cours maths 1ère
Les généralités sur les fonctions numériques dans un cours de maths en 1ère qui fait intervenir les tableaux de variation d’une fonction ainsi que sa représentation graphique.
Dans cette leçon en première, nous étudierons le fonctions racine carrée et la valeur absolue ainsi que le sens de variation des fonctions u+k.

I. La fonction racine carrée :

Définition :
La fonction f définie sur mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF., qui à tout nombre réel positif x associe sa racine carrée mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF., est appelée fonction racine carrée.

1. Sens de variation de la fonction racine carrée :

Propriété :

La fonction mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. est croissante sur mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

Courbe représentative de la fonction racine carrée :

courbe-racine-carree Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

Tableau de variation :

tableau-variation-fonction-racine-carree Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

Démonstration :

u et v désignent deux nombres réels positifs tels que mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

Les deux nombres positifs mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. et mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.

mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. et mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

Or mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. donc mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF., c’est à dire mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

2. Représentation graphique de la fonction racine carrée :

Dans un repère orthogonal, mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. désigne la courbe représentative de la fonction racine carrée.

Propriété :

Dans un repère orthonormé, la courbe représentative mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. de la fonction racine carrée et la courbe représentative mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. de la fonction carré sur mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x.

symetrie-racine-carree Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

Démonstration :

x et y désignent deux nombres réels positifs.

mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. équivaut à mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF., c’est à dire :

mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. appartient à mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. si, et seulement si, mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. appartient à mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

Propriété :

Pour tout nombre réel x de l’intervalle mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF.mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

Pour tout nombre réel x de l’intervalle mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. , mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

position-courbes Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

II. La fonction valeur absolue :

1. Valeur absolue d’un nombre réel :

Définition :

Sur une droite graduée d’origine O, x est l’abscisse d’un point M.

La valeur absolue du nombre réel x, noté mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. , est la distance OM.

Exemples :

mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

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mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

Propriété :

Pour tout nombre réel x,

mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. et mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

2. La fonction valeur absolue :

Définition :
La fonction mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. définie sur mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF., qui à tout nombre réel x associe sa valeur absolue mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF., est appelée fonction valeur absolue.

a. Sens de variation :

Propriété :

La fonction valeur absolue est décroissante sur mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. et croissante sur mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

tableau-variation-valeur-absolue Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

b. Représentation graphique :

Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction valeur absolue est la réunion des demi-droites d’équations y=x sur mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. et y= – x sur mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

courbe-valeur-absolue Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

Propriété :

Dans un repère orthogonal, la courbe représentative mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. de la fonction valeur absolue est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Démonstration :
x et y désignent deux nombres réels.

M(x;y) appartient à la courbe mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. si, et seulement si, mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

Or ceci équivaut à mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. car mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF., c’est à dire à M ‘ (- x; y) appartient à la courbe mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

III. sens de variation des fonctions mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. et mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. :

1. Fonctions mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. et mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. :

Propriété :

u est une fonction définie sur un intervalle I et k un nombre réel.

Les fonctions u et u+k ont le même sens de variation sur l’intervalle I.

Propriété :

u est une fonction définie sur un intervalle I et mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. un nombre réel non nul.

– Si mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. alors les fonctions mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. et mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF.  ont le même sens de variation sur I.

– Si mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. alors les fonctions mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. et mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. ont des sens de variation contraires sur I.

Exemples :
La fonction mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. a le même sens de variation sur mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. que la fonction carrée.

fonctions-carree Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF.

La fonction mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. est décroissante sur mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

2. Fonctions mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. et mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. :

Propriété :

u est une fonction définie sur un intervalle I telle que, pour tout nombre réel x de I, mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF..

La fonction mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF., notée mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF., a le même sens de variation que u sur l’intervalle I.

Propriété :

u est une fonction définie sur un intervalle I telle que, pour tout nombre réel x de I, mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. et mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. garde le même signe.

La fonction mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. , notée mimetex Généralités sur les fonctions numériques : cours de maths en 1ère en PDF. , a un sens de variation contraire à celui de u sur I.


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