exercices maths 1ère
 La dérivée d’une fonction et  l’interprétation graphique du nombre dérivée à travers des exercices de maths en 1ère corrigés. L’élève devra être capable d’étudier l’a taux d’accroissement d’une fonction en un point et déterminer le nombre dérivé. Connaître toutes les formulés de dérivation afin d’étudier le sens de variation de la fonction et de tracer sa courbe. Savoir déterminer l’équation de la tangente en un point de la courbe représentative en première.

Exercice 1 :

Dériver la fonction f dans les cas suivants :

1. mimetex.cgi? f(x)=-4x^3+2x^2-3x+1  Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

2. mimetex.cgi? f(x)=\frac{3x^2-4x+2}{2}  Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

3. mimetex.cgi? f(x)=(\sqrt{x+1})\times   (x^2-2)  Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

4. mimetex.cgi? f(x)=(2x-\sqrt{x})\times   (x+4)  Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

5. mimetex.cgi? f(x)=\frac{1}{1-4x}  Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

6. mimetex.cgi? f(x)=\frac{-3}{2x-1}  Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

7. mimetex.cgi? f(x)=\frac{2x-1}{3x+2}  Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

8. mimetex.cgi? f(x)=\frac{3x^2-4x+1}{2x-3}  Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

9. mimetex.cgi? f(x)=(5x^2+1)^2  Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

10. mimetex.cgi? f(x)=(-2x-1)^3  Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

11. mimetex.cgi? f(x)=\sqrt{3x-4} Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

12. mimetex.cgi? f(x)=2x\sqrt{-3x+2} Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 2 :

Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse a dans les cas suivants :

1. f(x)= 3x²-x+1 avec a= -1.

2. mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. avec a= 3.

3. mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. avec a= 9.

Exercice 3 :

Soit f la fonction définie sur mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. par :

mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé .
1. Déterminer les abscisses des points de la courbe C où la tangente est horizontale .
2. Existe-t-il des points de la courbe C où la tangente admet un coefficient directeur égal à – 2 ?

3 Déterminer les abscisses des points de la courbe C où la tangente est parallèle à la droite d’équation mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..

Exercice 4 – Equation de la tangente à une courbe représentative

Soit f la fonction définie sur R par mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..
Soit (Cf ) sa courbe représentative.

1. Donner, en justifiant, l’équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) au point A d’abscisse 0.

2. Tracer dans un même repère la courbe (Cf ) et la tangente (T) sur l’intervalle [- 1 ; 1,5].

courbe-fonction-17-7 Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 5 – Calculer une limite

Le but de cet exercice est de calculer la limite suivante :

mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..

Pour cela on considère la fonction mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. définie sur mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. par mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..

1. Calculer la dérivée f’ de la fonction f. Calculer f ‘ (0).

2. Calculer l’accroissement moyen de la fonction f entre 0 et h. En déduire la limite ci-dessus.

Exercice 6 – Prix de revient et vitesse d’un camion

Un camion doit faire un trajet de 150 km.
Sa consommation de gasoil est de mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.  litres par heure, où mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. désigne sa vitesse enh Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..
Le prix du gasoil est de 0,9 €  le litre et on paie le chauffeur 12 € par heure.

1. Soit t la durée du trajet en heure. Exprimer t en fonction de la vitesse mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..

2.  Calculer le prix de revient P(v) du trajet en fonction de v.

3.  Quel doit être la vitesse v du camion pour que le prix de revient P(v) de la course soit minimal ?

camion Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 7 – Sommet d’une parabole

Soit (P) la parabole définie par la fonction mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..
Calculer les coordonnées de son sommet S.

courbe-fonction-15-4 Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 8 – Etude d’un rectangle

On considère un rectangle dont le périmètre P est égal à 4 cm.

1. Déterminer ses dimensions (longueur L et largeur l) sachant que son aire S est égale à mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.  cm².

2.  On recherche maintenant les dimensions du rectangle de façon que son aire S soit maximale.

a. Exprimer S en fonction de la largeur  l.

b. On considère la fonction f définie sur mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. par mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..

Calculer la dérivée f’ de f puis étudier son signe.

Dresser le tableau de variations de la fonction f.

Tracer la représentation graphique (Cf ) de la fonction f sur [0 ; 2].

c.  En déduire les dimensions du rectangle dont le périmètre P est égal à 4 m et l’aire S est maximale.

courbe-fonction-15-3 Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 9 – Fonction numérique et racine

On considère la fonction f définie sur R par : mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..
On note (Cf ) sa représentation graphique.

1.Calculer la dérivée f ‘ de f puis étudier son signe.

2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

3.  Déterminer une équation de la tangente (T) à (Cf ) au point d’abscisse 0.

4. Tracer (T) et (Cf ) dans un même repère.

5.  Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution unique mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. dans l’intervalle [2 ; 3].

6. Donner une valeur approchée de mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF., par défaut, à mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. près.

courbe-fonction-15-2 Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 10 – Tableau de variation et équation

1.  Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur R par : mimetex.cgi?f(x) = x^2 -3x + 2 Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.
2.  Résoudre l’équation f(x) = 0.

fonction-carree Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 11 – Etude de deux fonctions et des tangentes

On considère la fonction définie par mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..
On note (Cf ) sa courbe représentative.
On considère également la fonction g définie par g(x) = 3 – x.
On note (D) sa représentation graphique.

1. Calculer la dérivée f’ de f.

2.  Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) au point d’abscisse mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..

3.  Résoudre par le calcul l’équation g(x) = f(x).

4.  Préciser les coordonnées des points d’intersections de (Cf ) et (D).

5. Tracer sur un même repère les droites (T), (D) et la courbe (Cf ).

curbe-fonction-15-1 Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 12 – Déterminer la dérivée de fonctions numériques

Dériver les fonctions suivantes :

mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 13 – Dérivée de plusieurs fonctions

Dériver les fonctions suivantes :

mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 14 – Valeur absolue et dérivabilité

Soit mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. une fonction définie sur mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. par mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .

Etudier la dérivabilité de mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. sur mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .

Exercice 15 – Dérivée d’une fonction puissance

Démontrez que si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors:

a) u2 est dérivable sur I et (u2)’=2uu’.

b) u3 est dérivable sur I et (u3)’=3u2u’.

Exercice 16 –  Sens de variation

On considère la fonction f définie par mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. sur mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..

1. Démontrer que mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.  pour tout x appartenant à mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..

2. En déduire que la fonction f admet un maximum  en mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..

3. Démontrer que mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..

4. En déduire que la fonction f est croissante sur l’intervalle mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. et décroissante sur mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..

Exercice 17

Soit la fonction mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. définie sur mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. par mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

1. Etudier les variations de mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. sur mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .

2. Déterminer les coordonnées des points d’intersection entre la courbe représentative de mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. et la droite mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. d’équation mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..

Exercice 18

Etudier les variations sur mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. de la fonction f définie par mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .

 Exercice 19

Soit f la fonction définie sur mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. par :

mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..

1. Etudier les variations de f sur mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .

2. Déterminer les coordonnées du point A, intersection entre la courbe représentative de f et l’axe des abscisses .

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. au point A.

Exercice 20

Etudier les variations sur ]-2 ; 1[ de la fonction mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. définie par :

mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .

Exercice 21 – Courbe représentative, dérivée et tangente

Soit mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.  la fonction définie sur mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. par mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

On appelle mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.  sa représentation graphique dans un repère orthonormal.

1)        a) Etudier la parité de mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.. Que peut-on en déduire pour mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. ?

b) Déterminer l’expression de la fonction dérivée de mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. et en déduire le tableau de variation de mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

2)        a) Déterminer une équation de la tangente à mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.  au point d’abscisse 1.

b) Cette tangente recoupe mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.  en deux autres points.

b.1) Montrez que les abscisses de ces points sont les solutions de l’équation :

mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

b.2) Vérifiez que l’on a :

mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

b.3) En déduire les abscisses de ces points.

Exercice 22 – Parabole et tangentes

Soit (P) la parabole d’équation mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

et (H) l’hyperbole d’équation mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..

Le plan est ramené à un repère orthonormal.

1) Montrer que (P) et (H) rencontrent l’axe (Oy) en un même point A.

2) Montrer que les tangentes en A aux courbes (P) et (H) sont perpendiculaires.

Rappel : Dans un r.o.n deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égal à –1 .

Exercice 23 – Tangente et déterminer un réel

Déterminer le réel m pour que la courbe d’équation mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

admette au point d’abscisse –1 une tangente de coefficient directeur 6.

Exercice 24 – Déterminer l’abscisse d’une tangente

Soit la fonction mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. définie sur mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. et soit (C) sa courbe représentative.

Déterminer les abscisses des points de (C) où la tangente :

1)       est horizontale

2)      est parallèle à la droite d’équation mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..

Exercice 25 – Retrouver l’expression d’une fonction carrée

Une parabole mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. admet dans un repère mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. une équation du type :

mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.
1. Déterminer les coefficients a, b et c sachant que mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. coupe l’axe des abscisses au point A d’abscisse 3, l’axe des ordonnées au point B d’ordonnée 2 et qu’elle admet en ce point la droite d’équation y = 2x + 2 pour tangente.

2. Indiquer l’abscisse du second point d’intersection de mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. avec (Ox).

courbe-fonction-17-7-6 Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 26 – Nombre dérivée et tangente à une courbe

(C) représenter une fonction dérivable sur mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. et la droite T est tangente à (C) au point d’abscisse a.

Dans chaque cas détermine mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.et donner une équation de la tangente T.

courbes-1-11 Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 27 – Equation de tangente à une parabole
On considère la fonction f définie par :
mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

dont la parabole (Cf ) passe par les points A (0 ; 1) et B (2 ; 3).

Les tangentes en A et B se coupent au point C (1 ; – 4).

1.  Déterminer une équation des tangentes à (Cf ).

En déduire f ‘ (0) et f ‘ (2).

2.  Exprimer f ‘ (x) en fonction de a, b et c.

3. A l’aide des valeurs de f ‘ (0), f ‘ (2) et f(0), trouver trois équations vérifiées par a, b et c puis déterminer l’expression algébrique de la fonction f.

courbe-fonction-17-9 Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 28 – Limite en l’infini et tableau de variation
On considère la fonction mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. définie surmimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. par mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .

1. Calculer les limites de f en mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. et en mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..

2. Calculer la dérivée f  » de f et étudier son signe.

3. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

courbe-fonction-17-8 Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 29 – Lecture graphique
Ci-dessous est donnée la courbe (Cf ) représentant une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [2 ; 7].

1. Par lecture graphique, donner sans justifier la valeur de :

f(3) ; f ‘ (3) ; f(6) ; f ‘ (6).

2.  Le graphique ne permet pas la lecture de f ‘ (4).
Préciser néanmoins son signe. Expliquer.

courbe-fonction-17-7-5 Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 30 – Calcul d’une dérivée et tableau de variation
Soit mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. la fonction définie sur mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. par mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..

1. Calculer la dérivée mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. et étudier son signe.

2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

courbe-fonction-17-7-4 Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 31 – Lecture graphique du nombre dérivé

Sur le graphique ci-dessous sont représentées la courbe (Cf ) de la fonction f définie surmimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. par :

mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.  ainsi que la tangente (T) à (Cf ) au point d’abscisse mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..

1. Donner, par lecture graphique, et sans justifications, la valeur du nombre f ‘ (4).

2. Déterminer, à l’aide du calcul de la dérivée de f, la valeur du nombre f ‘ (3).

courbe-fonction-17-7-3 Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 32 – Dérivabilité en un point

Soit mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. la fonction définie sur  mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.par  mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .

1. Montrer que f est dérivable en 2.

2. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) représentant f au point d’abscisse 2.

courbe-fonction-17-7-2 Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 33 – Calcul de dérivée et du nombre dérivé

1. Dériver les fonctions f et g définies ci-dessous :

mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

2.  Calculer f ‘ (16) et g ‘ (2).

Exercice 34 – Sens de variation et encadrement
1. Etudier le sens de variation de la fonction mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. définie sur mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. par :mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..

2. En déduire un encadrement de f(x) sur [0 ; 2].

courbe-fonction-17-7-7 Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 35 – Etude d’une fonction numérique
On considère la fonction mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. définie surmimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. par mimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..

1.  Calculer la dérivée f ‘ et étudier son signe.

2.  Dresser le tableau de variations de la fonction f.

3. Tracer la représentation graphique (Cf ) de la fonction f surmimetex Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..

courbe-fonction-17-7-1 Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

corrige-exercices-maths Dérivée d'une fonction : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.


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