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L’arithmétique et le théorème de Bézout dans un cours de maths en terminale spécialité.
I.Enoncé du théorème de Bézout :
Théorème :
Soient a et b sont deux entiers naturels non nuls.
Dire que a et b sont premiers entre eux équivaut à dire il existe deux entiers relatifs u et v tels que .
Démonstration :
1.Supposons qu’il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1 et prouvons que a et b sont premiers entre eux.
On note
divise a et b donc divise au + bv.
Comme au + bv = 1, = 1 et a et b sont premiers entre eux.
2.Supposons que a et b premiers entre eux et démontrons que 1 s’écrit sous la forme au + bv.
Soit l’ensemble des nombres sous la forme au + bv avec et .
L’ensemble n’est pas vide car pour u = 1 et v = 0, .Il en est de même pour b.
Ainsi contient des entiers strictement positive, et, parmi eux, un plus petit que tous les autres.
Notons ce plus petit élément.
La division euclidienne de a par m s’écrit avec
soit .
Ainsi .Or m est le plus petit entier strictement positif de donc r = 0.
Ainsi m divise a.On montre de même que m divise b.
Comme a et b sont premiers entre eux, m=1 et .
En pratique, comment trouver u et v ?
Pour déterminer les coefficient, on utilise l’algorithme d’Euclide.
Donnons un exemple.
On cherche un couple (x;y) d’entiers relatifs tels que 89x+41y=1 (1).
89 et 41 sont premiers entre eux donc il existe deux entiers relatifs x et y vérifiant (1).
On pose a=89 et b=41.
donc .
donc .
donc .
Soit .
Ainsi est solution de (1).
II.Une nouvelle caractérisation du PGCD
Théorème :
a et b sont deux entiers naturels non nuls.Dire que est le équivaut à dire que est un diviseur de a et b et il existe deux entiers relatifs u et v tels que .
Un cours d’arithmétique sur le théorème de Gauss en terminale spécialité.
I. Enoncé du théorème de Gauss.
Théorème :
Soient a,b et c sont des entiers strictement positifs tels que a divise le produit bc et a est premier avec b.
Alors a divise c.
Autrement dit : si un entier naturel divise un produit de deux facteurs et s’il est premier avec l’un d’eux, il divise l’autre.
Démonstration :
Puisque a et b sont premiers entre eux, d’après le théorème de Bezout, il existe des entiers relatifs
u et v tels que .
Donc . Or a divise ac et bc donc a divise .
Il en résulte que a divise c.
II. Corollaire du théorème.
Si un entier n est divisible par deux entiers naturels a et b premiers entre eux, il est divisible par leur produit.
Démonstration :
Par hypothèse, et avec q et q’ deux entiers naturels.
Donc .
Puisque b divise et que b est premier avec a, il divise q.
Donc et .
On conclut que le produit divise n.
Généralisation :
Si n est divisible par plusieurs entiers premiers entre eux deux à deux, n est divisible par leur produit.
Exemple :
Si un nombre est divisible par 3,7 et 11, alors il est divisible par 231 car 3,7 et 11 sont des entiers premiers entre eux deux à deux.
Application :
Pour prouver, par exemple, qu’un nombre est divisible par 6, il suffit de prouver qu’il est divisible par 2 et 3 car 2 et 3 sont premiers entre eux.
Ainsi pour tout entier naturel n>1, (n-1)n(n+1) est divisible par 6.
En effet, n(n+1) est le produit de deux entiers consécutifs : il est donc divisible par 2.
et (n-1)n(n+1) est le produit de trois entiers consécutifs : il est donc divisible par 3.
Il en résulte que (n-1)n(n+1) est divisible par 6.
Attention :
L’hypothèses a et b premiers entre eux est une hypothèse essentielle.
Si on démontre qu’un nombre est divisible par 4 et 6, on peut seulement conclure qu’il est divisible par 12, et non pas par 24.Ainsi 36 est divisible par 4 et 6, mais n’est pas divisible par 24.
Le PGCD deux deux entiers naturels, dans ce cours de maths en terminale spécialité, nous aborderons l’algorithme d’Euclide et les nombres premiers entre eux.
I. Le plus grand commun diviseur ( PGCD )
1.Le PGCD de deux entiers naturels
Par convention, lorsqu’on parlera de diviseurs d’un entier naturel, il s’agira toujours de diviseurs positifs.
Diviseurs communs à deux nombres :
Pour tout entier naturel a, on note l’ensemble de ses diviseurs., .
contient toujours 1 et a.
Lorsque , le plus grand élément de est a.
Pour tous entiers naturels a et b non nuls, on note l’ensemble des diviseurs communs à a et b.
L’ensemble est non vide : il contient toujours 1.
De plus, tous les nombres qu’il contient sont inférieurs ou égaux à a et b.
Donc a un plus grand élément appelé le plus grand commun diviseur et noté le PGCD de a et b.
Exemple :
Définition 1 :
a et b sont deux entiers naturels.Le Plus Grand Commun Diviseur à a et b est noté .
Conséquences :
Si b divise a alors pgcd(a,b)=b.En effet, tout diviseur de b est un diviseur de a donc .
Comme b est le plus grand élément de , alors b est le .
2.Recherche du PGCD : l’algorithme d’Euclide.
a et b sont deux entiers naturels non nuls, a>b .Lorsque b ne divise pas a, pour déterminer le , on utilise l’algorithme d’Euclide.
Base de l’algorithme d’Euclide :
Théorème 1 :
a et b sont deux entiers naturels non nuls tel que la division euclidienne de a par b se traduise par avec .Alors ce qui entraîne que .
Algorithme d’Euclide :
On définit ainsi une suite telle que .
Cette suite est une suite décroissante et strictement positive d’entiers naturels.Donc c’est une suite finie et il existe un entier n tel que et .
Or, signifie que divise , d’où :
Théorème 2 :
Lorsque b ne divise pas a, le est le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide.
Théorème 3 :
a et b sont deux entiers naturels non nuls.
L’ensemble des diviseurs communs à a et b est l’ensemble des diviseurs de .
Quel que soit l’entier c>0, .
3.Nombres premiers entre eux.
Définition 2 :
Dire que deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux signifie que leur PGCD est égal à 1.
Théorème 4 : caractérisation du PGCD.
a et b sont deux entiers naturels non nuls
est le équivaut à il existe deux entiers naturels a’ et b’ tels que :, et .
L’arithmétique à travers un cours de maths en terminale spécialité sur la divisibilité et les congruences.Dans cette leçon, nous aborderons la divisibilité dans et la division euclidienne dans et ainsi que les entiers congrus modulo n et les propriétés des congruences.
I. Divisibilité et division euclidienne.
1.Divisibilité dans Z.
Définition :
a et b sont deux entiers relatifs ().
Dire que b divise a signifie qu’il existe un entier k tel que a=kb.
Vocabulaire : on dit alors que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b.
On traduit aussi cette définition en disant que a est un multiple de b.
Exemple :
donc – 5, 5,9 et – 9 divisent -45.
Les diviseurs dans du chiffre 6 sont -6;-3;-2;-1;1;2;3;6.
Remarque :
1 et -1 tout entier relatif n car .
2.Propriétés de la divisibilité.
Comparaison :
a et b sont deux entiers relatifs (), il résulte de la définition que :
Si b divise a alors – b divise a.
Si b divise a et si , alors .
Théorème :
a et b sont deux entiers relatifs non nuls.
Si a divise b et b divise a, alors a=b ou a=- b.
Théorème (transitivité):
Soient a,b et c sont trois entiers relatifs (, ).
Si a divise b et b divise c alors a divise c.
Théorème : divisibilité d’une combinaison linéaire.
Soient sont trois entiers relatifs ().
Si d divise a et b, alors d divise tout entier .
En particulier, d divise leur somme et leur différence .
Preuve :
Par hypothèses, on peut écrire et avec k et k’ entiers.
avec entiers, donc d divise .
3.La division euclidienne dans N.
Théorème :
a et b sont deux entiers naturels et b est non nul.Il existe un couple unique (q;r) d’entiers naturels tel que et .
Définition :
a et b sont deux entiers naturels, .Effectuer la division euclidienne dans de a par b, c’est déterminer le couple d’entiers naturels (q;r) tel que et .
Vocabulaire :
a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r est le reste.
Conséquence :
b divise a, si et seulement si, dans la division de a par b, le reste est nul.
4.La division euclidienne dans Z
Théorème : (admis)
a et b sont deux entiers relatifs avec b non nul.
Alors il existe un unique couple tel que q entier relatif et r entier naturel tel que et .
Exemple :
.
Pour obtenir un reste positif, on écrit .
Ainsi et .
II. Congruences.
1.Entiers congrus modulo m.
Définition :
m est un entier naturel non nul.
Dire que deux entiers relatifs a et b sont congrus modulo m signifie qu’ils ont le même reste
dans la division euclidienne par m.
Notation :
On écrit .On lit a est congru à b modulo m.
Exemple :
et .
Théorème :
m est un entier naturel non nul.
Pour tous entiers relatifs a et b, .
Remarques :
Si r est le reste de la division euclidienne de a par m, alors .
si et seulement si m divise a.
2.Propriétés des congruences.
Théorème : (transitivité)
m est un entier naturel non nul.Pour tous entier relatif a,b et c,
si et , alors .
Théorème : (congruences et opérations)
m est un entier naturel non nul et a,b,a’,b’ sont des entiers relatifs.si et , alors :
La notion de dérivée et dérivation d’une fonction numérique à travers un cours de maths en terminale. I. La notion de dérivée d’une fonction 1.Dérivabilité et fonction dérivée Définition : le nombre dérivé On considère une fonction f définie sur un intervalle I de ainsi que deux nombres réels et tel que et appartiennent à … Lire la suite
Les calculs d’intégrales à travers un cours de maths en terminale. Nous considèrerons une fonction positive et continue et la dérivabilité d’une fonction définie par une intégrale puis la primitive d’une fonction continue.Une synthèse des primitives des fonctions usuelles et la linéarité de l’intégrale ainsi que la relation de Chasles et l’aire entre deux courbes.
Connaissances nécessaires à ce chapitre
Calculer l’aire des polygones usuels;
Effectuer des conversions d’unités d’aire;
Dériver les fonctions usuelles;
Représenter et décrire un domaine du plan.
Définition
Soit (O; , ) un repère orthogonal du plan.
On note I et J les points tels que et .
L’unité d’aire, que l’on note u.a., est l’aire du rectangle dont O, I et J forment trois sommets.
I. Intégrale d’une fonction continue et positive.
Définition : notion d’intégrale.
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] de courbe représentative dans un repère orthogonal (O; , ).
L’intégrale de a à b de f est l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine situé entre la courbe , l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b.
Cette aire se note et on prononce « intégrale (ou somme) de a à b de f (x) dx ».
Remarques :
a et b s’appellent respectivement « borne inférieure » et « borne supérieure » de l’intégrale.
La valeur de l’intégrale ne dépend que de a, b et f ; la variable x n’intervenant pas dans le
résultat, on dit qu’elle est muette et l’on peut donc noter indifféremment :
Pour toute fonction f continue et positive en un réel a, puisqu’il s’agit de
l’aire d’un segment de hauteur f (a).
Le symbole est dû à Leibniz, (1646-1716). Il ressemble à un « s » allongé, rappelant
que l’aire peut être calculée comme la somme de petites aires élémentaires.
Théorème : dérivabilité d’une fonction définie par une intégrale.
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b].
La fonction est définie et dérivable sur [a ; b] et on a F′ = f .
II. Primitives d’une fonction continue.
Définition
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I.
Une primitive de f sur I est une fonction F définie et dérivable sur I telle que F′ = f .
Remarques :
On dit que F est une primitive de f et non pas la primitive de f car une fonction
admettant une primitive n’en admet pas une seule, comme le montre l’exemple ci-dessous.
Exemple :
Soit définie sur . Alors est une primitive de f sur .
De même, est aussi une primitive de f sur . On a .
Théorème : existence de primitives.
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
Théorème : Lien entre les primitives.
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I.
Alors f admet une infinité de primitives sur I qui sont toutes de la forme .
Propriété : condition d’unicité de la primitive.
Soient et deux réels donnés. Parmi toutes les primitives d’une fonction f définie et
continue sur I, il en existe une seule qui vérifie la condition .
Remarque :
Pour tout et est donc la primitive de f sur I s’annulant
en .
En effet, F est bien une primitive de f sur I et c’est la seule vérifiant la condition .
Propriété : calcul pratique d’une intégrale.
Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b] et F une primitive de f sur [a ; b]. Alors : .
Exemple :
On souhaite calculer . Pour cela, posons , définie sur [0 ; 1].
En remarquant que est une primitive de f sur [0 ; 1], on obtient :
Propriété : primitives des fonctions usuelles.
Propriété : primitives et opérations sur les fonctions.
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
III. Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque.
On a vu au paragraphe précédent que, pour une fonction continue et positive sur [a ; b] : où F est une primitive de f sur [a ; b].
On étend cette propriété aux fonctions de signe quelconque, continues sur un intervalle [a ; b] avec la définition ci-dessous.
Définition :
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b] et de signe quelconque et F une primitive
de f sur [a ; b]. On pose : .
Exemple :
On souhaite calculer . Pour cela, on pose définie sur
I = [−1 ; 2].
Une primitive de f sur I est et on obtient alors :
.
Propriété : linéarité de l’intégrale.
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] et l un réel.Alors :
.
Propriété : fonction négative et aire.
Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle [a ; b]. Alors, l’aire du domaine situé
entre et l’axe des abscisses, sur l’intervalle [a ; b] est .
Preuve :
On note D le domaine situé entre Cf et l’axe des abscisses, sur [a ; b].
Par symétrie par rapport à l’axe des abscisses, l’aire de D est égale à l’aire du domaine E , compris entre la courbe de −f et l’axe des abscisses, sur l’intervalle [a; b].
Ainsi :
.
Propriété : relation de Chasles
Soient f une fonction continue sur un intervalle I et a, b, c, trois réels appartenant à I. Alors : .
Preuve :
f étant une fonction continue sur I, elle admet une primitive sur cet intervalle.
Notons F une primitive de f sur I.
Pour démontrer l’égalité annoncée, calculons séparément chaque membre de l’égalité : par définition.
toujours par définition
puis en réduisant l’expression obtenue.
L’égalité annoncée est donc vraie.
Propriété
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] telles que f > g. Alors, l’aire
du domaine compris entre les courbes Cf et Cg sur [a ; b] est donnée par .
Propriété : intégrales et inégalités.
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b]. Alors :
Si f est positive sur [a ; b], alors .
Si pour tout , , alors .
Définition : valeur moyenne.
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b].La valeur moyenne de f sur [a ; b] est le nombre défini par :
Remarque :
Dans le cas où f est positive et continue sur [a ; b], la valeur moyenne de f entre a et b représente la hauteur du rectangle construit sur l’intervalle [a ; b].
L’aire du rectangle ABCD est égale, en u.a., à l’aire du domaine coloré car d’après la définition :
Les suites de matrices à travers un cours de maths en terminale spécialité où nous étudierons des suites convergentes vers une autre matrice.
I.Suite de nombres (Un) vérifiant .
Une telle suite est dite arithmético-géométrique (ou à récurrence affine).
Etudions un exemple.La suite (Un) est définie par et pour tout entier naturel n, .
1. De la formule de récurrence à la formule explicite.
Observons que si la suite (Un) converge, alors sa limite x est solution de l’équation x=0,2x+4.
Cette équation a pour solution x=5.Cela suggère de poser : pour tout entier naturel n, .
De et , on déduit par soustraction : .
Soit .La suite est géométrique de raison a = 0,2 et de premier terme .
D’où pour tout entier naturel n, .
Ainsi donc .
2.Méthode générale : détermination d’une formule explicite.
On considère une suite de nombre (Un) qui vérifie , avec .
On résoud l’équation : elle a une solution unique c.
On introduit la suite auxiliaire définie par .On prouve qu’elle est géométrique de raison a.; il en résulte que pour tout naturel n, .
On revient à la suite initiale : pour tout entier naturel n, .D’où l’expression :
3.Etude de la convergence
Sur notre exemple, la raison a=0,2 est telle que – 1<a<1 donc .
Ainsi, .
Si on applique cette méthode dans le cas général, on obtient le résultat suivant :
Théorème :
Une suite de nombres (Un) vérifie , avec -1<a<1.
Alors la suite (Un) converge vers le nombre c vérifiant c = ac+b.
Ce résultat découle de la formule explicite et de la condition -1<a<1, car alors, .
Remarque :
On démontre que, si ou a>1, la suite est divergente (hormis le cas particuliers où , auquel cas elle est constante.
II.Suite de matrices colonnes (Un) vérifiant .
Etudions un exemple.La suite de matrices colonne (Un) de format (2,1) est définie par :
et pour tout entier naturel n, où et .
1.De la formule de récurrence à la formule explicite.
Inspirons-nous de la méthode précédente.Cherchons une matrice colonne C de format (2,1), telle que C=AC+B.Cette équation d’inconnue C s’écrit C-AC=B, c’est-à-dire (I-A)C=B.
Si I-A est inversible, multiplions à gauche les deux membres par .
Or ,cette matrice est inversible et
donc .
De et C=AC+B, on déduit par soustraction : .
Poson alors, pour tout entier naturel n, ; on obient (1).
Démontrons par récurrence que l’égalité (2) est vraie pour tout entier naturel n.
Pour n=0, l’égalité (2) est vraie car .
Si alors en multipliant à gauche les deux membres par , on obtient , c’est-à-dire d’après (1), .Ainsi, l’égalité (2) est héréditaire.
On conclut que pour tout entier naturel n, .
Revenons à la suite : pour tout entier naturel n, d’où .
2. Méthode générale : détermination d’une formule explicite.
Une suite de matrices colonnes vérifie où est inversible.
On résout l’équation l’équation C=AC+B; elle admet une unique solution .
On introduit la suite auxiliaire définie par .On prouve qu’elle vérifie, pour tout entier naturel n, puis par récurrence que .
On revient à la suite initiale: pour tout entier naturel n, .D’où l’expression .
3. Suites de matrices lignes
Si est une suite de matrices lignes de même format telle que , où est une matrice carrée et une matrice ligne, on obtient des résultats analogues : si est inversible, l’équation a une solution unique .
Alors pour tout naturel n, .
III. Convergence d’une suite de matrice
Définition :
est une suite de matrices de format donné, L est une matrice de même format.Dire que la suite a pour limite L, signifie que, pour chaque emplacement, la suite des coefficients de a pour limite le coefficient de L.
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