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La dérivée d’une fonction : cours de maths en terminale en PDF.

16 avril 2025 par webmaster

La notion de dérivée et dérivation d’une fonction numérique à travers un cours de maths en terminale. I. La notion de dérivée d’une fonction 1.Dérivabilité et fonction dérivée Définition : le nombre dérivé On considère une fonction f définie sur un intervalle I de ainsi que deux nombres réels et tel que et appartiennent à … Lire la suite

Calculs d’intégrales : cours de maths en terminale en PDF.

14 avril 2025 par webmaster

Les calculs d’intégrales à travers un cours de maths en terminale. Nous considèrerons une fonction positive et continue et la dérivabilité d’une fonction définie par une intégrale puis la primitive d’une fonction continue.Une synthèse des primitives des fonctions usuelles et la linéarité de l’intégrale ainsi que la relation de Chasles et l’aire entre deux courbes.
Connaissances nécessaires à ce chapitre

Calculer l’aire des polygones usuels;
Effectuer des conversions d’unités d’aire;
Dériver les fonctions usuelles;
Représenter et décrire un domaine du plan.

Définition

Soit (O; $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ) un repère orthogonal du plan.
On note I et J les points tels que $\vec{OI}=\vec{i}$ et $\vec{OJ}=\vec{j}$ .
L’unité d’aire, que l’on note u.a., est l’aire du rectangle dont O, I et J forment trois sommets.

I. Intégrale d’une fonction continue et positive.

Définition : notion d’intégrale.

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] de courbe représentative

dans un repère orthogonal (O; $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ).
L’intégrale de a à b de f est l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine situé entre la courbe

, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b.
Cette aire se note $\int_{a}^{b}f(x)dx$ et on prononce « intégrale (ou somme) de a à b de f (x) dx ».

Remarques :

a et b s’appellent respectivement « borne inférieure » et « borne supérieure » de l’intégrale.
La valeur de l’intégrale ne dépend que de a, b et f ; la variable x n’intervenant pas dans le
résultat, on dit qu’elle est muette et l’on peut donc noter indifféremment :
$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(t)dt=\int_{a}^{b}f(u)du=...$
Pour toute fonction f continue et positive en un réel a, $\int_{a}^{a}f(x)dx=0$ puisqu’il s’agit de
l’aire d’un segment de hauteur f (a).
Le symbole $\int$ est dû à Leibniz, (1646-1716). Il ressemble à un « s » allongé, rappelant
que l’aire peut être calculée comme la somme de petites aires élémentaires.

Théorème : dérivabilité d’une fonction définie par une intégrale.

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b].
La fonction $F\,:\,x\,\mapsto \,\int_{a}^{x}f\,(t)\,dt$ est définie et dérivable sur [a ; b] et on a F′ = f .

II. Primitives d’une fonction continue.

Définition

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I.
Une primitive de f sur I est une fonction F définie et dérivable sur I telle que F′ = f .

Remarques :

On dit que F est une primitive de f et non pas la primitive de f car une fonction
admettant une primitive n’en admet pas une seule, comme le montre l’exemple ci-dessous.

Exemple :

Soit $f\,:x\,\mapsto \,2x$ définie sur $\mathbb{R}$ . Alors $F_1:x\,\mapsto \,x^2$ est une primitive de f sur $\mathbb{R}$ .
De même, $F_2:x\,\mapsto \,x^2+1$ est aussi une primitive de f sur $\mathbb{R}$ . On a $F'_1\,=\,F'_2\,=\,f$ .

Théorème : existence de primitives.

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Théorème : Lien entre les primitives.

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I.
Alors f admet une infinité de primitives sur I qui sont toutes de la forme
$x\,\mapsto \,F(x)\,+\,k,\,k\,\in\,\mathbb{R}$ .

Propriété : condition d’unicité de la primitive.

Soient $x_0\,\in\,I$ et

deux réels donnés. Parmi toutes les primitives d’une fonction f définie et
continue sur I, il en existe une seule qui vérifie la condition $F(x_0)\,=\,y_0$ .

Remarque :
Pour tout $x_0\,\in\,I$ et $F\,:\,x\,\mapsto \,\int_{x_0}^{x}f\,(t)\,dt$ est donc la primitive de f sur I s’annulant
en .

En effet, F est bien une primitive de f sur I et c’est la seule vérifiant la condition $F(x_0)\,=\,0$ .

Propriété : calcul pratique d’une intégrale.

Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b] et F une primitive de f sur [a ; b]. Alors :
$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ .

Exemple :

On souhaite calculer $\int_{0}^{1}x^2dx$ . Pour cela, posons $f\,:x\,\mapsto \,x^2$ , définie sur [0 ; 1].
En remarquant que $F\,:\,x\,\mapsto \,\frac{x^3}{3}$ est une primitive de f sur [0 ; 1], on obtient :
$\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3}$

Propriété : primitives des fonctions usuelles.

Propriété : primitives et opérations sur les fonctions.

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

III. Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque.

On a vu au paragraphe précédent que, pour une fonction continue et positive sur [a ; b] :
$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ où F est une primitive de f sur [a ; b].

On étend cette propriété aux fonctions de signe quelconque, continues sur un intervalle [a ; b] avec la définition ci-dessous.

Définition :

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b] et de signe quelconque et F une primitive
de f sur [a ; b]. On pose : $\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ .

Exemple :

On souhaite calculer $\int_{-1}^{2}(x^2\,-\,2)\,dx$ . Pour cela, on pose $f\,:\,x\,\mapsto \,x^2\,-\,2$ définie sur
I = [−1 ; 2].

Une primitive de f sur I est $F:x\,\mapsto \,\frac{x^3}{3}-2x$ et on obtient alors :

$\int_{-1}^{2}(x^2\,-\,2)\,dx=(\,\frac{2^3}{3}-2\times \,2\,)-(\,\frac{(-1)^3}{3}-2\times \,(-1))=-3$ .

Propriété : linéarité de l’intégrale.

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] et l un réel.Alors :

$\int_{a}^{b}(f+g)(t)dt=\,\int_{a}^{b}f(t)dt+\,\int_{a}^{b}g(t)dt$ .

$\int_{a}^{b}(\alpha\,f)(t)dt=\alpha\int_{a}^{b}\,f(t)dt$

Propriété : fonction négative et aire.

Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle [a ; b]. Alors, l’aire du domaine situé
entre

et l’axe des abscisses, sur l’intervalle [a ; b] est $-\int_{a}^{b}f(x)dx$ .

Preuve :

On note D le domaine situé entre Cf et l’axe des abscisses, sur [a ; b].
Par symétrie par rapport à l’axe des abscisses, l’aire de D est égale à l’aire du domaine E , compris entre la courbe de −f et l’axe des abscisses, sur l’intervalle [a; b].

Ainsi :

$A_D=A_E=\int_{a}^{b}(-f)(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx$ .

Propriété : relation de Chasles

Soient f une fonction continue sur un intervalle I et a, b, c, trois réels appartenant à I. Alors :
$\int_{a}^{c}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx$

Preuve :

f étant une fonction continue sur I, elle admet une primitive sur cet intervalle.
Notons F une primitive de f sur I.

Pour démontrer l’égalité annoncée, calculons séparément chaque membre de l’égalité :
$\int_{a}^{c}f(x)dx=F(c)-F(a)$ par définition.
$\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx=\,F(b)\,-\,F(a)\,+\,F(c)\,-\,F(b)\,=\,F(c)\,-\,F(a)$ toujours par définition
puis en réduisant l’expression obtenue.

L’égalité annoncée est donc vraie.

Propriété

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] telles que f > g. Alors, l’aire
du domaine compris entre les courbes Cf et Cg sur [a ; b] est donnée par $\int_{a}^{b}(\,f\,-\,g)(x)\,dx$ .

Propriété : intégrales et inégalités.

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b]. Alors :

Si f est positive sur [a ; b], alors $\int_{a}^{b}f(x)dx\geq\,\,0$ .
Si pour tout $x\in[a;b]$ , $f(x)\leq\,\,g(x)$ , alors $\int_{a}^{b}f(x)dx\leq\,\,\int_{a}^{b}g(x)dx$ .

Définition : valeur moyenne.

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b].La valeur moyenne de f sur [a ; b] est le nombre $\mu$ défini par :

$\mu\,=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)dt$

Remarque :
Dans le cas où f est positive et continue sur [a ; b], la valeur moyenne de f entre a et b représente la hauteur du rectangle construit sur l’intervalle [a ; b].
L’aire du rectangle ABCD est égale, en u.a., à l’aire du domaine coloré car d’après la définition :

$(b-a)\mu\,=\int_{a}^{b}f(t)dt$

Suite de matrices : cours de maths en terminale spécialité en PDF.

4 avril 2025 par webmaster

Les suites de matrices à travers un cours de maths en terminale spécialité où nous étudierons des suites convergentes vers une autre matrice.

I.Suite de nombres (Un) vérifiant $U_{n+1}=aUn+b$ .

Une telle suite est dite arithmético-géométrique (ou à récurrence affine).

Etudions un exemple.La suite (Un) est définie par et pour tout entier naturel n, $U_{n+1}=0,2U_n+4$ .

1. De la formule de récurrence à la formule explicite.

Observons que si la suite (Un) converge, alors sa limite x est solution de l’équation x=0,2x+4.

Cette équation a pour solution x=5.Cela suggère de poser : pour tout entier naturel n, .

De $U_{n+1}=0,2U_n+4$ et $5=0,2,\times ,5+4$ , on déduit par soustraction : $U_{n+1}-5=0,2(U_n-5)$ .

Soit $x_{n+1}=0,2x_n$ .La suite est géométrique de raison a = 0,2 et de premier terme .

D’où pour tout entier naturel n, $x_{n}=,x_0\times ,0,2^n=,7\times ,0,2^n$ .

Ainsi $u_n-5=,7\times ,0,2^n$ donc $u_n,=,7\times ,0,2^n+5$ .

2.Méthode générale : détermination d’une formule explicite.

On considère une suite de nombre (Un) qui vérifie $U_{n+1}=aUn+b$ , avec $a\neq1$ .

On résoud l’équation : elle a une solution unique c.
On introduit la suite auxiliaire définie par .On prouve qu’elle est géométrique de raison a.; il en résulte que pour tout naturel n, .
On revient à la suite initiale : pour tout entier naturel n, .D’où l’expression :

3.Etude de la convergence

Sur notre exemple, la raison a=0,2 est telle que – 1<a<1 donc $\lim_{n,\mapsto ,+\infty,}0,2^n=0$ .

Ainsi, $\lim_{n,\mapsto ,+\infty,}u_n=5$ .

Si on applique cette méthode dans le cas général, on obtient le résultat suivant :

Théorème :

Une suite de nombres (Un) vérifie $U_{n+1}=aUn+b$ , avec -1<a<1.

Alors la suite (Un) converge vers le nombre c vérifiant c = ac+b.

Ce résultat découle de la formule explicite et de la condition -1<a<1, car alors, $\lim_{n,\mapsto ,+\infty,}a^n=0$ .

Remarque :

On démontre que, si $a\leq\,,-1$ ou a>1, la suite est divergente (hormis le cas particuliers où , auquel cas elle est constante.

II.Suite de matrices colonnes (Un) vérifiant $U_{n+1}=AU_n+B$ .

Etudions un exemple.La suite de matrices colonne (Un) de format (2,1) est définie par :

$U_0=\begin{pmatrix},3\\,-2,\end{pmatrix}$ et pour tout entier naturel n, $U_{n+1}=AU_n+B$ où $A=\begin{pmatrix},1,4,\\1,,2,\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix},12\\-2,\end{pmatrix}$ .

1.De la formule de récurrence à la formule explicite.

Inspirons-nous de la méthode précédente.Cherchons une matrice colonne C de format (2,1), telle que C=AC+B.Cette équation d’inconnue C s’écrit C-AC=B, c’est-à-dire (I-A)C=B.

Si I-A est inversible, multiplions à gauche les deux membres par $(I-A)^{-1}:C=(I-A)^{-1})B$ .

Or $I-A=\begin{pmatrix},0,-4,\\,-1,-1,\end{pmatrix}$ ,cette matrice est inversible et $(I-A)^{-1}=\begin{pmatrix},0,25,-1,\\,-0,25,0,\end{pmatrix}$

donc $C=\begin{pmatrix},5\\-3,\end{pmatrix}$ .

De $U_{n+1}=AU_n+B$ et C=AC+B, on déduit par soustraction : $U_{n+1}-C=A(U_n-C)$ .

Poson alors, pour tout entier naturel n, ; on obient $X_{n+1}=AX_n$ (1).

Démontrons par récurrence que l’égalité $X_{n}=A^nX_0$ (2) est vraie pour tout entier naturel n.

Pour n=0, l’égalité (2) est vraie car .
Si $X_{n}=A^nX_0$ alors en multipliant à gauche les deux membres par , on obtient $AX_{n}=A^{n+1}X_0$ , c’est-à-dire d’après (1), $X_{n+1}=A^{n+1}X_0$ .Ainsi, l’égalité (2) est héréditaire.
On conclut que pour tout entier naturel n, $X_{n}=A^nX_0$ .

Revenons à la suite : pour tout entier naturel n, $U_{n}-C=A^n(U_0-C)$ d’où $U_{n}=A^n(U_0-C)+C$ .

2. Méthode générale : détermination d’une formule explicite.

Une suite de matrices colonnes (U_n) vérifie $U_{n+1}=AU_n+B$ où I-A est inversible.

On résout l’équation l’équation C=AC+B; elle admet une unique solution $C=(I-A)^{-1})B$ .
On introduit la suite auxiliaire définie par .On prouve qu’elle vérifie, pour tout entier naturel n, $X_{n+1}=AX_n$ puis par récurrence que $X_{n}=A^nX_0$ .
On revient à la suite initiale: pour tout entier naturel n, .D’où l’expression $U_{n}=A^n(U_0-C)+C$ .

3. Suites de matrices lignes

Si est une suite de matrices lignes de même format telle que $V_{n+1}=V_nA+B$ , où est une matrice carrée et une matrice ligne, on obtient des résultats analogues : si est inversible, l’équation a une solution unique $C=B(I-A)^{-1}$ .

Alors pour tout naturel n, $V_{n}=(V_0-C)A^n+C$ .

III. Convergence d’une suite de matrice

Définition :

(U_n) est une suite de matrices de format donné, L est une matrice de même format.Dire que la suite (U_n) a pour limite L, signifie que, pour chaque emplacement, la suite des coefficients de (U_n) a pour limite le coefficient de L.

On dit aussi que converge vers L.

Exemple :

$U_n=\begin{pmatrix},3+0,2^n\\2-0,5^n,\\,7+0,3^n,\end{pmatrix}$ converge vers la matrice $\begin{pmatrix},3\\2,\\,7,\end{pmatrix}$ .

Fonctions sinus et cosinus : cours de maths en terminale en PDF.

1 avril 2025 par webmaster

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Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.

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10 mars 2025 par webmaster

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10 mars 2025 par webmaster

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8 mars 2025 par webmaster

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Matrices et opérations : cours de maths en terminale spécialité en PDF.

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Matrices et opérations à travers un cours de maths en terminale spécialité. I. Notion de matrices : Définition : n et p désignent des nombres entiers naturels non nuls. Une matrice de format ( ou taille ) (n,p) est un tableau de nombres réels à n lignes et p colonnes. Exemple : La matrice M ci-dessous … Lire la suite

Arithmétique : cours de maths en terminale spécialité en PDF.

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L’arithmétique dans un cours de maths en terminale spécialité. Ce cours fait intervenir les notions de divisibilité, multiples, diviseurs, congruences, les nombres premiers et la décomposition en facteur premier d’un nombre entier. Egalement la division Euclidienne, le théorème de Bézout et le théorème de Gauss. I. Divisibilité. Définition : Soient a et b deux entiers … Lire la suite

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Géométrie dans l’espace : cours de maths en terminale en PDF.

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Le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale en PDF.

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La logique combinatoire dans un cours de maths en terminale où nous étudierons l’implication directe, la réciproque et la contraposée. 1.Propriété directe : Définition : Une propriété mathématique est une affirmation qui est toujours vraie. Elle ne comporte aucune exception. Une propriété directe est obtenue à l’aide des hypothèses dont on dispose et le but … Lire la suite

Le théorème de Bézout : cours de maths en terminale spécialité en PDF.

8 février 2025 par webmaster

L’arithmétique et le théorème de Bézout dans un cours de maths en terminale spécialité.

I.Enoncé du théorème de Bézout :

Théorème :

Soient a et b sont deux entiers naturels non nuls.

Dire que a et b sont premiers entre eux équivaut à dire il existe deux entiers relatifs u et v tels que $au\,+\,bv\,=\,1$ .

Démonstration :

1.Supposons qu’il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1 et prouvons que a et b sont premiers entre eux.

On note $\Delta\,=PGCD(a,b)$

$\Delta$ divise a et b donc $\Delta$ divise au + bv.

Comme au + bv = 1, $\Delta$ = 1 et a et b sont premiers entre eux.

2.Supposons que a et b premiers entre eux et démontrons que 1 s’écrit sous la forme au + bv.

Soit $\varphi$ l’ensemble des nombres sous la forme au + bv avec $u\,\in\,\mathbb{Z}$ et $v\,\in\,\mathbb{Z}$ .

L’ensemble $\varphi$ n’est pas vide car pour u = 1 et v = 0, $a\in\varphi$ .Il en est de même pour b.

Ainsi $\varphi$ contient des entiers strictement positive, et, parmi eux, un plus petit que tous les autres.

Notons ce plus petit élément.

La division euclidienne de a par m s’écrit avec $0\leq\,\,r<m$

soit .

Ainsi $r\in\varphi$ .Or m est le plus petit entier strictement positif de $\varphi$ donc r = 0.

Ainsi m divise a.On montre de même que m divise b.

Comme a et b sont premiers entre eux, m=1 et .

En pratique, comment trouver u et v ?
Pour déterminer les coefficient, on utilise l’algorithme d’Euclide.

Donnons un exemple.

On cherche un couple (x;y) d’entiers relatifs tels que 89x+41y=1 (1).

89 et 41 sont premiers entre eux donc il existe deux entiers relatifs x et y vérifiant (1).

On pose a=89 et b=41.

$89=41\times \,2+7$ donc $7=89-2\times \,41=a-2b$ .

$41=7\times \,5+\,6$ donc $6=41-7\times \,5=b-5(a-2b)=11b-5a$ .

$7=6\times \,1\,+1$ donc .

Soit $89\times \,6\,+41\times (-13)=1$ .

Ainsi est solution de (1).

II.Une nouvelle caractérisation du PGCD

Théorème :

a et b sont deux entiers naturels non nuls.Dire que $\Delta$ est le équivaut à dire que $\Delta$ est un diviseur de a et b et il existe deux entiers relatifs u et v tels que $\Delta\,=au+bv$ .

I. Intégrale d’une fonction continue et positive.

II. Primitives d’une fonction continue.

III. Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque.

I.Suite de nombres (Un) vérifiant <img decoding="async" class="LatexImg" src="https://mathovore.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?U_{n+1}=aUn+b" alt="U_{n+1}=aUn+b" />.

1. De la formule de récurrence à la formule explicite.

2.Méthode générale : détermination d’une formule explicite.

3.Etude de la convergence

II.Suite de matrices colonnes (Un) vérifiant <img decoding="async" class="LatexImg" src="https://mathovore.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?U_{n+1}=AU_n+B" alt="U_{n+1}=AU_n+B" />.

1.De la formule de récurrence à la formule explicite.

2. Méthode générale : détermination d’une formule explicite.

3. Suites de matrices lignes

III. Convergence d’une suite de matrice

I.Enoncé du théorème de Bézout :

II.Une nouvelle caractérisation du PGCD

I.Suite de nombres (Un) vérifiant $U_{n+1}=aUn+b$ .

II.Suite de matrices colonnes (Un) vérifiant $U_{n+1}=AU_n+B$ .