Relations métriques dans le triangle quelconque : cours de maths en 1ère.

cours maths 1ere
Les suites numériques en 1ère où nous aborderons la définition d’une suite puis son sens de variation.
Dans cette leçon en première, nous étudierons deux familles de suites particulières, les suites arithmétiques et géométriques ainsi que leur sens de variation suivant la valeur de la raison puis, nous terminerons avec le calcul de la somme des n premiers termes d’une suite numérique.

I. Définition

Définition :

Une suite numérique (U_n) est une fonction de \mathbb{N} dans \mathbb{R} : n \mapsto   U_n.

Son ensemble de définition est donc \mathbb{N} ou un sous-ensemble de \mathbb{N}.

II. Notations – Vocabulaire

Notations et vocabulaire des suites :

            La variable n étant un nombre entier naturel, cet entier n permet de numéroter les images : en plus de l’écriture fonctionnelle classique s(n) utilisée pour désigner l’image de l’entier naturel n par la fonction s, on peut aussi utiliser la notation indexée (ou indicée): sn . Avec cette notation l’image de 0 s’écrit : s0.

· Avec cette notation, on dit que :

  1. s(n) = sn est le terme d’indice n ou de rang n de la suite s.
  2. s est la suite de terme général sn et l’on écrit : s = (sn)
  3. s(0) = s0 qui est l’image de 0 par s est aussi appelé terme de rang 0 de la suite s .
  4. s(1) = s1 qui est l’image de 1 par s est aussi appelé terme de rang 1 de la suite s.

Si la numérotation commence au rang 0, s(0) = s0 est le premier terme de la suite s . s(1) = s1 est le second terme de la suite s.

Il arrive parfois que le premier terme d’une suite s ne soit pas s0 .

Exemple :

S_n=\frac{1}{n} n’existe pas pour n = 0. La suite commence au rang 1. On écrira alors: (S_n) pour n\in \mathbb{N}^*.

t_n=\frac{1}{n(n-1)} n’existe pas pour n = 0, ni pour n = 1. La suite commence au rang 2.

Dans tous les cas de ce type-là, on précisera le sous-ensemble de \mathbb{N} où la suite est définie: Ici, on a : n\in\mathbb{N}\setminus  \{ 0;1  \}.

III. Diverses manières de définir une suite

1. Suites définies par une formule de fonction:

Définition :

Pour cela, la plupart du temps, on restreint à \mathbb{N} une fonction définie sur \mathbb{R} ou un sous-ensemble de \mathbb{R} contenant \mathbb{N} .

Par exemple, la suite un = n2 (n\in\mathbb{N} ), est la restriction à n de la fonction f définie sur \mathbb{R}par f(x) = x2 .

Ainsi, les propriétés déjà étudiées pour les fonctions de la variable réelle seront utilisables pour les suites!

Nous étudierons cependant aussi quelques exemples de suites associées à des fonctions que vous n’avez pas encore étudiées en 1ère ; par exemple, la suite géométrique un = 2n est associée à la fonction exponentielle définie sur \mathbb{R} par f(x) = 2x qui sera étudiée en classe terminale.

2. Suites définies par une formule de récurrence:

Pour tout entier naturel n, l’image s(n) = sn est « numérotable ».

Définition :

On peut définir le termes(n+1)\,=\,s_{n+1} de rang (n+1) en fonction du terme précédent s(n)\,=\,s_n de rang n par une formule appelée formule de récurrence.

Plus précisément, la suite s = (sn) sera définie par récurrence par:

  1. Son premier terme s(0)\,=\,s_0.
  2. · Une égalité reliant deux termes consécutifs quelconques de la suite:
  3. s_{n+1\,}\,=\,f(s_n\,)f est une fonction connue.

Exemple :

La suite définie par son premier terme u0 = 4096 et la formule de récurrence véri­fiée pour tout entier n: U_{n+1}=\sqrt{U_n}.

On obtient :     u1\sqrt{U_0} = \sqrt{4096} = 64

u2\sqrt{U_1} = \sqrt{64} = 8

u3\sqrt{U_2} = \sqrt{8}

u4\sqrt{U_3} = \sqrt{ \sqrt{8}}\simeq 1,68

u5\sqrt{U_4} \simeq 1,3…. et ainsi de suite …

Ici la fonction f est définie par f(x)=\sqrt{x}.

IV. Représentations graphiques de suites

Définition :
Lorsque la suite est définie par une égalité fonctionnelle du type U_n=f(n), la représentation traditionnelle des graphiques de fonction est utilisable: On obtient alors les points d’abscisses entières du graphique de la fonction de la variable réelle x: x \mapsto   f(x) .

Exemple :

Le graphique de la suite (S_n)définie sur \mathbb{N}^*par: S_n=\frac{1}{n}, correspond aux point d’abscisses x\in\mathbb{N}^* de la fonction définie sur \mathbb{R}^* par f(x)=\frac{1}{x}.

Graphique et suites numériques

Lorsque la suite est définie par une formule de récurrence du type U_{n+1}=f(U_n), cette représentation n’est plus directement réalisable.

On a alors recours à une représentation de type « toile d’araignée » .

Exemple :

Représentation des termes d'une suite.

Sur le graphique ci-dessus, sont tracées les droites d’équation y=\frac{1}{2}x+1 et y = x.

Ce dispositif permet de visualiser les termes successifs de la suite (U_n) définie sur \mathbb{N} par :

u0 = 10 et , pour tout n\in\mathbb{N}U_{n+1}=\frac{1}{2}U_n+1

En effet :                     U_{1}=\frac{1}{2}U_0+1=\frac{1}{2} \times   10+1=5+1=6

U_{2}=\frac{1}{2}U_1+1=\frac{1}{2} \times   6+1=3+1=4

U_{3}=\frac{1}{2}U_2+1=\frac{1}{2} \times   4+1=2+1=3

V. Suites monotones.

1. Sens de variation d’une suite.

Si pour tout n\in\mathbb{N}, on a:

U_n\leq\, U_{n+1}

U_n= U_{n+1}

U_n \geq\, U_{n+1}

Sens de variation de (U_n)

(U_n) croissante

(U_n) constante

(U_n)décroissante

Variation absolue

U_{n+1}-U_n \geq\, 0

U_{n+1}-U_n = 0

U_{n+1}-U_n \leq\, 0

Quotient    (termes strictement positifs)

\frac{U_{n+1}}{U_n } \geq\, 1

\frac{U_{n+1}}{U_n } = 1

\frac{U_{n+1}}{U_n } \leq\, 1

VI. Suites bornées, majorées, minorées.

Mêmes définitions que pour les fonctions de la variable réelle.

Exemple :

La suite sn = sin n est une suite bornée. En effet: elle est majorée par 1 et minorée par (-1).

VII. Suites périodiques.

Définition :

On dit qu’une suite (U_n)est périodique de période p\in\mathbb{N} , lorsque, pour tout n\in\mathbb{N}, on a: U_{n+p}=U_n , p étant le plus petit entier naturel non nul vérifiant ceci.

Exemple :

Les suites constantes sont périodiques de période 1.

La suite U_{n}=(-1)^n est périodique de période 2.

VIII. Suites arithmétiques.

Définition :

         Lorsque l’on passe de n’importe quel terme d’une suite au terme suivant, en additionnant (ou en soustrayant) toujours le même nombre, on dit que la suite est arithmétique.

C’est à dire que, s’il existe r\in\mathbb{Z}, tel que, pour tout n\in\mathbb{N}, on ait :

S_{n+1}=S_n+r, on dit alors que la suite S_{n}est arithmétique de raison r.

Les accroissements d’une suite arithmétique sont donc constants : cette constante est la raison r de la suite arithmétique.

Exemples :

  1. La suite des entiers naturels est arithmétique de premier terme 0 et de raison 1.
  2. La suite des entiers naturels pairs est arithmétique de premier terme 0 et de raison 2.
  3. La suite des entiers naturels impairs est arithmétique de premier terme 1 et de raison 2.
  4. La suite constante de terme général Un = 2 est arithmétique de premier terme 2 et de raison 0.

IX. Suites géométriques.

Définition :

Lorsque l’on passe de n’importe quel terme d’une suite au terme suivant, en multipliant (ou en divisant) toujours par le même nombre non nul, on dit que la suite est géométrique.

C’est à dire que, s’il existe q\in\mathbb{R}^*, tel que, pour tout n\in\mathbb{N}, on ait :

S_{n+1}=q\times   S_n, on dit alors que la suite (S_{n} ) est géométrique de raison q\neq0.

Les coefficients multiplicateurs d’une suite géométrique sont donc constants : cette constante est la raison q de la suite géométrique.

Les taux d’accroissements d’une suite géométrique sont aussi constants. En effet :

\frac{S_{n+1}-S_n}{S_n}=\frac{S_n\times   q-S_n}{S_n}=\frac{(q-1)S_n}{S_n}=q-1 .

La suite géométrique de raison q possède donc un taux d’accroissement constant t = q – 1.

Exemple :

La suite constante de terme général Un = 2 est géométrique de premier terme 2 et de raison 1.

La suite de terme général Un = (-1)n est géométrique de premier terme U0 = 1 et de raison -1.

Remarque :

  1. Une suite (S_{n} )dont les variations absolues successives Sn+1 – Sn = r sont constantes, c’est à dire indépendantes de n, est une suite arithmétique de raison r.
  2. Une suite (S_{n} ) dont les variations relatives successives \frac{S_{n+1}-S_n}{S_n}=tsont constantes , c’est à dire indépendantes de n, est une suite géométrique de raison q = 1 + t.

Par exemple, avec une augmentation relative de t = 5 % = 0,05 , alors, q = 1,05 .

En effet, si \frac{S_{n+1}-S_n}{S_n}=  0,05 , alors : Sn+1 – Sn = 0,05 Sn .

Donc : Sn+1 = Sn + 0,05 Sn = (1 + 0,05) Sn .

Cela donne : Sn+1 = 1,05 Sn .

On a donc une suite géométrique de raison q = 1,05.

Et dans le cas général, si \frac{S_{n+1}-S_n}{S_n}=t , alors : S_{n+1} - S_n = t S_n .

Donc : S_{n+1 }= S_n + t S_n = (1 + t) S_n .

On a donc une suite géométrique de raison q=1+t.

X. Suites arithmétiques et géométriques : résumé.

S est une suite et n un entier naturel quelconque :

Suite arithmétique de raison r

Suite géométrique de raison q ¹ 0

formule de récurrence

S_{n+1 }= S_n + r

S_{n+1} = q S_n

caractérisations

S_{n+1 }- S_n = r (constante)

si S_{0} \neq0,   \frac{S-{n+1}}{S_n}=q (constante)

terme de rang n : formule de fonction

1er terme + n fois la raison

S_n = S_0 + n r

S_n = S_1 + (n-1) r

1er terme \times   raison exposant n

S_n = S_0 \times   q^n

S_n = S_1\times   q^{n-1}

XI. Quelques remarques intéressantes.

1. Suites arithmétiques.

Définition :

La suite définie par la formule:  U_n=an+b (fonction affine de n) est la suite arithmétique de premier terme U_0=b et de raison a.La représentation graphique d’une suite arithmétique est donc formée de points alignés.

2. Suites géométriques.

Définition :

La suite des puissances d’un nombre réel a non nul, de terme général  U_n = a^n est

la suite géométrique de premier terme U_0 = 1 et de raison a .

La représentation graphique d’une suite géométrique de raison différente de 1 est donc formée de points qui ne sont pas alignés (ils sont situés sur une courbe exponentielle).

3. Illustrations graphiques.

Illustration graphique d'une suite

4. Suites arithmétiques et sens de variation.

Propriété :

(un) est une suite arithmétique de raison r.

  1. Si r > 0, alors (un) est strictement croissante.
  2. Si r < 0, alors (un) est strictement décroissante.
  3. Si r = 0, alors (un) est constante.

5. Suites géométriques et sens de variation.

Propriété :

(un) est une suite géométrique raison q \neq 0 et de premier terme u_0 \neq 0.

  1. Si q < 0, alors (un) n’est pas monotone (les termes sont alternativement positifs, puis négatifs).
  2. Si q > 1 et si u0 > 0 , alors (un) est strictement croissante.
  3. Si q > 1 et si u0 < 0 , alors (un) est strictement décroissante.
  4. Si 0 < q < 1 et si u0 > 0 , alors (un) est strictement décroissante.
  5. Si 0 < q < 1 et si u0 < 0 , alors (un) est strictement croissante.
  6. Si q = 1, alors (un) est constante.

6.Suites arithmétiques  et somme de termes consécutifs.

Propriété :

Si (U_n) est une suite arithmétique de raison r, alors, pour tout n\in\mathbb{N}, on a :

U_0+U_1+U_2+....+U_n=(n+1)\frac{U_0+U_n}{2} égalité qui s’écrit aussi : \sum_{k=0}^{k=n}U_k=(n+1) \frac{U_0+U_n}{2}.

Pour utiliser cette formule, il peut être utile de voir que : (n+1) \frac{U_0+U_n}{2}=(n+1) (U_0+\frac{nr}{2}  ).

En particulier :

1+2+3+4+....+n=\frac{n(n+1)}{2}

7. Suites géométriques  et somme de termes consécutifs.

Propriété :

 Si (U_n) est une suite géométrique de raison q\neq 1, alors, pour tout n\in\mathbb{N}, on a :

U_0+U_1+U_2+...+U_n=\frac{U_{n+1}-U_0}{q-1} égalité qui s’écrit aussi :

\sum_{k=0}^{k=n}U_k=\frac{U_{n+1}-U_0}{q-1} .

Pour utiliser cette formule, il peut être utile de voir que :

\frac{U_{n+1}-U_0}{q-1}=U_0 ( \frac{q^{n+1}-1}{q-1}  ).

En particulier : 1+q+q^2+q^3+....+q^n=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}.

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