Voici le sujet 2 du bac de maths posé en Amérique du Nord lors de la session 2024 (jour 2), une épreuve de spécialité mathématiques de terminale d’une durée de quatre heures. Il comporte quatre exercices, suivis d’un corrigé complet rédigé sur une page dédiée.
Le premier exercice mêle probabilités conditionnelles, arbre pondéré et loi binomiale à partir de données sur les véhicules hybrides rechargeables. Le deuxième relève de la géométrie dans l’espace : vecteur normal, équation cartésienne d’un plan, représentation paramétrique d’une droite et projeté orthogonal dans un pavé droit. Le troisième étudie une suite récurrente avec un raisonnement par récurrence, une suite géométrique auxiliaire construite avec le logarithme et un script Python de seuil. Le dernier porte sur la fonction logarithme népérien : primitive, calcul d’aire et tangente à la courbe.
Pour tirer profit de cette annale de 2024, traitez chaque exercice en temps limité avant de comparer votre copie à la correction détaillée, qui justifie chaque étape. Le corrigé au format PDF reste accessible grâce au lien placé en bas de page.
Bac 2024 Nord : présentation de l’épreuve
Tout d’abord, ce bac 2024 Nord correspond à l’épreuve de spécialité mathématiques 2024 en Amérique du Nord (sujet 2), reproduit ici avec son énoncé complet. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 5, 5, 6 et 4 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser les probabilités conditionnelles, la loi binomiale, la géométrie dans l’espace et le raisonnement par récurrence. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
Amérique du Nord – SESSION 2024
MATHÉMATIQUES
Jour 2
Durée de l’épreuve : 4 heures
L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.
Exercice 1 : (5 points)
Les données publiées le 1er mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les
immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations
suivantes :
• 22,86 % des véhicules étaient des véhicules neufs ;
• 8,08 % des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables ;
• 1,27 % des véhicules d’occasion (c’est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.
Dans tout l’exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.
Partie A
Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022.
On note
• N l’événement « le véhicule est neuf » ;
• R l’événement « le véhicule est hybride rechargeable » ;
• \(\overline{N}\) et \(\overline{R}\) les événements contraires des événements N et R.
1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.
3. Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule
soit hybride rechargeable est 0,0283.
4. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu’il est hybride rechargeable.
Partie B
Dans cette partie, on choisit 500 véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés
en France en 2022.
Dans la suite, on admettra que la probabilité qu’un tel véhicule soit neuf est égale à 0,65.
On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise.
On appelle X la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les 500
véhicules choisis.
1. On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses
paramètres.
2. Déterminer la probabilité qu’exactement 325 de ces véhicules soient neufs.
3. Déterminer la probabilité \(p(X\geq\, 325)\) puis interpréter le résultat dans le contexte de
l’exercice.
Partie C
On choisit désormais n véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en
France en 2022, où n désigne un entier naturel strictement positif.
En outre, on rappelle que la probabilité qu’un tel véhicule soit neuf est égale à 0,65.
On assimile le choix de ces n véhicules à un tirage aléatoire avec remise.
1. Donner l’expression en fonction de n de la probabilité \(p_n\) que tous ces véhicules
soient d’occasion.
2. On note \(q_n\) la probabilité qu’au moins un de ces véhicules soit neuf.
En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de n telle que \(q_n\geq\, 0{,}9999\).
Exercice 2 : (5 points)
On considère le pavé droit ABCDEFGH tel que AB = 3 et AD = AE = 1 représenté ci-dessous.
Ensuite, on considère le point I du segment [AB] tel que \(\vec{AB}=3\vec{AI}\) et on appelle M le milieu du
segment [CD].
On se place dans le repère orthonormé \((A;\vec{AI},\vec{AD},\vec{AE})\).
1. Sans justifier, donner les coordonnées des points F, H et M.
2.a) Montrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix}\) est un vecteur normal au plan (HMF).
b) En déduire qu’une équation cartésienne du plan (HMF) est :
\(2x+6y+3z-9=0\).
c) Le plan \((P)\) dont une équation cartésienne est \(5x+15y-3z+7=0\) est-il parallèle au plan (HMF) ? Justifier la réponse.
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (DG).
4. On appelle N le point d’intersection de la droite (DG) avec le plan (HMF).
Déterminer les coordonnées du point N.
5. Le point R de coordonnées \((3\,;\dfrac{1}{4}\,;\dfrac{1}{2})\) est-il le projeté orthogonal du point G sur le plan
(HMF) ? Justifier la réponse.
Exercice 3 : (6 points)
On considère la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 1] par \(g(x)=2x-x^2\).
1. Montrer que la fonction g est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 1] et préciser
les valeurs de g(0) et de g(1).
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(\begin{cases}u_0=\dfrac{1}{2}\\u_{n+1}=g(u_n)\end{cases}\) pour tout entier naturel n.
2. Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : \(0\lt u_n\lt u_{n+1}\lt 1\).
4. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.
5. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).
On considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel n par \(v_n=\ln(1-u_n)\).
6. Démontrer que la suite \((v_n)\) est une suite géométrique de raison 2 et préciser son premier terme.
7. En déduire une expression de \(v_n\) en fonction de n.
8. En déduire une expression de \(u_n\) en fonction de n et retrouver la limite déterminée à
la question 5.
9. Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang n
à partir duquel la suite dépasse 0,95.
def seuil():
n=0
u=0.5
while u<0.95:
n=...
u=...
return n
Exercice 4 : (4 points)
Soit \(a\) un réel strictement positif.
On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x)=a\ln(x)\).
On note \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soit \(x_0\) un réel strictement supérieur à 1.
1. Déterminer l’abscisse du point d’intersection de la courbe \(C_f\) et de l’axe des abscisses.
2. Vérifier que la fonction F définie par \(F(x)=a(x\ln(x)-x)\) est une primitive de la
fonction f sur l’intervalle \(]0\,;+\infty[\).
3. En déduire l’aire du domaine grisé en fonction de \(a\) et de \(x_0\).
On note T la tangente à la courbe \(C_f\) au point M d’abscisse \(x_0\).
On appelle A le point d’intersection de la tangente T avec l’axe des ordonnées et B le projeté
orthogonal de M sur l’axe des ordonnées.
4. Démontrer que la longueur AB est égale à une constante (c’est-à-dire à un nombre
qui ne dépend pas de \(x_0\)) que l’on déterminera.
Le candidat prendra soin d’expliciter sa démarche.
Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2024 en Amérique du Nord (sujet 2)
Bac 2024 Nord : méthode pour bien s’entraîner
Tout d’abord, lisez l’ensemble du sujet pendant quelques minutes afin de repérer les questions les plus accessibles. Une fois votre copie terminée, comparez-la avec le corrigé détaillé en vous concentrant sur les justifications. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur les probabilités conditionnelles ou la loi binomiale. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à probabilités conditionnelles propose un rappel complet.
Les erreurs qui coûtent des points
- En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
- Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
- En géométrie dans l’espace, ne confondez pas le vecteur normal d’un plan et le vecteur directeur d’une droite.
Questions fréquentes sur ce bac 2024 Nord
Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et la géométrie dans l’espace, mais aussi le raisonnement par récurrence.
Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.
