Cette fiche rassemble 58 exercices sur les suites numériques pour la classe de 1ère. Ensuite, on y calcule des termes à partir d’une formule explicite ou d’une relation de récurrence, on lit des termes sur une courbe, on reconnaît une suite arithmétique ou une suite géométrique et l’on détermine sa raison.
D’autres énoncés demandent de calculer des sommes de termes (entiers pairs et impairs, puissances de 2, carrés), d’étudier le sens de variation par le signe de \(u_{n+1}-u_n\) ou par le quotient \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\), et d’approcher une limite. De nombreux problèmes concrets complètent l’entraînement : loyers, salaires, capital placé à intérêts composés, population d’un village, datation au carbone 14, poupées russes, pliage d’une feuille ou rosace à pétales.
Cherche chaque exercice au brouillon en rédigeant tes justifications, puis compare ta démarche avec la correction détaillée de ces exercices sur les suites, qui reprend tous les calculs question par question.
Exercice 1 – Résoudre une équation à l’aide de suites (suites numériques 1ère)
Résoudre l’équation :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+…+\frac{1}{x^8}=0\)
Indication : calculer la somme puis remarquer que si x est solution alors x < 0.
Exercice 2 – Somme de carrés
Calculer la somme suivante :
\(S = 1^2 – 2^2 + 3^2 -4^2 + 5^2 – 6^2 +…. + 2 005^2 – 2 006^2.\)
Indication : regrouper les termes par deux.
Exercice 3 – Somme des entiers pairs et impairs (suites numériques 1ère)
Calculer les sommes suivantes :
\(I_n = 1 + 3 + 5 +…+(2n – 1)\) somme des n premiers entiers naturels impairs.
\(P_n = 2 + 4 + 6+… + 2n\) somme des n premiers entiers naturels pairs.
Exercice 4 – Étude d’une suite numérique
Soit \((U_n)\) la suite définie par :
\(U_n = n^4 – 6n^3 + 11n^2 – 5n\).
1. Ensuite, calculer \(U_0,U_1,U_2,U_3\).
2. Puis la suite \((U_n)\) est-elle arithmétique ?
Exercice 5 – Suite arithmétique ou géométrique (suites numériques 1ère)
On considère la suite\((U_n)\) définie par \(U_n = 2^n -n\).
1. De plus, calculer \(U_0,U_1,U_2.\)
2. Ensuite, la suite est-elle arithmétique ? Géométrique ?
Exercice 6 – Étude de deux suites
On considère les deux suites \((U_n)\) et \((V_n)\) définies pour tout \(n\in \mathbb{N}\) par :
\(U_n=\dfrac{3\times 2^n-4n+3}{2}\) et \(V_n=\dfrac{3\times 2^n+4n-3}{2}\).
1. Soit \((W_n)\) la suite définie par \(W_n=U_n+V_n\) .
Démontrer que \((W_n)\) est une suite géométrique .
Exercice 7 – Suite géométrique, étude (suites numériques 1ère)
On considère la suite géométrique \((U_n)\) de premier terme \(U_1=1\) et de raison \(q=-2\) .
1. Par ailleurs, calculer \(U_2,U_3,U_4.\)
2. Puis calculer \(U_{20}\) .
3. Ensuite, calculer la somme \(S=U_1+U_2+U_3+…+U_{20}\) .
Exercice 8 – Racines carrées
Soit \((U_n)\) la suite définie pour tout n par \(U_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) .
1. A l’aide de votre calculatrice, calculer \(U_1,U_2,U_3,U_4,U_5,U_{100},U_{1000},U_{100000}\) .
Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation de la suite ? Puis pour une éventuelle limite ?
2. Démontrer que pour tout n non nul,
\(U_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\) .
3. De plus, en déduire le sens de variation de la suite \((U_n)\) .
4. Ensuite, en utilisant le résultat de la question 2., montrer que, pour tout entier naturel n non nul,
\(U_n\leq\,\,\, \frac{1}{2\sqrt{n}}\).
5. Par ailleurs, en déduire que la suite \((U_n)\) est convergente et préciser sa limite.
Exercice 9 – Étude d’une suite arithmétique (suites numériques 1ère)
La suite \((U_n)\) est arithmétique de raison r.
On sait que \(U_{50}=406\) et \(U_{100}=806\) .
1. Puis calculer la raison r et \(U_0\).
2. Ensuite, calculer la somme \(S=U_{50}+U_{51}+U_{52}+…..+U_{100}\) .
Exercice 10 – Calcul d’une somme de nombres
Calculer la somme suivante :
\(S=1+2+3+4+5+….+998+999\)
Exercice 11 – Représentation graphique d’une suite (suites numériques 1ère)
On considère la suite\((U_n)\) définie pour tout entier naturel non nul par la relation : \(U_n=3n-2\).
1. Démontrer que la suite \((U_n)\) est arithmétique de raison r que l’on précisera. Préciser son sens de variation.
2. Puis représenter graphiquement la suite \((U_n)\).
De plus, on se limitera aux cinq ou six premiers termes.
Exercice 12 – Déterminer une somme d’entiers
Calculer la valeur exacte de la somme :
\(S=1-2+4-8+16-32+…+4096.\)
Exercice 13 – Lecture de livre (suites numériques 1ère)
Jean est en train de lire un livre.
Ensuite, en additionnant les numéros de toutes les pages qu’il a déjà lues, il obtient 351.
En additionnant les numéros de toutes les pages qu’il lui reste à lire, il obtient 469.
1. A quelle page en est Jean ?
2. Combien de pages comporte ce livre ?
Remarque : on supposera que le livre commence à la page n° 1.
Exercice 14 – Déterminer un nombre
Déterminer un nombre x tel que les trois nombres 25, x et 16 soient trois termes consécutifs d’une suite géométrique de raison négative.
Exercice 15 – Problème sur les suites numériques (suites numériques 1ère)
Un étudiant loue une chambre pour 3 ans.
Par ailleurs, on lui propose deux types de bail :
1er contrat : un loyer de 200€ pour le premier mois puis une augmentation de 5 € par mois jusqu’à la fin du bail.
2ème contrat : un loyer de 200 € pour le premier mois puis une augmentation de 2 % par mois jusqu’à la fin du bail.
1. Puis calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis celui du troisième mois.
2. Ensuite, calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du dernier mois, c’est-à-dire du 36ème mois.
3. Quel est le contrat globalement le plus avantageux pour un bail de 3 ans ? Puis justifier à l’aide de calculs.
Vocabulaire : un bail est un contrat de location.
Exercice 16 – Triangle rectangle
1. ABC est un triangle rectangle.
Son plus petit côté est 1 et les longueurs de ses côtés sont trois termes
consécutifs d’une suite arithmétique.
De plus, déterminer ces longueurs.
2. ABC est un triangle rectangle.
Son plus petit côté est 1 et les longueurs de ses côtés sont trois termes
consécutifs d’une suite géométrique.
Ensuite, déterminer ces longueurs.
Exercice 17 – Suite à double récurrence (suites numériques 1ère)
On considère la suite \((U_n)\) définie par récurrence par :
\(U_0=1\), \(U_1=2\) et, pour tout entier naturel n, \(U_{n+2}=6U_{n+1}-5U_n\).
1. Par ailleurs, calculer \(U_2,U_3,U_4.\)
2. Puis résoudre l’équation du second degré suivante : \(x^2 = 6x – 5\).
3. Ensuite, déterminer deux réels A et B tels que : \(U_n = A \times 5^n + B\).
4. Puis en déduire \(U_{10}.\)
Exercice 18 – Calculer la limite
Déterminer la limite de la suite \((U_n)\) définie par :
\(U_n=\dfrac{3\sin n+2\cos n+5n}{n}\) pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\) .
Exercice 19 – Étude d’une suite et démonstration par récurrence (suites numériques 1ère)
On considère la suite \((U_n)\) définie par récurrence par :
\(U_0=1\) et, pour tout entier naturel n, \(U_{n+1}=\dfrac{1}{1+U_n}\).
1. De plus, calculer \(U_1,U_2,U_3.\)
2. Démontrer par récurrence que \(0\leq\,\,\, U_n\leq\,\,\, 1\) pour tout \(n\in \mathbb{N}.\)
Exercice 20 – Déterminer la valeur de deux expressions numériques
Calculer la valeur exacte des nombres suivants :
\(A=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\ldots+\dfrac{1}{2^{38}}\)
\(B=3+6+9+12+…+99\)
Exercice 21 – Suite arithmétique (suites numériques 1ère)
On considère u(n) une suite arithmétique de raison r.
1°) Justifier que u(3) = u(2) + r et que u(4) = u(3) + r
En déduire que u(4) = u(2) + 2r
2°) Montrer que u(8) = u(5) + 3r
3°) Quelle relation peut-on écrire entre u(7) , u(2) et r ? Ensuite, justifier.
4°) On suppose dans cette question que u(0) = 4 et r = 2.
Calculer u(5) .
Donner sans démonstration la valeur de u(100).
Exercice 22 – Représentation graphique
On définit une suite \((u_n)\) par : \(u_n=17\,243-8n\) pour tout entier n.
On a par exemple, en remplaçant n par 10 : \(u_{10}=17\,243-8\times 10=17\,163\).
1°) Calculer \(u_0\) ; \(u_1\) ; \(u_{1990}\) ; \(u_{1991}\) ; \(u_{1992}\).
2°) Calculer \(u_1-u_0\) ; \(u_{1991}-u_{1990}\) ; \(u_{1992}-u_{1991}\).
3°) En remplaçant n par n+1 dans l’expression de \(u_n\), montrer que
pour tout entier n : \(u_{n+1}=17\,235-8n\).
En déduire que, pour tout entier n : \(u_{n+1}-u_n=-8\).
4°) En utilisant la relation \(u_{n+1}-u_n=-8\), c’est-à-dire \(u_{n+1}=u_n-8\), compléter le tableau suivant.
La suite \((u_n)\) est-elle une suite décroissante ?
|
n |
1990 |
1991 |
1992 |
1993 |
1994 |
1995 |
1996 |
1997 |
1998 |
1999 |
2000 |
|
\(u_n\) |
1 323 |
5°) Représenter graphiquement la suite \((u_n)\) lorsque n varie de 1990 à 2000.
Exercice 23 – Liste électorale (suites numériques 1ère)
On donne, dans le tableau suivant, le nombre d’inscrits sur la liste électorale d’une petite commune pour les années de 1990 à 2000.
|
Année |
1990 |
1991 |
1992 |
1993 |
1994 |
1995 |
1996 |
1997 |
1998 |
1999 |
2000 |
|
Nombre d’inscrits |
1323 |
1313 |
1304 |
1297 |
1288 |
1289 |
1281 |
1271 |
1258 |
1248 |
1243 |
1°) On note \(P_n\) le nombre d’inscrits sur la liste électorale pour l’année n.
Donner la valeur de \(P_{1992}\) et \(P_{1998}\).
2°) Calculer \(P_{1994}-P_{1993}\). Que représente ce nombre ?
Calculer \(P_{1995}-P_{1994}\). Que représente ce nombre ?
3°) Peut-on dire que la suite des nombres \(P_n\) est une suite décroissante lorsque n varie de 1990 à 2000 ?
4°) Représenter graphiquement la suite \((P_n)\).
Exercice 24 – Étude d’un capital
On dispose d’un capital de \(C_0=1500\) €.
Le 1er janvier 2000, on place ce capital sur un compte à intérêts composés de 3 % par an.
1. Par ailleurs, calculer le capital \(C_1\) obtenu au bout d’un an.
2. Puis calculer le capital \(C_7\) obtenu au bout de 7 ans.
De quel pourcentage a augmenté le capital pendant ces 7 années ?
3. Combien d’années faut-il laisser cet argent sur le compte afin d’avoir un capital d’au moins 2 000 € ?
Exercice 25 – Suites numériques et pourcentages (suites numériques 1ère)
Les rayons cosmiques produisent continuellement dans l’atmosphère du carbone 14 qui est un élément radioactif.
Durant leur vie, les tissus animaux et végétaux contiennent la même proportion de carbone 14 que l’atmosphère.
Ensuite, cette proportion décroît après la mort du tissu de 1,14 % en 100 ans.
1. Puis déterminer les pourcentages de la proportion initiale de carbone 14 contenu dans le tissu au bout de 1 000 ans, 2 000 ans et 10 000 ans.
2. De plus, exprimer le pourcentage de la proportion initiale de carbone 14 contenu dans le tissu au bout de \(k\times 10^3\) années.
3. Ensuite, un fossile ne contient plus que 10 % de ce qu’il devait contenir en carbone 14.
Par ailleurs, donner une estimation de son âge.
Exercice 26 – Problème
« Le premier jour du mois, je gagnai 2 centimes ;
le deuxième jour du mois, je gagnai 4 centimes ;
le troisième jour du mois, je gagnai 8 centimes ;
etc … : en doublant d’un jour à l’autre.
A la fin du mois, j’avais gagné environ un milliard de centimes !
C’était vers la fin des années soixante … »
En quelle année était-ce ?
Exercice 27 – Rémunération dans une entreprise (suites numériques 1ère)
Une entreprise, propose pour recruter un nouvel employé deux types de rémunération :
Type 1 : Salaire initial de 1 200 € par mois avec augmentation annuelle du salaire mensuel de 100 €.
Type 2 : Salaire initial de 1 100 € par mois avec augmentation annuelle du salaire mensuel de 8%.
1°) Dans le cas de la rémunération de type 1, on note u(0) le salaire mensuel initial, et u(n) le salaire mensuel après n années. Puis donner les valeurs de u(0), u(1), u(2).
2°) Dans le cas de la rémunération de type 2, on note v(0) le salaire mensuel initial, et v(n) le salaire mensuel après n années. Ensuite, donner les valeurs de v(0), v(1), v(2).
3°) Donner une expression générale de u(n) et v(n) en fonction de n. Puis calculer u(5) et v(5) ; u(8) et v(8).
4°) Le nouvel employé compte rester 10 ans dans l’entreprise. Quelle est la rémunération la plus avantageuse ?
Exercice 28 – Population d’un village
Un village avait 3123 habitants en 1995. De plus, le nombre d’habitants diminue de 12% tous les ans.
On note P(n) le nombre d’habitants du village pour l’année n.
1°) Donner les valeurs de P(1995) et P(1996). (on arrondira à l’entier le plus proche)
2°) Justifier que la suite P(n) est une suite géométrique et donner sa raison.
3°) Calculer P(2001). (on arrondira à l’entier le plus proche)
4°) En quelle année le nombre d’habitants aura-t-il diminué des deux tiers par rapport à 1995 ?
5°) Représenter graphiquement la suite P(n) pour n variant de 1995 à 2005.
Exercice 29 – Suite géométrique (suites numériques 1ère)
On considère v(n) une suite géométrique de raison q.
1°) Justifier que \(v(3)=v(2)\times q\) et que \(v(4)=v(3)\times q\).
En déduire que \(v(4)=v(2)\times q^2\)
2°) Montrer que \(v(8)=v(5)\times q^3\).
3°) Quelle relation peut-on écrire entre v(7) , v(2) et q ? Ensuite, justifier.
4°) On suppose dans cette question que v(0) = 3 et q = 2.
Calculer v(5) .
Donner sans démonstration la valeur de v(100) .
Exercice 30 – Capital et suites numériques
Un capital de 12 618 euros est placé le 01/01/2000 avec un taux d’intérêt annuel de 6,3%.
Tous les ans les intérêts sont cumulés au capital.
On note C(0) le capital correspondant au 1er janvier de l’année 2000. Ensuite, on a donc C(0) = 12 618.
On note, pour tout entier n, C(n) le capital correspondant au 1er janvier de l’année 2000+n.
1°) Calculer C(1), C(2), C(3). (on arrondira les résultats au centime d’euro près)
2°) Démontrer que pour tout entier n on a \(C(n+1)=C(n)\times 1{,}063\).
3°) Compléter le tableau suivant (on arrondira les résultats au centime d’euro près)
|
Rang n de l’année |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Capital C(n) |
12 618 |
4°) Représenter graphiquement la suite C(n).
Exercice 31 – Calcul du premier terme d’une suite arithmétique (suites numériques 1ère)
Soit une suite \((U_n)\) arithmétique et de raison \(r=8\) et telle que \(U_{100}=650\) .
Calculer la valeur du premier terme \(U_{0}\) .
Exercice 32 – Une suite récurrente qui est arithmétique
On considère la suite \((U_n)\) définie par \(U_0=0\) et, pour tout entier naturel n, \(U_{n+1}=U_n+\dfrac{1}{2}\).
1. Par ailleurs, calculer \(U_1\,,\,U_2\,,\,U_3.\)
2. Puis justifier que la suite \((U_n)\) est une suite arithmétique dont on précisera la raison.
3. Que vaut \(U_{100}\) ?
Exercice 33 – Calcul d’une somme (suites numériques 1ère)
On considère la suite \((U_n)\) définie par \(U_n=(n+1)^2-n^2\).
1. Ensuite, calculer \(U_0\,,\,U_1\,,\,U_2.\)
2. Puis la suite \((U_n)\) est-elle arithmétique ? Si oui, préciser la raison.
3. Que vaut \(U_{99}\) ?
4. De plus, calculer la somme \(S=1+3+5+7+9+…+195+197+199\) .
Exercice 34 – Suite arithmétique et somme de termes
On considère \((U_n)\) définie par \(U_n=5-2n\) .
1. Ensuite, calculer \(U_0\,,\,U_1\,,\,U_2.\)
2. Démontrer que \((U_n)\) est une suite arithmétique dont on précisera la raison.
3. Que vaut \(U_{100}\) ?
Calculer \(S=U_0+U_1+U_2+…+U_{100}\).
Exercice 35 – Suites arithmétiques et problème (suites numériques 1ère)
Le triodule est une mauvaise herbe: il produit une seule graine pendant sa première année de croissance qu’il envoie assez loin de lui (celle-ci va germer au début de l’année suivante) et il se développe pour occuper la surface de 1m².
Par ailleurs, les années suivantes, le pied se contente d’augmenter sa surface de 1m².
Puis la première et unique graine de triodule est arrivée en 1800 et a germé au printemps 1801 sur l’île de Blécarre.
Questions:
1/ a) Quelle surface va occuper le pied de triodule à la fin de l’année?
b) Également, que va-t-il se passer en 1802?
c) Quelle surface va occuper le vieux pied de triodule à la fin de l’année 1802?
2/ Préparer une feuille de tableur:
Dans C2, écrire: =B2+1 ,puis à l’aide de la poignée de recopie, compléter les cellules de la ligne numéro 2.
Ensuite, dans A4, écrire: =A3+1.
Puis dans B4, écrire: =B3+1.
De plus, dans C4, écrire: =B3 ,puis recopier cette formule de 40 cellules vers la droite.
Enfin, recopier la ligne 4 vers le bas.
3/ Soit An, la surface occupée par tous les pieds de triodule à la fin de l’année 1800+n. Ensuite, on admet que chaque graine produite a développé un pied.
Exercice 35 – Suites arithmétiques et problème (suites numériques (suite)
a) Donner la valeur de A0, A1 et A2 en insérant une nouvelle colonne dans le tableur.
b) Ensuite, quelle est la surface du premier pied de triodule à la fin de l’année 1800+n?
c) Vérifier que l’on a An=1+2+3+….+n.
d) De plus, donner en s’aidant de la feuille de calcul la surface occupée par tous les pieds de triodule au bout de 20 ans.
e) En quelle année la surface totale des pieds de triodule dépassera-t-elle 500m²?
Exercice 36 – Étude de la nature d’une suite
Étudier la nature des suites ci-dessous :
a) pour tout entier naturel n, \(U_n=\frac{3}{4^n}\) .
b) pour tout entier naturel n, \(V_n=0{,}1-0{,}02n\) .
Exercice 37 – Suites numériques (suites numériques 1ère)
On note \((U_n)\) la suite définie par : \(U_0=1\), \(U_1=3\) et, pour tout entier naturel n, \(U_{n+2}=U_{n+1}-U_n\).
1. Par ailleurs, calculer \(U_3,U_4,U_5,….\)
2. Puis exprimer \(U_{n+3}\) en fonction de \(U_n\) .
3. Ensuite, exprimer \(U_{n+6}\) en fonction de \(U_n\) .
4. Puis en déduire l’expression de \(U_{n+3k};\,k\in\mathbb{N}\), en fonction de \(U_{n }\)
(On ne démontrera pas l’égalité trouvée).
5. De plus, calculer \(U_{2005}\) .
Exercice 38 :
Soit \((U_n)\) la suite définie pour tout \(n\in\,\mathbb{N}\) par \(u_n=2n+3\).
Calculer \(u_0,u_1\) et \(u_2\).
Exercice 39 (suites numériques 1ère)
Soit \((U_n)\) la suite définie pour tout \(n\in\,\mathbb{N}\) par \(u_n=\frac{n+1}{2n-3}\).
Calculer \(u_0\) et \(u_{10}\).
Exercice 40 :
On considère la suite \((U_n)\) définie pour tout \(n\in\,\mathbb{N}\) par \(u_n=2n-1\).
Exprimer \(u_{n+1},u_{n-1},u_{2n}\) et \(u_n+1\) en fonction de n.
Exercice 41 :
On considère la suite \((U_n)\) définie par \(u_0=2\) et, pour tout \(n\in\,\mathbb{N}\), \(u_{n+1}=\frac{2u_n-2}{u_n-3}\).
1) Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
2)A l’aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de \(u_{15}\) à \(10^{-2}\) près.
Exercice 42 :
Soit \((U_n)\) la suite définie pour tout \(n\in \mathbb{N}\) par \(u(n)=f(n)\).
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f.
Déterminer la valeur des cinq premiers termes de la suite \((u_n)\).
Exercice 43 :
Soit \((U_n)\) une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme \(u_0=-3\).
1)Exprimer \(u_n\) en fonction de n.
2)Calculer \(u_{20}\).
Exercice 44 :
Les suites suivantes sont-elles arithmétiques ? Ensuite, justifier.
a)\((U_n)\) définie par \(u_0=2\) et, pour tout \(n\in\mathbb{N},u_{n+1}=u_n-4\).
b)\((V_n)\) définie pour tout \(n\in\,\mathbb{N}\) par \(v_n=-n+3\).
c)\((W_n)\) définie pour tout \(n\in\,\mathbb{N}\) par \(w_n=n^2-3\).
Exercice 45 :
Les suites suivantes sont-elles géométriques ? Par ailleurs, justifier.
a)\((U_n)\) définie par \(u_0=2\) et, pour tout \(n\in\mathbb{N},u_{n+1}=\frac{u_n}{2}\).
b)\((V_n)\) définie pour tout \(n\in\,\mathbb{N}\) par \(v_n=-3^n\).
c)\((W_n)\) définie pour tout \(n\in\,\mathbb{N}\) par \(w_n=\frac{1}{4^n}\).
Exercice 46 :
Yacine a préparé un gâteau au chocolat qu’il a déposé
dans une assiette dans la cuisine. À chaque fois qu’il passe
devant, il se sert la moitié de ce qui reste.
On note \(u_n\), la proportion du gâteau qui reste dans l’assiette
après que Yacine se soit servi n fois.
1. Puis donner la valeur de \(u_0\) et de \(u_1\).
2. Ensuite, justifier que la suite \((U_n)\) est une suite géométrique et préciser sa raison.
Exercice 47 :
En étudiant le signe de \(u_{n+1}-u_n\), étudier les variations des suites \((u_n)\),
définies pour tout \(n\in\,\mathbb{N}\).
a) \(u_n=n^2+2n\).
b) \(u_n=\dfrac{4}{n+1}\).
c) \(u_n=-5^n\).
Exercice 48 :
Soit \((U_n)\) la suite définie pour tout entier \(n\geq\, 1\) par \(u_n=\frac{2^n}{n}\).
1)Calculer \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\).
2)Résoudre l’inéquation \(\dfrac{2n}{n+1}\gt 1\).
3)En déduire les variations de la suite \((u_n)\).
Exercice 49 :
Yanis a une grande collection de poupées russes.
On s’intéresse à une série de poupées russes.
La plus petite figurine mesure 1 cm de hauteur.
Chaque poupée se trouve dans une poupée qui mesure 0,5 cm de plus qu’elle.
On note \(u_n\), la taille de la n-ième poupée (dans l’ordre croissant).
Puis on a donc \(u_1=1\).
1. De plus, exprimer \(u_n\) en fonction de n.
2. Quelle est la taille de la 10e poupée ?
3. Si, au lieu d’emboîter les poupées on les empilait, quelle
serait la hauteur d’une pile formée de 10 poupées ?
Exercice 50 :
1. Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout \(n\in\,\mathbb{N}\) par \(u_n=2n+3\).
Ensuite, calculer \(u_0\), \(u_1\) et \(u_2\).
2. Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout \(n\in\,\mathbb{N}\) par \(u_n=\frac{n+1}{2n-3}\)
Calculer \(u_0\) et \(u_{10}\).
3. Par ailleurs, on considère la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n\in\,\mathbb{N}\) par \(u_n=2^n-1\).
Puis calculer les cinq premiers termes de la suite \((u_n)\).
4. Ensuite, on considère la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n\in\,\mathbb{N}\) par \(u_n=2n-1\).
Puis exprimer \(u_{n+1};u_{n-1};u_{2n};u_{n}+1\) en fonction de n.
5. Soit la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n\in\,\mathbb{N}\) par \(u_n=n^2+1\).
De plus, exprimer \(u_{n+1};u_{n-1};u_{2n};u_{n}+1\) en fonction de n.
Exercice 51 :
Un matin, Mathéo décide de poser un récipient dans son jardin, contenant 200 g de noisettes.
Chaque après-midi, un écureuil vient manger la moitié du récipient, puis Mathéo remet 80 g
de noisettes le soir.
Ensuite, on note \(u_n\) la quantité en grammes de noisettes dans le récipient le n-ième jour au matin.
1. Par ailleurs, donner la valeur de \(u_1\) et \(u_2\).
2. Par ailleurs, exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\) .
Exercice 52 :
Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout \(n\in\,\mathbb{N}\) par \(u_n\,=\,f(n)\).
Puis on donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f.
Ensuite, déterminer la valeur des cinq premiers termes de la suite \((u_n)\).
Exercice 53 :
Soit \((v_n)\) la suite définie par \(v_0\,=\,1\) et, pour tout \(n\in\,\mathbb{N}\) par \(v_{n+1}\,=\,f(v_n)\).
Puis on donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f.
De plus, déterminer la valeur des cinq premiers termes de la suite \((v_n)\).
Exercice 54 :
Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de raison 4 et de premier terme \(u_0\,=\,2\).
Ensuite, calculer \(u_1,u_2\) et \(u_3\).
Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme \(u_0\,=\,-3\).
1. Puis, exprimer \(u_n\) en fonction de n.
2. Par ailleurs, calculer \(u_{20}\).
Exercice 55 :
En étudiant le signe de \(u_{n+1}-\,u_n\), étudier les variations des suites \((u_n)\) définies pour tout \(n\,\in\,\mathbb{N}.\)
a) \(u_n=n^2+2n\) ; b) \(u_n=\dfrac{4}{n+1}\) ; c) \(u_n=-5^n\)
Exercice 56 :
Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout entier \(n\geq\, 1\) par \(u_n=\frac{2^n}{n}\).
1. Également, calculer \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\).
2. Puis résoudre l’inéquation \(\dfrac{2n}{n+1}\gt 1\).
3. Ensuite, en déduire les variations de la suite \((u_n)\).
Exercice 57 :
Étape 0 : Valentine trace une rosace à trois pétales.
Étape 1 : Elle décide de décorer davantage sa rosace et rajoute un pétale entre deux pétales
consécutifs.
A chaque étape, elle rajoute chaque fois un pétale entre deux pétales consécutifs.
Ensuite, on note \(u_n\) le nombre de pétales à l’étape n.
Puis on a \(u_0=\,3\).
1. De plus, tracer la rosace à l’étape 2.
2. De plus, en déduire la valeur de \(u_1\) et \(u_2\).
3. Ensuite, exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).
4. Par ailleurs, en déduire l’expression de \(u_n\).
Exercice 58 :
On s’intéresse à une feuille de papier carrée de côté 20 cm.
A chaque étape, on replie les coins de cette feuille pour obtenir un nouveau carré.
On veut étudier la suite \((u_n)\) qui correspond à la longueur des côtés du carré à l’étape n, en cm.
On a \(u_0=20\).
1. Par ailleurs, déterminer la valeur de \(u_1\).
2. Puis déterminer une relation entre \(u_n\) et \(u_{n+1}\).
3. Puis, en déduire les variations de la suite \((u_n)\).
4. Conjecturer la limite de la suite \((u_n)\).
Ensuite, on veut maintenant étudier la suite \((v_n)\) qui correspond à l’épaisseur du pliage, en m, à l’étape n.
Puis la feuille de papier initiale a une épaisseur de 0,1 mm.
5. Également, déterminer la valeur de \(v_0\) et de \(v_1\).
6. De plus, déterminer une relation entre \(v_n\) et \(v_{n+1}\).
7. Ensuite, en déduire les variations de la suite \((v_n)\).
8. Ensuite, en déduire l’expression de \(v_n\) en fonction de n.
9. De plus, a l’aide de la calculatrice, déterminer le nombre d’étapes qu’il faudrait pour que le pliage fasse la hauteur de la tour Eiffel, c’est-à-dire 324 m.
Suites numériques 1ère : méthode de travail
Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. Puis en outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.
Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Suite (mathématiques) sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec trigonométrie : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.
