Exercices maths 1ère

Dérivée d’une fonction : exercices Maths 1ère corrigés en PDF

Des exercices sur la dérivée d’une fonction et de l’interprétation graphique du nombre dérivée en première S dont toute la correction est détaillée.

Exercice n° 1 :

Dériver la fonction f dans les cas suivants :

1.  f(x)=-4x^3+2x^2-3x+1 .

2.  f(x)=\frac{3x^2-4x+2}{2} .

3.  f(x)=(\sqrt{x+1})\times   (x^2-2) .

4.  f(x)=(2x-\sqrt{x})\times   (x+4) .

5.  f(x)=\frac{1}{1-4x} .

6.  f(x)=\frac{-3}{2x-1} .

7.  f(x)=\frac{2x-1}{3x+2} .

8.  f(x)=\frac{3x^2-4x+1}{2x-3} .

9.  f(x)=(5x^2+1)^2 .

10.  f(x)=(-2x-1)^3 .

11.  f(x)=\sqrt{3x-4}.

12.  f(x)=2x\sqrt{-3x+2}.
Exercice n° 2 :

Determiner une equation de la tangente T à la courbe representative de la fonction f au point d’abscisse a dans les cas suivants :

1. f(x)= 3x²-x+1 avec a= -1.

2.  f(x)=\frac{2x-1}{x-2} avec a= 3.

3.  f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x} avec a= 9.
Exercice n° 3 :

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R^*} par :

 f(x)=\frac{-x^2+2x-1}{x} .

On note C sa courbe representative dans un repère orthonormé .

1. Determiner les abscisses des points de la courbe C où la tangente est horizontale .

2. Existe-t-il des points de la courbe C où la tangente admet un coefficient directeur égal à – 2 ?

3 Determiner les abscisses des points de la courbe C où la tangente est parallèle à la droite d’équation  y=- \frac{2}{3}x-5.

Corrigé de cet exercice

Equation de la tangente à une courbe représentative

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x^4 -2x + 1.

Soit (Cf ) sa courbe représentative.
1. Donner, en justifiant, l’équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) au point A d’abscisse 0.
2. Tracer dans un même repère la courbe (Cf ) et la tangente (T) sur l’intervalle [- 1 ; 1,5].

Corrigé de cet exercice

Calculer une limite

Le but de cet exercice est de calculer la limite suivante :

\lim_{h \to 0}\frac{(1+h)^{2005}-1}{h}.

Pour cela on considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=(1+x)^{2005}.

1. Calculer la dérivée f’ de la fonction f. Calculer f ‘ (0).

2. Calculer l’accroissement moyen de la fonction f entre 0 et h. En déduire la limite ci-dessus.

Corrigé de cet exercice

Prix de revient et vitesse d’un camion

Un camion doit faire un trajet de 150 km.

Sa consommation de gasoil est de 6+\frac{v^2}{300}  llitres par heure, où v désigne sa vitesse enkm/h.
Le prix du gasoil est de 0,9 €  le litre et on paie le chaufeur 12 € par heure.
1. Soit t la durée du trajet en heure. Exprimer t en fonction de la vitesse v.
2.  Calculer le prix de revient P(v) du trajet en fonction de v.
3.  Quel doit être la vitesse v du camion pour que le prix de revient P(v) de la course soit minimal ?

Corrigé de cet exercice

Sommet d’une parabole

Soit (P) la parabole définie par la fonction f(x) = x^2 - 3x + 1.

 Calculer les coordonnées de son sommet S.

Corrigé de cet exercice

Etude d’un rectangle

On considère un rectangle dont le périmètre P est égal à 4 cm.

1. Déterminer ses dimensions (longueur L et largeur l) sachant que son aire S est égale à \frac{3}{4}  cm².
2.  On recherche maintenant les dimensions du rectangle de façon que son aire S soit maximale.
a. Exprimer S en fonction de la largeur  l.
b. On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=x(2-x).
Calculer la dérivée f’ de f puis étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de la fonction f.
Tracer la représentation graphique (Cf ) de la fonction f sur [0 ; 2].
c.  En déduire les dimensons du rectangle dont le périmétre P est égal à 4 m et l’aire S est maximale.

Corrigé de cet exercice

Fonction numérique et racine

On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = x^3 - 3x - 3.

On note (Cf ) sa représentation graphique.
1.Calculer la dérivée f ‘ de f puis étudier son signe.
2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
3.  Déterminer une équation de la tangente (T) à (Cf ) au point d’abscisse 0.
4. Tracer (T) et (Cf ) dans un même repère.
5.  Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution unique \alpha dans l’intervalle [2 ; 3].
6. Donner une valeur approchée de \alpha , par défaut, à 10^{-1} près.

Corrigé de cet exercice

Tableau de variation et équation

1.  Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur R par : f(x) = x^2 -3x + 2.

 2.  Résoudre l’équation f(x) = 0.

Corrigé de cet exercice

Etude de deux fonctions et des tangentes

On considère la fonction définie par f(x)=x^2-x-1.

 On note (Cf ) sa courbe représentative.
On considère également la fonction g définie par g(x) = 3 – x.
On note (D) sa représentation graphique.
1. Calculer la dérivée f’ de f.
2.  Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) au point d’abscisse x_0=2.
3.  Résoudre par le calcul l’équation g(x) = f(x).
4.  Préciser les coordonnées des points d’intersections de (Cf ) et (D).
5. Tracer sur un même repère les droites (T), (D) et la courbe (Cf ).

Corrigé de cet exercice

Déterminer la dérivée de fonctions numériques

Dériver les fonctions suivantes :

f(x)=4x^2-3x+1\\g(x)=(2x+3)(3x-7)\\h(x)=\frac{2x+4}{3x-1}\,pour\,x\neq\frac{1}{3}\\k(x)=(2x^2+3x+1)^2

Corrigé de cet exercice

Dérivée de plusieurs fonctions

Dériver les fonctions suivantes :

f(x)=x^2\\g(x)=3x^4-2x^3+5x-4\\h(x)=\sqrt{x}(1-\frac{1}{x})\\k(x)=\frac{x+5}{x^2+1}

Corrigé de cet exercice

Valeur absolue et dérivabilité

Soit f une fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)= | 2x+3  | .

Etudier la dérivabilité de f sur \mathbb{R} .

Corrigé de cet exercice

Dérivée d’une fonction puissance

Démontrez que si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors:

a) u2 est dérivable sur I et (u2)’=2uu’.

b) u3 est dérivable sur I et (u3)’=3u2u’.

Corrigé de cet exercice

 Sens de variation

On considère la fonction f définie par f(x)=x(1-x) sur \mathbb{R}.

1. Démontrer que f(x)\leq\,\,\frac{1}{4}  pour tout x appartenant à \mathbb{R}.

2. En déduire que la fonction f admet un maximum  en x=\frac{1}{2}.

3. Démontrer que f(x)=\frac{1}{4}-\,(\,x-\frac{1}{2}\,\,)^2.

4. En déduire que la fonction f est croissante sur l’intervalle ]-\infty;\frac{1}{2}[ et décroissante sur ]\frac{1}{2};+\infty[.

Corrigé de cet exercice

Exercice n° 1 :

Soit la fonction  f définie sur  \mathbb{R} par  f(x)=x^2+6x+5

1. Etudier les variations de  f sur  \mathbb{R} .

2. Déterminer les coordonnées des points d’intersection entre la courbe représentative de  f et la droite  D d’équation  y=\frac{1}{2}x-2.

Exercice n° 2 :

Etudier les variations sur  \mathbb{R} de la fonction f définie par  f(x)=3x-4x^3 .

 Exercice n° 3 :

Soit f la fonction définie sur  \mathbb{R} par :

 f(x)=\frac{-4x-4}{x^2+2x+5}.

1. Etudier les variations de f sur  \mathbb{R} .

2. Déterminer les coordonnées du point A, intersection entre la courbe représentative de f et l’axe des abscisses .

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de  f au point A.

Exercice n° 4  :

Etudier les variations sur ]-2 ; 1[ de la fonction  f définie par :

 f(x)=\frac{-5x^2+4x-8}{x^2+x-2} .

Corrigé de cet exercice

Courbe représentative, dérivée et tangente

Soit f  la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = \frac{1}{4}x^4 -2x^2 + 3

On appelle C_f  sa représentation graphique dans un repère orthonormal.

1)        a) Etudier la parité de f. Que peut-on en déduire pour C_f ?

b) Déterminer l’expression de la fonction dérivée de f et en déduire le tableau de variation de f

2)        a) Déterminer une équation de la tangente à C_f  au point d’abscisse 1.

b) Cette tangente recoupe C_f  en deux autres points.

b.1) Montrez que les abscisses de ces points sont les solutions de l’équation :

x^4-8x^2 + 12x -5 = 0

b.2) Vérifiez que l’on a :

x^4 -8x^2 + 12x -5 = (x - 1)^2(x^2 + 2x - 5)

b.3) En déduire les abscisses de ces points.

Corrigé de cet exercice

Parabole et tangentes

Soit (P) la parabole d’équation y=x^2-3x+\frac{5}{4}

et (H) l’hyperbole d’équation y=\frac{3(3x+5)}{4(x+3)}.

Le plan est ramené à un repère orthonormal.

1) Montrer que (P) et (H) rencontrent l’axe (Oy) en un même point A.

2) Montrer que les tangentes en A aux courbes (P) et (H) sont perpendiculaires.

Rappel : Dans un r.o.n deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur coefficient directeur est égal à –1 .

Corrigé de cet exercice

Tangente et déterminer un réel

Déterminer le réel m pour que la courbe d’équation y = (m - 1) x^2 + ( 3m + 2) x + 4

admette au point d’abscisse –1 une tangente de coefficient directeur 6.

Corrigé de cet exercice

Déterminer l’abscisse d’une tangente

Soit la fonction f:x \mapsto   \frac{-x^2 +2x-1}{x} définie sur \mathbb{R}^* et soit (C) sa courbe représentative.

Déterminer les abscisses des points de (C) où la tangente :

1)       est horizontale

2)      est parallèle à la droite d’équation y=-\frac{2}{3}x-5.

Corrigé de cet exercice

Retrouver l’expression d’une fonction carrée

Une parabole (P) admet dans un repère (O;\vec{i},\vec{j}) une équation du type :

y=ax^2+bx+c\,(a\neq0)

1. Déterminer les coefficients a, b et c sachant que (P) coupe l’axe des abscisses au point A d’abscisse 3, l’axe des ordonnées au point B d’ordonnée 2 et qu’elle admet en ce point la droite d’équation y = 2x + 2 pour tangente.
2. Indiquer l’abscisse du second point d’intersection de (P) avec (Ox).

Corrigé de cet exercice

Nombre dérivée et tangente à une courbe

(C) représenter une fonction dérivable sur \mathbb{R} et la droite T est tangente à (C) au point d’abscisse a.

Dans chaque cas détermine f’(a) et donner une équation de la tangente T.

Corrigé de cet exercice

Equation de tangente à une parabole

On considère la fonction f définie par :
f(x) = ax^2 + bx + c
dont la parabole (Cf ) passe par les points A (0 ; 1) et B (2 ; 3).
Les tangentes en A et B se coupent au point C (1 ; – 4).
1.  Déterminer une équation des tangentes à (Cf ).
En déduire f ‘ (0) et f ‘ (2).
2.  Exprimer f ‘ (x) en fonction de a, b et c.
3. A l’aide des valeurs de f ‘ (0), f ‘ (2) et f(0), trouver trois équations vérifiées par a, b et c puis déterminer l’expression algébrique de la fonction f.

Corrigé de cet exercice

Limite en l’infini et tableau de variation

On considère la fonction f définie sur\mathbb{R} par f(x)=\frac{x}{x^2+1} .
1. Calculer les limites de f en +\infty et en -\infty.
2. Calculer la dérivée f  » de f et étudier son signe.
3. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

Corrigé de cet exercice

Lecture graphique

Ci-dessous est donnée la courbe (Cf ) représentant une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [2 ; 7].
1. Par lecture graphique, donner sans justifier la valeur de :
f(3) ; f ‘ (3) ; f(6) ; f ‘ (6).
2.  Le graphique ne permet pas la lecture de f ‘ (4).
Préciser néanmoins son signe. Expliquer.

Corrigé de cet exercice

Calcul d’une dérivée et tableau de variation

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = -x^3 - 3x^2 + 9x.
1. Calculer la dérivée f' et étudier son signe.
2. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

Corrigé de cet exercice

Lecture graphique du nombre dérivé

Sur le graphique ci-dessous sont représentées la courbe (Cf ) de la fonction f définie sur\mathbb{R} par :

f(x)=(1-\frac{x}{2})^4  ainsi que la tangente (T) à (Cf ) au point d’abscisse x_0=4.

1. Donner, par lecture graphique, et sans justifications, la valeur du nombre f ‘ (4).

2. Déterminer, à l’aide du calcul de la dérivée de f, la valeur du nombre f ‘ (3).

Corrigé de cet exercice

Dérivabilité en un point

Soit f la fonction définie sur  \mathbb{R}^*par  f(x)=\frac{1}{x}+2 .

1. Montrer que f est dérivable en 2.

2. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (Cf ) représentant f au point d’abscisse 2.

Corrigé de cet exercice

Calcul de dérivée et du nombre dérivé

1. Dériver les fonctions f et g définies ci-dessous :

f(x)=\frac{x}{x+\sqrt{x}}\,sur\,]0;+\infty[

g(x)=(\frac{1}{1+x})^3\,sur\,\mathbb{R}-\{-1}

2.  Calculer f ‘ (16) et g ‘ (2).

Corrigé de cet exercice

Sens de variation et encadrement

1. Etudier le sens de variation de la fonction f définie sur \mathbb{R} par :f(x)=x(1-x).
2. En déduire un encadrement de f(x) sur [0 ; 2].

Corrigé de cet exercice

Etude d’une fonction numérique

On considère la fonction f définie sur\mathbb{R}^* par f(x)=x-2+\frac{4}{x}.
1.  Calculer la dérivée f ‘ et étudier son signe.
2.  Dresser le tableau de variations de la fonction f.
3. Tracer la représentation graphique (Cf ) de la fonction f sur[-4 ; 0[\cup ]0 ; 4].

Corrigé de cet exercice


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