Barycentre : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Le barycentre de nos points pondérés à travers des exercices de maths en 1ère corrigés avec l’utilisation de la définition du barycentre de n points pondérés et des propriétés du barycentre comme l’associativité. Tous ces énoncés en première disposent d’un corrigé détaillé afin que les élèves puissent réviser en ligne.

Exercice 1 – Barycentre de points pondérés
1. Construire le barycentre des points {(A,1);(B,2)} sachant que AB = 6 cm .
2. Construire le barycentre des points {(A,3);(B,-3)} sachant que AB = 8 cm .
3. Construire le barycentre des points {(A,1);(B,-2)} sachant que AB = 4 cm .
4. Construire le barycentre des points {(M,-3);(N,-2)} sachant que MN = 10 cm .

Exercice n° 2 :
1. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que $\|5\vec{MA}+6\vec{MB}\|=22 .$
2. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que $\|-5\vec{MA}+8\vec{MB}\|=12 .$
3. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que $\|5\vec{MA}-6\vec{MB}\|=\|7\vec{MA}-6\vec{MB}\| .$
4. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que $\|2\vec{MA}+7\vec{MB}\|=\|20\vec{MA}-11\vec{MB}\| .$

Exercice n° 3 :
Soit R un repère orthonormé du plan .
1. Construire le barycentre G des points {(A,2);(B,3)} sachant que les coordonnees, dans R, de ces points sont A(3;4) et B(-1;2) .
2. On note l’ensemble des points M du plan tels que $\|4\vec{MA}+5\vec{MB}\|=45 .$ .
Déterminer l’équation de l’ensemble .
2. On note l’ensemble des points M du plan tels que $\|3\vec{MA}+2\vec{MB}\|=\|7\vec{MA}-2\vec{MB}\| .$ .
Déterminer l’équation de l’ensemble .

Trouver un lieu de points

ABC est un triangle équilatéral de côté 4 cm.
Déterminer l’ensemble $\Gamma$ des points M du plan tels que :
$\|\vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC}\|=\|\vec{MB}+3\vec{MC}\|$ .

Exercice 4 – Déterminer un lieu de points
Soit ABC un triangle isocèle en A tel que BC = 8 cm et BA = 5 cm.

Soit I le milieu de [BC].
1. Placer le point F tel que $\vec{BF}=-\vec{BA}$ et montrer que F est le barycentre des points A et B pondérés par des réels que l’on déterminera.
2. P étant un point du plan, réduire chacune des sommes suivantes :
$\frac{1}{2}\vec{PB}+\frac{1}{2}\vec{PC}$
$-\vec{PA}+2\vec{PB}$
$2\vec{PB}-2\vec{PA}$
3. Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan vérifiant :
$\|,\frac{1}{2}\vec{MB}+\frac{1}{2}\vec{MC}|,,\|=\|-\vec{MA}+2\vec{MB}|,,\|$
4. Déterminer et représenter l’ensemble des points N du plan vérifiant :
$\|,\vec{NB}+\vec{NC}|,,\|=\|2\vec{NB}-2\vec{NA}|,,\|$

Exercice 5 – Exercice dans un repère
1. Placer dans un repère les points A(1,2); B(- 3 , 4) et C(- 2 , 5).
Soit G le barycentre des points pondérés (A,3), (B,2) et (C, – 4).
2. Quelles sont les coordonnées de G ?Placer G.
3. La droite (BG) passe-t-elle par l’origine du repère ? (Justifier)

Exercice 6 – Alignement de points
Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AB] et G est le barycentre de (A,-2) (B,-2) (C,15).
Démontrer que G,C et E sont alignés .

Exercice 7 – Barycentre classique
ABCD est un quadrilatère et G est le barycentre de (A,1) (B,1) (C,3) (D,3).
Construire le point G. (Argumenter)

Exercice 8 – Isobarycentre et quadrilatère
ABCD est un quadrilatère.

On note G son isobarycentre.
Le but de cet exercice est de préciser la position de G.

1) On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD].

Montrer que G est le barycentre de I et J munis de coefficients que l’on précisera.

2) Conclure et faire une figure.

Exercice 9 – Sciences physiques

Une balance est constituée d’une masse M et d’un plateau fixé aux extrémités d’une tige.
Pour peser une masse m, le vendeur place à une position précise un crochet sur la tige.
Cette balance a l’avantage pour le commerçant de ne pas manipuler plusieurs masses.

1. Pour chacun des cas suivants, où faut-il fixer le crochet G sur le segment [AB] pour réaliser l’équilibre ?
(M = 2 kg)

On pourra reproduire ces schémas à l’échelle de son choix.

2. Le point G est tel que $\vec{AG}=\frac{2}{3}\vec{AB}$ .

Quelle est la masse m pesée ? (M = 2 kg).

Exercice 10 – Déterminer la position d’un barycentre

ABC est un triangle. On note G le barycentre de (A ; 2), (B ; 1) et (C ; 1).

Le but de cet exercice est de déterminer la position précise du point G.

1. Soit I le milieu de [BC].

Montrer que :

$\vec{GB}+\vec{GC}=2\vec{GI}$

2. En déduire que G est le barycentre de A et I munis de coefficients que l’on précisera.

3. Conclure.

Exercice 11 – Construction et positionnement

On considère un triangle ABC et l’on désigne par G le barycentre de (A ; 1), (B ; 4) et (C ; – 3).

1. Construire le barycentre I de (B ; 4) et (C ; – 3).

2. Montrer que $\vec{GA}+\vec{GI}=\vec{0}$ .

3. En déduire la position de G sur (AI).

Exercice 12 – Démontrer que des points sont alignés

Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AB] et G est le barycentre de (A ; – 2), (B ; – 2) et (C ; 15).

Démontrer que G, C et E sont alignés.

Exercice 13 – Barycentres confondus

B est le milieu de [AC].
Démontrer que le barycentre de (A ; 1) et (C ; 3) est confondu avec celui de (B ; 2) et (C ; 2).

Exercice 14 – Construction de barycentre dans un triangle

ABC est un triangle.

1. G est le barycentre de (A ; 1), (B ; 2) et (C ; 3). Construire le point G. Expliquer.

2. G ‘ est le barycentre de (A ; 1), (B ; 3) et (C ; – 3). Construire le point G ‘ . Expliquer.

3. Démontrer que (AG’) est parallèle à (BC).

Exercice 15 – Construction d’un barycentre

ABCD est un quadrilatère et G est le barycentre de (A ; 1), (B ; 1), (C ; 3) et (D ; 3).

Construire le point G. Expliquer.

Exercice 16 – Ensemble de points
ABCD est un carré de centre G et de côté 4 cm.
1. Calculer la longueur GA .
2. Réduire la somme $\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}$ ( à l’aide du point G).
3. Déterminer et représenter l’ensemble $\Gamma,_1$ des points M tel que :
$,\|,\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD},,\|=8\sqrt{2}$
4. Déterminer et représenter l’ensemble $\Gamma,_2$ des points M tel que :
$\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}$ soit colinéaire à $\vec{AD}$ .

Exercice 17 – Alignement de points
Dans le triangle ABC, le point E est le milieu de [AB]
et G est le barycentre de (A ; -2) (B;-2) et (C;8).
1. Exprimer E comme le barycentre de A et B .
2. Démontrer que G,C et E sont alignés .
3. C est-il le milieu de [EG] ?

Exercice 18 – Triangle équilatéral et droites parallèles

Soit ABC un triangle équilatéral de côté 3 cm.

1) Placer, en justifiant, le barycentre Z de (A ; 1), (B ; 3) et (C ; – 3).

2) Montrer que les droites (AZ) et (BC) sont parallèles.

Exercice 19 – Centre de gravité et droites concourantes
ABC est un triangle de centre de gravité G.
On note I, J, M, N, R et S les points définis par :
$\vec{AI}=\frac{1}{3}\vec{AB};\vec{AJ}=\frac{2}{3}\vec{AB};\vec{AM}=\frac{1}{3}\vec{AC}\\\vec{AN}=\frac{2}{3}\vec{AC};\vec{BR}=\frac{1}{3}\vec{BC};\vec{BS}=\frac{2}{3}\vec{BC}$
Démontrer que les droites (IS), (MR) et (NJ) sont concourantes en G.

Exercice 20 – Démontrer que des droites sont concourantes

ABC est un triangle.
On considère le barycentre A’ de (B ; 2) et (C ; – 3), le barycentre B ‘ de (A ; 5) et (C ; – 3)
et le barycentre C ‘ de (A ; 5) et (B ; 2).

Démontrer que les droites (AA ‘), (BB ‘) et (CC ‘) sont concourantes.

Voir Exercices 11 à 20...

Exercice 21 – Démontrer que des droites sont parallèles

ABC est un triangle. Soit G le barycentre de (A ; 1), (B ; 3) et (C ; – 3).

Démontrer que les droites (AG) et (BC) sont parallèles.

Exercice 22 – Barycentre et repère

1. Placer dans un repère les points A(1 ; 2), B( – 3 ; 4) et C( – 2 ; 5).

Soit G le barycentre des points pondérés (A ; 3), (B ; 2) et (C ; – 4).

2. Quelles sont les coordonnées de G? Placer G.

3. La droite (BG) passe-t-elle par l’origine du repère ? Justifier.

Exercice 23 – Un lieu géométrique
[AB] est un segment de longueur 10 cm et G bar {(A ; 2) , (B ; 3)}
1. Développez et réduire $2(\vec{MG}+\vec{GA})^2+3(\vec{MG}+\vec{GB})^2$
2. Démontrez alors que pour tout point M du plan on a 2MA² + 3MB² = 5MG² + 120.
3. Déterminez alors et représentez l’ensemble des points M du plan tels que 2MA² + 3MB² = 245.

Exercice 24 – Ensemble de points
A, B et C sont 3 points du plan non alignés et k un nombre réel quelconque.
I bar { (B ;1), (C ;2)} et G le barycentre de (A, k), (B, 1- k) et (C, 2)
1. Exprimer $\vec{IG}$ en fonction de $\vec{IA}$ , $\vec{IB}$ et $\vec{IC}$ .
2. Simplifier l’expression obtenue au 1. et en déduire l’ensemble (E) des points G lorsque k décrit $\mathbb{R}$ .
3. Représentez graphiquement (E) dans le cas AB = 5 cm, BC = 6 cm , AC = 5,5 cm.

Exercice 25 – Associativité du barycentre
A, B, C et D sont quatre points distincts.
On note K le barycentre de (A, 3) (B, 1), J le milieu de [DC], G le centre de gravité de BCD et I le milieu de [AG].
Montrer que les points I, J et K sont alignés.

Exercice 26 – Barycentre et paramètre
ABC un triangle ; à tout réel m, on associe le point G_m barycentre de (A ; 2) ; (B ; m) et (C ; – m).
On note O le milieu de [BC].
1.      Expliquer pourquoi G_m existe toujours et démontrer que, lorsque m décrit $\mathbb{R}$ , G_m décrit une droite D que vous préciserez.
2.      a) Construisez G₂ et G_-2 . Avec AB= 4cm , AC = 3cm et BC = 6cm
b) On suppose m différent de 2 et -2.
Soit G_m un point de D distinct de A, G₂ etG_-2 .
Démontrer que (BG_m) coupe (AC) en un point noté I et que (CG_m) coupe (AB) en un point noté J.
3.      Dans le repère $(A,\vec{AB},\vec{AC})$ ,
calculez en fonction de m les coordonnées de I et J.
Déduisez-en que les points O, I et J sont alignés.
(On pourra utiliser la condition analytique de colinéarité de 2 vecteurs).

Exercice 27 – Centre de gravité
Soit ABC un triangle, A’ , B’ , et C’ les milieux des côtés opposés à A, B et C respectivement, M un point donné.
On note A₁, B₁et C₁les symétriques du point M par rapport à A’ , B’ , et C’ .
On désigne par M’ barycentre des points  (A, 1) (B,1) (C,1) et (M,-1)
1.      Montrer que les droites (AA₁) ; (BB₁) et (CC₁) sont concourantes en M ‘.
2.      Soit G le centre de gravité de ABC. Montrer que M ‘ , M et G sont alignés et préciser la position de M ‘ sur la droite (MG).

Exercice 28 – Trouver un ensemble de points du plan
ABCD est un carré.

1. Quel est l’ensemble E des points M du plan tels que :

$\| 2\vec{MA}-\vec{MB}+\vec{MC} \|=AB$

2. Représenter cet ensemble E.

Exercice 29 – Carré

Soit ABCD un carré et K le barycentre des points pondérés (A ; 2), (B ; – 1), (C ; 2) et (D ; 1).

On note I le barycentre des points pondérés (A ; 2) et (B ; – 1), et J celui de (C ; 2) et (D ; 1).

1. Placer I et J en justifiant.

2. Réduire l’écriture des vecteurs suivants :

$2\vec{KA}-\vec{KB}\,et\,2\vec{KC}+\vec{KD}.$

En déduire que K est le barycentre de (I ; 1) et (J ; 3).

3. Placer K en justifiant.

Exercice 30 – Barycentre et placement de points

Soit ABC un triangle et G un point vérifiant :

$\vec{AB}-4\vec{GA}-2\vec{GB}-3\vec{GC}=\vec{0}$

Le point G est-il le barycentre des points pondérés (A ; 5), (B ; 1) et (C ; 3) ? Justifier.

Voir Exercices 21 à 30...

Exercice 31 – Isobarycentre, centre de gravité et repère
Dans un repère $(O;\vec{i},\vec{j})$ ,

1.Placer les points A(2 ; 1), B( – 1 ; 5), C(5 ; 7) et G(1 ; $\frac{5}{2}$ ).

2. Déterminer les coordonnés de l’isobarycentre I des points B et C.

3. Déterminer les coordonnées du centre de gravité H du triangle ABC.

4. Existe-t-il un réel k tel que G soit barycentre de (A ; 1) et (B ; k) ? Justifier.

Exercice 32 – Ensemble de points
Soit ABC un triangle isocèle en A tel que BC = 8 cm et BA = 5 cm. Soit I le milieu de [BC].
1. Placer le point F tel que $\vec{BF}=-\frac{1}{3}\vec{BA}$ .
et montrer que F est le barycentre des points A et B pondérés par des réels que l’on déterminera.

2. P étant un point du plan, réduire chacune des sommes suivantes :

$\frac{1}{2}\vec{PB}+\frac{1}{2}\vec{PC}\\-\vec{PA}+2\vec{PB}\\2\vec{PB}-2\vec{PA}$

3. Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan vérifiant :

$\|\frac{1}{2}\vec{MB}+\frac{1}{2}\vec{MC} \|= \| -\vec{MA}+2\vec{MB} \|$

4. Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan vérifiant :

$\|\vec{NB}+\vec{NC} \|= \| 2\vec{NB}-2\vec{NA} \|$

Voir Exercices 31 à 32...

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