Contrôle de maths 1ère : variations, sommes et problèmes de suites

Exercice 1 : Sens de variation de quatre suites (4 points)

Calculatrice interdite, sauf dans l’exercice 3.

Les quatre suites ci-dessous sont définies pour tout entier naturel \(n\).

1. On pose \(u_n = 3n^2 – 5n + 1\). Montre que \(u_{n+1} – u_n = 6n – 2\), puis étudie le sens de variation de la suite \((u_n)\). Que se passe-t-il entre \(u_0\) et \(u_1\) ? (1,5 point)
2. On pose \(v_n = 7 – 2n\). Quelle est la nature de la suite \((v_n)\) ? Donne son sens de variation. (0,5 point)
3. On pose \(w_n = 5 \times 0{,}8^n\). Justifie que la suite \((w_n)\) est géométrique et donne son sens de variation. (1 point)
4. On pose \(t_n = \dfrac{n}{n+1}\). Montre que \(t_{n+1} – t_n = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\) et conclus. (1 point)

Exercice 2 : Calculs de sommes (4 points)

Calcule les sommes suivantes en justifiant la formule utilisée.

1. \(S_1 = 1 + 2 + 3 + 4\) + etc. \(+ 100\) (somme des entiers de 1 à 100). (1 point)
2. \(S_2 = 3 + 7 + 11 + 15\) + etc. \(+ 79\), où chaque terme s’obtient en ajoutant 4 au précédent. (1,5 point)
3. \(S_3 = 1 + 2 + 2^2 + 2^3\) + etc. \(+ 2^{10}\). (1,5 point)

Exercice 3 : Un placement à intérêts composés (5 points)

Calculatrice autorisée dans cet exercice.

Le 1er janvier 2026, Chloé place \(2\,000\) € sur un compte rémunéré à \(3\,\%\) par an, à intérêts composés : chaque 1er janvier, les intérêts de l’année écoulée s’ajoutent au capital. Elle ne fait ni dépôt ni retrait. On note \(C_n\) le capital, en euros, au 1er janvier de l’année \(2026 + n\) ; ainsi \(C_0 = 2\,000\).

1. Calcule \(C_1\) et \(C_2\). (1 point)
2. Justifie que la suite \((C_n)\) est géométrique, puis exprime \(C_n\) en fonction de \(n\). (1 point)
3. Donne le sens de variation de la suite \((C_n)\). (0,5 point)
4. Chloé veut connaître la première année où son capital dépassera \(3\,000\) €. Recopie et complète le programme Python suivant pour qu’il affiche le rang \(n\) cherché.

   C = 2000
   n = 0
   while C ..........:
       C = ..........
       n = ..........
   print(n)

   (1,5 point)

5. À l’aide de la calculatrice, détermine la valeur affichée par ce programme. En quelle année le capital dépassera-t-il \(3\,000\) € ? (1 point)

Exercice 4 : Deux formules d’abonnement (3 points)

Une salle d’escalade propose deux formules mensuelles.

• Formule A : \(20\) € le premier mois, puis le prix augmente de \(1{,}50\) € chaque mois.
• Formule B : \(30\) € par mois, prix fixe.

On note \(a_n\) le prix payé le \(n\)-ième mois avec la formule A, pour \(n \geq\, 1\) ; ainsi \(a_1 = 20\).

1. Exprime \(a_n\) en fonction de \(n\). (0,5 point)
2. À partir de quel mois le prix mensuel de la formule A dépasse-t-il celui de la formule B ? (1 point)
3. Calcule le prix total payé sur les 12 premiers mois avec chaque formule. Quelle formule est la plus avantageuse pour un an ? (1,5 point)

Exercice 5 : La population d’une ville (4 points)

En 2026, une ville compte \(20\,000\) habitants. Une étude prévoit que chaque année \(5\,\%\) des habitants quittent la ville et que \(1\,500\) nouveaux habitants s’y installent. On note \(p_n\) le nombre d’habitants prévu en \(2026 + n\) ; ainsi \(p_0 = 20\,000\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(p_{n+1} = 0{,}95\,p_n + 1\,500\).

1. Calcule \(p_1\) et \(p_2\). (0,5 point)
2. On pose, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n = p_n – 30\,000\). Montre que la suite \((v_n)\) est géométrique ; précise sa raison et son premier terme. (1,5 point)
3. Déduis-en que, pour tout entier naturel \(n\), \(p_n = 30\,000 – 10\,000 \times 0{,}95^n\). (1 point)
4. La figure suggère que la population augmente sans jamais atteindre \(30\,000\) habitants. Démontre ces deux conjectures. (1 point)

Réviser avant le contrôle : variations, sommes et problèmes de suites

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Les suites numériques » en 1ère puis entraîne-toi avec les exercices corrigés les suites.

Retrouve tous les contrôles de maths en 1ère classés par chapitre, ou choisis un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP à la Terminale.

Autres contrôles de maths en 1ère sur ce thème

• Contrôle de maths 1ère : suites arithmétiques et géométriques
• Contrôle de maths 1ère : suites et fonction exponentielle

Le livre MathovoreContrôles corrigés de mathématiques 1rePour s’entraîner en conditions réelles : les 25 devoirs de 1re à faire chronomètre en main, puis à noter avec leur barème.Ouvrir le livre de contrôles ↗