Fonction exponentielle : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 1 – Primitive d’une fonction composée
Soit la fonction f définie par 
1. Donner le domaine de définition de la fonction f.
2. Donner une primitive de la fonction.

Exercice 2 – Fonctions puissances
soit la fonction f tel que :  
1. Indiquer le domaine de définition de f et transformer l’écriture du réel f(x).
2. Donner un prolongement par continuité de f au point 0.
3. Etudier la dérivabilité de f au point 0.
4. Calculer la dérivée  de f et étudier son signe. Etablir le tableau de variations.
5. Décrire comment se présente la tangente en ce point.
6. Construire la courbe  dans un repère approprié.

Exercice 3 – Restitution organisée de connaissances
On supposera connus les résultats suivants :
* 
* Pour tous réels x et y, .
1. Démontrer que pour tout réel x, .
2. Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n,

Exercice 4 – Résoudre les inéquations suivantes :
1. 
2. 

Exercice 5 – Primitives de fonctions exponentielles
Déterminer les primitives des fonctions suivantes :
1.  .
2. 

Exercice 6 – Etude d’une fonction

Soit   pour x ∈ R.

1. Déterminez les limites de f aux bornes du domaine de définition.

2. Etudier les variations de f.

3. Construisez la courbe C représentant f.

Exercice 7 – Résoudre les équations et inéquations proposées

Exercice 8 – Bénéfice d’une entreprise
Une entreprise fabrique et vend chaque jour un nombre x d’objets. Chaque objet est vendu 100 .
Le coût de production unitaire exprimant le coût de production par objet produit est :
pour x dans [10 ; 100]
1.a) Montrer que .
b) Etudier le signe de sur [10 ; 100] et en déduire le tableau de variation de la fonction sur [10 ; 100].
c) Déterminer pour quelle production le coût unitaire est le plus bas. Déterminer alors le bénéfice de l’entreprise.
2. Montrer que le bénéfice global de l’entreprise s’exprime par : B(x ) = −x² +110x − 900.
3. Déterminer son sens de variation sur [10 ; 100] et déterminer la production qui donne un bénéfice maximal. Quel est ce
bénéfice ?

Exercice 9 – Problème de courbe
La courbe représente une fonction f définie par f(x)= (ax+b)exp(-x).
Elle passe par les points de coordonnées (o;2) et (-2;0).
1) Calculer a et b .
2) Déterminer les coordonnées du maximum après avoir étudié les variations de f.

Exercice 10 – Logarithme et exponentielle
Simplifier au maximum :

Exercice 11 – Calcul de dérivées et de limites
Calculez les dérivées et les limites aux bornes des ensembles de définitions des

fonctions définies par les expressions suivantes :

Exercice 12 – Simplifier des exponentielles

Simplifier au maximum les expressions suivantes :

Exercice 13 – Résoudre des équations et inéquations contenant des exponentielles
Résoudre les équations et inéquations :

Exercice 14 – Etude de l’équation

Exercice 15 -Courbe de Gauss
soit .On définit sur , la fonction  par .
1.Etudier la parité de .
2.Démontrer  que est dérivable et calculer sa dérivée.En déduire le tableau de variations de .
3.Calculer  et résoudre .
4.Tracer les courbes de  pour .
5.Démontrer que  sur .
6.Dans cette question .Soit  la solution positive de l’équation .
7.Déterminer une équation de la tangente T à la courbe de  au point d’abscisse .
8.Tracer T sur le graphique.

Exercice 16 -Extrait baccalauréat.

Partie A
On donne un entier naturel n strictement positif, et on considère l’équation différentielle :

1. On fait l’hypothèse que deux fonctions g et h, définies et dérivables sur , vérifient, pour tout x réel :

a. Montrer que g est solution de si et seulement si, pour tout x réel :
.
b. En déduire la fonction h associée à une solution g de , sachant que f(0)=0.
Quelle est alors la fonction g?
2. Soit une fonction dérivable sur .
a. Montrer que est solution de si et seulement si est solution de l’équation :
(F) y’+y=0
b. Résoudre (F) .
c. déterminer la solution générale de l’équation .
d. Déterminer la solution f de l’équation vérifiant f(0)=0 .

Partie B
Le but de cette partie est de montrer que :

1. On pose, pour tout x réel,
.
a. vérifier que est solution de l’équation différentielle : y’+y= .
b. Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction comme la solution de l’équation différentielle y’+y= vérifiant .
En utilisant la partie A, montrer par récurrence que , pour tout x réel et tout entier :
.
2. Pour tout entier naturel n, on pose :

a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout x élément de l’intervalle [0;1], l’encadrement :
.
En déduire que , puis déterminer la limite de la suite .
b. Montrer, pour tout entier naturel k non nul, l’égalité :
.
c. Calculer et déduire de ce qui précède que :
.
d. En déduire finalement :

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