Fonction exponentielle : exercices en terminale corrigés en PDF.

Des exercices de maths en terminale sur les fonctions exponentielles, vous pouvez également consulter les exercices de maths corrigés en terminale en PDF avec les corrigés détaillés et les réponses correspondantes afin de corriger vos erreurs.

Exercice 1 – Primitive d’une fonction composée
Soit la fonction f définie par $f(x) = (x - 3)^{\frac{2}{3}}$
1. Donner le domaine de définition de la fonction f.
2. Donner une primitive de la fonction.

Exercice 2 – Fonctions puissances
soit la fonction f tel que :
1. Indiquer le domaine de définition de f et transformer l’écriture du réel f(x).
2. Donner un prolongement par continuité de f au point 0.
3. Etudier la dérivabilité de f au point 0.
4. Calculer la dérivée de f et étudier son signe. Etablir le tableau de variations.
5. Décrire comment se présente la tangente en ce point.
6. Construire la courbe dans un repère approprié.

Exercice 3 – Restitution organisée de connaissances
On supposera connus les résultats suivants :
*
* Pour tous réels x et y, $e^x\times e^y=e^{x+y}$ .
1. Démontrer que pour tout réel x, $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$ .
2. Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n,
$(e^{x})^n=e^{nx}$

Exercice 4 – Résoudre les inéquations suivantes :
1. $x^{\pi}<\frac{1}{2}.$
2. $3^x\geq\, 4.$

Exercice 5 – Primitives de fonctions exponentielles
Déterminer les primitives des fonctions suivantes :
1. $f(x)=sinx\times e^{cosx}$ .
2. $f(x)=x^{-2}e^{\frac{1}{x}}\,sur\,]-\infty;0[.$

Exercice 6 – Etude d’une fonction

Soit pour x ∈ R.

1. Déterminez les limites de f aux bornes du domaine de déﬁnition.

2. Etudier les variations de f.

3. Construisez la courbe C représentant f.

Exercice 7 – Résoudre les équations et inéquations proposées
$1.e^{2x^2+3}=e^{7x}.\\2.\,2e^{-x}=\frac{1}{e^x+2}.\\3.\,e^x\leq\, \frac{1}{e^x}.$

Exercice 8 – Bénéfice d’une entreprise
Une entreprise fabrique et vend chaque jour un nombre x d’objets. Chaque objet est vendu 100 .
Le coût de production unitaire exprimant le coût de production par objet produit est :
$C_u(x)=x-10+\frac{900}{x}$ pour x dans [10 ; 100]
1.a) Montrer que $C^'_u(x)=\frac{(x-30)(x+30)}{x^2}$ .
b) Etudier le signe de sur [10 ; 100] et en déduire le tableau de variation de la fonction sur [10 ; 100].
c) Déterminer pour quelle production le coût unitaire est le plus bas. Déterminer alors le bénéfice de l’entreprise.
2. Montrer que le bénéfice global de l’entreprise s’exprime par : B(x ) = −x² +110x − 900.
3. Déterminer son sens de variation sur [10 ; 100] et déterminer la production qui donne un bénéfice maximal. Quel est ce
bénéfice ?

Exercice 9 – Problème de courbe
La courbe représente une fonction f définie par f(x)= (ax+b)exp(-x).
Elle passe par les points de coordonnées (o;2) et (-2;0).
1) Calculer a et b .
2) Déterminer les coordonnées du maximum après avoir étudié les variations de f.

Exercice 10 – Logarithme et exponentielle
Simplifier au maximum :
$A=ln(\sqrt{80})-\frac{1}{2}ln5$
$B=ln(\sqrt{6}-1)+ln(\sqrt{6}+1)-ln(\sqrt{100})-ln\frac{1}{8}$

Exercice 11 – Calcul de dérivées et de limites
Calculez les dérivées et les limites aux bornes des ensembles de déﬁnitions des

fonctions déﬁnies par les expressions suivantes :

$1.f(x)=e^{4x+1}\\2.f(x)=e^x+x^2+1\\3.f(x)=5e^x+5xe^x\\4.f(x)=\frac{e^x+1}{e^x-1}\\5.f(x)=\frac{3x+1-e^x}{e^x}\\6.f(x)=x^3e^{-x}$

Exercice 12 – Simplifier des exponentielles

Simplifier au maximum les expressions suivantes :

$1. e^xe^{-x.}\\2.e^xe^{-x+1}\\3.ee^{-x}\\4.(e^{-x})^2\\5.\frac{e^{2x}}{e^{2-x}}\\6.\frac{(e^x)^3}{e^{2x}}$

Exercice 13 – Résoudre des équations et inéquations contenant des exponentielles
Résoudre les équations et inéquations :

$e^{2x}+3e^x-4=0$
$e^{3x}-e^x=0$
$e^x+e^{-x}=1$
$e^{2x-1}<\sqrt{e}$
$4e^{2x}<3e^x+1$
$e^{\frac{^2x-1}{3x+1}}>\frac{1}{e^2}$

Exercice 14 – Etude de l’équation

Exercice 15 -Courbe de Gauss
soit $k\in\mathbb{R}^{+*}$ .On définit sur $\mathbb{R}$ , la fonction par $G_k(x)=e^{-kx^2}$ .
1.Etudier la parité de .
2.Démontrer que est dérivable et calculer sa dérivée.En déduire le tableau de variations de .
3.Calculer et résoudre .
4.Tracer les courbes de pour $k=\frac{1}{2};1;2$ .
5.Démontrer que $h\leq\,,k\Leftrightarrow,G_h\geq\,,G_k$ sur $\mathbb{R}$ .
6.Dans cette question $k=\frac{1}{2}$ .Soit $\alpha$ la solution positive de l’équation .
7.Déterminer une équation de la tangente T à la courbe de au point d’abscisse $\alpha$ .
8.Tracer T sur le graphique.

Exercice 16 -Extrait baccalauréat.

Partie A
On donne un entier naturel n strictement positif, et on considère l’équation différentielle :
$(E_n)\,\,y'+y=\frac{x^n}{n!}e^{-x}$
1. On fait l’hypothèse que deux fonctions g et h, définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ , vérifient, pour tout x réel :
$g(x)=h(x)e^{-x}$
a. Montrer que g est solution de si et seulement si, pour tout x réel :
$\,\,h'(x)=\frac{x^n}{n!}$ .
b. En déduire la fonction h associée à une solution g de , sachant que f(0)=0.
Quelle est alors la fonction g?
2. Soit $\phi$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ .
a. Montrer que $\phi$ est solution de si et seulement si $\phi - g$ est solution de l’équation :
(F) y’+y=0
b. Résoudre (F) .
c. déterminer la solution générale $\phi$ de l’équation .
d. Déterminer la solution f de l’équation vérifiant f(0)=0 .

Partie B
Le but de cette partie est de montrer que :
$\fbox{\lim_{n \to +\infty}(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!})=e}$
1. On pose, pour tout x réel,
$f_0(x)=e^{-x}\,,\,f_1(x)=xe^{-x}$ .
a. vérifier que est solution de l’équation différentielle : y’+y= .
b. Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction comme la solution de l’équation différentielle y’+y= $f_{n-1}$ vérifiant .
En utilisant la partie A, montrer par récurrence que , pour tout x réel et tout entier $n\ge 1$ :
$f_n(x)=\frac{x^n}{n!}e^{-x}$ .
2. Pour tout entier naturel n, on pose :
$I_n=\int_{0}^{1} f_n(x)dx$
a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout x élément de l’intervalle [0;1], l’encadrement :
$0\le f_n(x)\le \frac{x^n}{n!}$ .
En déduire que $0\le I_n\le \frac{1}{(n+1)!}$ , puis déterminer la limite de la suite .
b. Montrer, pour tout entier naturel k non nul, l’égalité :
$\fbox{I_k-I_{k-1}=-\frac{1}{k!}e^{-1}}$ .
c. Calculer et déduire de ce qui précède que :
$I_n=1-\sum_{k=0}^{n}\frac{e^{-1}}{k!}$ .
d. En déduire finalement :
$\fbox{\lim_{n \to +\infty}(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!})=e}$

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