Relations métriques dans le triangle quelconque : cours de maths en 1ère S

cours maths 1ere
Les relations métriques dans le triangle quelconque dans cours de maths en 1ère S qui fait intervenir le théorème des sinus (Al-Kashi) puis le théorème des cosinus (Carnot). Nous terminerons cette leçon en première S par le calcul de l’aire d’un triangle.

I.Les fonctions trigonométriques

Dans cette leçon, (O,\vec{u},\vec{v}) est un repère orthonormal de sens direct.

Les points A et B sont donc sur le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.

cercle trigonométrique

1.Définition du sinus et du cosinus d’un nombre réel.

Définition :

A tout réel \alpha, on associe le point M du cercle trigonométrique tel que l’angle orienté (\vec{u},\vec{OM}) mesure \alpha radian(s).

Le cosinus et le sinus de \alpha sont donc les coordonnées de M dans le repère (O,\vec{u},\vec{v}).

On a:   M(cos\alpha\,,sin\,\alpha\,) c’est à dire :  \vec{OM}=cos\alpha\,\vec{u}+sin\alpha\,\vec{\,v}.

angle orienté

2.Premières propriétés.

Propriétés :
  • Si \alpha=0 alors le point du cercle trigonométrique associé à \alpha est le point A(1 ; 0). Donc cos(0) = 1 et sin(0) = 0
  • Si \alpha\,=\frac{\pi}{2}, alors le point du cercle trigonométrique associé à \alpha est B(0 ; 1).Donc  cos(\frac{\pi}{2})=0 et  sin(\frac{\pi}{2})=1.
  • Si \alpha\,=\pi, alors x est associé à A'(-1 ;0). Donc cos(\,\pi\,)=-1 et  sin(\,\pi\,)=0.
  • Si \alpha\,=-\frac{\pi}{2}  alors \alpha  est associé à B'(0 ;-1). Donc  cos(-\frac{\pi}{2})=0 et  sin(-\frac{\pi}{2})=-1.
  • Si \alpha  est un réel alors pour tout entier relatif k, les réels \alpha  et \alpha\,+2k\pi sont associés au même point M.
    En effet ce sont deux mesures de l’angle orienté .
    Donc, pour tout nombre réel x et tout entier relatif k, on a:

cos(\,\alpha\,+2k\pi)\,=\,cox(\,\alpha\,)

sin(\,\alpha\,+2k\pi)\,=\,sin(\,\alpha\,)

On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2\pi , car T = 2\pi est le plus petit réel strictement positif tel que: cos (\alpha + T) = cos \alpha   et sin (\alpha + T) = sin \alpha .

Le théorème de Pythagore permet de prouver l’égalité:
(sin\,\alpha\,)^2\,+\,(cos\,\alpha)^2\,=\,1 que l’on écrit aussi sous la forme: sin^2\,\alpha\,+\,cos^2\,\alpha\,=\,1.

3.Signe du sinus et du cosinus.

Par définition, le sinus et le cosinus de tout nombre réel appartiennent à l’intervalle [-1 ; 1].

Plus précisément, la position de M nous permet d’en savoir plus sur le cosinus et le sinus de \alpha.

Propriétés :

On a :

  • Si \alpha\,\in[0+2k\pi,\pi+\,2k\pi]  alors sin\alpha\,\geq\,\,0.
  • Si \alpha\,\in[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+\,2k\pi]  alors cos\alpha\,\geq\,\,0.

II.Cosinus et sinus  d’angles remarquables.

Tous ces résultats à connaître parfaitement sont résumés dans le tableau ci-dessous:

tableau cos sin

III.Visualisation des sinus et cosinus sur le cercle trigonométrique.

C’est un outil indispensable, qu’il est utile de bien visualiser afin d’être capable de retrouver rapidement les valeurs indiquées ci-dessous.

cos et sin

IV.Formules usuelles concernant les angles associés.

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

cos(–x) = cos(x)  et sin(–x) = –sin(x).

La fonction cosinus est donc paire et la fonction sinus est impaire.

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

cos(\pi – x) = – cos(x)  et    sin(\pi – x) = sin(x).

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

cos(\pi + x) =   – cos(x) et  sin(\pi + x) =   – sin(x).

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

cos(\frac{\pi}{2}+x) = – sin(x)   et   sin(\frac{\pi}{2}+x) = cos(x).

Propriétés :

Pour tout réel x, on a:

cos(\frac{\pi}{2}-x) = sin(x)   et   sin(\frac{\pi}{2}-x) = cos(x).

V.Représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus

courbes sinus cosinus

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