Les suites : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Les suites numériques avec des exercices de maths en 1ère en ligne pour progresser au lycée. L’élève devra être capable d’étudier le sens de variation et la limite d’une suite mais également, calculer l’avaleur d’un terme n et la somme de ses n premiers termes. Il devra aussi maîtriser les suites arithmétiques et géométriques en classe de première.

Exercice 1 – Résoudre une équation à l’aide de suites
Résoudre l’équation :
\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+...+\frac{1}{x^8}=0

Indication : calculer la somme puis remarquer que si x est solution alors x < 0.

Exercice 2 – Somme de carrés

Calculer la somme suivante :

S = 1^2 - 2^2 + 3^2 -4^2 + 5^2 - 6^2 +.... + 2 005^2 - 2 006^2.

Indication : regrouper les termes par deux.

Exercice 3 – Somme des entiers pairs et impairs

Calculer les sommes suivantes :
I_n = 1 + 3 + 5 +...+(2n - 1) somme des   premiers entiers naturels impairs.

P_n = 2 + 4 + 6+... + 2n somme des   premiers entiers naturels pairs.

Exercice 4 – Etude d’une suite numérique

Soit (U_n) la suite définie par :
U_n = n^4 - 6n^3 + 11n^2 - 5n.

1.  Calculer U_0,U_1,U_2,U_3..

2. La suite (U_n) est-elle arithmétique ?

Exercice 5 – Suite arithmétique ou géométrique
On considère la suite(U_n)  définie par U_n = 2^n -n.

1. Calculer U_0,U_1,U_2.

2. La suite est-elle arithmétique ? Géométrique ?

Exercice 6 – Etude de deux suites

On considère les deux suites (U_n) et (V_n) définies pour tout n\in \mathbb{N} par :

U_n=\frac{3\times   2^n-4n+3}{2}\,et\,V_n=\frac{3\times   2^n+4n-3}{2} .

1. Soit (W_n) la suite définie par W_n=U_n+V_n .

Démontrer que (W_n) est une suite géométrique .

Exercice 7 – Suite géométrique, étude

On considère la suite géométrique (U_n) de premier terme U_1=1  et de raison q=-2 .

1. Calculer U_2,U_3,U_4.

2. Calculer U_{20} .

3. Calculer la somme S=U_1+U_2+U_3+...+U_{20} .

Exercice 8 – Racines carrées

Soit (U_n) la suite définie pour tout n par U_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} .

1. A l’aide de votre calculatrice, calculer U_1,U_2,U_3,U_4,U_5,U_{100},U_{1000},U_{100000} .

Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation de la suite ? Pour une éventuelle limite ?

2. Démontrer que pour tout n non nul,

U_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} .

3. En déduire le sens de variation de la suite (U_n) .

4. En utilisant le résultat de la question 2., montrer que, pour tout entier naturel n non nul,

U_n\leq\, \frac{1}{2\sqrt{n}}.

5. En déduire que la suite (U_n) est convergente et préciser sa limite.

Exercice 9 – Etude d’une suite arithmétique

La suite (U_n) est arithmétique de raison r .

On sait que U_{50}=406 et U_{100}=806 .

1. Calculer la raison r et U_0.

2. Calculer la somme S=U_{50}+U_{51}+U_{52}+.....+U_{100} .

Exercice 10 – Calcul d’une somme de nombres

Calculer la somme suivante :

S=1+2+3+4+5+....+998+999

Exercice 11 – Représentation graphique d’une suite

On considère la suite(U_n) définie pour tout entier naturel non nul par la relation : U_n=3n-2.
1.  Démontrer que la suite (U_n) est arithmétique de raison r que l’on précisera. Préciser son sens de variation.

2.  Représenter graphiquement la suite (U_n).
On se limitera aux cinq ou six premiers termes.

Exercice 12 – Déterminer une somme d’entiers

Calculer la valeur exacte de la somme :

S=1-2+4-8+16-32+...+4096.

Exercice 13 – Lecture de livre

Jean est en train de lire un livre.
En additionnant les numéros de toutes les pages qu’il a déjà lues, il obtient 351.

En additionnant les numéros de toutes les pages qu’il lu

i reste à lire, il obtient 469.

1.  A quelle page en est Jean ?
2.  Combien de pages comporte ce livre ?

Remarque : on supposera que le livre commence à la page n° 1.

Exercice 14 – Déterminer un nombre
Déterminer un nombre x tel que les trois nombres 25, x et 16 soient trois termes consécutifs d’une suite géométrique de raison négative.

Exercice 15 – Problème sur les suites numériques
Un étudiant loue une chambre pour 3 ans.
On lui propose deux type de bail :

1er contrat :  un loyer de 200€  pour le premier mois puis une augmentation de 5 €  par mois jusqu’à la      fin du bail.

2ème contrat : un loyer de 200 €  pour le premier mois puis une augmentation de 2 % par mois jusqu’à la fin du bail.

1.  Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis celui du troisième mois.

2.  Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du dernier mois, c’est-à-dire du 36ème mois.

3.  Quel est le contrat globalement le plus avantageux pour un bail de 3 ans ? Justifier à l’aide de calculs.

Vocabulaire : un bail est un contrat de location.

Location chambre

Exercice 16 – Triangle rectangle
1. ABC est un triangle rectangle.
Son plus petit côté est 1 et les longueurs de ses côtés sont trois termes
consécutifs d’une suite arithmétique.
Déterminer ces longueurs.

2. ABC est un triangle rectangle.
Son plus petit côté est 1 et les longueurs de ses côtés sont trois termes
consécutifs d’une suite géométrique.
Déterminer ces longueurs.
Exercice 17 – Suite à double récurrence

On considère la suite (U_n) définie par récurrence par :

 \{ U_0=1\,et\,U_1=2\\U_{n+2} =6U_{n+1}-5U_n.

1. Calculer U_2,U_3,U_4.

2. Résoudre l’équation du second degré suivante : x^2 = 6x - 5.

3. Déterminer deux réels A et B tels que : U_n = A \times   5^n + B.

4. En déduire U_{10}.

Exercice 18 – Calculer la limite

Déterminer la limite de la suite (U_n) définie par :

U_n=\frac{3sin\,n+2cos\,n+5n}{n} pour tout n\in \mathbb{N}^* .

Exercice 19 – Etude d’une suite et démonstration par récurrence

On considère la suite (U_n) définie par récurrence par :

 \{ U_0=1\\U_{n+1}=\frac{1}{1+U_n} .

1. Calculer U_1,U_2,U_3.

2. Démontrer par récurrence que 0\leq\, U_n\leq\, 1 pour tout n\in \mathbb{N}.

Exercice 20 – Déterminer la valeur de deux expressions numériques

Calculer la valeur exacte des nombres suivants :

A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+....+\frac{1}{2^{38}

B=3+6+9+12+...+99

Exercices 21 à 37 ...


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