Fonction exponentielle : exercices de marhs en 1ère corrigés.

Les fonctions exponentielles à travers des exercices de maths en 1ère corrigés.Vous pouvez également consulter les énoncés avec des difficultés croissantes et les réponses correspondantes afin de repérer vos erreurs.

Exercice 1 – Primitive d’une fonction composée
Soit la fonction f définie par $f(x) = (x - 3)^{\frac{2}{3}}$
1. Donner le domaine de définition de la fonction f.
2. Donner une primitive de la fonction.

Exercice 2 – Fonctions puissances
soit la fonction f tel que :
1. Indiquer le domaine de définition de f et transformer l’écriture du réel f(x).
2. Donner un prolongement par continuité de f au point 0.
3. Etudier la dérivabilité de f au point 0.
4. Calculer la dérivée de f et étudier son signe. Etablir le tableau de variations.
5. Décrire comment se présente la tangente en ce point.
6. Construire la courbe dans un repère approprié.

Exercice 3 – Restitution organisée de connaissances
On supposera connus les résultats suivants :
*
* Pour tous réels x et y, $e^x\times e^y=e^{x+y}$ .
1. Démontrer que pour tout réel x, $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$ .
2. Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n,
$(e^{x})^n=e^{nx}$

Exercice 4 – Résoudre les inéquations suivantes :
1. $x^{\pi}<\frac{1}{2}.$
2. $3^x\geq\, 4.$

Exercice 5 – Primitives de fonctions exponentielles
Déterminer les primitives des fonctions suivantes :
1. $f(x)=sinx\times e^{cosx}$ .
2. $f(x)=x^{-2}e^{\frac{1}{x}}\,sur\,]-\infty;0[.$

Exercice 6 – Etude d’une fonction

Soit pour x ∈ R.

1. Déterminez les limites de f aux bornes du domaine de déﬁnition.

2. Etudier les variations de f.

3. Construisez la courbe C représentant f.

Exercice 7 – Résoudre les équations et inéquations proposées
$1.e^{2x^2+3}=e^{7x}.\\2.\,2e^{-x}=\frac{1}{e^x+2}.\\3.\,e^x\leq\, \frac{1}{e^x}.$

Exercice 8 – Bénéfice d’une entreprise
Une entreprise fabrique et vend chaque jour un nombre x d’objets. Chaque objet est vendu 100 .
Le coût de production unitaire exprimant le coût de production par objet produit est :
$C_u(x)=x-10+\frac{900}{x}$ pour x dans [10 ; 100]
1.a) Montrer que $C^'_u(x)=\frac{(x-30)(x+30)}{x^2}$ .
b) Etudier le signe de sur [10 ; 100] et en déduire le tableau de variation de la fonction sur [10 ; 100].
c) Déterminer pour quelle production le coût unitaire est le plus bas. Déterminer alors le bénéfice de l’entreprise.
2. Montrer que le bénéfice global de l’entreprise s’exprime par : B(x ) = −x² +110x − 900.
3. Déterminer son sens de variation sur [10 ; 100] et déterminer la production qui donne un bénéfice maximal. Quel est ce
bénéfice ?

Exercice 9 – Problème de courbe
La courbe représente une fonction f définie par f(x)= (ax+b)exp(-x).
Elle passe par les points de coordonnées (o;2) et (-2;0).
1) Calculer a et b .
2) Déterminer les coordonnées du maximum après avoir étudié les variations de f.

Exercice 10 – Logarithme et exponentielle
Simplifier au maximum :
$A=ln(\sqrt{80})-\frac{1}{2}ln5$
$B=ln(\sqrt{6}-1)+ln(\sqrt{6}+1)-ln(\sqrt{100})-ln\frac{1}{8}$

Exercice 11 – Calcul de dérivées et de limites
Calculez les dérivées et les limites aux bornes des ensembles de déﬁnitions des

fonctions déﬁnies par les expressions suivantes :

$1.f(x)=e^{4x+1}\\2.f(x)=e^x+x^2+1\\3.f(x)=5e^x+5xe^x\\4.f(x)=\frac{e^x+1}{e^x-1}\\5.f(x)=\frac{3x+1-e^x}{e^x}\\6.f(x)=x^3e^{-x}$

Exercice 12 – Simplifier des exponentielles

Simplifier au maximum les expressions suivantes :

$1. e^xe^{-x.}\\2.e^xe^{-x+1}\\3.ee^{-x}\\4.(e^{-x})^2\\5.\frac{e^{2x}}{e^{2-x}}\\6.\frac{(e^x)^3}{e^{2x}}$

Exercice 13 – Résoudre des équations et inéquations contenant des exponentielles
Résoudre les équations et inéquations :

$e^{2x}+3e^x-4=0$
$e^{3x}-e^x=0$
$e^x+e^{-x}=1$
$e^{2x-1}<\sqrt{e}$
$4e^{2x}<3e^x+1$
$e^{\frac{^2x-1}{3x+1}}>\frac{1}{e^2}$

Exercice 14 – Etude de l’équation lnx=x^n

Exercice 15 -Courbe de Gauss
soit $k\in\mathbb{R}^{+*}$ .On définit sur $\mathbb{R}$ , la fonction G_k par $G_k(x)=e^{-kx^2}$ .
1.Etudier la parité de G_k .
2.Démontrer G_k que est dérivable et calculer sa dérivée.En déduire le tableau de variations de G_k .
3.Calculer G'_k et résoudre .
4.Tracer les courbes de G_k pour $k=\frac{1}{2};1;2$ .
5.Démontrer que $h\leq\,,k\Leftrightarrow,G_h\geq\,,G_k$ sur $\mathbb{R}$ .
6.Dans cette question $k=\frac{1}{2}$ .Soit $\alpha$ la solution positive de l’équation .
7.Déterminer une équation de la tangente T à la courbe de G_k au point d’abscisse $\alpha$ .
8.Tracer T sur le graphique.

Exercice 16 -Extrait baccalauréat.

Partie A
On donne un entier naturel n strictement positif, et on considère l’équation différentielle :
$(E_n)\,\,y'+y=\frac{x^n}{n!}e^{-x}$
1. On fait l’hypothèse que deux fonctions g et h, définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ , vérifient, pour tout x réel :
$g(x)=h(x)e^{-x}$
a. Montrer que g est solution de (E_n) si et seulement si, pour tout x réel :
$\,\,h'(x)=\frac{x^n}{n!}$ .
b. En déduire la fonction h associée à une solution g de (E_n) , sachant que f(0)=0.
Quelle est alors la fonction g?
2. Soit $\phi$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ .
a. Montrer que $\phi$ est solution de (E_n) si et seulement si $\phi - g$ est solution de l’équation :
(F) y’+y=0
b. Résoudre (F) .
c. déterminer la solution générale $\phi$ de l’équation (E_n) .
d. Déterminer la solution f de l’équation (E_n) vérifiant f(0)=0 .

Partie B
Le but de cette partie est de montrer que :
$\fbox{\lim_{n \to +\infty}(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!})=e}$
1. On pose, pour tout x réel,
$f_0(x)=e^{-x}\,,\,f_1(x)=xe^{-x}$ .
a. vérifier que f_1 est solution de l’équation différentielle : y’+y= f_0 .
b. Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction f_n comme la solution de l’équation différentielle y’+y= $f_{n-1}$ vérifiant .
En utilisant la partie A, montrer par récurrence que , pour tout x réel et tout entier $n\ge 1$ :
$f_n(x)=\frac{x^n}{n!}e^{-x}$ .
2. Pour tout entier naturel n, on pose :
$I_n=\int_{0}^{1} f_n(x)dx$
a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout x élément de l’intervalle [0;1], l’encadrement :
$0\le f_n(x)\le \frac{x^n}{n!}$ .
En déduire que $0\le I_n\le \frac{1}{(n+1)!}$ , puis déterminer la limite de la suite ( I_n) .
b. Montrer, pour tout entier naturel k non nul, l’égalité :
$\fbox{I_k-I_{k-1}=-\frac{1}{k!}e^{-1}}$ .
c. Calculer I_0 et déduire de ce qui précède que :
$I_n=1-\sum_{k=0}^{n}\frac{e^{-1}}{k!}$ .
d. En déduire finalement :
$\fbox{\lim_{n \to +\infty}(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!})=e}$

Voir Exercices 11 à 16...

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