Exercices maths 1ère

Barycentre : exercices Maths 1ère corrigés en PDF

Des exercices sur le barycentre en première S avec l’utilisation de la définition du barycentre de n points pondérés et des propriétés du barycentre comme l’associativité.Tous ces exercices en première S disposent d’un corrigé détaillé afin que les élèves puissent réviser en ligne.

Barycentre de points pondérés

Exercice n° 1 :
1. Construire le barycentre des points {(A,1);(B,2)} sachant que AB = 6 cm .

2. Construire le barycentre des points {(A,3);(B,-3)} sachant que AB = 8 cm .

3. Construire le barycentre des points {(A,1);(B,-2)} sachant que AB = 4 cm .

4. Construire le barycentre des points {(M,-3);(N,-2)} sachant que MN = 10 cm .

Exercice n° 2 :
1. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que  \|5\vec{MA}+6\vec{MB}\|=22 .

2. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que  \|-5\vec{MA}+8\vec{MB}\|=12 .

3. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que  \|5\vec{MA}-6\vec{MB}\|=\|7\vec{MA}-6\vec{MB}\| .

4. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que  \|2\vec{MA}+7\vec{MB}\|=\|20\vec{MA}-11\vec{MB}\| .

Exercice n° 3 :
Soit R un repère orthonormé du plan .

1. Construire le barycentre G des points {(A,2);(B,3)} sachant que les coordonnees, dans R, de ces points sont A(3;4) et B(-1;2) .

2. On note  C_1 l’ensemble des points M du plan tels que  \|4\vec{MA}+5\vec{MB}\|=45 ..

Determiner l’equation de l’ensemble  C_1 .

2. On note  C_2 l’ensemble des points M du plan tels que  \|3\vec{MA}+2\vec{MB}\|=\|7\vec{MA}-2\vec{MB}\| ..

Determiner l’equation de l’ensemble  C_2 .

Corrigé de cet exercice

Trouver un lieu de points

ABC est un triangle équilatéral de côté 4 cm.

Déterminer l’ensemble \Gamma des points M du plan tels que :

\|\vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC}\|=\|\vec{MB}+3\vec{MC}\|.

Corrigé de cet exercice

Déterminer un lieu de points

Soit ABC un triangle isocèle en A tel que BC = 8 cm et BA = 5 cm.Soit I le milieu de [BC].

1. Placer le point F tel que \vec{BF}=-\vec{BA} et montrer que F est le barycentre des points A et B pondérés par des réels que l’on déterminera.

2. P étant un point du plan, réduire chacune des sommes suivantes :

\frac{1}{2}\vec{PB}+\frac{1}{2}\vec{PC}

-\vec{PA}+2\vec{PB}

2\vec{PB}-2\vec{PA}

3. Déterminer  et représenter l’ensemble des points M du plan vérifiant :

\|\,\frac{1}{2}\vec{MB}+\frac{1}{2}\vec{MC}|\,\,\|=\|-\vec{MA}+2\vec{MB}|\,\,\|

4. Déterminer  et représenter l’ensemble des points N du plan vérifiant :

\|\,\vec{NB}+\vec{NC}|\,\,\|=\|2\vec{NB}-2\vec{NA}|\,\,\|

Corrigé de cet exercice

Exercice dans un repère

1. Placer dans un repère les points A(1,2); B(- 3 , 4) et C(- 2 , 5).

Soit G le barycentre des points pondérés (A,3), (B,2) et (C, – 4).

2. Quelles sont les coordonnées de G ?Placer G.

3. La droite (BG) passe-t-elle par l’origine du repère ? (Justifier)

Corrigé de cet exercice

Alignement de points

Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AB] et G est le barycentre de (A,-2) (B,-2) (C,15).

Démontrer que G,C et E sont alignés .

Corrigé de cet exercice

Barycentre classique

ABCD est un quadrilatère et G est le barycentre de (A,1) (B,1) (C,3) (D,3).

Construire le point G. (Argumenter)

 Corrigé de cet exercice

Isobarycentre et quadrilatère

ABCD est un quadrilatère.

On note G son isobarycentre.
Le but de cet exercice est de préciser la position de G.
1) On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD].
Montrer que G est le barycentre de I et J munis de coefficients que l’on précisera.
2) Conclure et faire une figure.

Corrigé de cet exercice

Sciences physiques

Une balance est constituée d’une masse M et d’un plateau fixé aux extrémités d’une tige.
Pour peser une masse m, le vendeur place à une position précise un crochet sur la tige.
Cette balance a l’avantage pour le commerçant de ne pas manipuler plusieurs masses.
1.  Pour chacun des cas suivants, où faut-il fixer le crochet G sur le segment [AB] pour réaliser l’équilibre ?
(M = 2 kg)
On pourra reproduire ces schémas à l’échelle de son choix.
2. Le point G est tel que \vec{AG}=\frac{2}{3}\vec{AB}.
Quelle est la masse m pesée ? (M = 2 kg)

Corrigé de cet exercice

Déterminer la position d’un barycentre

ABC est un triangle. On note G le barycentre de (A ; 2), (B ; 1) et (C ; 1).
Le but de cet exercice est de déterminer la position précise du point G.
1. Soit I le milieu de [BC].
Montrer que :
 \vec{GB}+\vec{GC}=2\vec{GI}
2.  En déduire que G est le barycentre de A et I munis de coefficients que l’on précisera.
3. Conclure.

Corrigé de cet exercice

Construction et positionnement

On considère un triangle ABC et l’on désigne par G le barycentre de (A ; 1), (B ; 4) et (C ; – 3).
1. Construire le barycentre I de (B ; 4) et (C ;  – 3).
2. Montrer que \vec{GA}+\vec{GI}=\vec{0} .
3. En déduire la position de G sur (AI).

Corrigé de cet exercice

Démontrer que des points sont alignés

Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AB] et G est le barycentre de (A ; – 2), (B ; – 2) et (C ; 15).
Démontrer que G, C et E sont alignés.

Corrigé de cet exercice

Barycentres confondus

B est le milieu de [AC].
Démontrer que le barycentre de (A ; 1) et (C ; 3) est confondu avec celui de (B ; 2) et (C ; 2).

Corrigé de cet exercice

Construction de barycentre dans un triangle

ABC est un triangle.
1.  G est le barycentre de (A ; 1), (B ; 2) et (C ; 3). Construire le point G. Expliquer.
2.  G ‘ est le barycentre de (A ; 1), (B ; 3) et (C ; – 3). Construire le point G ‘ . Expliquer.
3.  Démontrer que (AG’) est parallèle à (BC).

Corrigé de cet exercice

Construction d’un barycentre

ABCD est un quadrilatère et G est le barycentre de (A ; 1), (B ; 1), (C ; 3) et (D ; 3).
Construire le point G. Expliquer.

Corrigé de cet exercice

Ensemble de points

ABCD est un carré de centre G et de côté 4 cm.

1. Calculer la longueur GA .

2. Réduire la somme \vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD} ( à l’aide du point G).

3. Déterminer et représenter l’ensemble \Gamma\,_1 des points M tel que :

\,\|\,\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}\,\,\|=8\sqrt{2}

4. Déterminer et représenter l’ensemble \Gamma\,_2  des points M tel que :

\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD} soit colinéaire à  \vec{AD} .

Corrigé de cet exercice

Alignement de points

Dans le triangle ABC, le point E est le milieu de [AB]

et G est le barycentre de (A ; -2)  (B;-2) et (C;8).

1. Exprimer E comme le barycentre de A et B .

2. Démontrer que G,C et E sont alignés .

3. C est-il le milieu de [EG]  ?

Corrigé de cet exercice

Triangle équilatéral et droites parallèles

Soit ABC un triangle équilatéral de côté 3 cm.
1) Placer, en justifiant, le barycentre Z de (A ; 1), (B ; 3) et (C ; – 3).
2) Montrer que les droites (AZ) et (BC) sont parallèles.

Corrigé de cet exercice

Centre de gravité et droites concourantes

ABC est un triangle de centre de gravité G.

On note I, J, M, N, R et S les points définis par :

\vec{AI}=\frac{1}{3}\vec{AB};\vec{AJ}=\frac{2}{3}\vec{AB};\vec{AM}=\frac{1}{3}\vec{AC}\\\vec{AN}=\frac{2}{3}\vec{AC};\vec{BR}=\frac{1}{3}\vec{BC};\vec{BS}=\frac{2}{3}\vec{BC}

Démontrer que les droites (IS), (MR) et (NJ) sont concourantes en G.

Corrigé de cet exercice

Démontrer que des droites sont concourantes

ABC est un triangle.
On considère le barycentre A’ de (B ; 2) et (C ; – 3), le barycentre B ‘ de (A ; 5) et (C ; – 3)
et le barycentre C ‘ de (A ; 5) et (B ; 2).
Démontrer que les droites (AA ‘), (BB ‘) et (CC ‘) sont concourantes.

Corrigé de cet exercice

Démontrer que des droites sont parallèles

ABC est un triangle. Soit G le barycentre de (A ; 1), (B ; 3) et (C ; – 3).
Démontrer que les droites (AG) et (BC) sont parallèles.

Corrigé de cet exercice

Barycentre et repère

1.  Placer dans un repère les points A(1 ; 2), B( – 3 ; 4) et C( – 2 ; 5).
Soit G le barycentre des points pondérés (A ; 3), (B ; 2) et (C ; – 4).
2.  Quelles sont les coordonnées de G? Placer G.
3.  La droite (BG) passe-t-elle par l’origine du repère ? Justifier.

Corrigé de cet exercice

Un lieu géométrique

[AB] est un segment de longueur 10 cm  et  G bar {(A ; 2) , (B ; 3)}

1. Développez et réduire  2(\vec{MG}+\vec{GA})^2+3(\vec{MG}+\vec{GB})^2

2. Démontrez alors  que pour tout point M du plan on a   2MA² +  3MB² = 5MG² + 120

3. Déterminez alors et représentez l’ensemble des points M du plan tels que  2MA² +  3MB² =  245

Corrigé de cet exercice

Ensemble de points

A, B et C sont 3 points  du plan non alignés et  k  un nombre réel quelconque.

I  bar { (B ;1), (C ;2)} et  G  le barycentre de (A, k), (B, 1- k) et (C, 2)

1. Exprimer  \vec{IG} en fonction de \vec{IA} , \vec{IB} et \vec{IC} .

2. Simplifier l’expression obtenue au 1. et en déduire l’ensemble (E) des points G lorsque k décrit \mathbb{R}.

3. Représentez  graphiquement  (E)  dans le cas  AB = 5 cm, BC = 6 cm , AC = 5,5 cm

Corrigé de cet exercice

Associativité du barycentre

A, B, C et D sont quatre points distincts.

On note K le barycentre de (A, 3) (B, 1),  J  le milieu de [DC], G le centre de gravité de BCD et I  le milieu de [AG].

Montrer que les points I, J et K sont alignés.

Corrigé de cet exercice

Barycentre et paramètre

ABC un triangle ; à tout réel m, on associe le point Gm barycentre de (A ; 2) ; (B ; m) et (C ; – m).

On note O le milieu de [BC].

1.      Expliquer pourquoi Gm existe toujours et démontrer que, lorsque m  décrit \mathbb{R} ,  Gm décrit  une droite D que vous préciserez.

2.      a) Construisez G2 et G-2 . Avec AB= 4cm , AC = 3cm et  BC = 6cm

b) On suppose m différent de 2 et -2.

Soit Gm un point de D distinct de A, G2 etG-2 .

Démontrer que (BGm) coupe  (AC) en un point noté I et que (CGm) coupe (AB) en un point noté J.

3.      Dans le repère (A,\vec{AB},\vec{AC}),

calculez en fonction de m  les coordonnées de I et J.

Déduisez-en que les points O, I et J sont alignés.

(On pourra utiliser la condition analytique de colinéarité de 2 vecteurs)

Corrigé de cet exercice

Centre de gravité

Soit ABC un triangle,  A’ , B’ , et C’  les milieux des côtés opposés à A, B et C respectivement, M un point donné.

On note A1 , B1 et C1 les symétriques du point M  par rapport à A’ , B’ , et C’ .

On désigne par M’ barycentre des points  (A, 1) (B,1) (C,1) et (M,-1)

1.      Montrer que les droites (AA1) ; (BB1) et (CC1) sont concourantes en M ‘.

2.      Soit G le centre de gravité de ABC. Montrer que M ‘ , M et G sont alignés et préciser la position de M ‘ sur la droite (MG).

Corrigé de cet exercice

Trouver un ensemble de points du plan

ABCD est un carré.
1. Quel est l’ensemble E des points M du plan tels que :
 \| 2\vec{MA}-\vec{MB}+\vec{MC}  \|=AB
2. Représenter cet ensemble E.

Corrigé de cet exercice

Carré

Soit ABCD un carré et K le barycentre des points pondérés (A ; 2), (B ; – 1), (C ; 2) et (D ; 1).
On note I le barycentre des points pondérés (A ; 2) et (B ; – 1), et J celui de (C ; 2) et (D ; 1).
1.  Placer I et J en justifiant.
2. Réduire l’écriture des vecteurs suivants :
2\vec{KA}-\vec{KB}\,et\,2\vec{KC}+\vec{KD}.
En déduire que K est le barycentre de (I ; 1) et (J ; 3).
3. Placer K en justifiant.

Corrigé de cet exercice

Barycentre et placement de points

Soit ABC un triangle et G un point vérifiant :
\vec{AB}-4\vec{GA}-2\vec{GB}-3\vec{GC}=\vec{0}
Le point G est-il le barycentre des points pondérés (A ; 5), (B ; 1) et (C ; 3) ? Justifier.

Corrigé de cet exercice

Isobarycentre, centre de gravité et repère

Dans un repère (O;\vec{i},\vec{j}),

1.Placer les points A(2 ; 1), B( – 1 ; 5), C(5 ; 7) et G(1 ; \frac{5}{2} ).
2.  Déterminer les coordonnés de l’isobarycentre I des points B et C.
3. Déterminer les coordonnées du centre de gravité H du triangle ABC.
4. Existe-t-il un réel k tel que G soit barycentre de (A ; 1) et (B ; k) ? Justifier.

Corrigé de cet exercice

Ensemble de points

Soit ABC un triangle isocèle en A tel que BC = 8 cm et BA = 5 cm. Soit I le milieu de [BC].

1. Placer le point F tel que \vec{BF}=-\frac{1}{3}\vec{BA} .

et montrer que F est le barycentre des points A et B pondérés par des réels que l’on déterminera.

2.  P étant un point du plan, réduire chacune des sommes suivantes :
\frac{1}{2}\vec{PB}+\frac{1}{2}\vec{PC}\\-\vec{PA}+2\vec{PB}\\2\vec{PB}-2\vec{PA}
3. Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan vérifiant :
\|\frac{1}{2}\vec{MB}+\frac{1}{2}\vec{MC}  \|= \| -\vec{MA}+2\vec{MB}  \|
4. Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan vérifiant :
\|\vec{NB}+\vec{NC}  \|= \| 2\vec{NB}-2\vec{NA}  \|

Corrigé de cet exercice


Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «barycentre : exercices Maths 1ère corrigés en PDF» au format PDF.



Télécharger nos applications gratuites avec tous les cours,exercices corrigés Application Mathovore sur Google Play Store. Application Mathovore sur Apple Store.

.

Les dernières fiches mises à jour

Voici les dernières ressources mis à jour sur Mathovore (des cours, exercices, des contrôles et autres), rédigées par notre équipe d'enseignants.

Des cours et exercices corrigés en 1ère en vidéos

Les fiches de cours et exercices de maths les plus consultées Concours : gagnez une calculatrice TEXAS INSTRUMENT (TI)

Nouveau concours avec une calculatrice Texas Instrument à gagner.
Le tirage au sort sera effectué avec un logiciel de manière aléatoire chaque début de mois et les résultats seront annoncés sur notre page facebook.
Les gagnants seront tirés au sort parmi les bonnes réponses de nos abonnés de notre nouvelle chaîne Youtube.


je participe au tirage au sort en m'abonnant à la chaîne YouTube Je participe au concours afin de gagner la calculatrice.

D'autres documents similaires

Inscription gratuite à Mathovore.  Mathovore c'est 1 603 813 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 149 018 membres.
Rejoignez-nous : inscription gratuite.

Mathovore

GRATUIT
VOIR