Corrigé du contrôle de maths 1ère : variations, sommes et problèmes de suites

Exercice 1 : Sens de variation de quatre suites (4 points)

1. Pour tout entier naturel \(n\) :

   \(u_{n+1} = 3(n+1)^2 – 5(n+1) + 1 = 3n^2 + 6n + 3 – 5n – 5 + 1 = 3n^2 + n – 1\)

   \(u_{n+1} – u_n = 3n^2 + n – 1 – (3n^2 – 5n + 1) = 6n – 2\).

   Pour \(n \geq\, 1\), on a \(6n \geq\, 6\), donc \(6n – 2 \geq\, 4 > 0\) : \(u_{n+1} > u_n\). La suite \((u_n)\) est strictement croissante à partir du rang 1.

   Pour \(n = 0\), \(u_1 – u_0 = -2 < 0\) : en effet \(u_0 = 1\) et \(u_1 = -1\). La suite commence par diminuer entre \(u_0\) et \(u_1\), puis elle croît.

2. \(v_{n+1} – v_n = 7 – 2(n+1) – (7 – 2n) = -2\), constante. \((v_n)\) est arithmétique de raison \(-2\) ; comme la raison est négative, elle est strictement décroissante.
3. Pour tout \(n\), \(w_{n+1} = 5 \times 0{,}8^{n+1} = 0{,}8 \times w_n\) : \((w_n)\) est géométrique de raison \(q = 0{,}8\) et de premier terme \(w_0 = 5\).

   Comme \(w_0 > 0\) et \(0 < q < 1\), la suite \((w_n)\) est strictement décroissante.

4. Pour tout entier naturel \(n\) :

   \(t_{n+1} – t_n = \dfrac{n+1}{n+2} – \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{(n+1)^2 – n(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \dfrac{n^2 + 2n + 1 – n^2 – 2n}{(n+1)(n+2)} = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\).

   Le numérateur vaut 1 et le dénominateur est un produit de nombres strictement positifs, donc \(t_{n+1} – t_n > 0\). La suite \((t_n)\) est strictement croissante.

Erreur fréquente : en a), conclure « croissante » sans regarder le cas \(n = 0\), où la différence est négative.

Barème : a) 0,5 point pour le calcul de \(u_{n+1}\), 0,5 point pour le signe et la conclusion, 0,5 point pour le cas \(n = 0\) ; b) 0,25 point pour la nature, 0,25 point pour le sens ; c) 0,5 point pour la nature justifiée, 0,5 point pour le sens justifié ; d) 0,5 point pour la réduction au même dénominateur, 0,5 point pour le signe et la conclusion.

Exercice 2 : Calculs de sommes (4 points)

1. La somme des entiers de 1 à \(n\) vaut \(\dfrac{n(n+1)}{2}\). Avec \(n = 100\) : \(S_1 = \dfrac{100 \times 101}{2}\), donc \(S_1 = 5\,050\).
2. Les termes sont ceux d’une suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 4 : le terme de rang \(k\) vaut \(3 + 4k\).

   \(3 + 4k = 79\) donne \(4k = 76\), soit \(k = 19\). Les rangs vont de 0 à 19 : il y a 20 termes.

   Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique = nombre de termes \(\times \) (premier terme + dernier terme) \(: \) 2 :

   \(S_2 = 20 \times \dfrac{3 + 79}{2} = 20 \times 41\), donc \(S_2 = 820\).

3. Pour \(q \neq 1\), \(1 + q + q^2\) + etc. \(+ q^n = \dfrac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\). Ici \(q = 2\) et \(n = 10\) :

   \(S_3 = \dfrac{1 – 2^{11}}{1 – 2} = \dfrac{1 – 2\,048}{-1} = 2\,047\). \(S_3 = 2\,047\).

Erreur fréquente : en b), compter 19 termes au lieu de 20 : de 0 à 19, il y a 20 rangs.

Barème : a) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour le résultat ; b) 0,5 point pour la nature de la suite, 0,5 point pour le nombre de termes, 0,5 point pour la somme ; c) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour \(q\) et le nombre de termes, 0,5 point pour le résultat.

Exercice 3 : Un placement à intérêts composés (5 points)

1. Augmenter de \(3\,\%\) revient à multiplier par \(1{,}03\).

   \(C_1 = 2\,000 \times 1{,}03 = 2\,060\) et \(C_2 = 2\,060 \times 1{,}03 = 2\,121{,}80\).

   Au 1er janvier 2027, Chloé a \(2\,060\) € ; au 1er janvier 2028, elle a \(2\,121{,}80\) €.

2. Chaque année, le capital est multiplié par \(1{,}03\) : pour tout \(n\), \(C_{n+1} = 1{,}03\,C_n\). \((C_n)\) est géométrique de raison \(1{,}03\) et de premier terme \(C_0 = 2\,000\), donc \(C_n = 2\,000 \times 1{,}03^n\).
3. Comme \(C_0 > 0\) et \(q = 1{,}03 > 1\), la suite \((C_n)\) est strictement croissante.
4. On répète la multiplication tant que le capital n’a pas dépassé \(3\,000\) € :

   C = 2000
   n = 0
   while C <= 3000:
       C = C * 1.03
       n = n + 1
   print(n)

   La boucle s’arrête dès que \(C > 3\,000\) ; la variable n contient alors le premier rang où le capital dépasse \(3\,000\) €.

5. À la calculatrice (tableau de valeurs de \(2\,000 \times 1{,}03^n\)) :

   \(C_{13} = 2\,000 \times 1{,}03^{13} \approx 2\,937{,}07\), qui est inférieur à \(3\,000\) ;

   \(C_{14} = 2\,000 \times 1{,}03^{14} \approx 3\,025{,}18\), qui est supérieur à \(3\,000\).

   Comme la suite est croissante, le programme affiche 14 : le capital dépassera \(3\,000\) € au 1er janvier 2040 (\(2026 + 14 = 2040\)).

Erreur fréquente : écrire la condition d’arrêt dans la boucle, par exemple « while C > 3000 » : la boucle ne s’exécuterait alors jamais.

Barème : a) 0,5 point par terme ; b) 0,5 point pour la justification, 0,5 point pour la formule ; c) 0,5 point ; d) 0,5 point par ligne correctement complétée ; e) 0,5 point pour les valeurs encadrantes, 0,5 point pour l’année.

Exercice 4 : Deux formules d’abonnement (3 points)

1. Le prix augmente de \(1{,}50\) € chaque mois : \((a_n)\) est arithmétique de raison \(1{,}5\) et de premier terme \(a_1 = 20\).

   \(a_n = 20 + 1{,}5(n – 1) = 1{,}5n + 18{,}5\).

2. \(a_n > 30\) équivaut à \(1{,}5n > 11{,}5\), soit \(n > \dfrac{11{,}5}{1{,}5} = \dfrac{23}{3}\), et \(\dfrac{23}{3} \approx 7{,}67\).

   Vérification : \(a_7 = 10{,}5 + 18{,}5 = 29\) et \(a_8 = 12 + 18{,}5 = 30{,}5\).

   C’est à partir du 8e mois que la formule A coûte plus cher par mois que la formule B.

3. Formule A : \(a_{12} = 18 + 18{,}5 = 36{,}5\). La somme de 12 termes consécutifs d’une suite arithmétique vaut :

   \(a_1 + a_2\) + etc. \(+ a_{12} = 12 \times \dfrac{20 + 36{,}5}{2} = 6 \times 56{,}5 = 339\).

   Formule B : \(12 \times 30 = 360\).

   Sur un an, la formule A coûte 339 € et la formule B 360 € : la formule A est la plus avantageuse, de 21 €.

Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point pour l’inéquation, 0,5 point pour le mois ; c) 0,75 point pour le total A, 0,25 point pour le total B, 0,5 point pour la conclusion.

Exercice 5 : La population d’une ville (4 points)

1. \(p_1 = 0{,}95 \times 20\,000 + 1\,500 = 19\,000 + 1\,500 = 20\,500\).

   \(p_2 = 0{,}95 \times 20\,500 + 1\,500 = 19\,475 + 1\,500 = 20\,975\).

   La ville compterait \(20\,500\) habitants en 2027 et \(20\,975\) en 2028.

2. Pour tout entier naturel \(n\) :

   \(v_{n+1} = p_{n+1} – 30\,000 = 0{,}95\,p_n + 1\,500 – 30\,000 = 0{,}95\,p_n – 28\,500\).

   Or \(0{,}95 \times 30\,000 = 28\,500\), donc \(v_{n+1} = 0{,}95(p_n – 30\,000) = 0{,}95\,v_n\).

   La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}95\) et de premier terme \(v_0 = 20\,000 – 30\,000 = -10\,000\).

3. D’après b), \(v_n = -10\,000 \times 0{,}95^n\). Comme \(p_n = v_n + 30\,000\) : \(p_n = 30\,000 – 10\,000 \times 0{,}95^n\).
4. Pour tout \(n\) :

   \(p_{n+1} – p_n = -10\,000 \times 0{,}95^{n+1} + 10\,000 \times 0{,}95^n = 10\,000 \times 0{,}95^n \times (1 – 0{,}95) = 500 \times 0{,}95^n\).

   Ce nombre est strictement positif, donc la population augmente chaque année.

   De plus \(10\,000 \times 0{,}95^n > 0\), donc \(p_n < 30\,000\) : la population reste toujours inférieure à \(30\,000\) habitants.

Erreur fréquente : dire que \((p_n)\) est géométrique : à cause du « \(+ 1\,500\) », elle ne l’est pas, c’est la suite auxiliaire \((v_n)\) qui l’est.

Barème : a) 0,25 point par terme ; b) 1 point pour le calcul de \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\), 0,5 point pour la raison et le premier terme ; c) 0,5 point pour \(v_n\), 0,5 point pour \(p_n\) ; d) 0,5 point pour la croissance, 0,5 point pour la majoration par \(30\,000\).

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Après le corrigé du contrôle : variations, sommes et problèmes de suites

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