).

2. a. On dérive le produit \(uv\) avec \(u(x) = x + 2\), \(u^{\prime}(x) = 1\), \(v(x) = \text{e}^{-x}\), \(v^{\prime}(x) = -\text{e}^{-x}\) :

\[f^{\prime}(x) = 1 \times \text{e}^{-x} + (x + 2) \times (-\text{e}^{-x}) = (1 – x – 2)\,\text{e}^{-x} = (-x – 1)\,\text{e}^{-x}.\]

b. Pour tout réel \(x\), \(\text{e}^{-x} \gt 0\), donc \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(-x – 1\), qui est positif pour \(x \lt -1\), nul en \(-1\) et négatif pour \(x \gt -1\). Ainsi \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty\,;\,-1]\) et strictement décroissante sur \([-1\,;\,+\infty[\), ce qui confirme la conjecture de la Partie 1. Son maximum est \(f(-1) = (-1 + 2)\,\text{e}^{1} = \text{e}\).

c. Sur \([-2\,;\,-1]\), la fonction \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante. De plus \(f(-2) = 0 \times \text{e}^{2} = 0 \lt 2\) et \(f(-1) = \text{e} \approx 2{,}718 \gt 2\). Puisque 2 est compris entre \(f(-2)\) et \(f(-1)\), le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires garantit que l’équation \(f(x) = 2\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([-2\,;\,-1]\).

Par balayage à la calculatrice : \(f(-1{,}6) \approx 1{,}981 \lt 2\) et \(f(-1{,}5) \approx 2{,}241 \gt 2\), donc \(-1{,}6 \lt \alpha \lt -1{,}5\). En affinant, \(f(-1{,}60) \approx 1{,}981\) et \(f(-1{,}59) \approx 2{,}01\), d’où \(\alpha \approx -1{,}594\) : au dixième près, \(\alpha \approx -1{,}6\).

3. On dérive \(f^{\prime}(x) = (-x – 1)\,\text{e}^{-x}\) comme un produit, avec \(u(x) = -x – 1\), \(u^{\prime}(x) = -1\) :

\[f^{\prime\prime}(x) = -1 \times \text{e}^{-x} + (-x – 1) \times (-\text{e}^{-x}) = (-1 + x + 1)\,\text{e}^{-x} = x\,\text{e}^{-x}.\]

Comme \(\text{e}^{-x} \gt 0\), \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(x\) :

• sur \(]-\infty\,;\,0]\), \(f^{\prime\prime}(x) \leq\, 0\) : \(f\) est concave ;
• sur \([0\,;\,+\infty[\), \(f^{\prime\prime}(x) \geq\, 0\) : \(f\) est convexe.

En \(x = 0\), la dérivée seconde s’annule en changeant de signe : la courbe change de convexité. Le point \(\text{A}(0\,;\,f(0)) = \text{A}(0\,;\,2)\) est donc le point d’inflexion de la courbe \(\mathcal{C}\) : en ce point, la courbe traverse sa tangente, d’équation \(y = -x + 2\) (car \(f^{\prime}(0) = -1\)). Ces résultats confirment la conjecture de la Partie 1.

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