Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés.

Des exercices sur la dérivée d’une fonction et de l’interprétation graphique du nombre dérivée en 1ère dont toute la correction est détaillée.

Exercice 1 :

Dériver la fonction f dans les cas suivants :

2. $f(x)=\frac{3x^2-4x+2}{2} .$

3. $f(x)=(\sqrt{x+1})\times (x^2-2) .$

4. $f(x)=(2x-\sqrt{x})\times (x+4) .$

5. $f(x)=\frac{1}{1-4x} .$

6. $f(x)=\frac{-3}{2x-1} .$

7. $f(x)=\frac{2x-1}{3x+2} .$

8. $f(x)=\frac{3x^2-4x+1}{2x-3} .$

10.

11. $f(x)=\sqrt{3x-4}.$

12. $f(x)=2x\sqrt{-3x+2}.$

Exercice 2 :

Determiner une equation de la tangente T à la courbe representative de la fonction f au point d’abscisse a dans les cas suivants :

1. f(x)= 3x²-x+1 avec a= -1.

2. $f(x)=\frac{2x-1}{x-2}$ avec a= 3.

3. $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x}$ avec a= 9.

Exercice 3 :

Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R^*}$ par :

$f(x)=\frac{-x^2+2x-1}{x}$ .

On note C sa courbe representative dans un repère orthonormé .
1. Determiner les abscisses des points de la courbe C où la tangente est horizontale .
2. Existe-t-il des points de la courbe C où la tangente admet un coefficient directeur égal à – 2 ?

3 Determiner les abscisses des points de la courbe C où la tangente est parallèle à la droite d’équation $y=- \frac{2}{3}x-5$ .

Exercice 4 – Equation de la tangente à une courbe représentative

Soit f la fonction définie sur R par .
Soit (Cf ) sa courbe représentative.

1. Donner, en justifiant, l’équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) au point A d’abscisse 0.

2. Tracer dans un même repère la courbe (Cf ) et la tangente (T) sur l’intervalle [- 1 ; 1,5].

Exercice 5 – Calculer une limite

Le but de cet exercice est de calculer la limite suivante :

$\lim_{h \to 0}\frac{(1+h)^{2005}-1}{h}$ .

Pour cela on considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(1+x)^{2005}$ .

1. Calculer la dérivée f’ de la fonction f. Calculer f ‘ (0).

2. Calculer l’accroissement moyen de la fonction f entre 0 et h. En déduire la limite ci-dessus.

Exercice 6 – Prix de revient et vitesse d’un camion

Un camion doit faire un trajet de 150 km.
Sa consommation de gasoil est de $6+\frac{v^2}{300}$ llitres par heure, où désigne sa vitesse en.
Le prix du gasoil est de 0,9 € le litre et on paie le chaufeur 12 € par heure.

1. Soit t la durée du trajet en heure. Exprimer t en fonction de la vitesse .

2. Calculer le prix de revient P(v) du trajet en fonction de v.

3. Quel doit être la vitesse v du camion pour que le prix de revient P(v) de la course soit minimal ?

Exercice 7 – Sommet d’une parabole

Soit (P) la parabole définie par la fonction .
Calculer les coordonnées de son sommet S.

Exercice 8 – Etude d’un rectangle

On considère un rectangle dont le périmètre P est égal à 4 cm.

1. Déterminer ses dimensions (longueur L et largeur l) sachant que son aire S est égale à $\frac{3}{4}$ cm².

2. On recherche maintenant les dimensions du rectangle de façon que son aire S soit maximale.

a. Exprimer S en fonction de la largeur l.

b. On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par .

Calculer la dérivée f’ de f puis étudier son signe.

Dresser le tableau de variations de la fonction f.

Tracer la représentation graphique (Cf ) de la fonction f sur [0 ; 2].

c. En déduire les dimensions du rectangle dont le périmètre P est égal à 4 m et l’aire S est maximale.

Exercice 9 – Fonction numérique et racine

On considère la fonction f définie sur R par : .
On note (Cf ) sa représentation graphique.

1.Calculer la dérivée f ‘ de f puis étudier son signe.

2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

3. Déterminer une équation de la tangente (T) à (Cf ) au point d’abscisse 0.

4. Tracer (T) et (Cf ) dans un même repère.

5. Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution unique $\alpha$ dans l’intervalle [2 ; 3].

6. Donner une valeur approchée de $\alpha$ , par défaut, à $10^{-1}$ près.

Exercice 10 – Tableau de variation et équation

1. Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur R par :
2. Résoudre l’équation f(x) = 0.

Exercice 11 – Etude de deux fonctions et des tangentes

On considère la fonction définie par .
On note (Cf ) sa courbe représentative.
On considère également la fonction g définie par g(x) = 3 – x.
On note (D) sa représentation graphique.

1. Calculer la dérivée f’ de f.

2. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) au point d’abscisse .

3. Résoudre par le calcul l’équation g(x) = f(x).

4. Préciser les coordonnées des points d’intersections de (Cf ) et (D).

5. Tracer sur un même repère les droites (T), (D) et la courbe (Cf ).

Exercice 12 – Déterminer la dérivée de fonctions numériques

Dériver les fonctions suivantes :

$f(x)=4x^2-3x+1\\g(x)=(2x+3)(3x-7)\\h(x)=\frac{2x+4}{3x-1}\,pour\,x\neq\frac{1}{3}\\k(x)=(2x^2+3x+1)^2$

Exercice 13 – Dérivée de plusieurs fonctions

Dériver les fonctions suivantes :

$f(x)=x^2\\g(x)=3x^4-2x^3+5x-4\\h(x)=\sqrt{x}(1-\frac{1}{x})\\k(x)=\frac{x+5}{x^2+1}$

Exercice 14 – Valeur absolue et dérivabilité

Soit une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par .

Etudier la dérivabilité de sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 15 – Dérivée d’une fonction puissance

Démontrez que si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors:

a) u² est dérivable sur I et (u²)’=2uu’.

b) u³ est dérivable sur I et (u³)’=3u²u’.

Exercice 16 – Sens de variation

On considère la fonction f définie par sur $\mathbb{R}$ .

1. Démontrer que $f(x)\leq\,,\frac{1}{4}$ pour tout x appartenant à $\mathbb{R}$ .

2. En déduire que la fonction f admet un maximum en $x=\frac{1}{2}$ .

3. Démontrer que $f(x)=\frac{1}{4}-,(,x-\frac{1}{2},,)^2$ .

4. En déduire que la fonction f est croissante sur l’intervalle $]-\infty;\frac{1}{2}[$ et décroissante sur $]\frac{1}{2};+\infty[$ .

Exercice 17

Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

1. Etudier les variations de sur $\mathbb{R}$ .

2. Déterminer les coordonnées des points d’intersection entre la courbe représentative de et la droite d’équation $y=\frac{1}{2}x-2$ .

Exercice 18

Etudier les variations sur $\mathbb{R}$ de la fonction f définie par .

Exercice 19

Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\frac{-4x-4}{x^2+2x+5}$ .

1. Etudier les variations de f sur $\mathbb{R}$ .

2. Déterminer les coordonnées du point A, intersection entre la courbe représentative de f et l’axe des abscisses .

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de au point A.

Exercice 20

Etudier les variations sur ]-2 ; 1[ de la fonction définie par :

$f(x)=\frac{-5x^2+4x-8}{x^2+x-2}$ .

Exercice 21 – Courbe représentative, dérivée et tangente

Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{1}{4}x^4 -2x^2 + 3$

On appelle sa représentation graphique dans un repère orthonormal.

1) a) Etudier la parité de . Que peut-on en déduire pour ?

b) Déterminer l’expression de la fonction dérivée de et en déduire le tableau de variation de

2) a) Déterminer une équation de la tangente à au point d’abscisse 1.

b) Cette tangente recoupe en deux autres points.

b.1) Montrez que les abscisses de ces points sont les solutions de l’équation :

b.2) Vérifiez que l’on a :

b.3) En déduire les abscisses de ces points.

Exercice 22 – Parabole et tangentes

Soit (P) la parabole d’équation $y=x^2-3x+\frac{5}{4}$

et (H) l’hyperbole d’équation $y=\frac{3(3x+5)}{4(x+3)}$ .

Le plan est ramené à un repère orthonormal.

1) Montrer que (P) et (H) rencontrent l’axe (Oy) en un même point A.

2) Montrer que les tangentes en A aux courbes (P) et (H) sont perpendiculaires.

Rappel : Dans un r.o.n deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égal à –1 .

Exercice 23 – Tangente et déterminer un réel

Déterminer le réel m pour que la courbe d’équation

admette au point d’abscisse –1 une tangente de coefficient directeur 6.

Exercice 24 – Déterminer l’abscisse d’une tangente

Soit la fonction $f:x \mapsto \frac{-x^2 +2x-1}{x}$ définie sur $\mathbb{R}^*$ et soit (C) sa courbe représentative.

Déterminer les abscisses des points de (C) où la tangente :

1) est horizontale

2) est parallèle à la droite d’équation $y=-\frac{2}{3}x-5$ .

Exercice 25 – Retrouver l’expression d’une fonction carrée

Une parabole admet dans un repère $(O;\vec{i},\vec{j})$ une équation du type :

$y=ax^2+bx+c\,(a\neq0)$
1. Déterminer les coefficients a, b et c sachant que coupe l’axe des abscisses au point A d’abscisse 3, l’axe des ordonnées au point B d’ordonnée 2 et qu’elle admet en ce point la droite d’équation y = 2x + 2 pour tangente.

2. Indiquer l’abscisse du second point d’intersection de avec (Ox).

Exercice 26 – Nombre dérivée et tangente à une courbe

Dans chaque cas détermine et donner une équation de la tangente T.

Exercice 27 – Equation de tangente à une parabole
On considère la fonction f définie par :

dont la parabole (Cf ) passe par les points A (0 ; 1) et B (2 ; 3).

Les tangentes en A et B se coupent au point C (1 ; – 4).

1. Déterminer une équation des tangentes à (Cf ).

En déduire f ‘ (0) et f ‘ (2).

2. Exprimer f ‘ (x) en fonction de a, b et c.

3. A l’aide des valeurs de f ‘ (0), f ‘ (2) et f(0), trouver trois équations vérifiées par a, b et c puis déterminer l’expression algébrique de la fonction f.

Exercice 28 – Limite en l’infini et tableau de variation
On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ .

1. Calculer les limites de f en $+\infty$ et en $-\infty$ .

2. Calculer la dérivée f » de f et étudier son signe.

3. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

Exercice 29 – Lecture graphique
Ci-dessous est donnée la courbe (Cf ) représentant une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [2 ; 7].

1. Par lecture graphique, donner sans justifier la valeur de :

f(3) ; f ‘ (3) ; f(6) ; f ‘ (6).

2. Le graphique ne permet pas la lecture de f ‘ (4).
Préciser néanmoins son signe. Expliquer.

Exercice 30 – Calcul d’une dérivée et tableau de variation
Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par .

1. Calculer la dérivée et étudier son signe.

2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

Exercice 31 – Lecture graphique du nombre dérivé

Sur le graphique ci-dessous sont représentées la courbe (Cf ) de la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=(1-\frac{x}{2})^4$ ainsi que la tangente (T) à (Cf ) au point d’abscisse .

1. Donner, par lecture graphique, et sans justifications, la valeur du nombre f ‘ (4).

2. Déterminer, à l’aide du calcul de la dérivée de f, la valeur du nombre f ‘ (3).

Exercice 32 – Dérivabilité en un point

Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=\frac{1}{x}+2$ .

1. Montrer que f est dérivable en 2.

2. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) représentant f au point d’abscisse 2.

Exercice 33 – Calcul de dérivée et du nombre dérivé

1. Dériver les fonctions f et g définies ci-dessous :

$f(x)=\frac{x}{x+\sqrt{x}}\,sur\,]0;+\infty[$

$g(x)=(\frac{1}{1+x})^3\,sur\,\mathbb{R}-\{-1}$

2. Calculer f ‘ (16) et g ‘ (2).

Exercice 34 – Sens de variation et encadrement
1. Etudier le sens de variation de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :.

2. En déduire un encadrement de f(x) sur [0 ; 2].

Exercice 35 – Etude d’une fonction numérique
On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=x-2+\frac{4}{x}$ .

1. Calculer la dérivée f ‘ et étudier son signe.

2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

3. Tracer la représentation graphique (Cf ) de la fonction f sur $[-4 ; 0[\cup ]0 ; 4]$ .

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