cours maths 1ère
Les suites numériques à travers un cours de maths en 1ère où nous aborderons la définition d’une suite puis son sens de variation.
Dans cette leçon en première, nous étudierons deux familles de suites particulières, les suites arithmétiques et géométriques ainsi que leur sens de variation suivant la valeur de la raison puis, nous terminerons avec le calcul de la somme des n premiers termes d’une suite numérique.

I. Définition

Définition :

Une suite numérique mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. est une fonction de mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. dans mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. : mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

Son ensemble de définition est donc mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. ou un sous-ensemble de mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

II. Notations – Vocabulaire

Notations et vocabulaire des suites :

            La variable n étant un nombre entier naturel, cet entier n permet de numéroter les images : en plus de l’écriture fonctionnelle classique s(n) utilisée pour désigner l’image de l’entier naturel n par la fonction s, on peut aussi utiliser la notation indexée (ou indicée): sn . Avec cette notation l’image de 0 s’écrit : s0.

· Avec cette notation, on dit que :

  1. s(n) = sn est le terme d’indice n ou de rang n de la suite s.
  2. s est la suite de terme général sn et l’on écrit : s = (sn)
  3. s(0) = s0 qui est l’image de 0 par s est aussi appelé terme de rang 0 de la suite s .
  4. s(1) = s1 qui est l’image de 1 par s est aussi appelé terme de rang 1 de la suite s.

Si la numérotation commence au rang 0, s(0) = s0 est le premier terme de la suite s . s(1) = s1 est le second terme de la suite s.

Il arrive parfois que le premier terme d’une suite s ne soit pas s0 .

Exemple :

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. n’existe pas pour n = 0. La suite commence au rang 1. On écrira alors: mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. pour mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. n’existe pas pour n = 0, ni pour n = 1. La suite commence au rang 2.

Dans tous les cas de ce type-là, on précisera le sous-ensemble de mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. où la suite est définie: Ici, on a : mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

III. Diverses manières de définir une suite

1. Suites définies par une formule de fonction:

Définition :

Pour cela, la plupart du temps, on restreint à mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. une fonction définie sur mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. ou un sous-ensemble de mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. contenant mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. .

Par exemple, la suite un = n2 (mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. ), est la restriction à n de la fonction f définie sur mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.par f(x) = x2 .

Ainsi, les propriétés déjà étudiées pour les fonctions de la variable réelle seront utilisables pour les suites!

Nous étudierons cependant aussi quelques exemples de suites associées à des fonctions que vous n’avez pas encore étudiées en 1ère ; par exemple, la suite géométrique un = 2n est associée à la fonction exponentielle définie sur mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. par f(x) = 2x qui sera étudiée en classe terminale.

2. Suites définies par une formule de récurrence:

Pour tout entier naturel n, l’image s(n) = sn est « numérotable ».

Définition :

On peut définir le termemimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. de rang (n+1) en fonction du terme précédent mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. de rang n par une formule appelée formule de récurrence.

Plus précisément, la suite s = (sn) sera définie par récurrence par:

  1. Son premier terme mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF..
  2. · Une égalité reliant deux termes consécutifs quelconques de la suite:
  3. mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. est une fonction connue.

Exemple :

La suite définie par son premier terme u0 = 4096 et la formule de récurrence véri­fiée pour tout entier n: mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

On obtient :     u1mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. = mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. = 64

u2mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. = mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. = 8

u3mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. = mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

u4mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. = mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

u5mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.…. et ainsi de suite …

Ici la fonction f est définie par mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

IV. Représentations graphiques de suites

Définition :
Lorsque la suite est définie par une égalité fonctionnelle du type mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF., la représentation traditionnelle des graphiques de fonction est utilisable: On obtient alors les points d’abscisses entières du graphique de la fonction de la variable réelle x: mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. .

Exemple :

Le graphique de la suite mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.définie sur mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.par: mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF., correspond aux point d’abscisses mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. de la fonction définie sur mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. par mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

graphique Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

Lorsque la suite est définie par une formule de récurrence du type mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF., cette représentation n’est plus directement réalisable.

On a alors recours à une représentation de type « toile d’araignée » .

Exemple :

toile-araignee Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

Sur le graphique ci-dessus, sont tracées les droites d’équation mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. et y = x.

Ce dispositif permet de visualiser les termes successifs de la suite mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. définie sur mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. par :

u0 = 10 et , pour tout mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

En effet :                     mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

V. Suites monotones.

1. Sens de variation d’une suite.

Si pour tout mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF., on a:

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

Sens de variation de mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. croissante

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. constante

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.décroissante

Variation absolue

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

Quotient    (termes strictement positifs)

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

VI. Suites bornées, majorées, minorées.

Mêmes définitions que pour les fonctions de la variable réelle.

Exemple :

La suite sn = sin n est une suite bornée. En effet: elle est majorée par 1 et minorée par (-1).

VII. Suites périodiques.

Définition :

On dit qu’une suite mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.est périodique de période mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. , lorsque, pour tout mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF., on a: mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. , p étant le plus petit entier naturel non nul vérifiant ceci.

Exemple :

Les suites constantes sont périodiques de période 1.

La suite mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. est périodique de période 2.

VIII. Suites arithmétiques.

Définition :

         Lorsque l’on passe de n’importe quel terme d’une suite au terme suivant, en additionnant (ou en soustrayant) toujours le même nombre, on dit que la suite est arithmétique.

C’est à dire que, s’il existe mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF., tel que, pour tout mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF., on ait :

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF., on dit alors que la suite mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.est arithmétique de raison r.

Les accroissements d’une suite arithmétique sont donc constants : cette constante est la raison r de la suite arithmétique.

Exemples :

  1. La suite des entiers naturels est arithmétique de premier terme 0 et de raison 1.
  2. La suite des entiers naturels pairs est arithmétique de premier terme 0 et de raison 2.
  3. La suite des entiers naturels impairs est arithmétique de premier terme 1 et de raison 2.
  4. La suite constante de terme général Un = 2 est arithmétique de premier terme 2 et de raison 0.

IX. Suites géométriques.

Définition :

Lorsque l’on passe de n’importe quel terme d’une suite au terme suivant, en multipliant (ou en divisant) toujours par le même nombre non nul, on dit que la suite est géométrique.

C’est à dire que, s’il existe mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF., tel que, pour tout mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF., on ait :

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF., on dit alors que la suite mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. est géométrique de raison mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

Les coefficients multiplicateurs d’une suite géométrique sont donc constants : cette constante est la raison q de la suite géométrique.

Les taux d’accroissements d’une suite géométrique sont aussi constants. En effet :

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. .

La suite géométrique de raison q possède donc un taux d’accroissement constant t = q – 1.

Exemple :

La suite constante de terme général Un = 2 est géométrique de premier terme 2 et de raison 1.

La suite de terme général Un = (-1)n est géométrique de premier terme U0 = 1 et de raison -1.

Remarque :

  1. Une suite mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.dont les variations absolues successives Sn+1 – Sn = r sont constantes, c’est à dire indépendantes de n, est une suite arithmétique de raison r.
  2. Une suite mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. dont les variations relatives successives mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.sont constantes , c’est à dire indépendantes de n, est une suite géométrique de raison q = 1 + t.

Par exemple, avec une augmentation relative de t = 5 % = 0,05 , alors, q = 1,05 .

En effet, si mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.  0,05 , alors : Sn+1 – Sn = 0,05 Sn .

Donc : Sn+1 = Sn + 0,05 Sn = (1 + 0,05) Sn .

Cela donne : Sn+1 = 1,05 Sn .

On a donc une suite géométrique de raison q = 1,05.

Et dans le cas général, si mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. , alors : mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. .

Donc : mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. .

On a donc une suite géométrique de raison mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

X. Suites arithmétiques et géométriques : résumé.

S est une suite et n un entier naturel quelconque :

Suite arithmétique de raison r

Suite géométrique de raison q ¹ 0

formule de récurrence

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

caractérisations

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. (constante)

si mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.,   mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. (constante)

terme de rang n : formule de fonction

1er terme + n fois la raison

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

1er terme mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. raison exposant n

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

XI. Quelques remarques intéressantes.

1. Suites arithmétiques.

Définition :

La suite définie par la formule:  mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. (fonction affine de mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.) est la suite arithmétique de premier terme mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. et de raison mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF..La représentation graphique d’une suite arithmétique est donc formée de points alignés.

2. Suites géométriques.

Définition :

La suite des puissances d’un nombre réel a non nul, de terme général  mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. est

la suite géométrique de premier terme mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. et de raison mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. .

La représentation graphique d’une suite géométrique de raison différente de 1 est donc formée de points qui ne sont pas alignés (ils sont situés sur une courbe exponentielle).

3. Illustrations graphiques.

illustrations-graphiques Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

4. Suites arithmétiques et sens de variation.

Propriété :

(un) est une suite arithmétique de raison r.

  1. Si r > 0, alors (un) est strictement croissante.
  2. Si r < 0, alors (un) est strictement décroissante.
  3. Si r = 0, alors (un) est constante.

5. Suites géométriques et sens de variation.

Propriété :

(un) est une suite géométrique raison mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. et de premier terme mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

  1. Si q < 0, alors (un) n’est pas monotone (les termes sont alternativement positifs, puis négatifs).
  2. Si q > 1 et si u0 > 0 , alors (un) est strictement croissante.
  3. Si q > 1 et si u0 < 0 , alors (un) est strictement décroissante.
  4. Si 0 < q < 1 et si u0 > 0 , alors (un) est strictement décroissante.
  5. Si 0 < q < 1 et si u0 < 0 , alors (un) est strictement croissante.
  6. Si q = 1, alors (un) est constante.

6.Suites arithmétiques  et somme de termes consécutifs.

Propriété :

Si mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. est une suite arithmétique de raison r, alors, pour tout mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF., on a :

mimetex.cgi?U_0+U_1+U_2+... Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. égalité qui s’écrit aussi : mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

Pour utiliser cette formule, il peut être utile de voir que : mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

En particulier :

mimetex.cgi?1+2+3+4+... Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

7. Suites géométriques  et somme de termes consécutifs.

Propriété :

 Si mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. est une suite géométrique de raison mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF., alors, pour tout mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF., on a :

mimetex.cgi?U_0+U_1+U_2+.. Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. égalité qui s’écrit aussi :

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF. .

Pour utiliser cette formule, il peut être utile de voir que :

mimetex Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

En particulier : mimetex.cgi?1+q+q^2+q^3+... Les suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF..


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