Cours de maths en terminale

Tous les cours de maths en terminale pour les élèves et professeurs. Réviser ses leçons et tous les chapitres du programme de terminale.

Représentation paramétrique et équation cartésienne : cours de maths en terminale en PDF.

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Les représentations paramétriques de droites et plans de l’espace, ainsi que, les équations cartésiennes à travers un cours de maths en terminale à télécharger en PDF. Avec l’introduction des coordonnées dans un repère du plan. René Descartes fait basculer des objets jusque-là purement géométriques (points, droites, segments, etc.) dans le domaine algébrique. Ces objets peuvent … Lire la suite

Les équations différentielles : cours de maths en terminale en PDF.

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 Les équations différentielles du premier ordre avec résolution à travers un cours de maths en terminale. Introduction • Une équation différentielle est une équation dans laquelle l’inconnue est une fonction f. De plus, cette équation fait intervenir la fonction f ainsi que ses dérivées successives, d’où le terme différentiel. • Les équations différentielles apparaissent naturellement … Lire la suite

Fonction continue : cours de maths en terminale en PDF.

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La continuité d’une fonction numérique dans un cours de maths en terminale  faisant intervenir le théorème des valeurs intermédiaires. Nous terminerons cette leçon par l’interprétation graphique et les propriétés de la continuité. Remarque : Les programmes limitent la continuité à une approche intuitive qui est de considérer qu’une fonction est continue sur un intervalle I si … Lire la suite

Conjugué, module et argument d’un nombre complexe : cours de maths en terminale en PDF.

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Les nombres complexes avec un cours de maths en terminale faisant intervenir la notion de conjugué et d’argument. I. Conjugué d’un nombre complexe. 1. Définition du conjugué. Définition : Soit un nombre complexe de forme algébrique (x, y réels). Le nombre complexe , noté , est appelé conjugué du nombre complexe . Exemples : ; … Lire la suite

Le produit scalaire : cours de maths en terminale en PDF.

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Le produit scalaire dans le plan dans un cours de maths en terminale et dans l’espace. Cette leçon sur le produit scalaire est à télécharger en PDF gratuitement afin de progresser et développer vos compétences en classe de terminale. I. Différentes expressions du produit scalaire : 1. Vecteurs colinéaires : Définition : soient et deux … Lire la suite

Arithmétique : cours de maths en terminale spécialité en PDF.

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L’arithmétique dans un cours de maths en terminale spécialité. Ce cours fait intervenir les notions de divisibilité, multiples, diviseurs, congruences, les nombres premiers et la décomposition en facteur premier d’un nombre entier. Egalement la division Euclidienne, le théorème de Bézout et le théorème de Gauss. I. Divisibilité. Définition : Soient a et b deux entiers … Lire la suite

Les suites numériques : cours de maths en terminale en PDF.

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Les suites numériques dans un cours de maths en terminale en enseignement obligatoire. Nous étudierons la définition d’une suite numérique et son comportement. I . Comportement d’une suite numérique : Définition : Une suite est une application de l’ensemble dans l’ensemble . . Définitions : Une suite est croissante . Une suite est décroissante . … Lire la suite

Les limites et les asymptotes : cours de maths en terminale en PDF.

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Les limites (somme, produit, quotient) dans un cours de maths en terminale avec l’étude des formes indéterminées. Dans cette leçon, nous mènerons une études des asymptotes horizontales, verticales et obliques en terminale pour l’enseignement obligatoire. Connaissances nécessaires à ce chapitre : Déterminer la limite éventuelle d’une suite géométrique. Étudier la limite d’une somme, d’un produit … Lire la suite

Les probabilités conditionnelles : cours de maths en terminale en PDF.

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Cours sur les probabilités conditionnelles. Dans cette leçon, désigne un univers, A et B deux événements de et P une probabilité sur . I. Probabilités conditionnelles et arbres pondérés. 1. Probabilités conditionnelles. Définition : Si , la probabilité de B sachant A, notée , est définie par :. 2.Application aux arbres pondérés. Propriété : Les … Lire la suite

La fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF.

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La fonction logarithme népérien avec un cours de maths en terminale faisant intervenir la définition du logarithme et ses propriétés. I. Définition de la fonction logarithme népérien : Définition : Pour tout réel  de , il existe un unique réel y tel que . Définition : La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur ]0 … Lire la suite

Géométrie dans l’espace : cours de maths en terminale en PDF.

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 La géométrie dans l’espace à travers un cours de maths en terminale sur l’intersection et la position relatives de droites et plans de l’espace. Les différentes propriétés de la leçon à connaître accompagnées de figures de solides de l’espace en terminale. I. Positions relatives de droites et plans Propriété : positions relatives de deux droites Deux droites … Lire la suite

La logique combinatoire : cours de maths en terminale en PDF.

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La logique combinatoire dans un cours de maths en terminale où nous étudierons l’implication directe, la réciproque et la contraposée. 1.Propriété directe : Définition : Une propriété mathématique est une affirmation qui est toujours vraie. Elle ne comporte aucune exception. Une propriété directe est obtenue à l’aide des hypothèses dont on dispose et le but … Lire la suite

Le théorème de Bézout : cours de maths en terminale spécialité en PDF.

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L’arithmétique et le théorème de Bézout dans un cours de maths en terminale spécialité.

I.Enoncé du théorème de Bézout :

Théorème :

Soient a et b sont deux entiers naturels non nuls.

Dire que a et b sont premiers entre eux équivaut à dire il  existe deux entiers relatifs u et v tels que au\,+\,bv\,=\,1.

Démonstration :

1.Supposons qu’il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1 et prouvons que a et b sont premiers entre eux.

On note \Delta\,=PGCD(a,b)

\Delta divise a et b donc \Delta divise au + bv.

Comme au + bv  = 1, \Delta = 1 et a et b sont premiers entre eux.

2.Supposons que a et b premiers entre eux et démontrons que 1 s’écrit sous la forme au + bv.

Soit \varphi l’ensemble des nombres sous la forme au + bv avec u\,\in\,\mathbb{Z} et v\,\in\,\mathbb{Z}.

L’ensemble \varphi n’est pas vide car pour u = 1 et v = 0, a\in\varphi.Il en est de même pour b.

Ainsi \varphi contient des entiers strictement positive, et, parmi eux, un plus petit que tous les autres.

Notons m=au_1+bv_1 ce plus petit élément.

La division euclidienne de a par m s’écrit a=mq+r avec 0\leq\,\,r<m

soit r=a-mq=a-(au_1+bv_1)q=a(1-u_1q)+b(-v_1q).

Ainsi r\in\varphi.Or m est le plus petit entier strictement positif de \varphi donc r = 0.

Ainsi m divise a.On montre de même que m divise b.

Comme a et b sont premiers entre eux, m=1 et au_1+bv_1=1.

En pratique, comment trouver u et v ?
Pour déterminer les coefficient, on utilise l’algorithme d’Euclide.

Donnons un exemple.

On cherche un couple (x;y) d’entiers relatifs tels que 89x+41y=1 (1).

89 et 41 sont premiers entre eux donc il existe deux entiers relatifs x et y vérifiant (1).

On pose a=89 et b=41.

89=41\times \,2+7 donc 7=89-2\times \,41=a-2b.

41=7\times \,5+\,6 donc 6=41-7\times \,5=b-5(a-2b)=11b-5a.

7=6\times \,1\,+1 donc 1=7-6=a-2b-11b+5a=6a-13b.

Soit 89\times \,6\,+41\times (-13)=1.

Ainsi (x_0;y_0)=(6;-13) est solution de (1).

II.Une nouvelle caractérisation du PGCD

Théorème :

a et b sont deux entiers naturels non nuls.Dire que \Delta est le PGCD(a,b) équivaut à dire que \Delta est un diviseur de a et b et il existe deux entiers relatifs u et v tels que \Delta\,=au+bv.

Le théorème de Gauss : cours de maths en terminale spécialité en PDF.

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Un cours d’arithmétique sur le théorème de Gauss en terminale spécialité.

I. Enoncé du théorème de Gauss.

Théorème :

Soient a,b et c sont des entiers strictement positifs tels que a divise le produit bc et a est premier avec b.

Alors a divise c.

Autrement dit : si un entier naturel divise un produit de deux facteurs et s’il est premier avec l’un d’eux, il divise l’autre.

Démonstration :
Puisque a et b sont premiers entre eux, d’après le théorème de Bezout, il existe des entiers relatifs

u et v tels que au+bv=1.

Donc (ac)u+(bc)v=c. Or a divise ac et bc donc a divise acu\,+\,bcv.

Il en résulte que a divise c.

II. Corollaire du théorème.

Si un entier n est divisible par deux entiers naturels a et b premiers entre eux, il est divisible par leur produit.

Démonstration :
Par hypothèse, n=aq et n=bq' avec q et q’ deux entiers naturels.

Donc aq=bq'.

Puisque b divise aq et que b est premier avec a, il divise q.

Donc q=bp et n=abp.

On conclut que le produit ab divise n.

Généralisation :
Si n est divisible par plusieurs entiers premiers entre eux deux à deux, n est divisible par leur produit.

Exemple :
Si un nombre est divisible par 3,7 et 11, alors il est divisible par 231 car 3,7 et 11 sont des entiers premiers entre eux deux à deux.

Application :
Pour prouver, par exemple, qu’un nombre est divisible par 6, il suffit de prouver qu’il est divisible par 2 et 3 car 2 et 3 sont premiers entre eux.

Ainsi pour tout entier naturel n>1, (n-1)n(n+1) est divisible par 6.

En effet, n(n+1) est le produit de deux entiers consécutifs : il est donc divisible par 2.

et (n-1)n(n+1) est le produit de trois entiers consécutifs : il est donc divisible par 3.

Il en résulte que (n-1)n(n+1) est divisible par 6.

Attention :
Théorème de Gauss L’hypothèses a et b premiers entre eux est une hypothèse essentielle.

Si on démontre qu’un nombre est divisible par 4 et 6, on peut seulement conclure qu’il est divisible par 12, et non pas par 24.Ainsi 36 est divisible par 4 et 6, mais n’est pas divisible par 24.

PGCD de deux entiers naturels : cours de maths en terminale spécialité en PDF.

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Le PGCD deux deux entiers naturels, dans ce cours de maths en terminale spécialité, nous aborderons l’algorithme d’Euclide et les nombres premiers entre eux.

I. Le plus grand commun diviseur ( PGCD )

1.Le PGCD de deux entiers naturels

Par convention, lorsqu’on parlera de diviseurs d’un entier naturel, il s’agira toujours de diviseurs positifs.

Diviseurs communs à deux nombres :

\star\, Pour tout entier naturel a, on note D(a) l’ensemble de ses diviseurs.D(1)=\,\{\,1\,\,\}, D(0)=\mathbb{N}.

D(a) contient toujours 1 et a.

Lorsque a\neq0, le plus grand élément de D(a) est a.

\star\, Pour tous entiers naturels a et b non nuls, on note D(a,b) l’ensemble des diviseurs communs à a et b.

L’ensemble D(a,b) est non vide : il contient toujours 1.

De plus, tous les nombres qu’il contient sont inférieurs ou égaux à a et b.

Donc D(a,b) a un plus grand élément appelé le plus grand commun diviseur et noté le PGCD de a et b.

Exemple :

D(6)=\,\{\,1,2,3,6\,\,\}

Définition 1 :

a et b sont deux entiers naturels.Le Plus Grand Commun Diviseur à a et b est noté PGCD(a,b).

Conséquences :

Si b divise a alors pgcd(a,b)=b.En effet, tout diviseur de b est un diviseur de a donc D(b)cD(a).

Comme b est le plus grand élément de D(b), alors b est le PGCD(a,b).

2.Recherche du PGCD : l’algorithme d’Euclide.

a et b sont deux entiers naturels non nuls, a>b .Lorsque b ne divise pas a, pour déterminer le PGCD(a,b), on utilise l’algorithme d’Euclide.

Base de l’algorithme d’Euclide :

Théorème 1 :

a et b sont deux entiers naturels non nuls tel que la division euclidienne de a par b se traduise par a=bq+r avec 0\leq\,\,r<b.Alors D(a,b)=D(b,r) ce qui entraîne que PGCD(a,b)=PGCD(b,r).

Algorithme d’Euclide :

Algorithme d'Euclide

On définit ainsi une suite (r_n) telle que 0\leq\,\,...<r_{k+1}<r_k<...r_2<r_1<r_0<b.

Cette suite est une suite décroissante et strictement positive d’entiers naturels.Donc c’est une suite finie et il existe un entier n tel que r_n\neq0 et r_{n+1}=0.

Or, r_{n+1}=0 signifie que r_n divise r_{n-1}, d’où :

PGCD(a,b)=PGCD(b,r_0)=PGCD(r_0,r_1)=...=PGCD(r_{n-1},r_n)=r_n

Théorème 2 :
Lorsque b ne divise pas a, le PGCD(a,b) est le dernier reste non nul dans l’algorithme d’Euclide.
Théorème 3 :

a et b sont deux entiers naturels non nuls.

  1. L’ensemble des diviseurs communs à a et b est l’ensemble des diviseurs de PGCD(a,b).
  2. Quel que soit l’entier c>0, PGCD(ac,bc)=c\,\times \,PGCD(a,b).

3.Nombres premiers entre eux.

Définition 2 :

Dire que deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux signifie que leur PGCD est égal à 1.

Théorème 4 : caractérisation du PGCD.

a et b sont deux entiers naturels non nuls

\Delta est le PGCD(a,b) équivaut à il existe deux entiers naturels a’ et b’ tels que  :a=\Delta\,a', b=\Delta\,b'  et PGCD(a',b')=1.

Divisibilité et congruences : cours de maths en terminale spécialité en PDF.

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L’arithmétique à travers un cours de maths en terminale spécialité sur la divisibilité et les congruences.Dans cette leçon, nous aborderons la divisibilité dans \mathbb{Z} et la division euclidienne dans \mathbb{N} et \mathbb{Z} ainsi que les entiers congrus modulo n et les propriétés des congruences.

I. Divisibilité et division euclidienne.

1.Divisibilité dans Z.

Définition :

a et b sont deux entiers relatifs (b\neq0).

Dire que b divise a signifie qu’il existe un entier k tel que a=kb.

Vocabulaire : on dit alors que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b.

On traduit aussi cette définition en disant que a est un multiple de b.

Exemple :

  1. -\,45\,=(\,-5\,)\,\times \,9\,=\,5\,\times \,(-9) donc – 5, 5,9 et – 9  divisent -45.
  2. Les diviseurs dans \mathbb{Z} du chiffre 6 sont -6;-3;-2;-1;1;2;3;6.

Remarque :
1 et -1 tout entier relatif n car 1\,\times \,n=(-1)\,\times \,(-n)=n.

2.Propriétés de la divisibilité.

Comparaison :

a et b sont deux entiers relatifs (b\neq0), il résulte de la définition que :

  1. Si b divise a alors – b divise a.
  2. Si b divise a et si a\neq0 , alors  \,|b\,\,|\leq\,\,\,|a\,\,|.
Théorème :

a et b sont deux entiers relatifs non nuls.

Si a divise b et b divise a, alors a=b ou a=- b.

Théorème (transitivité):

Soient a,b et c sont trois entiers relatifs (a\neq0, b\neq0).

Si a divise b et b divise c alors a divise c.

Théorème : divisibilité d’une combinaison linéaire.

Soient a,b,d sont trois entiers relatifs (d\neq0).

Si d divise a et b, alors d divise tout entier ma+nb (m,n\in\mathbb{Z}).

En particulier, d divise leur somme a\,+\,b et leur différence a-b.

Preuve :

Par hypothèses, on peut écrire a=dk et b=dk' avec k et k’ entiers.

ma+nb=mdk\,+\,ndk'=(mk+nk')d avec mk+nk' entiers, donc d divise ma\,+\,nb.

3.La division euclidienne dans N.

Théorème :

a et b sont deux entiers naturels et b est non nul.Il existe un couple unique (q;r) d’entiers naturels tel que a=bq+r et 0\leq\,\,r<b.

Définition :

a et b sont deux entiers naturels, b\neq0.Effectuer la division euclidienne dans \mathbb{N} de a par b, c’est déterminer le couple d’entiers naturels (q;r) tel que a=bq+r et 0\leq\,\,r<b.

Vocabulaire :

a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r est le reste.

Conséquence :

b divise a, si et seulement si, dans la division de a par b, le reste est nul.

4.La division euclidienne dans Z

Théorème : (admis)

a et b sont deux entiers relatifs avec b non nul.

Alors il existe un unique couple (q;r) tel que q entier relatif et r entier naturel tel que a=bq+r et 0\leq\,\,r<\,|b\,\,|.

Exemple :

a=-50,b=-3;\,-50=-3\,\times \,16-2.

Pour obtenir un reste positif, on écrit  -50=-3\,\times \,16-3+3-2=-3\,\times \,17+1.

Ainsi q=17 et r=1.

II. Congruences.

1.Entiers congrus modulo m.

Définition :

m est un entier naturel non nul.

Dire que deux entiers relatifs a et b sont congrus modulo m signifie qu’ils ont le même reste

dans la division euclidienne par m.

Notation :

On écrit a\equiv\,b(mod\,m).On lit a est congru à b modulo m.

Exemple :

11\equiv\,5(mod\,3) et -4\equiv\,2(mod\,3).

congruence

Théorème :

m est un entier naturel non nul.

Pour tous entiers relatifs a et b, a\equiv\,b(mod\,m)\Leftrightarrow\,m\,divise\,a.

Remarques :

  1. Si r est le reste de la division euclidienne de a par m, alors a\equiv\,r(mod\,m).
  2. a=0(mod\,m) si et seulement si m divise a.

2.Propriétés des congruences.

Théorème : (transitivité)

m est un entier naturel non nul.Pour tous entier relatif a,b et c,

si a\equiv\,b(mod\,m) et b\equiv\,c(mod\,m), alors a\equiv\,c(mod\,m).

Théorème : (congruences et opérations)

m est un entier naturel non nul et a,b,a’,b’ sont des entiers relatifs.si a\equiv\,b(mod\,m) et a'\equiv\,b'(mod\,m), alors :

\star\, a+a'\equiv\,b+b'(mod\,m)

\star\, a-a'\equiv\,b-b'(mod\,m)

\star\, aa'\equiv\,bb'(mod\,m)

Conséquence :
a\equiv\,b(mod\,m), alors pour tout entier p positif, a^p\equiv\,b^p(mod\,m).
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