Fonction exponentielle : exercices de maths en 1ère corrigés à télécharger en PDF

Exercice 1 – Primitive d’une fonction composée (fonction exponentielle 1ère)

Soit la fonction f définie par \(f(x) = (x – 3)^{\frac{2}{3}}\)
1. Donner le domaine de définition de la fonction f.
2. Donner une primitive de la fonction.

Exercice 2 – Fonctions puissances

soit la fonction f tel que : \(f(x)=x^x +1\)
1. Indiquer le domaine de définition de f et transformer l’écriture du réel f(x).
2. Donner un prolongement par continuité de f au point 0.
3. Etudier la dérivabilité de f au point 0.
4. Calculer la dérivée de f et étudier son signe. Etablir le tableau de variations.
5. Décrire comment se présente la tangente en ce point.
6. Construire la courbe dans un repère approprié.

Exercice 3 – Restitution organisée de connaissances (fonction exponentielle 1ère)

On supposera connus les résultats suivants :
* \(e^0=1\)
* Pour tous réels x et y, \(e^x\times e^y=e^{x+y}\).
1. Démontrer que pour tout réel x, \(e^{-x}=\frac{1}{e^x}\).
2. Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n,
\((e^{x})^n=e^{nx}\)

Exercice 4 – Résoudre les inéquations suivantes :

1. \(x^{\pi}<\frac{1}{2}.\)
2. \(3^x\geq\,\,\, 4.\)

Exercice 5 – Primitives de fonctions exponentielles (fonction exponentielle 1ère)

Déterminer les primitives des fonctions suivantes :
1. \(f(x)=\sin x\times e^{\cos x}\) .
2. \(f(x)=x^{-2}e^{\frac{1}{x}}\) sur \(]-\infty;0[\).

Exercice 6 – Etude d’une fonction

Soit \(f(x)=(x-1)e^x\) pour x ∈ R.

1. Déterminez les limites de f aux bornes du domaine de définition.

2. Etudier les variations de f.

3. Construisez la courbe C représentant f.

Exercice 7 – Résoudre les équations et inéquations proposées (fonction exponentielle 1ère)

1. \(e^{2x^2+3}=e^{7x}\)
2. \(2e^{-x}=\frac{1}{e^x+2}\)
3. \(e^x\leq\,\frac{1}{e^x}\)

Exercice 8 – Bénéfice d’une entreprise

Une entreprise fabrique et vend chaque jour un nombre x d’objets. Chaque objet est vendu 100 €.
Le coût de production unitaire \(C_u(x)\) exprimant le coût de production par objet produit est :
\(C_u(x)=x-10+\frac{900}{x}\) pour x dans [10 ; 100]
1.a) Montrer que \(C_u^{\prime}(x)=\frac{(x-30)(x+30)}{x^2}\) .
b) Etudier le signe de \(C_u^{\prime}(x)\) sur [10 ; 100] et en déduire le tableau de variation de la fonction \(C_u\) sur [10 ; 100].
c) Déterminer pour quelle production le coût unitaire est le plus bas. Déterminer alors le bénéfice de l’entreprise.
2. Montrer que le bénéfice global de l’entreprise s’exprime par : B(x ) = −x² +110x − 900.
3. Déterminer son sens de variation sur [10 ; 100] et déterminer la production qui donne un bénéfice maximal. Quel est ce
bénéfice ?

Exercice 9 – Problème de courbe (fonction exponentielle 1ère)

La courbe représente une fonction f définie par f(x)= (ax+b)exp(-x).
Elle passe par les points de coordonnées (0;2) et (-2;0).
1) Calculer a et b .
2) Déterminer les coordonnées du maximum après avoir étudié les variations de f.

Exercice 10 – Logarithme et exponentielle

Simplifier au maximum :
\(A=\ln(\sqrt{80})-\frac{1}{2}\ln 5\)
\(B=\ln(\sqrt{6}-1)+\ln(\sqrt{6}+1)-\ln(\sqrt{100})-\ln\frac{1}{8}\)

Exercice 11 – Calcul de dérivées et de limites (fonction exponentielle 1ère)

Calculez les dérivées et les limites aux bornes des ensembles de définitions des

fonctions définies par les expressions suivantes :

1. \(f(x)=e^{4x+1}\)
2. \(f(x)=e^x+x^2+1\)
3. \(f(x)=5e^x+5xe^x\)
4. \(f(x)=\frac{e^x+1}{e^x-1}\)
5. \(f(x)=\frac{3x+1-e^x}{e^x}\)
6. \(f(x)=x^3e^{-x}\)

Exercice 12 – Simplifier des exponentielles

Simplifier au maximum les expressions suivantes :

1. \(e^xe^{-x}\)
2. \(e^xe^{-x+1}\)
3. \(ee^{-x}\)
4. \((e^{-x})^2\)
5. \(\frac{e^{2x}}{e^{2-x}}\)
6. \(\frac{(e^x)^3}{e^{2x}}\)

Exercice 13 – Résoudre des équations et inéquations contenant des exponentielles

Résoudre les équations et inéquations :

• \(e^{2x}+3e^x-4=0\)
• \(e^{3x}-e^x=0\)
• \(e^x+e^{-x}=1\)
• \(e^{2x-1}<\sqrt{e}\)
• \(4e^{2x}<3e^x+1\)
• \(e^{\frac{2x-1}{3x+1}}>\frac{1}{e^2}\)

Exercice 14 – Etude de l’équation \(\ln x=x^n\)

Soient \(n\in\mathbb{N}^*\), \(x\in]0;+\infty[\) et (E) l’équation : \(\ln x=x^n\).

1. Dans cette question, n = 1. Déterminer les variations de la fonction f définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=x-\ln x\). En déduire que, dans le cas n = 1, l’équation (E) n’a aucune solution dans \(]0;+\infty[\).
2. Dans cette question, n est quelconque. En choisissant la bonne fonction, démontrer, comme ci-dessus, que l’équation (E) n’a aucune solution dans \(]0;+\infty[\), quel que soit \(n\in\mathbb{N}^*\).

Exercice 15 -Courbe de Gauss (fonction exponentielle 1ère)

soit \(k\in\mathbb{R}^{+*}\).On définit sur \(\mathbb{R}\), la fonction \(G_k\) par \(G_k(x)=e^{-kx^2}\).
1.Etudier la parité de \(G_k\).
2.Démontrer que \(G_k\) est dérivable et calculer sa dérivée.En déduire le tableau de variations de \(G_k\).
3.Calculer \(G_k^{\prime\prime}\) et résoudre \(G_k^{\prime\prime}(x)=0\).
4.Tracer les courbes de \(G_k\) pour \(k=\frac{1}{2};1;2\).
5.Démontrer que \(h\leq\, k\Leftrightarrow G_h\geq\, G_k\) sur \(\mathbb{R}\).
6.Dans cette question \(k=\frac{1}{2}\).Soit \(\alpha\) la solution positive de l’équation \(G_k^{\prime\prime}(x)=0\).
7.Déterminer une équation de la tangente T à la courbe de \(G_k\) au point d’abscisse \(\alpha\).
8.Tracer T sur le graphique.

Exercice 16 -Extrait baccalauréat.

Partie A
On donne un entier naturel n strictement positif, et on considère l’équation différentielle :
\((E_n)\,\,y^{\prime}+y=\frac{x^n}{n!}e^{-x}\)
1. On fait l’hypothèse que deux fonctions g et h, définies et dérivables sur \(\mathbb{R}\), vérifient, pour tout x réel :
\(g(x)=h(x)e^{-x}\)
a. Montrer que g est solution de \((E_n)\) si et seulement si, pour tout x réel :
\(\,\,h^{\prime}(x)=\frac{x^n}{n!}\) .
b. En déduire la fonction h associée à une solution g de \((E_n)\), sachant que g(0)=0.
Quelle est alors la fonction g?
2. Soit \(\phi\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) .
a. Montrer que \(\phi\) est solution de \((E_n)\) si et seulement si \(\phi – g\) est solution de l’équation :
(F) y’+y=0
b. Résoudre (F) .
c. déterminer la solution générale \(\phi\) de l’équation \((E_n)\) .
d. Déterminer la solution f de l’équation \((E_n)\)vérifiant f(0)=0 .

Partie B
Le but de cette partie est de montrer que :
\(\boxed{\lim_{n \to +\infty}(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!})=e}\)
1. On pose, pour tout x réel,
\(f_0(x)=e^{-x}\,,\,f_1(x)=xe^{-x}\).
a. vérifier que \(f_1\) est solution de l’équation différentielle : y’+y=\(f_0\) .
b. Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction \(f_n\) comme la solution de l’équation différentielle y’+y=\(f_{n-1}\) vérifiant \(f_n(0)=0\) .
En utilisant la partie A, montrer par récurrence que , pour tout x réel et tout entier \(n\ge 1\) :
\(f_n(x)=\frac{x^n}{n!}e^{-x}\) .
2. Pour tout entier naturel n, on pose :
\(I_n=\int_{0}^{1} f_n(x)dx\)
a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout x élément de l’intervalle [0;1], l’encadrement :
\(0\le f_n(x)\le \frac{x^n}{n!}\) .
En déduire que \(0\le I_n\le \frac{1}{(n+1)!}\), puis déterminer la limite de la suite \(( I_n)\) .
b. Montrer, pour tout entier naturel k non nul, l’égalité :
\(\boxed{I_k-I_{k-1}=-\frac{1}{k!}e^{-1}}\) .
c. Calculer \(I_0\) et déduire de ce qui précède que :
\(I_n=1-\sum_{k=0}^{n}\frac{e^{-1}}{k!}\) .
d. En déduire finalement :
\(\boxed{\lim_{n \to +\infty}(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!})=e}\)

Exercice 17 (fonction exponentielle 1ère)

Ecrire à l’aide d’une seule exponentielle :

a. \(\frac{1}{e^3}\)

b. \(e^{-2}\times \,e^7\)

Exercice 18 :

f est une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f^{\prime}=f\) et \(f(0)=-\frac{1}{2}\).

g est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=-2f(x)\).

1. Vérifier que g est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et que g’ = g.
2. Calculer g(0); en déduire l’expression de g(x).
3. En déduire l’expression de f(x).

Exercice 19 (fonction exponentielle 1ère)

Dans chaque cas, écrire l’expression avec une seule exponentielle.

1.

a. \(e^4\times \,e^6\)

b. \(e\times \,(e^5)^2\)

c. \(\frac{e^{30}\times \,e^{-10}}{e^{10}}\)

2. a désigne un nombre réel, simplifier l’écriture de chaque expression :

a) \(\frac{e^{2a}\times \,e^{-a}}{e^{5a}}\) ; b) \(\frac{e^{2a}+1}{e^{1-a}}\) ; c) \((e^a)^3\times \,e\)

Exercice 20 :

f est la fonction définie sur \(]-1;+\infty[\) par \(f(x)=\frac{e^x}{1+x}\).

Dans un repère, \(\xi\) est la courbe représentative de la fonction f et \(T_a\) est la tangente à \(\xi\) au point A d’abscisse a avec \(a>-1\).

1. donner une équation de \(T_a\).

2. Démontrer qu’il existe deux valeurs de a pour lesquelles \(T_a\) passe par l’origine du repère.

Exercice 21 :

On modélise la température moyenne T à l’intérieur d’un congélateur en posant :

\(T(t)=19{,}5e^{-7\times \,10^{-4}t}-10{,}5\) où \(t\in[0;+\infty[\) correspond au temps, exprimé en minutes, écoulé

depuis sa mise en marche et T(t) sa température en °C.

1. Donner la température moyenne à l’intérieur du congélateur :

a. avant sa mise en marche;

b. après une journée de fonctionnement.

2. Etudier la limite de T en \(+\infty\) et interpréter le résultat obtenu.

Exercice 22 :

Ecrire les réels donnés sous la forme exponentielle \(e^k\) où k est un entier.

1) \(e^{-7}\times \,e^3\)

2) \(e^{-1}\times \,e^{-5}\)

3) \(e^2\times \,e\)

4) \(e\times \,e^{-1}\)

5) \(\frac{1}{e}\)

6) \(\frac{1}{e^{-1}}\)

7) \(\frac{1}{e^2}\)

8) \(\frac{1}{e^{-3}}\)

9) \(\frac{e^{-3}}{e^2}\)

10) \(\frac{e}{e^{-1}}\)

11) \(\frac{e^{-2}}{e}\)

12) \(\frac{e^2\times \,e^{-3}}{e^5}\)

13) \((e^2)^3\)

14) \((e^3)^2\)

15) \((e^{-1})^6\)

16) \(e\times \,(e^{-1})^3\)

Exercice 23 :

Ecrire l’expression donnée sous la forme \(e^A\) où A est une expression.

1) \(e^x\times \,e^2\)

2) \(e^{-1}\times \,e^{-x}\)

3) \(e\times \,e^x\)

4) \(e^x\times \,e^x\)

5) \(e^x\times \,e^{-x}\)

6) \(e^{x-1}\times \,e^x\)

7) \((e^x)^2\)

8) \((e^{-x+1})^3\)

9) \((2e^x)^3\)

10) \(\frac{e^{5x}}{e^x}\)

11) \(\frac{e^{x+1}}{e}\)

12) \(\frac{e^3}{e^{2x-1}}\)

Exercice 24 :

On donne l’expression de trois fonctions f,g et h définies et dérivables sur \(\mathbb{R}\).

Calculer la dérivée des fonctions f, g et h.

1) \(f(x)=e^{0{,}5x}\) ; \(g(x)=e^{3x}\) ; \(h(x)=e^{-x}\).

2) \(f(x)=e^{x+1}\) ; \(g(x)=e^{1-2x}\) ; \(h(x)=e^{-3x+1}\)

3) \(f(x)=2+e^{2x}\) ; \(g(x)=1-e^{-2x}\) ; \(h(x)=e^{-3x+1}\)

4) \(f(x)=2+e^{2x}\) ; \(g(x)=1-e^{-2x}\) ; \(h(x)=1+2e^{-x}\)

Exercice 25 :

On estime que les futures découvertes de pétrole dans le monde peuvent être modélisées,
à partir de 2015, par la fonction f définie sur [15 ; +\(\infty\)[ par:

\(f(x)=17280e^{-0{,}024x}\)

où f(x) représente, en millions de barils, l’estimation de la quantité
de pétrole qui sera découverte au cours de l’année 2000 + x.
1. Déterminer la limite de la fonction f en +\(\infty\).

2. Calculer f ‘ (x) et en déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [15 ; +\(\infty\) [.
3. Interpréter les résultats des questions 1 et 2.

Exercice 26 :

Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2-e^x+x\).

1. Exprimer \(f^{\prime}(x)\) en fonction de x.

2) Justifier que, pour tout réel x de l’intervalle \([0;+\infty[\), \(f^{\prime}(x)\leq\, 0\).

3) En déduire les variations de la fonction f sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 27 :

Ecrire les expressions suivantes sous la forme exponentielle \(e^A\), où A est une expression.

1) \(\frac{e^{2x+1}}{e^{1-x}}\)

2) \(\frac{e^{-x+2}\times \,e^{-2x-1}}{e^{3x+2}\times \,e^{-x-1}}\)

3) \(\frac{(e^{-x})^2\times \,e^{-x+1}}{e^{x+2}\times \,(e^{-x-1})^3}\)

Exercice 28 :

Démontrer les égalités suivantes :

Pour tout réel x, \(-2e^{2x}+3e^x+2=(1+2e^x)(2-e^x)\).

Puis, pour tout réel x, \(\frac{e\times \,e^x}{e^{2+3x}}=(e^{-x-0{,}5})^2\).

Pour tout réel x, \(\frac{e^{1-3x}}{1+e^{-3x}}=\frac{e}{e^{3x}+1}\)

Exercice 29 :

1)Démontrer que l’équation \(e^x-2e^{-x}+1=0\) est équivalente à l’équation \((e^x)^2+e^x-2=0\).

2)Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(e^x-2e^{-x}+1=0\).

Exercice 30 :

1)Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(e^{-x}-e^x>0\).

2)En déduire le signe de \(1-\frac{1+e^x}{1+e^{-x}}\) sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 31 :

Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x)=\frac{e^x+1}{x}\)

et g la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=\frac{x+1}{e^x}\).

On donne ci-dessous les courbes représentatives \(C_f\) et \(C_g\) des fonctions f et g.

1. Conjecturer les limites des fonctions f et g aux bornes de leur ensemble de définition.
2. Démontrer ces conjectures.

Exercice 32 :

On considère les fonctions f, g et h dont les courbes sont tracées dans le repère ci-dessous.
Elles sont définies sur \(\mathbb{R}^{+}\) par :

• \(f(x)=3\times \,0{,}7^x\)
• \(g(x)=3\times \,1{,}2^x\)
• \(h(x)\,=\,1{,}2^x\)

Associer chaque fonction à sa courbe représentative.

Exercice 33 :

f est une fonction de la forme \(x\,\mapsto \,k\times \,a^x\), dont on donne la représentation graphique dans le repère
ci-dessous.

Déterminer les valeurs de k et de a.

Exercice 34 :

f est une fonction de la forme \(x\,\mapsto \,k\times \,a^x\), définie sur \(\mathbb{R}^{+}\).

Sa courbe représentative est donnée dans le repère ci-dessous.

1.Déterminer graphiquement f(0) et f(1).
2.En déduire les valeurs de k et de a.

Exercice 35 :

Le nombre de bactéries d’un échantillon de laboratoire augmente de 50 % chaque jour.

On suppose que l’échantillon contient 2 000 bactéries le premier jour, et on note \(u(n)\) le nombre de bactéries (en milliers) présentes au bout de n jours.

Ainsi, \(u(0)\,=\,2\).
1.
a) Donner la nature de la suite \(u\).
b) Donner le terme général de la suite \(u\).
c) En calculant les premiers termes de la suite, déterminer
au bout de combien de jours la population de bactérie dépassera 10 000.
2. On a représenté dans le graphique ci-dessous la courbe
de la fonction f définie sur \([0;+\infty[\) par \(f(x)\,=\,2\,\times \,1{,}5^x\).

a. En utilisant la courbe représentative de la fonction f, retrouver le résultat de la question 1 c).
b. Déterminer le nombre de bactéries au bout de 12 h.

Fonction exponentielle 1ère : nos conseils pour progresser

Tout d’abord, fais l’exercice sans regarder la solution. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. De plus, un travail régulier sur fonction exponentielle 1ère vaut mieux qu’une longue séance.

Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, pour aller plus loin, l’article Fonction (mathématiques) de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec les équations et inéquations du second degré : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.