Exercices maths terminale S et ES

Exponentielle : exercices Maths Terminale corrigés en PDF.

Mise à jour le 6 août 2020

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Des exercices de maths en terminale S sur les fonctions exponentielles, vous pouvez également consulter les exercices de maths corrigés en terminale S en PDF avec les corrigés détaillés et les réponses correspondantes afin de corriger vos erreurs.
Primitive d’une fonction composée

Soit la fonction f définie par $f(x) = (x - 3)^{\frac{2}{3}}$

1. Donner le domaine de défition de la fonction f.

2. Donner une primitive de la fonction.

Corrigé de cet exercice

Fonctions puissances

soit la fonction f tel que :

1. Indiquer le domaine de définition de f et transformer l’écriture du réel f(x).

2. Donner un prolongement par continuité de f au point 0.

3. Etudier la dérivabilité de f au point 0.

4. Calculer la dérivée de f et étudier son signe. Etablir le tableau de variations.

5. Décrire comment se présente la tangente en ce point.

6. Construire la courbe dans un repère approprié.

Corrigé de cet exercice

Restitution organisée de connaissances

On supposera connus les résultats suivants :

* e^0=1

* Pour tous réels x et y, $e^x\times e^y=e^{x+y}$ .

1. Démontrer que pour tout réel x, $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$ .

2. Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n,

$(e^{x})^n=e^{nx}$

Corrigé de cet exercice

Résoudre les inéquations suivantes :

1. $x^{\pi}<\frac{1}{2}.$

2. $3^x\geq\, 4.$

Corrigé de cet exercice

Primitives de fonctions exponentielles

Déterminer les primitives des fonctions suivantes :

1. $f(x)=sinx\times e^{cosx}$ .

2. $f(x)=x^{-2}e^{\frac{1}{x}}\,sur\,]-\infty;0[.$

Corrigé de cet exercice

Etude d’une fonction

Soit

pour x ∈ R.

1. Déterminez les limites de f aux bornes du domaine de déﬁnition.

2. Etudier les variations de f.

3. Construisez la courbe C représentant f.

Corrigé de cet exercice

Résoudre les équations et inéquations proposées

$1.e^{2x^2+3}=e^{7x}.\\2.\,2e^{-x}=\frac{1}{e^x+2}.\\3.\,e^x\leq\, \frac{1}{e^x}.$

Corrigé de cet exercice

Bénéfice d’une entreprise

Une entreprise fabrique et vend chaque jour un nombre x d’objets. Chaque objet est vendu 100 .
Le coût de production unitaire C_u(x) exprimant le coût de production par objet produit est :
$C_u(x)=x-10+\frac{900}{x}$ pour x dans [10 ; 100]
1.a) Montrer que $C^'_u(x)=\frac{(x-30)(x+30)}{x^2}$ .

b) Etudier le signe de sur [10 ; 100] et en déduire le tableau de variation de la fonction C_u sur [10 ; 100].

c) Déterminer pour quelle production le coût unitaire est le plus bas. Déterminer alors le bénéfice de l’entreprise.

2. Montrer que le bénéfice global de l’entreprise s’exprime par : B(x ) = −x² +110x − 900.

3. Déterminer son sens de variation sur [10 ; 100] et déterminer la production qui donne un bénéfice maximal. Quel est ce
bénéfice ?

Corrigé de cet exercice

Problème de courbe

La courbe représente une fonction f définie par f(x)= (ax+b)exp(-x).

Elle passe par les points de coordonnées (o;2) et (-2;0).

1) Calculer a et b .

2) Déterminer les coordonnées du maximum après avoir étudié les variations de f.

Corrigé de cet exercice

Logarithme et exponentielle

Simplifier au maximum :

$A=ln(\sqrt{80})-\frac{1}{2}ln5$

$B=ln(\sqrt{6}-1)+ln(\sqrt{6}+1)-ln(\sqrt{100})-ln\frac{1}{8}$

Corrigé de cet exercice

Calcul de dérivées et de limites

Calculez les dérivées et les limites aux bornes des ensembles de déﬁnitions des

fonctions déﬁnies par les expressions suivantes :

$1.f(x)=e^{4x+1}\\2.f(x)=e^x+x^2+1\\3.f(x)=5e^x+5xe^x\\4.f(x)=\frac{e^x+1}{e^x-1}\\5.f(x)=\frac{3x+1-e^x}{e^x}\\6.f(x)=x^3e^{-x}$

Corrigé de cet exercice

Simplifier des exponentielles

Simpliﬁez au maximum les expressions suivantes :

$1. e^xe^{-x.}\\2.e^xe^{-x+1}\\3.ee^{-x}\\4.(e^{-x})^2\\5.\frac{e^{2x}}{e^{2-x}}\\6.\frac{(e^x)^3}{e^{2x}}$

Corrigé de cet exercice

Résoudre des équations et inéquations contenant des exponentielles

Résoudre les équations et inéquations :

$e^{2x}+3e^x-4=0$
$e^{3x}-e^x=0$
$e^x+e^{-x}=1$
$e^{2x-1}<\sqrt{e}$
$4e^{2x}<3e^x+1$
$e^{\frac{^2x-1}{3x+1}}>\frac{1}{e^2}$

Corrigé de cet exercice

Exercice : Etude de l’équation lnx=x^n

Corrigé de cet exercice

Courbe de Gauss

soit $k\in\mathbb{R}^{+*}$ .On définit sur $\mathbb{R}$ , la fonction G_k par $G_k(x)=e^{-kx^2}$ .

1.Etudier la parité de G_k .

2.Démontrer G_k que est dérivable et calculer sa dérivée.En déduire le tableau de variations de G_k .

3.Calculer G'_k et résoudre .

4.Tracer les courbes de G_k pour $k=\frac{1}{2};1;2$ .

5.Démontrer que $h\leq\,\,k\Leftrightarrow\,G_h\geq\,\,G_k$ sur $\mathbb{R}$ .

6.Dans cette question $k=\frac{1}{2}$ .Soit $\alpha$ la solution positive de l’équation .

7.Déterminer une équation de la tangente T à la courbe de G_k au point d’abscisse $\alpha$ .

8.Tracer T sur le graphique.

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Extrait baccalauréat
Problème :(Amérique du nord)

Partie A

On donne un entier naturel n strictement positif, et on considère l’équation différentielle :

$(E_n)\,\,y'+y=\frac{x^n}{n!}e^{-x}$

1. On fait l’hypothèse que deux fonctions g et h, définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ , vérifient, pour tout x réel :

$g(x)=h(x)e^{-x}$

a. Montrer que g est solution de (E_n) si et seulement si, pour tout x réel :

$\,\,h'(x)=\frac{x^n}{n!}$ .

b. En déduire la fonction h associée à une solution g de (E_n) , sachant que f(0)=0.

Quelle est alors la fonction g?

2. Soit $\phi$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ .

a. Montrer que $\phi$ est solution de (E_n) si et seulement si $\phi - g$ est solution de l’équation :

(F) y’+y=0

b. Résoudre (F) .

c. déterminer la solution générale $\phi$ de l’équation (E_n) .

d. Déterminer la solution f de l’équation (E_n) vérifiant f(0)=0 .

Partie B

Le but de cette partie est de montrer que :

$\fbox{\lim_{n \to +\infty}(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!})=e}$

1. On pose, pour tout x réel,

$f_0(x)=e^{-x}\,,\,f_1(x)=xe^{-x}$ .

a. vérifier que f_1 est solution de l’équation différentielle : y’+y= f_0 .

b. Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction f_n comme la solution de l’équation différentielle y’+y= $f_{n-1}$ vérifiant .

En utilisant la partie A, montrer par récurrence que , pour tout x réel et tout entier $n\ge 1$ :

$f_n(x)=\frac{x^n}{n!}e^{-x}$ .

2. Pour tout entier naturel n, on pose :

$I_n=\int_{0}^{1} f_n(x)dx$

a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout x élément de l’intervalle [0;1], l’encadrement :

$0\le f_n(x)\le \frac{x^n}{n!}$ .

En déduire que $0\le I_n\le \frac{1}{(n+1)!}$ , puis déterminer la limite de la suite ( I_n) .

b. Montrer, pour tout entier naturel k non nul, l’égalité :

$\fbox{I_k-I_{k-1}=-\frac{1}{k!}e^{-1}}$ .

c. Calculer I_0 et déduire de ce qui précède que :

$I_n=1-\sum_{k=0}^{n}\frac{e^{-1}}{k!}$ .

d. En déduire finalement :

$\fbox{\lim_{n \to +\infty}(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!})=e}$

Corrigé de cet exercice

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