Exercices maths 1ère

Barycentre : exercices Maths 1ère corrigés en PDF

Des exercices sur le barycentre en première S avec l’utilisation de la définition du barycentre de n points pondérés et des propriétés du barycentre comme l’associativité.Tous ces exercices en première S disposent d’un corrigé détaillé afin que les élèves puissent réviser en ligne.

Exercice 1 – Barycentre de points pondérés
1. Construire le barycentre des points {(A,1);(B,2)} sachant que AB = 6 cm .
2. Construire le barycentre des points {(A,3);(B,-3)} sachant que AB = 8 cm .
3. Construire le barycentre des points {(A,1);(B,-2)} sachant que AB = 4 cm .
4. Construire le barycentre des points {(M,-3);(N,-2)} sachant que MN = 10 cm .
Exercice n° 2 :
1. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que  \|5\vec{MA}+6\vec{MB}\|=22 .
2. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que  \|-5\vec{MA}+8\vec{MB}\|=12 .
3. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que  \|5\vec{MA}-6\vec{MB}\|=\|7\vec{MA}-6\vec{MB}\| .
4. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que  \|2\vec{MA}+7\vec{MB}\|=\|20\vec{MA}-11\vec{MB}\| .
Exercice n° 3 :
Soit R un repère orthonormé du plan .
1. Construire le barycentre G des points {(A,2);(B,3)} sachant que les coordonnees, dans R, de ces points sont A(3;4) et B(-1;2) .
2. On note  C_1 l’ensemble des points M du plan tels que  \|4\vec{MA}+5\vec{MB}\|=45 ..
Determiner l’equation de l’ensemble  C_1 .
2. On note  C_2 l’ensemble des points M du plan tels que  \|3\vec{MA}+2\vec{MB}\|=\|7\vec{MA}-2\vec{MB}\| ..
Determiner l’equation de l’ensemble  C_2 .
Trouver un lieu de points
ABC est un triangle équilatéral de côté 4 cm.
Déterminer l’ensemble \Gamma des points M du plan tels que :
\|\vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC}\|=\|\vec{MB}+3\vec{MC}\|.
Exercice 4 – Déterminer un lieu de points
Soit ABC un triangle isocèle en A tel que BC = 8 cm et BA = 5 cm.Soit I le milieu de [BC].
1. Placer le point F tel que \vec{BF}=-\vec{BA} et montrer que F est le barycentre des points A et B pondérés par des réels que l’on déterminera.
2. P étant un point du plan, réduire chacune des sommes suivantes :
\frac{1}{2}\vec{PB}+\frac{1}{2}\vec{PC}
-\vec{PA}+2\vec{PB}
2\vec{PB}-2\vec{PA}
3. Déterminer  et représenter l’ensemble des points M du plan vérifiant :
\|,\frac{1}{2}\vec{MB}+\frac{1}{2}\vec{MC}|,,\|=\|-\vec{MA}+2\vec{MB}|,,\|
4. Déterminer  et représenter l’ensemble des points N du plan vérifiant :
\|,\vec{NB}+\vec{NC}|,,\|=\|2\vec{NB}-2\vec{NA}|,,\|
Exercice 5 – Exercice dans un repère
1. Placer dans un repère les points A(1,2); B(- 3 , 4) et C(- 2 , 5).
Soit G le barycentre des points pondérés (A,3), (B,2) et (C, – 4).
2. Quelles sont les coordonnées de G ?Placer G.
3. La droite (BG) passe-t-elle par l’origine du repère ? (Justifier)
Exercice 6 – Alignement de points
Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AB] et G est le barycentre de (A,-2) (B,-2) (C,15).
Démontrer que G,C et E sont alignés .
Exercice 7 – Barycentre classique
ABCD est un quadrilatère et G est le barycentre de (A,1) (B,1) (C,3) (D,3).
Construire le point G. (Argumenter)
Exercice 8 – Isobarycentre et quadrilatère
ABCD est un quadrilatère.

On note G son isobarycentre.
Le but de cet exercice est de préciser la position de G.

1) On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD].

Montrer que G est le barycentre de I et J munis de coefficients que l’on précisera.

2) Conclure et faire une figure.


Exercice 9 – Sciences physiques

Une balance est constituée d’une masse M et d’un plateau fixé aux extrémités d’une tige.
Pour peser une masse m, le vendeur place à une position précise un crochet sur la tige.
Cette balance a l’avantage pour le commerçant de ne pas manipuler plusieurs masses.

1.  Pour chacun des cas suivants, où faut-il fixer le crochet G sur le segment [AB] pour réaliser l’équilibre ?
(M = 2 kg)

On pourra reproduire ces schémas à l’échelle de son choix.

2. Le point G est tel que \vec{AG}=\frac{2}{3}\vec{AB}.

Quelle est la masse m pesée ? (M = 2 kg)
Exercice 10 – Déterminer la position d’un barycentre

ABC est un triangle. On note G le barycentre de (A ; 2), (B ; 1) et (C ; 1).

Le but de cet exercice est de déterminer la position précise du point G.

1. Soit I le milieu de [BC].

Montrer que :

 \vec{GB}+\vec{GC}=2\vec{GI}

2.  En déduire que G est le barycentre de A et I munis de coefficients que l’on précisera.

3. Conclure.


Exercice 11 – Construction et positionnement

On considère un triangle ABC et l’on désigne par G le barycentre de (A ; 1), (B ; 4) et (C ; – 3).

1. Construire le barycentre I de (B ; 4) et (C ;  – 3).

2. Montrer que \vec{GA}+\vec{GI}=\vec{0} .

3. En déduire la position de G sur (AI).


Exercice 12 – Démontrer que des points sont alignés

Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AB] et G est le barycentre de (A ; – 2), (B ; – 2) et (C ; 15).

Démontrer que G, C et E sont alignés.


Exercice 13 – Barycentres confondus

B est le milieu de [AC].
Démontrer que le barycentre de (A ; 1) et (C ; 3) est confondu avec celui de (B ; 2) et (C ; 2).


Exercice 14 – Construction de barycentre dans un triangle

ABC est un triangle.

1.  G est le barycentre de (A ; 1), (B ; 2) et (C ; 3). Construire le point G. Expliquer.

2.  G ‘ est le barycentre de (A ; 1), (B ; 3) et (C ; – 3). Construire le point G ‘ . Expliquer.

3.  Démontrer que (AG’) est parallèle à (BC).


Exercice 15 – Construction d’un barycentre

ABCD est un quadrilatère et G est le barycentre de (A ; 1), (B ; 1), (C ; 3) et (D ; 3).

Construire le point G. Expliquer.
Exercice 16 – Ensemble de points
ABCD est un carré de centre G et de côté 4 cm.
1. Calculer la longueur GA .
2. Réduire la somme \vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD} ( à l’aide du point G).
3. Déterminer et représenter l’ensemble \Gamma,_1 des points M tel que :
,\|,\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD},,\|=8\sqrt{2}
4. Déterminer et représenter l’ensemble \Gamma,_2  des points M tel que :
\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD} soit colinéaire à  \vec{AD} .
Exercice 17 – Alignement de points
Dans le triangle ABC, le point E est le milieu de [AB]
et G est le barycentre de (A ; -2)  (B;-2) et (C;8).
1. Exprimer E comme le barycentre de A et B .
2. Démontrer que G,C et E sont alignés .
3. C est-il le milieu de [EG]  ?
Exercice 18 – Triangle équilatéral et droites parallèles

Soit ABC un triangle équilatéral de côté 3 cm.

1) Placer, en justifiant, le barycentre Z de (A ; 1), (B ; 3) et (C ; – 3).

2) Montrer que les droites (AZ) et (BC) sont parallèles.


Exercice 19 – Centre de gravité et droites concourantes
ABC est un triangle de centre de gravité G.
On note I, J, M, N, R et S les points définis par :
\vec{AI}=\frac{1}{3}\vec{AB};\vec{AJ}=\frac{2}{3}\vec{AB};\vec{AM}=\frac{1}{3}\vec{AC}\\\vec{AN}=\frac{2}{3}\vec{AC};\vec{BR}=\frac{1}{3}\vec{BC};\vec{BS}=\frac{2}{3}\vec{BC}
Démontrer que les droites (IS), (MR) et (NJ) sont concourantes en G.

Exercice 20 – Démontrer que des droites sont concourantes

ABC est un triangle.
On considère le barycentre A’ de (B ; 2) et (C ; – 3), le barycentre B ‘ de (A ; 5) et (C ; – 3)
et le barycentre C ‘ de (A ; 5) et (B ; 2).

Démontrer que les droites (AA ‘), (BB ‘) et (CC ‘) sont concourantes.


Exercice 21 – Démontrer que des droites sont parallèles

ABC est un triangle. Soit G le barycentre de (A ; 1), (B ; 3) et (C ; – 3).

Démontrer que les droites (AG) et (BC) sont parallèles.


Exercice 22 – Barycentre et repère

1.  Placer dans un repère les points A(1 ; 2), B( – 3 ; 4) et C( – 2 ; 5).

Soit G le barycentre des points pondérés (A ; 3), (B ; 2) et (C ; – 4).

2.  Quelles sont les coordonnées de G? Placer G.

3.  La droite (BG) passe-t-elle par l’origine du repère ? Justifier.


Exercice 23 – Un lieu géométrique
[AB] est un segment de longueur 10 cm  et  G bar {(A ; 2) , (B ; 3)}
1. Développez et réduire  2(\vec{MG}+\vec{GA})^2+3(\vec{MG}+\vec{GB})^2
2. Démontrez alors  que pour tout point M du plan on a   2MA² +  3MB² = 5MG² + 120.
3. Déterminez alors et représentez l’ensemble des points M du plan tels que  2MA² +  3MB² =  245.
Exercice 24 – Ensemble de points
A, B et C sont 3 points  du plan non alignés et  k  un nombre réel quelconque.
I  bar { (B ;1), (C ;2)} et  G  le barycentre de (A, k), (B, 1- k) et (C, 2)
1. Exprimer  \vec{IG} en fonction de \vec{IA} , \vec{IB} et \vec{IC} .
2. Simplifier l’expression obtenue au 1. et en déduire l’ensemble (E) des points G lorsque k décrit \mathbb{R}.
3. Représentez  graphiquement  (E)  dans le cas  AB = 5 cm, BC = 6 cm , AC = 5,5 cm
Exercice 25 – Associativité du barycentre
A, B, C et D sont quatre points distincts.
On note K le barycentre de (A, 3) (B, 1),  J  le milieu de [DC], G le centre de gravité de BCD et I  le milieu de [AG].
Montrer que les points I, J et K sont alignés.
Exercice 26 – Barycentre et paramètre
ABC un triangle ; à tout réel m, on associe le point Gm barycentre de (A ; 2) ; (B ; m) et (C ; – m).
On note O le milieu de [BC].
1.      Expliquer pourquoi Gm existe toujours et démontrer que, lorsque m  décrit \mathbb{R} ,  Gm décrit  une droite D que vous préciserez.
2.      a) Construisez G2 et G-2 . Avec AB= 4cm , AC = 3cm et  BC = 6cm
b) On suppose m différent de 2 et -2.
Soit Gm un point de D distinct de A, G2 etG-2 .
Démontrer que (BGm) coupe  (AC) en un point noté I et que (CGm) coupe (AB) en un point noté J.
3.      Dans le repère (A,\vec{AB},\vec{AC}),
calculez en fonction de m  les coordonnées de I et J.
Déduisez-en que les points O, I et J sont alignés.
(On pourra utiliser la condition analytique de colinéarité de 2 vecteurs)
Exercice 27 – Centre de gravité
Soit ABC un triangle,  A’ , B’ , et C’  les milieux des côtés opposés à A, B et C respectivement, M un point donné.
On note A1 , B1 et C1 les symétriques du point M  par rapport à A’ , B’ , et C’ .
On désigne par M’ barycentre des points  (A, 1) (B,1) (C,1) et (M,-1)
1.      Montrer que les droites (AA1) ; (BB1) et (CC1) sont concourantes en M ‘.
2.      Soit G le centre de gravité de ABC. Montrer que M ‘ , M et G sont alignés et préciser la position de M ‘ sur la droite (MG).
Exercice 28 – Trouver un ensemble de points du plan
ABCD est un carré.

1. Quel est l’ensemble E des points M du plan tels que :

 \| 2\vec{MA}-\vec{MB}+\vec{MC}  \|=AB

2. Représenter cet ensemble E.


Exercice 29 – Carré

Soit ABCD un carré et K le barycentre des points pondérés (A ; 2), (B ; – 1), (C ; 2) et (D ; 1).

On note I le barycentre des points pondérés (A ; 2) et (B ; – 1), et J celui de (C ; 2) et (D ; 1).

1.  Placer I et J en justifiant.

2. Réduire l’écriture des vecteurs suivants :

2\vec{KA}-\vec{KB}\,et\,2\vec{KC}+\vec{KD}.

En déduire que K est le barycentre de (I ; 1) et (J ; 3).

3. Placer K en justifiant.


Exercice 30 – Barycentre et placement de points

Soit ABC un triangle et G un point vérifiant :

\vec{AB}-4\vec{GA}-2\vec{GB}-3\vec{GC}=\vec{0}

Le point G est-il le barycentre des points pondérés (A ; 5), (B ; 1) et (C ; 3) ? Justifier.


Exercice 31 – Isobarycentre, centre de gravité et repère
Dans un repère (O;\vec{i},\vec{j}),

1.Placer les points A(2 ; 1), B( – 1 ; 5), C(5 ; 7) et G(1 ; \frac{5}{2} ).

2.  Déterminer les coordonnés de l’isobarycentre I des points B et C.

3. Déterminer les coordonnées du centre de gravité H du triangle ABC.

4. Existe-t-il un réel k tel que G soit barycentre de (A ; 1) et (B ; k) ? Justifier.


Exercice 32 – Ensemble de points
Soit ABC un triangle isocèle en A tel que BC = 8 cm et BA = 5 cm. Soit I le milieu de [BC].
1. Placer le point F tel que \vec{BF}=-\frac{1}{3}\vec{BA} .
et montrer que F est le barycentre des points A et B pondérés par des réels que l’on déterminera.

2.  P étant un point du plan, réduire chacune des sommes suivantes :

\frac{1}{2}\vec{PB}+\frac{1}{2}\vec{PC}\\-\vec{PA}+2\vec{PB}\\2\vec{PB}-2\vec{PA}

3. Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan vérifiant :

\|\frac{1}{2}\vec{MB}+\frac{1}{2}\vec{MC}  \|= \| -\vec{MA}+2\vec{MB}  \|

4. Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan vérifiant :

\|\vec{NB}+\vec{NC}  \|= \| 2\vec{NB}-2\vec{NA}  \|

Corrigé de ces exercices sur le barycentre


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